Таблица производных — шпаргалка
Вычисление производной – это очень важная операция. Формул с этой страницы достаточно для дифференцирования любой элементарной функции. В этих формулах C — вещественная константа, u и v — произвольные дифференцируемые функции вещественной переменной.
Правила нахождения производной
Посмотрите видео, если хотите всё понять. Подробно объясняются правила.
Таблица производных может использоваться как шпаргалка в разных дисциплинах, например, в алгебре, физике и даже в геометрии. Производная характеризует скорость изменения функции и определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю. Функцию, имеющую конечную производную, называют дифференцируемой. Вычисление производной называется дифференцированием, а обратный процесс — интегрированием. Смотрите также таблицу интегралов. Таблица не совсем полная, но её хватит в большинстве случаев.
Если страница помогла, сохраните её и поделитесь ссылкой с друзьями:
Как выучить таблицу производных и интегралов
У меня есть некоторые проблемы с памятью, и просто заучить я не могу. Таблицу интегралов ищу с таблицы производных. Некоторые производные интуитивно понятны, Аx` = А; sinx` = cosx. Некоторые часто применял и запомнил log(x)` = 1/x (ну это тоже интуитивно, логарифм возрастает все медленнее и медленнее но возле нуля очень быстро, чему и соответствует 1/x^a ). Знаю про метод вывода производной логарифмированием, очень крутой метод.
Но есть такие функции от которых производные никак не запоминаются, например от обратных тригонометрических функций. Подскажите как вы решили эту проблему. Может там мнемоника какая-то, или есть универсальный метод вывода?
П.С. нужно мне это на экзамен, то есть вариант «не учи, всегда пользуйся таблицей» не подходит.
Как запоминать формулы
Студентам изучающим математику приходится учить формулы наизусть. Конечно, во многих случаях можно обойтись справочником, но есть случаи когда формулы все-таки лучше выучить. В качестве примеров можно привести таблицу производных и таблицу интегралов. Эти формулы должны быть загружены в «оперативную» память студента. Только если есть цельная картина и знание этих формул, можно научить правильно и быстро находить производные и интегралы. Более того, эти формулы надо помнить долго, а не только на экзамен или зачет — многие курсы для студентов инженерных специальностей подразумевают, что вы умеете дифференцировать и интегрировать.
$$\href\left(x \right)+sin^\left(x \right)=1>$$Для того, чтобы запомнить формулы каждый придумывает свои методы. У кого-то отличная зрительная память, кто-то хорошо воспринимает все на слух, а кому-то надо записывать и тогда все легко запоминается. Хорошо известно, что если формулы у вас постоянно перед глазами, то запомните вы их подсознательно и надолго. Распечатайте себе плакат с таблицей производных и повесьте над кроватью. Во-первых, все будут постоянно вас спрашивать и вы будете в центре внимания. Особенно уважительно будут на вас смотреть девушки. Во-вторых, комендант общежития (ничего не понимающий в математике) будет обходить вас десятой дорогой. В-третьих, если придет с проверкой декан в общежитие, то у вас будет предмет для обсуждения — таблица интегралов и декан сразу поймет что вы приличный студент, а не бездельник и ругать вас за бардак в комнате скорее всего не будут. Всем понятно, что вы заняты учебой, вот и не убрали в комнате.
Еще один отличный способ для запоминания: набор формул, например, в математическом редакторе. Вы отвлекаетесь на сам процесс набора (интересно), и параллельно запоминаете эти формулы. Например, зайдите на наш форум, создайте свою тему типа: «Готовлюсь к экзамену по матану» и добавляйте туда формулы или определения, теоремы. Во-первых, так лучше запомнится. Во-вторых, вы можете вести эту тему вместе с вашими одногруппниками, обсуждать эти формулы виртуально, находясь дома. Возможно кто-то из преподов к вам присоединится тоже. В текст этой статьи мы встроили примеры таких формул — это пара тригонометрических формул. Формулы кликабельны — перейдите на страничку с примерами и правилами набора формул на нашем сайте. Еще варианты: если вы все-таки завалите экзамен или зачет и преподаватель будет ставить вам двойку, а вы начнете канючить трояк, убеждая препода дежурной фразой «А я учил», то поверьте он бы охотно вам поверил, если бы у вас были доказательства. Дайте ему ссылку на вашу тему на форуме и он поймет как много времени и внимания вы уделяете его предмету. Он будет вас уважать, а у вас будут доказательства того, что вы учили формулы по его предмету.
Таблица производных. Доказательство формул
Приведем сводную таблицу для удобства и наглядности при изучении темы.
