Порядок выполнения действий, правила, примеры
Когда мы работаем с различными математическими выражениями, включающими в себя цифры, буквы и переменные, нам приходится выполнять большое количество арифметических действий: деление и умножение, сложение и вычитание степеней и др. Когда нужно сделать расчет и преобразование или вычитание значение, очень важно соблюдать правильную очередность или расстановку этих действий. Другими словами, действия в арифметике имеют свой особый порядок выполнения. Порядок действий в математике и для любого математика крайне важен.
В этой не слишком длинной и сложной статье мы расскажем, какие действия должны делаться математически в первую очередь, а какие после (к примеру, сначала идет деление или умножение). Для начала разберем несколько простых выражений, в которых есть только переменные или числовые значения или символы, а также знаки деления, умножения, вычитания и сложения (к примеру, пять плюс ноль равно пять). Потом возьмем примеры со скобками и рассмотрим, в каком порядке следует решать эти примеры по действиям. В третьей части мы приведем нужный порядок преобразований и вычислений в тех примерах по действиям, которые включают в себя знаки корней, степеней и других функций.
Порядок вычисления простых выражений
Решение примеров по действиям в выражениях со скобками
Скобки сами по себе являются знаком, который сообщает нам нужный порядок выполнения действий. В таком случае нужное правило можно записать так:
Если в выражении есть скобки, то первым делом выполняется действие в них, после чего мы умножаем и делим, а затем складываем и вычитаем по направлению слева направо.
Что касается самого выражения в скобках, его можно рассматривать в качестве составной части основного выражения. При подсчете значения выражения в скобках мы сохраняем все тот же известный нам порядок действий. Проиллюстрируем нашу мысль примером.
Пример или образец задачи 4
Условие: вычислите, сколько будет равно 5 + ( 7 − 2 · 3 ) · ( 6 − 4 ) : 2 .
Решение
В данном выражении есть скобки, поэтому начнем с них. Первым делом вычислим, сколько будет 7 − 2 · 3 . Здесь нам надо умножить 2 на 3 и вычесть результат из 7 :
7 − 2 · 3 = 7 − 6 = 1
Считаем результат во вторых скобках. Там у нас всего одно действие: 6 − 4 = 2 .
Теперь нам нужно подставить получившиеся значения в первоначальное выражение:
5 + ( 7 − 2 · 3 ) · ( 6 − 4 ) : 2 = 5 + 1 · 2 : 2
Начнем с умножения и деления, потом выполним вычитание и получим:
5 + 1 · 2 : 2 = 5 + 2 : 2 = 5 + 1 = 6
На этом вычисления можно закончить.
Ответ: 5 + ( 7 − 2 · 3 ) · ( 6 − 4 ) : 2 = 6 .
Не пугайтесь, если в условии у нас содержится выражение, в котором одни скобки заключают в себе другие. Нам надо только применять правило выше последовательно по отношению ко всем выражениям в скобках. Возьмем такое задание.
Условие: вычислите, сколько будет 4 + ( 3 + 1 + 4 · ( 2 + 3 ) ) .
Решение
У нас есть скобки в скобках. Начинаем с 3 + 1 + 4 · ( 2 + 3 ) , а именно с 2 + 3 . Это будет 5 . Значение надо будет подставить в выражение и подсчитать, что 3 + 1 + 4 · 5 . Мы помним, что сначала надо умножать, а потом слагать: 3 + 1 + 4 · 5 = 3 + 1 + 20 = 24 . Подставив найденные значения в исходное выражение, вычислим ответ: 4 + 24 = 28 .
Ответ: 4 + ( 3 + 1 + 4 · ( 2 + 3 ) ) = 28 .
Иначе говоря, при вычислении значения выражения, включающего скобки в скобках, мы начинаем с внутренних скобок и продвигаемся к внешним.
Допустим, нам надо найти, сколько будет ( 4 + ( 4 + ( 4 − 6 : 2 ) ) − 1 ) − 1 . Начинаем с выражения во внутренних скобках. Поскольку 4 − 6 : 2 = 4 − 3 = 1 , исходное выражение можно записать как ( 4 + ( 4 + 1 ) − 1 ) − 1 . Снова обращаемся к внутренним скобкам: 4 + 1 = 5 . Мы пришли к выражению ( 4 + 5 − 1 ) − 1 . Считаем 4 + 5 − 1 = 8 и в итоге получаем разность 8 — 1 , результатом которой будет 7 .
Порядок вычисления в выражениях со степенями, корнями, логарифмами и иными функциями
Если у нас в условии стоит выражение со степенью, корнем, логарифмом или тригонометрической функцией (синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом) или иными функциями, то первым делом мы вычисляем значение функции. После этого мы действуем по правилам, указанным в предыдущих пунктах. Иначе говоря, функции по степени важности приравниваются к выражению, заключенному в скобки.
