Как возводить в квадрат уравнение

Как возводить в квадрат уравнение

Решить иррациональное уравнение

Предположим, что нам захотелось попробовать решить это иррациональное уравнение методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень. Проведем необходимые преобразования уравнений:

В результате проведенных преобразований иррациональное уравнение свелось к верному числовому равенству 0=0 . То есть, мы имеем дело с уравнением, сводящимся к числовому равенству. И вот здесь не стоит спешить с выводом, что искомым решением является любое число из ОДЗ для исходного уравнения (в нашем случае ОДЗ есть множество всех действительных чисел). Дело здесь в том, что мы дважды прибегали к возведению обеих частей уравнения в квадрат, а, как известно, возведение обеих частей уравнения в квадрат (и в другую четную степень) может быть неравносильным преобразованием и приводить к появлению посторонних корней в пределах ОДЗ. Так как же действовать дальше?

Здесь лучше всего выбрать другой способ решения. В нашем случае целесообразно выражения под корнями свернуть в квадраты двучленов, то есть, от иррационального уравнения перейти к равносильному уравнению , после чего перейти к равносильному уравнению с модулями и решить его. Покажем отдельно решение этого примера через переход к модулям.

Можно построить решение иррационального уравнения через определение корня. Покажем его, хотя оно значительно сложнее решения через переход к модулям, так как приводит к необходимости решения неравенств, одно из которых иррациональное:

Таким образом, решением уравнения является числовой отрезок от двух до трех.

Copyright © by cleverstudents

Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень

Продолжаем изучать методы решения уравнений. Сейчас мы в деталях разберем метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень. Начнем с теории: рассмотрим, для решения каких уравнений применяется метод, опишем, в чем он состоит, приведем теоретическое обоснование метода возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень, запишем соответствующие алгоритмы решения уравнений. После этого сосредоточимся на практике и рассмотрим разнообразные примеры решения уравнений методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень.

Для решения каких уравнений применяется

Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень в первую очередь применяется для решения иррациональных уравнений. Это объясняется тем, что возведение в натуральную и большую единицы степень позволяет избавляться от корней. Например, возведение в степень позволяет избавляться от корней при решении следующих уравнений:

• , C≥0 , в частности, , и т.п. Возведение в квадрат обеих частей первого уравнения позволяет перейти к уравнению , и дальше – к сравнительно простому уравнению без знаков корней x 2 −5=4 . Аналогично, возведение обеих частей второго уравнения в шестую степень приводит к уравнению и дальше — к элементарному уравнению 4−5·x=0 .
• , например, , и др. В первом случае избавиться от корня позволяет возведение обеих частей уравнения в квадрат, а во втором случае – в куб.
• и , таких как , и подобные им. Для первого уравнения напрашивается возведение его обеих частей в квадрат, для второго – в шестую степень.
• уравнений с двумя, тремя корнями в записи, например, и . В таких случаях для избавления от знаков радикалов к возведению обеих частей уравнения в одну и ту же степень приходится обращаться дважды: первый раз в самом начале, второй раз – после преобразований и уединения радикала.
• уравнений, в которых под знаком корня находятся другие корни, к примеру, . Здесь также к возведению обеих частей уравнения в одну и ту же степень приходится прибегать два раза.
• и это не весь список.

Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень используется и для решения некоторых уравнений, в которых переменная находится в основаниях степеней с дробными показателями. Например, уравнение можно решить методом возведения его обеих частей в дробную степень 6/11 .

Также метод возведения частей уравнения в степень применяется при решении некоторых степенных уравнений, в которых фигурируют иррациональные показатели. В пример приведем два уравнения и . Возведение их обеих частей в одну и ту же степень (в первом случае в степень , во втором – в степень ) позволяет избавиться от степеней с иррациональными показателями и перейти к сравнительно простым уравнениям.

В чем состоит метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень

Метод состоит в переходе к уравнению, которое получается из исходного путем возведения его обеих частей в одну и ту же степень, и нахождении решения исходного уравнения по решению полученного уравнения.

На практике наиболее часто прибегают к возведению обеих частей уравнения в одну и ту же натуральную степень, большую единицы, то есть, в квадрат, куб и т.д. Делается это на базе следующего утверждения:

Возведение обеих частей уравнения в одну и ту же четную натуральную степень дает уравнение-следствие, а возведение обеих частей уравнения в одну и ту же нечетную натуральную степень, большую единицы, дает равносильное уравнение (см. равносильные уравнения и уравнения-следствия).