Константа y = C
Степенная функция y = x p
( x p ) ‘ = p · x p — 1
Показательная функция y = a x
( a x ) ‘ = a x · ln a
В частности, при a = e имеем y = e x
( e x ) ‘ = e x
Логарифмическая функция
( log a x ) ‘ = 1 x · ln a
В частности, при a = e имеем y = ln x
( ln x ) ‘ = 1 x
Тригонометрические функции
( sin x ) ‘ = cos x ( cos x ) ‘ = — sin x ( t g x ) ‘ = 1 cos 2 x ( c t g x ) ‘ = — 1 sin 2 x
Обратные тригонометрические функции
( a r c sin x ) ‘ = 1 1 — x 2 ( a r c cos x ) ‘ = — 1 1 — x 2 ( a r c t g x ) ‘ = 1 1 + x 2 ( a r c c t g x ) ‘ = — 1 1 + x 2
Гиперболические функции
( s h x ) ‘ = c h x ( c h x ) ‘ = s h x ( t h x ) ‘ = 1 c h 2 x ( c t h x ) ‘ = — 1 s h 2 x
Разберем, каким образом были получены формулы указанной таблицы или, иначе говоря, докажем вывод формул производных для каждого вида функций.
Производная постоянной
Доказательство 1
Для того, чтобы вывести данную формулу, возьмем за основу определение производной функции в точке. Используем x 0 = x , где x принимает значение любого действительного числа, или, иначе говоря, x является любым числом из области определения функции f ( x ) = C . Составим запись предела отношения приращения функции к приращению аргумента при ∆ x → 0 :
lim ∆ x → 0 ∆ f ( x ) ∆ x = lim ∆ x → 0 C — C ∆ x = lim ∆ x → 0 0 ∆ x = 0
Обратите внимание, что под знак предела попадает выражение 0 ∆ x . Оно не есть неопределенность «ноль делить на ноль», поскольку в числителе записана не бесконечно малая величина, а именно нуль. Иначе говоря, приращение постоянной функции всегда есть нуль.
Итак, производная постоянной функции f ( x ) = C равна нулю на всей области определения.
Даны постоянные функции:
f 1 ( x ) = 3 , f 2 ( x ) = a , a ∈ R , f 3 ( x ) = 4 . 13 7 22 , f 4 ( x ) = 0 , f 5 ( x ) = — 8 7
Необходимо найти их производные.
Решение
Опишем заданные условия. В первой функции мы видим производную натурального числа 3 . В следующем примере необходимо брать производную от а , где а — любое действительное число. Третий пример задает нам производную иррационального числа 4 . 13 7 22 , четвертый — производную нуля (нуль – целое число). Наконец, в пятом случае имеем производную рациональной дроби — 8 7 .
Ответ: производные заданных функций есть нуль при любом действительном x (на всей области определения)
f 1 ‘ ( x ) = ( 3 ) ‘ = 0 , f 2 ‘ ( x ) = ( a ) ‘ = 0 , a ∈ R , f 3 ‘ ( x ) = 4 . 13 7 22 ‘ = 0 , f 4 ‘ ( x ) = 0 ‘ = 0 , f 5 ‘ ( x ) = — 8 7 ‘ = 0
Производная степенной функции
Переходим к степенной функции и формуле ее производной, имеющей вид: ( x p ) ‘ = p · x p — 1 , где показатель степени p является любым действительным числом.
Приведем доказательство формулы, когда показатель степени – натуральное число: p = 1 , 2 , 3 , …
Вновь опираемся на определение производной. Составим запись предела отношения приращения степенной функции к приращению аргумента:
( x p ) ‘ = lim ∆ x → 0 = ∆ ( x p ) ∆ x = lim ∆ x → 0 ( x + ∆ x ) p — x p ∆ x
Чтобы упростить выражение в числителе, используем формулу бинома Ньютона:
( x + ∆ x ) p — x p = C p 0 + x p + C p 1 · x p — 1 · ∆ x + C p 2 · x p — 2 · ( ∆ x ) 2 + . . . + + C p p — 1 · x · ( ∆ x ) p — 1 + C p p · ( ∆ x ) p — x p = = C p 1 · x p — 1 · ∆ x + C p 2 · x p — 2 · ( ∆ x ) 2 + . . . + C p p — 1 · x · ( ∆ x ) p — 1 + C p p · ( ∆ x ) p
( x p ) ‘ = lim ∆ x → 0 ∆ ( x p ) ∆ x = lim ∆ x → 0 ( x + ∆ x ) p — x p ∆ x = = lim ∆ x → 0 ( C p 1 · x p — 1 · ∆ x + C p 2 · x p — 2 · ( ∆ x ) 2 + . . . + C p p — 1 · x · ( ∆ x ) p — 1 + C p p · ( ∆ x ) p ) ∆ x = = lim ∆ x → 0 ( C p 1 · x p — 1 + C p 2 · x p — 2 · ∆ x + . . . + C p p — 1 · x · ( ∆ x ) p — 2 + C p p · ( ∆ x ) p — 1 ) = = C p 1 · x p — 1 + 0 + 0 + . . . + 0 = p ! 1 ! · ( p — 1 ) ! · x p — 1 = p · x p — 1
Так, мы доказали формулу производной степенной функции, когда показатель степени – натуральное число.
