Сложение или вычитание чисел с одинаковыми основаниями или степенями.
как это происходит?
Если вопрос правильный, то:
1. числа с одинаковыми основаниями: 2⁴-2³ их можно представить в виде: 2³·2-2³=(выносим общий множитель за скобки) 2³(2-1)=2³, то же самое со сложением.
2. если основания разные, а одинаковы степени, 3⁴+2⁴, то тут нет никаких правил или формул, только прямой счет. Единственный вариант, когда выражение можно свести к первому примеру, например: 6⁴+2⁴ = 2⁴3⁴+2⁴ = 2⁴(3⁴+1). Если будет разность 3⁴-2⁴, то тут можно использовать формулу разности квадратов (3²)²-(2²)²=(3²-2²)(3²+2²), в свою очередь первый множитель можно опять разложить по формуле:
(3²-2²)(3²+2²)=(3-2)(3+2)(3²+2²).
Ну и для самых любознательный, есть еще формула для разности кубов: а³-b³=(а-b)(а²+аb+b²)
и суммы: а³+b³=(а+b)(а²-аb+b²)
Новые вопросы в Алгебра
Виконайте дії: 1) 16+ (3a + 4)(3a — 4); 2) (5m — 3)(5m + 3) — 25m²; 3) 36+ (5a + 6)(5a — 6);
Розв’яжіть графічно систему рівняньДАЮ 50 БАЛІВ.
Подайте у вигляді многочлена вираз: (3x³-5y⁴)²
Подайте у вигляді многочлена вираз: (6c⁷+10a⁹)²
знайдіть порядковий номер члена аn арифметичної прогресії, якщо: а1=-20; d=3; an=-2.
2. Деление степеней с одинаковыми основаниями
a n : a m = a n − m
(где a ≠ 0 , \(n\) и \(m\) — натуральные числа, такие, что \(n>m\)).
Обрати внимание!
Нельзя заменять разность a 15 − a 4 на a 11 .
Формула применяется как слева направо, так и справа налево.
1. 5 3 : 5 .
Решение: 5 3 : 5 = 5 3 : 5 1 = 5 3 − 1 = 5 2 = 25 .
2. 3 7 : 3 3 .
Решение: 3 7 : 3 3 = 3 7 − 3 = 3 4 = 81 .
упростить выражение.
t 27 t 14 .
Решение: t 27 t 14 = t 27 : t 14 = t 27 − 14 = t 13 .
представить в виде частного: 2 7 .
Решение.
Показатель степени \(7\) можно представить в виде разности несколькими способами, например:
2 7 = 2 9 − 2 = 2 9 : 2 2 ; 2 7 = 2 8 − 1 = 2 8 : 2 1 = 2 8 : 2 .
Урок 6. Свойства степеней с натуральным показателем. Формулы и действия со степенями
Prostobank.ua рассказывает об основном свойстве степеней, а также свойствах степеней с натуральным показателем. На уроке математики вы узнаете, как возвести степень в степень, как складывать степени при умножении чисел с одинаковыми основами, как возвести отрицательное число в степень, как сложить и вычитать, умножить и делить степени.
- Подбор кредитов:
УРОКИ МАТЕМАТИКИ ДЛЯ ВСЕХ
Степень целого положительного числа с натуральным показателем
Изучая натуральные числа, мы анализировали понятие степени натурального числа (подробнее здесь: Степень числа. Возведение в степень. Таблица степеней натуральных чисел). На этом уроке мы рассмотрим основное свойство степени, формулы и действия со степенями.
Что такое степень числа с натуральным показателем?
Степенью числа а с натуральным показателем n больше единицы называют произведение множителей, каждый из которых равен а:
Основное свойство степени
Для любого целого числа a и натуральных показателей m и n выполняется равенство, характеризующее основное свойство степеней:
Исходя из основного свойства степеней, при умножении степеней одного и того же целого числа показатели степеней нужно сложить, а основу оставить без изменений.