Реже приходится обращаться к возведению обеих частей уравнения в другие степени, в частности, в дробные рациональные и иррациональные. В этих случаях отталкиваются от такого утверждения:

Уравнение A(x)=B(x) , на области допустимых значений переменной x для которого A(x)>0 или A(x)≥0 , B(x)>0 или B(x)≥0 , равносильно уравнению A r (x)=B r (x) , где r – положительное действительное число.

Обоснование метода

Обоснованием метода возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень является доказательство утверждений из предыдущего пункта. Приведем эти доказательства.

Возведение обеих частей уравнения в одну и ту же четную натуральную степень дает уравнение-следствие, а возведение обеих частей уравнения в одну и ту же нечетную натуральную степень дает равносильное уравнение.

Докажем его для уравнений с одной переменной. Для уравнений с несколькими переменными принципы доказательства те же.

Пусть A(x)=B(x) – исходное уравнение и x₀ – его корень. Так как x₀ является корнем этого уравнения, то A(x₀)=B(x₀) – верное числовое равенство. Мы знаем такое свойство числовых равенств: почленное умножение верных числовых равенств дает верное числовое равенство. Умножим почленно 2·k , где k – натуральное число, верных числовых равенств A(x₀)=B(x₀) , это нам даст верное числовое равенство A 2·k (x₀)=B 2·k (x₀) . А полученное равенство означает, что x₀ является корнем уравнения A 2·k (x)=B 2·k (x) , которое получено из исходного уравнения путем возведения его обеих частей в одну и ту же четную натуральную степень 2·k .

Для обоснования возможности существования корня уравнения A 2·k (x)=B 2·k (x) , который не является корнем исходного уравнения A(x)=B(x) , достаточно привести пример. Рассмотрим иррациональное уравнение , и уравнение , которое получено из исходного путем возведением его обеих частей в квадрат. Несложно проверить, что нуль является корнем уравнения , действительно, , что то же самое 4=4 — верное равенство. Но при этом нуль является посторонним корнем для уравнения , так как после подстановки нуля получаем равенство , что то же самое 2=−2 , которое неверное. Этим доказано, что уравнение, полученное из исходного путем возведения его обеих частей в одну и ту же четную степень, может иметь корни, посторонние для исходного уравнения.

Так доказано, что возведение обеих частей уравнения в одну и ту же четную натуральную степень приводит к уравнению-следствию.

Остается доказать, что возведение обеих частей уравнения в одну и ту же нечетную натуральную степень дает равносильное уравнение.

Покажем, что каждый корень уравнения является корнем уравнения, полученного из исходного путем возведения его обеих частей в нечетную степень, и обратно, что каждый корень уравнения, полученного из исходного путем возведения его обеих частей в нечетную степень, является корнем исходного уравнения.

Пусть перед нами уравнение A(x)=B(x) . Пусть x₀ – его корень. Тогда является верным числовое равенство A(x₀)=B(x₀) . Изучая свойства верных числовых равенств, мы узнали, что верные числовые равенства можно почленно умножать. Почленно умножив 2·k+1 , где k – натуральное число, верных числовых равенств A(x₀)=B(x₀) получим верное числовое равенство A 2·k+1 (x₀)=B 2·k+1 (x₀) , которое означает, что x₀ является корнем уравнения A 2·k+1 (x)=B 2·k+1 (x) . Теперь обратно. Пусть x₀ – корень уравнения A 2·k+1 (x)=B 2·k+1 (x) . Значит числовое равенство A 2·k+1 (x₀)=B 2·k+1 (x₀) — верное. В силу существования корня нечетной степени из любого действительного числа и его единственности будет верным и равенство . Оно в свою очередь в силу тождества , где a – любое действительное число, которое следует из свойств корней и степеней, может быть переписано как A(x₀)=B(x₀) . А это означает, что x₀ является корнем уравнения A(x)=B(x) .

Так доказано, что возведение обеих частей иррационального уравнения в нечетную степень дает равносильное уравнение.