Доказательство 3
Чтобы привести доказательство для случая, когда p — любое действительное число, отличное от нуля, используем логарифмическую производную (здесь следует понимать отличие от производной логарифмической функции). Чтобы иметь более полное понимание желательно изучить производную логарифмической функции и дополнительно разобраться с производной неявно заданной функции и производной сложной функции.
Рассмотрим два случая: когда x положительны и когда x отрицательны.
Итак, x > 0 . Тогда: x p > 0 . Логарифмируем равенство y = x p по основанию e и применим свойство логарифма:
y = x p ln y = ln x p ln y = p · ln x
На данном этапе получили неявно заданную функцию. Определим ее производную:
( ln y ) ‘ = ( p · ln x ) 1 y · y ‘ = p · 1 x ⇒ y ‘ = p · y x = p · x p x = p · x p — 1
Теперь рассматриваем случай, когда x – отрицательное число.
Если показатель p есть четное число, то степенная функция определяется и при x < 0 , причем является четной: y ( x ) = - y ( ( - x ) p ) ' = - p · ( - x ) p - 1 · ( - x ) ' = = p · ( - x ) p - 1 = p · x p - 1
y ‘ ( x ) = ( — ( — x ) p ) ‘ = — ( ( — x ) p ) ‘ = — p · ( — x ) p — 1 · ( — x ) ‘ = = p · ( — x ) p — 1 = p · x p — 1
Последний переход возможен в силу того, что если p — нечетное число, то p — 1 либо четное число, либо нуль (при p = 1 ), поэтому, при отрицательных x верно равенство ( — x ) p — 1 = x p — 1 .
Итак, мы доказали формулу производной степенной функции при любом действительном p .
f 1 ( x ) = 1 x 2 3 , f 2 ( x ) = x 2 — 1 4 , f 3 ( x ) = 1 x log 7 12
Определите их производные.
Решение
Часть заданных функций преобразуем в табличный вид y = x p , опираясь на свойства степени, а затем используем формулу:
f 1 ( x ) = 1 x 2 3 = x — 2 3 ⇒ f 1 ‘ ( x ) = — 2 3 · x — 2 3 — 1 = — 2 3 · x — 5 3 f 2 ‘ ( x ) = x 2 — 1 4 = 2 — 1 4 · x 2 — 1 4 — 1 = 2 — 1 4 · x 2 — 5 4 f 3 ( x ) = 1 x log 7 12 = x — log 7 12 ⇒ f 3 ‘ ( x ) = — log 7 12 · x — log 7 12 — 1 = — log 7 12 · x — log 7 12 — log 7 7 = — log 7 12 · x — log 7 84
Производная показательной функции
Доказательство 4
Выведем формулу производной, взяв за основу определение:
( a x ) ‘ = lim ∆ x → 0 a x + ∆ x — a x ∆ x = lim ∆ x → 0 a x ( a ∆ x — 1 ) ∆ x = a x · lim ∆ x → 0 a ∆ x — 1 ∆ x = 0 0
Мы получили неопределенность. Чтобы раскрыть ее, запишем новую переменную z = a ∆ x — 1 ( z → 0 при ∆ x → 0 ). В таком случае a ∆ x = z + 1 ⇒ ∆ x = log a ( z + 1 ) = ln ( z + 1 ) ln a . Для последнего перехода использована формула перехода к новому основанию логарифма.
Осуществим подстановку в исходный предел:
( a x ) ‘ = a x · lim ∆ x → 0 a ∆ x — 1 ∆ x = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 1 z · ln ( z + 1 ) = = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 ln ( z + 1 ) 1 z = a x · ln a · 1 ln lim ∆ x → 0 ( z + 1 ) 1 z
Вспомним второй замечательный предел и тогда получим формулу производной показательной функции:
( a x ) ‘ = a x · ln a · 1 ln lim z → 0 ( z + 1 ) 1 z = a x · ln a · 1 ln e = a x · ln a
Даны показательные функции:
f 1 ( x ) = 2 3 x , f 2 ( x ) = 5 3 x , f 3 ( x ) = 1 ( e ) x
Необходимо найти их производные.