Разберем пример такого вычисления.
Условие: найдите, сколько будет ( 3 + 1 ) · 2 + 6 2 : 3 − 7 .
Решение
У нас есть выражение со степенью, значение которого надо найти в первую очередь. Считаем: 6 2 = 36 . Теперь подставим результат в выражение, после чего оно примет вид ( 3 + 1 ) · 2 + 36 : 3 − 7 .
Дальше действуем по знакомому алгоритму: считаем, сколько у нас получится в скобках, потом в оставшемся выражении выполняем умножение и деление, а следом – сложение и вычитание (слагаемое и вычитаемое).
( 3 + 1 ) · 2 + 36 : 3 − 7 = 4 · 2 + 36 : 3 − 7 = 8 + 12 − 7 = 13
Ответ: ( 3 + 1 ) · 2 + 6 2 : 3 − 7 = 13 .
В отдельной статье, посвященной вычислению значений выражений, мы приводим и другие, более сложные примеры подсчетов в случае выражений с корнями, степенью и др. Рекомендуем вам с ней ознакомиться.
Проверка сложения вычитанием
план-конспект урока по математике (2 класс) по теме
3. Повторить приемы сложения и вычитания чисел в пределах 100.
4. Закрепить умение решать устные и письменные задачи в пределах 100, используя краткую запись.
5. Развивать навыки счета, математическую смекалку.
6. Способствовать дальнейшему развитию памяти, внимания, мышления.
7. Развивать интерес к предмету, математическую речь.
8. Воспитывать умение работать в коллективе и самостоятельно.
Оборудование: девиз урока, опорные слова: слагаемое, сумма, проверка, наборное полотно с кружочками, карта этапов урока (выполнена на ватмане), сигнальные карточки (светофорчик для контроля ответа, карточки с восклицательным/вопросительным знаком для проверки усвоения материала, карточки эмоций), карточки с математическими заданиями (примеры и задачи), бурундучки, цветочки.
I. Организационный момент.
– Здравствуйте, дети! Садитесь.
Проверим готовность к уроку. Хозяин на уроке – учебник, его помощники: тетрадь, ручка, карандаш, сигнальные карточки, конверт с материалами. У всех всё есть?
Предлагаю сегодняшний урок математики провести под девизом “В математику тропинки одолеем без запинки”.
А поможет нам в этом Карта (учитель прикрепляет карту на доску).
Сначала мы вместе восхитимся глубокими знаниями, проведя устный счет на горе Секретов, затем попробуем ответить на вопрос “Как выполнить Проверку Сложения”, попав на гору Объяснений и, через перевал, на гору Рассуждений. Отдохнув, вытащим из тайников памяти ценное – как решить любой пример в пределах 100. Для этого нам придется преодолеть гору Считай-ка. Отдохнем и снова в путь – потренируем мозги решением задач на горе Задачкино.
И на вершине наших горных цепей, в Проверялкино, задумаемся, подведем итог сделанному.
– Начнем урок с устного счета.
На доске зашифровано слово. Расшифруйте его.
Для этого вставьте буквы в соответствии с ответами в таблице.
Проверка деления с остатком
Прозвенел уже звонок,
Он позвал всех на урок.
Мы за парту дружно сели
И на доску посмотрели.
Сегодня мы вспомним правила деления с остатком, будем учиться выполнять проверку деления с остатком.
А поможет нам в этом наш знакомый Размышлялкин. Сегодня он не один, а со своей подружкой — Любознайкой.
Этап подготовки учащихся к активному сознательному усвоению знаний
Устный счёт
Любая в математике работа,
Не обходится без устного счёта.
Задание 1
Делить – это здорово,
Делить – это классно!
Хотя очень часто,
С остатком ответ.
Все можно вычислить
Быстро и четко,
Когда в таблице умножения
Помнишь каждый ответ!
Ребята, запишите данный ряд чисел в 2 столбика так, чтобы в первом столбике были числа, которые делятся на 5 с остатком, а во втором столбике делятся на 5 без остатка.
21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 33
В первый столбик записали числа
Во второй столбик
записали числа
Задание 2 от весёлой Любознайки
Если пример делится с остатком, вы поднимаете красную сигнальную карту, если делится без остатка — зеленую.
19 : 8…. делится с остатком (красная)
15 : 4.…. делится с остатком (красная)
18 : 2….. делится без остатка (зелёная)
20 : 5….. делится без остатка (зелёная)
12 : 5….. делится с остатком (красная)
16 : 5….. делится с остатком (красная)
Задание 3 от Размышлялкина
Решите задачу.