Доказанное утверждение пополняет известный нам арсенал, использующийся для решения уравнений, еще одним преобразованием уравнений – возведением обеих частей уравнения в одну и ту же натуральную степень. Возведение в одну и ту же четную степень обеих частей уравнения является преобразованием, приводящим к уравнению-следствию, а возведение в нечетную степень – равносильным преобразованием. На этом преобразовании базируется метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень.

Утверждение, касающееся возведения обеих частей уравнения в одну и ту же положительную действительную степень, доказывается аналогично с опорой на единственность степени положительного числа с действительным показателем.

Алгоритмы решения уравнений методом возведения частей в одну и ту же степень

Есть смысл записать три алгоритма решения уравнений методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень: первый – для возведения в нечетную степень, второй – для возведения в четную степень, третий – для возведения в ненатуральную положительную степень.

Алгоритм решения уравнений методом возведения обеих частей в одну и ту же нечетную степень:

1. Обе части уравнения возводятся в одну и ту же нечетную степень 2·k+1 .
2. Решается полученное уравнение. Его решение есть решение исходного уравнения.

Алгоритм решения уравнений методом возведения обеих частей в одну и ту же четную степень:

1. Обе части уравнения возводятся в одну и ту же четную степень 2·k .
2. Решается полученное уравнение.
   • Если полученное уравнение не имеет корней, то делается вывод об отсутствии корней у исходного уравнения.
   • Если полученное уравнение имеет корни, то проводится отсеивание посторонних корней любым методом, не завязанным на области допустимых значений, например, через проверку подстановкой.

Обратите внимание: этот алгоритм, в отличие от предыдущего, содержит пункт, касающийся отсеивания посторонних корней. Это связано с тем, что возведение обеих частей уравнения в одну и ту же нечетную степень приводит к равносильному уравнению, а возведение обеих частей уравнения в четную степень в общем случае приводит к уравнению-следствию. Поэтому, в результате возведения в нечетную степень посторонние корни не возникают, а при возведении в четную степень посторонние корни могут появиться. Таким образом, при возведении частей уравнения в четную степень возникает необходимость в отсеивании посторонних корней. Почему отсеивание посторонних корней в этом случае нужно проводить методом, не использующим ОДЗ? Потому что возведение обеих частей уравнения в четную степень может приводить к появлению посторонних корней в пределах ОДЗ, и отсеять их по ОДЗ или по условиям ОДЗ невозможно.

Наконец, запишем алгоритм решения уравнений методом возведения обеих частей в одну и ту же положительную дробную рациональную или иррациональную степень:

1. Убеждаемся, что выражения в левой и правой части уравнения не принимают отрицательных значений на ОДЗ для решаемого уравнения.
2. Возводим обе части уравнения в одну и ту же положительную степень.
3. Решаем полученное уравнение. Его решение дает искомое решение исходного уравнения.

Примеры решения уравнений методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень

Большое количество попадающих под разбираемую тему примеров с подробными решениями приведено в статье решение иррациональных уравнений методом возведения обеих частей в одну и ту же степень. В добавление к этим примерам стоит разобрать решение уравнения через возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень, не являющуюся натуральным числом.

Решите уравнение

Решать заданное уравнение можно несколькими разными методами. Например, можно провести решение методом логарифмирования. Также можно преобразовать уравнение к виду и перейти к уравнению на основании метода освобождения от внешней функции, или, сославшись на единственность степени с данным основанием и данным показателем. Но в рамках текущей статьи нас интересует решение уравнения методом возведения его обеих частей в одну и ту же степень, поэтому, проведем решение именно этим методом.

Учитывая свойство степени в степени (см. свойства степеней), несложно догадаться, что избавиться от иррациональных показателей позволяет возведение обеих частей уравнения в степень . Здесь мимоходом заметим, что — положительное число (при необходимости смотрите сравнение чисел), и при этом не натуральное. Мы вправе осуществить задуманное возведение частей уравнения в положительную ненатуральную степень, так как степени, находящиеся в левой и правой части исходного уравнения, на ОДЗ для исходного уравнения не принимают отрицательных значений. При этом мы получим равносильное уравнение, что было обосновано в одном из предыдущих пунктов текущей статьи.

Итак, проводим возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень . Имеем . Это уравнение равносильно исходному, значит, решив его, мы будем иметь интересующее нас решение.