Объяснение: при умножении степени складываются – основу степени (число 3) оставляем без изменений, а показатели степеней суммируем: 2 + 5 = 7. Получим в произведении число 3 в седьмой степени.
Возведение степени в степень
Для любого целого числа a и натуральных показателей m и n выполняется равенство:
Правило возведения степени в степень звучит так:
Чтобы возвести степень в степень, нужно показатели степеней перемножить, а основу оставить ту же.
Пример
Объяснение: основу степени (число 2) оставляем без изменений, показатели степеней перемножаем: 3 ⋅ 4 = 12
Степень произведения чисел
Для любых целых чисел a и b и натурального показателя степеней n выполняется равенство:
Чтобы найти n-ую степень произведения чисел, нужно перемножить n-ые степени множителей.
Пример
Возведение отрицательного числа в степень
Степень целого отрицательного числа с натуральным показателем: правило возведения
Чтобы возвести в степень отрицательное число, нужно возвести в такую же степень модуль этого числа и перед результатом поставить знак плюс, если показатель степени является четным числом, или минус, если показатель степени – нечетное число
Рассмотрим примеры, когда основой степени является целое отрицательное число -2:
В первом примере мы возвели число -2 к третьей степени. Показатель степени, число 3, нечетный, поэтому перед результатом ставим знак минус.
Если поднести к четвертой степени число -2, то получим в результате положительное число (ведь показатель степени число 4 является четным).
Действия со степенями. Примеры
Выше мы рассмотрели основные свойства степеней с натуральным показателем, если основа целое положительное число или целое отрицательное число. Теперь рассмотрим конкретные примеры, где нужно выполнить действия со степенями – сложение и вычитание, умножение и деление.
Сложение и вычитание степеней с одинаковыми основаниями
Складывая или вычитая выражения со степенями, мы пользуемся теми же правилами, что и для алгебраических выражений.
То есть, если выражение содержит степени с одинаковыми основами и показателями, действия сложения и вычитания выполняют как для целых чисел.
Умножение степеней с разными основами
Правило умножения степеней звучит так:
Чтобы умножить степень с одинаковыми показателями, достаточно перемножить основания, а показатель степени оставить таким же.
Формула умножения чисел с одинаковыми степенями:
где a и b – любые целые числа, n – натуральное число
Решим несколько примеров на умножение степеней, используя формулу и правило:
Деление степеней
Правило деления степеней с одинаковыми основами звучит так:
При делении степеней с одинаковыми основаниями от показателя степени делимого вычитается показатель степени делителя, а основа остается без изменений.
Формула: как делить степени
где а – целое число, которое не равно нулю, а m – и натуральные числа
Примеры
1. Сложение и вычитание одночленов
Подобными одночленами называются такие одночлены, у которых произведения переменных равны, хотя их порядок может отличаться.
При сложении или вычитании одночленов нужно выполнить следующие действия:
1) сложить или вычесть коэффициенты одночленов;
2) переменные множители не менять.
| 2 x 3 + 3 x 3 = 5 x 3 |  |
| 4 a b 2 − a b 2 = 3 a b 2 |  |
При сложении или вычитании одночленов нужно помнить, что:
— коэффициенты одночленов обычно складываются и вычитаются в уме, и записывается упрощённая сумма;
— нельзя складывать или вычитать одночлены, у которых различаются произведения переменных;
— сумма противоположных одночленов всегда равна \(0\).
Раскрываются скобки и меняются знаки (т. к. перед скобками стоит минус, и − − = + ):
− 2 p 3 k − ( − 0,6 p 3 k ) − 0,2 p 3 k = − 2 p 3 k + 0,6 p 3 k − 0,2 p 3 k = = 0,6 p 3 k − 0,2 p 3 k − 2 p 3 k = 0,6 p 3 k − 2,2 p 3 k = − 1,6 p 3 k ;
3 uv − 2 u v 2 = 3 uv − 2 u v 2 .
Эти одночлены нельзя вычесть, т. к. произведения переменных различаются.
1 2 b 3 c − 1 2 b 3 c = 0 .
Сумма противоположных одночленов всегда равна \(0\).