В конструкторе Лего 78 деталей. Чтобы построить паровоз, ему понадобилось 29 деталей. Из остальных деталей Размышлялкин сделал вагоны. Сколько деталей пошло на каждый вагон, если Размышлялкин сделал 7 вагонов?
1) 78 — 29 = 49 деталей пошло на 7 вагонов
2) 49 : 7 = 7 деталей пошло на каждый вагон.
Вычислите.
75 : 5
90 : 6
28 : 2
49 : 7
75 : 5 = 13
90 : 6 = 15
28 : 2 = 14
49 : 7 =7
Этап усвоения новых знаний
Чтоб ошибки при делении избежать,
Надо обязательно всё проверять.
Пусть частное будет с остатком — не беда.
Проверить вычисление можно всегда.
Как же проверить деление с остатком?
1. Сравниваем делитель и остаток. Остаток должен быть меньше, чем делитель.
2. Делитель умножаем на частное.
3. К полученному результату прибавляем остаток.
4. Делаем вывод: если получили делимое – пример решён правильно.
Выполним деление с остатком и проверим его.
Рассуждайте так:
47 не делится на 6 без остатка.
Вспомним, какое самое большое число до 47 делится на 6 без остатка.
Это 42.
Найдём частное:
42 : 6 = 7.
Найдём остаток:
47 — 42 = 5
47 : 6 = 7 (ост. 5)
Выполним проверку.
1. Сравниваем делитель и остаток. Остаток должен быть меньше, чем делитель.
5
Остались вопросы по теме? Наши педагоги готовы помочь!
- Подготовим к ЕГЭ, ОГЭ и другим экзаменам
- Найдём слабые места по предмету и разберём ошибки
- Повысим успеваемость по школьным предметам
- Поможем подготовиться к поступлению в любой ВУЗ
Урок путешествие » Сложение и вычитание в пределах 100″
методическая разработка по математике по теме
1.Повторить приемы сложения и вычитания чисел в пределах 100.
Закрепить умение решать устные и письменные задачи в пределах 100, используя краткую запись.
2. Развивать математическую смекалку, математическую речь.
3. Прививать интерес к предмету. Воспитывать умение работать в коллективе и самостоятельно.
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 urok-__puteshestvie__po_teme_slozhenie_i_vychitanie_v_predelah_100.doc |
136.5 КБ |
Предварительный просмотр:
Урок- путешествие по теме
«Проверка сложения вычитанием в пределах 100».
1. Ознакомить с проверкой сложения вычитанием.
Пронаблюдать связь между компонентами сложения.
Повторить приемы сложения и вычитания чисел в пределах 100.
Закрепить умение решать устные и письменные задачи в пределах 100, используя краткую запись.
2. Развивать математическую смекалку, математическую речь.
3. Прививать интерес к предмету. Воспитывать умение работать в коллективе и самостоятельно.
Оборудование: девиз урока, опорные слова: слагаемое, сумма, проверка, наборное полотно с кружочками, карта этапов урока (выполнена на ватмане), сигнальные карточки (светофорчик для контроля ответа, карточки с восклицательным/вопросительным знаком для проверки усвоения материала, карточки эмоций), карточки с математическими заданиями (примеры и задачи), муравьишки, цветочки.
I. Организационный момент.
– Здравствуйте, ребята!
Проверим готовность к уроку.
Хозяин на уроке – учебник, его помощники: тетрадь, ручка, карандаш, сигнальные карточки, конверт с материалами. У всех всё есть?
Предлагаю сегодняшний урок математики провести под девизом: “В математику тропинки одолеем без запинки”.
А поможет нам в этом Карта (учитель прикрепляет карту на доску) .
Сначала мы вместе восхитимся глубокими знаниями, проведя устный счет на горе Секретов , затем попробуем ответить на вопрос “Как выполнить Проверку Сложения”, попав на гору Объяснений и, через перевал, на гору Рассуждений . Отдохнув, вытащим из тайников памяти ценное – как решить любой пример в пределах 100. Для этого нам придется преодолеть гору Считай-ка . Отдохнем и снова в путь – потренируем мозги решением задач на горе Задачкино .
И на вершине наших горных цепей, в Проверялкино , задумаемся, подведем итог сделанному.
II. Устный счет. Эпиграф : « В хорошем настроении принимайся за работу!».
– Начнем урок с устного счета.
На доске зашифровано слово. Расшифруйте его.
Для этого вставьте буквы в соответствии с ответами в таблице.
– Один ученик пусть выходит к доске вставлять буквы в таблицу ответов. Остальные дети считают, называют ответ.