Решаем полученное уравнение:

Так мы пришли к кубическому уравнению x 3 −x 2 +2=0 . Один его корень x=−1 легко подбирается. Разделив многочлен x 3 −x 2 +2 на двучлен x+1 , получаем возможность представить кубическое уравнение в виде (x+1)·(x 2 −2·x+2)=0 . Квадратное уравнение x 2 −2·x+2=0 не имеет решений, так как его дискриминант отрицательный. Из этого заключаем, что уравнение x 3 −x 2 +2=0 имеет единственный корень x=−1 .

В процессе решения мы дважды отмечали, что нам будет необходимо сделать проверку найденных корней. Сейчас пришло это время. Проверку выполним через подстановку найденного корня x=−1 в исходное уравнение , имеем

1. Иррациональные уравнения

Если в уравнении переменная содержится под знаком квадратного корня, то уравнение называют иррациональным .

Рассмотрим простейшее иррациональное уравнение 2 x + 1 = 3 .

Это равенство, по определению квадратного корня, означает, что 2 x + 1 2 = 3 2 . По факту мы преобразовали заданное иррациональное уравнение к рациональному уравнению \(2x + 1 = 9\) путём возведения в квадрат обеих частей иррационального уравнения.

Обрати внимание!

Метод возведения в квадрат обеих частей уравнения является основным методом решения иррациональных уравнений.

Очевидно, что другим способом мы не уйдём от иррациональности.

Решаем линейное уравнение \(2x + 1 = 9\), \(x = 4\). Найденное значение \(x = 4\) является корнем и линейного уравнения \(2х + 1 = 9\), и заданного иррационального уравнения.

Чисто технически, метод возведения в квадрат является простым, однако имеет недостаток.
Рассмотрим решение уравнения 4 x − 25 = 3 x − 19 .
Возведём левую и правую части уравнения в квадрат:
4 x − 25 2 = 3 x − 19 2 ; 4 x − 25 = 3 x − 19 .
Перенесём слагаемые с \(x\) в левую часть: \(4x — 3x = -19 +25\); \(x = 6\).

Число \(6\) является решением уравнения \(4x — 3x = -19 +25\), но если подставим его вместо \(x\) в уравнение 4 x − 25 = 3 x − 19 , то получим − 1 = − 1 .

Имеем и в правой, и в левой частях равенства выражения, которые не имеют смысла. Получается, что числовое равенство не выполняется.

В таких случаях считают: \(x = 6\) — посторонний корень для заданного иррационального уравнения. Получается, что заданное иррациональное уравнение решений не имеет.

Посторонний корень — знакомый для тебя термин, посторонние корни «всплывают» при проверке, мы их встречали при решении рациональных уравнений.

Обязательным этапом при решении иррациональных уравнений является проверка. Именно проверка помогает распознать существующие посторонние корни и исключить их.

Обрати внимание!

Иррациональное уравнение решаем с помощью метода возведения обеих его частей в квадрат; полученное рациональное уравнение решаем и выполняем проверку; при необходимости исключаем существующие посторонние корни.

Используя этот вывод, рассмотрим пример.
Реши уравнение 5 x − 26 = x − 4 .
Левую и правую части уравнения 5 x − 26 = x − 4 возводим в квадрат: 5 x − 26 2 = x − 4 2 .
Раскрываем скобки и переносим все члены уравнения в левую часть:

5 x − 26 = x 2 − 8x + 16 ; − x 2 + 13 x − 42 = 0 ; x 2 − 13 x + 42 = 0 ; x 1 = 6 ; x 2 = 7 .

Проверка. Заменяем \(x = 6\) в уравнении 5 x − 26 = x − 4 , приходим к равенству 4 = 2 — верно. Заменяем \(x = 7\) в уравнении 5 x − 26 = x − 4 , приходим к равенству 9 = 3 — верно. Значит, уравнение 5 x − 26 = x − 4 имеет два корня.

Ты уже имеешь небольшой опыт в решении линейных, квадратных, рациональных, иррациональных уравнений. Тебе знакомо, что при решении уравнений производят различные виды преобразований, допустим следующие: перенос из одной части уравнения в другую с противоположным знаком членов уравнения; умножение или деление обеих частей уравнения на одинаковое не равное нулю число; «избавляются» от знаменателя, заменяя уравнение p x q x = 0 уравнением \(р(x)=0\); обе части уравнения возводят в квадрат.