Решение
Используем формулу производной показательной функции и свойства логарифма:
f 1 ‘ ( x ) = 2 3 x ‘ = 2 3 x · ln 2 3 = 2 3 x · ( ln 2 — ln 3 ) f 2 ‘ ( x ) = 5 3 x ‘ = 5 3 x · ln 5 1 3 = 1 3 · 5 3 x · ln 5 f 3 ‘ ( x ) = 1 ( e ) x ‘ = 1 e x ‘ = 1 e x · ln 1 e = 1 e x · ln e — 1 = — 1 e x
Производная логарифмической функции
Доказательство 5
Приведем доказательство формулы производной логарифмической функции для любых x в области определения и любых допустимых значениях основания а логарифма. Опираясь на определение производной, получим:
( log a x ) ‘ = lim ∆ x → 0 log a ( x + ∆ x ) — log a x ∆ x = lim ∆ x → 0 log a x + ∆ x x ∆ x = = lim ∆ x → 0 1 ∆ x · log a 1 + ∆ x x = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x = = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x · x x = lim ∆ x → 0 1 x · log a 1 + ∆ x x x ∆ x = = 1 x · log a lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = 1 x · log a e = 1 x · ln e ln a = 1 x · ln a
Из указанной цепочки равенств видно, что преобразования строились на основе свойства логарифма. Равенство lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = e является верным в соответствии со вторым замечательным пределом.
Заданы логарифмические функции:
f 1 ( x ) = log ln 3 x , f 2 ( x ) = ln x
Необходимо вычислить их производные.
Решение
Применим выведенную формулу:
f 1 ‘ ( x ) = ( log ln 3 x ) ‘ = 1 x · ln ( ln 3 ) ; f 2 ‘ ( x ) = ( ln x ) ‘ = 1 x · ln e = 1 x
Итак, производная натурального логарифма есть единица, деленная на x .
Производные тригонометрических функций
Доказательство 6
Используем некоторые тригонометрические формулы и первый замечательный предел, чтобы вывести формулу производной тригонометрической функции.
Согласно определению производной функции синуса, получим:
( sin x ) ‘ = lim ∆ x → 0 sin ( x + ∆ x ) — sin x ∆ x
Формула разности синусов позволит нам произвести следующие действия:
( sin x ) ‘ = lim ∆ x → 0 sin ( x + ∆ x ) — sin x ∆ x = = lim ∆ x → 0 2 · sin x + ∆ x — x 2 · cos x + ∆ x + x 2 ∆ x = = lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 · cos x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2
Наконец, используем первый замечательный предел:
sin ‘ x = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = cos x
Итак, производной функции sin x будет cos x .
Совершенно также докажем формулу производной косинуса:
cos ‘ x = lim ∆ x → 0 cos ( x + ∆ x ) — cos x ∆ x = = lim ∆ x → 0 — 2 · sin x + ∆ x — x 2 · sin x + ∆ x + x 2 ∆ x = = — lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 · sin x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = — sin x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = — sin x
Т.е. производной функции cos x будет – sin x .
Формулы производных тангенса и котангенса выведем на основе правил дифференцирования:
t g ‘ x = sin x cos x ‘ = sin ‘ x · cos x — sin x · cos ‘ x cos 2 x = = cos x · cos x — sin x · ( — sin x ) cos 2 x = sin 2 x + cos 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x c t g ‘ x = cos x sin x ‘ = cos ‘ x · sin x — cos x · sin ‘ x sin 2 x = = — sin x · sin x — cos x · cos x sin 2 x = — sin 2 x + cos 2 x sin 2 x = — 1 sin 2 x
Производные обратных тригонометрических функций
Раздел о производной обратных функций дает исчерпывающую информацию о доказательстве формул производных арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса, поэтому дублировать материал здесь не будем.
Производные гиперболических функций
Доказательство 7
Вывод формул производных гиперболического синуса, косинуса, тангенса и котангенса осуществим при помощи правила дифференцирования и формулы производной показательной функции:
s h ‘ x = e x — e — x 2 ‘ = 1 2 e x ‘ — e — x ‘ = = 1 2 e x — — e — x = e x + e — x 2 = c h x c h ‘ x = e x + e — x 2 ‘ = 1 2 e x ‘ + e — x ‘ = = 1 2 e x + — e — x = e x — e — x 2 = s h x t h ‘ x = s h x c h x ‘ = s h ‘ x · c h x — s h x · c h ‘ x c h 2 x = c h 2 x — s h 2 x c h 2 x = 1 c h 2 x c t h ‘ x = c h x s h x ‘ = c h ‘ x · s h x — c h x · s h ‘ x s h 2 x = s h 2 x — c h 2 x s h 2 x = — 1 s h 2 x
Рекомендуется выучить формулы из таблицы производных: они не столь сложны для запоминания, но экономят много времени, когда необходимо решать задачи дифференцирования.