При ответе одного из учеников поднимайте карточку с улыбающимся лицом , если ответ правильный, и карточку с грустным лицом, если ответ неправильный.
– Какое слово получилось? (Успех)
Я желаю вам успеха на уроке!
Вы разгадали секрет первой горы. Прикрепляю флажок.
III. Постановка темы урока.
А) Найди сходство и различие выражений:
Сходство: ____ (В записи использованы одинаковые цифры; одно и то же действие; одинаковый результат.)
Различие: ____ (Первое слагаемое в первом выра жение 15, а во втором — 12; прибавляем разные числа: в первом примере 2, а во втором — 5).
– Что общего в этих примерах? (Эти примеры на сложение)
– Произведем сложение следующих чисел с помощью кружочков.
Один ученик пойдет работать к доске, на наборном полотне.
Остальные дети будут помогать анализировать.
– Возьми и поставь на наборное полотно 5 желтых кружочков. Придвинь к ним 6 розовых .Сколько всего кружочков? (11)
– Как узнали? 5 + 6 = 11 (Запись на доске) .
Как называется в этом числовом выражении число 5? (cлагаемое) , число 6? (cлагаемое) , число 11? (cумма) .
– Отодвинь в сторону 6 розовых кружочков.Сколько кружочков осталось? (5)
– Как узнали? 11 – 6 = 5 (Запись на доске).
Сравните этот пример с первым. Как получили 5, первое слагаемое? (Из суммы вычли второе слагаемое) .
– Придвинь 6 розовых кружочков к желтым.
Сколько будет, если теперь из общего примера на сложение мы отодвинем 5 желтых кружочков? (Останется 6 розовых кружочков).
– Как узнали? 11 – 5 = 6 (Запись на доске).
– Как получили 6, второе слагаемое? (Из суммы вычли первое слагаемое)
– Как вы считаете, для чего мы работали с кружочками? (Чтобы повторить компоненты сложения).
– Назовите их еще раз.
Дети называют, а учитель вывешивает на доске опорные слова:
Слагаемое + Слагаемое = Сумма
– К какому математическому выводу вы пришли, действуя с кружочками? (Если из суммы вычесть одно из слагаемых, то получится другое слагаемое).
Учитель вывешивает на доске опорные слова:
Сумма – Слагаемое = Слагаемое
– Используя полученные опоры, кто пойдет к доске выполнять следующее задание?
Индивидуальная работа у доски. Один ученик выходит к доске.
– Найдите сумму чисел 46 и 4. Сколько получится? (50)
– Чтобы убедиться, что результат правильный, выполняют проверку. Для этого из полученной суммы надо…кто догадался? … вычесть одно из слагаемых. Если результат правильный, то получится. (Другое слагаемое) .
46 + 4 = 50. Проверка: 50 – 4 = 46 (запись на доске и в тетрадях) .
– Откройте учебник на с.45 № 7 и прочитайте правило, к которому вы пришли.
Итак, сегодня на уроке ваша главнейшая цель – научиться делать проверку в примерах на сложение.
– Посмотрите на доску. В каком месте мне прикрепить слово Проверка ? (Между 1-м и 2-м шагом).
Я считаю, что гора Объяснений покорена. Прикрепляю флажок.
IV. Первичное закрепление нового материала. Самостоятельная работа.
Эпиграф : « Если есть труд — значит будет и успех !».
– Применим новое правило о проверке сложения при выполнении задания №12с. 46
1 группа- 1,2 столбик, 2 группа- 3,4 столбик.
. Запись на доске и в тетрадях с проговариванием правила.
– Тот, кто хорошо понял, как выполнять проверку сложения, поднимите карточку с !.
У кого есть сомнения, поднимите карточку с ?.
– Я вижу, что на горе Рассуждений нам тоже задерживаться больше не стоит. Прикрепляю флажок.
А теперь, ребята, встать,
Руки медленно поднять.
Пальцы сжать, потом разжать.
Руки вниз и так стоять.
Наклонитесь вправо, влево
И беритесь вновь за дело.
VI. Работа над пройденным материалом.
– У вас в гостях муравьишки. Они пришли показать вам замечательные цветочки. Но муравьишки и цветочки с секретом. Решите их примеры, и они расскажут всем своим знакомым, какие умные и внимательные дети во 4-ом классе.
17 – 8
40 – 7
80 – 23
99 – 6
20 + 74
62 + 8
66 + 5
95 – 9
– Некоторые дети будут решать примеры на карточках.
45 + 3 =
54 – 3 =
75 + 5 =
32 + 3 =
90 – 7 =
20 – 16 =
37 + 8 =
63 – 6 =
40 + 23 =