Равносильные преобразования уравнения
Преобразования бывают равносильными и неравносильными.

Равносильными называются уравнения, множества решений которых совпадают. Уравнения, не имеющие решений, также равносильны.

Решая уравнения, стремятся заменить исходное уравнение на более простое, равносильное ему, т. е. выполнить равносильное преобразование уравнения.

Виды равносильных преобразований уравнения:
1. Перенос слагаемых из одной части уравнения в другую с противоположными

К примеру, преобразование уравнения \(2x + 5 = 7x — 8\) к виду \(2x — 7x = — 8 — 5\) есть равносильное преобразование уравнения. Это значит, что уравнения \(2x + 5 = 7x -8\) и \(2x — 7x = -8 — 5\) являются равносильными.

2. Умножение или деление обеих частей уравнения на одинаковое не равное нулю число.

К примеру, преобразование уравнения 0,5 x 2 − 0,3 x = 2 к виду 5 x 2 − 3 x = 20 (обе части уравнения умножили почленно на \(10\)) есть равносильное преобразование уравнения.

Неравносильные преобразования уравнения
1. Освобождение от знаменателей, содержащих переменные.

Например, уравнение x 2 x − 3 = 9 x − 3 заменить уравнением x 2 = 9 не является равносильным преобразованием уравнения. Уравнение x 2 = 9 имеет два корня: \(3\) и \(- 3\) — а в заданном уравнении значение \(x = 3\) обращает знаменатель в нуль. Поэтому, \(x = 3\) является посторонним корнем.

2. Возведение обеих частей уравнения в квадрат.
Обрати внимание!

Если в процессе решения уравнения применялось одно из указанных неравносильных преобразований, тогда необходимо выполнить проверку, т. к. среди решений могут быть посторонние корни.

Как возводить в квадрат уравнение

УРАВНЕНИЯ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ.

§ 5. Возведение уравнений в степень и извлечение из них корня.

От возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень получается новое уравнение, вообще говоря, несовместное с прежним, потому что это новое уравнение удовлетворяется не только всеми корнями прежнего уравнения, но содержит еще лишние корни, принадлежащие особому уравнению, дополнительному к данному.

Так, если уравнeниe А=В возвeдем в квадрат, то получим новоe уравнeниe А 2 =В 2 , котороe можем замeнить через А 2 —В 2 =0, а послeднee разлагается на уравнeниe А—В=0, или А=:В (данное) и уравнениe А+В = 0, или А=—В (дополнитeльноe).

Если уравнeниe А=В возведeм в куб, то получим новое уравнeниe А 3 =В 3 , или
А 3 —В 3 = 0. Но послeднee, будучи написано в видe (А—В)(А 2 + АВ+ В 2 )=0, разлагается на уравнениe А—В=0, или А=В (данноe) и уравнение А 2 + АВ+ В 2 =0 (дополнительноe).

То жe замeчание относитея и к возведению в другие, высшие степени.

Возвести нижeуказанные уравнения в квадраты и опредeлить лишние, внeсенные этим дeйствием, рeшeния:

Возвести нижеуказанные уравнения в куб, опредeлить лишние рeшения и провeрить эти рeшeния подстановкой их в уравнения, получаемые от возвeдения в куб данных уравнeний:

Из вышeприведенной теоремы о возведении уравнeния в степень видно, что, при извлечении корня из обeих частей уравнeния, число рeшений этого уравнения уменьшается, и потому для восстановления общности данного уравнения нужно рссматривать нe только то уравневиe, котороe получаeтся из данного нeпосредствeнным извлeчeнием корня, но и уравнение, дополнительноe к получаемому.

Так, извлекая квадратный корень из уравнения А 2 =В 2 , нужно рассматривать не только уравнeние А=В, но и дополнительное к нему А = —В.

Извлекая кубический корeнь из уравнения А 3 =В 3 , нужно выражать рeшeниe уравнeнием А=В и eще дополнитeльным к нему уравнениeм А 2 + АВ+ В 2 = 0

То жe относится и к извлечeнию корнeй с высшими показателями.

Рeшить нижеслeдующия уравнения посрeдством извлeчeния квадратного корня:

Рeшить нижеслeдующие уравнения посредством извлечения кубического корня: