4.3 Принадлежность точки плоскости, принадлежность прямой плоскости
1. Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит любой прямой, лежащей в этой плоскости (рис. 78, 79, 80). 2. Прямая принадлежит плоскости, если она принадлежит хотя бы двум точкам плоскости (рис. 81, 82, 83). 3. Прямая принадлежит плоскости, если следы прямой лежат на одноименных следах плоскости (рис. 84). Рисунок 78 – Эпюр, принадлежность точки плоскости 59
Задача: плоскость задана двумя параллельными прямыми MN . M N . Известно: 
; дана фронтальная проекция точки K (рис. 78, а ) . Достроить недостающую проекцию 
. Решение. Через профильную проекцию 
(рис. 78, б ) проводим произвольно прямую и на прямой MN ставим точки 1’ и 2’ . Проводим линии связи и находим горизонтальные проекции точек 1 и 2 . Таким образом, проведена прямая, принадлежащая заданной плоскости. На основании взаимного положения прямой и точки, заданную фронтальную проекцию 
опускаем по линии связи на горизонтальную проекцию прямой 12 . Пример: задана плоскость ABC, известна горизонтальная проекция точки K (рис.79, а ). Требуется достроить фронтальную проекцию точки K. Решаем по аналогии первой задачи, когда задана горизонтальная проекция 
(рис. 79, б ). Рисунок 79 – Эпюр, принадлежность точки плоскости Пример: задана плоскость P следами, известна фронтальная проекция точки K. Точка K принадлежит плоскости P (рис. 80, а ). Во фронтальной плоскости через точку 
произвольно проводим фронтальную проекцию прямой (рис. 80, б ). Находим фронтальный след проведенной прямой. Для этого фронтальную проекцию прямой ведем до пересечения с фронтальным следом плоскости P V и на пересечении проекций ставим() V v / , а горизонтальная проекция фронтального следа всегда лежит на оси x и ставим () v . Пересечение фронтальной проекции прямой с осью x дает нам фронтальную проекцию горизонтального следа прямой 
, далее по линии связи находим горизонтальный
след прямой 
. Соединив горизонтальную проекцию горизонтального следа 
с горизонтальной проекцией фронтального следа ( ) v , получим горизонтальную проекцию прямой. Согласно правилу, находим недостающую горизонтальную проекцию 
. Рисунок 80 – Эпюр, принадлежность точки плоскости
4.4 Главные линии плоскости
4.4.1 Прямые уровня плоскости – это прямые лежащие в плоскости и параллельные плоскости проекций: горизонтальная прямая плоскости; фронтальная прямая плоскости; профильная прямая плоскости. Профильную прямую плоскости мы не рассматриваем. 1. Горизонтальная прямая плоскости (горизонталь плоскости) Горизонталью плоскости называют прямую, лежащую в заданной плоскости и
| параллельную горизонтальной плоскости проекций H (рис. 81, 82). | ||||
| ; | ; | ; | ; | . |
Рисунок 81 – Проецирующий аппарат и эпюр горизонтальной прямой плоскости Рисунок 82 – Эпюр горизонтальной прямой плоскости Фронтальная проекция h горизонтали плоскости всегда параллельна оси x . Горизонтальная проекция h горизонтали параллельна горизонтальному следу плоскости 
. На рисунке 82, а показана плоскость, заданная следами.
На рисунке 82, б показана плоскость, заданная двумя параллельными прямыми A и B .
2. Фронтальная прямая плоскости (фронталь плоскости) Фронталью плоскости называют прямую, лежащую в заданной плоскости и
| параллельную фронтальной плоскости проекций V (рис. 83). | ||||
| ; | ; | ; | ; | . |
Рисунок 83 – Проецирующий аппарат и эпюр фронтальной прямой плоскости Горизонтальная проекция фронтали плоскости всегда параллельна оси x , а фронтальная проекция фронтали параллельна фронтальному следу плоскости 
. Задача: через точку A провести фронталь плоскости (рис. 84).
| Решение. | Для | построения | ||
| фронтальной | проекции | фронтали | ||
| ставим | на | пересечении с | ||
| отрезком , | , по линии связи | |||
| находим | фронтальную | проекцию | ||
| . | Для | построения | ||
| фронтальной | проекции | фронтали | ||
соединяем одноименные проекции
| точек в | плоскости , | – |
| получаем | фронтальную | проекцию |
| фронтали плоскости. | ||
Рисунок 84 – Эпюр, фронталь плоскости
4.4.2 Линии наибольшего наклона плоскости к плоскостям проекций Линии наибольшего наклона плоскости к плоскостям проекций называют прямую линию, лежащую в плоскости, и составляющую с плоскостью проекций угол наклона, который определяет угол наклона всей плоскости к плоскости проекций. Линии наибольшего наклона плоскости к горизонтальной плоскости проекций. Линии наибольшего наклона плоскости к фронтальной плоскости проек- ций. Линии наибольшего наклона плоскости к профильной плоскости проек- ций. I. Линии наибольшего наклона плоскости к горизонтальной плоскости проекций (линии ската) Линия наклона (ската) плоскости к горизонтальной плоскости проекций всегда перпендикулярна горизонтальному следу плоскости или горизонталям плоскости (рис. 85, 86). Рисунок 85 – Проецирующий аппарат, линия наклона к горизонтальной плоскости проекций
Определить угол наклона плоскости P (общего положения) к горизонтальной плоскости проекций H . Возьмем произвольно 
на фронтальном следе плоскости 
. От точки проведем линию ската перпендикулярно горизонтальному следу плоскости 
или горизонтали плоскости » H «. 
т. к. принадлежит следам плоскости P . Если точка принадлежит какой-либо плоскости проекций ( V, H ), то одна из проекций точки совпадет с самой точкой, а другая проекция точки будет лежать на оси x . Пусть точка 
, а точка 
Находим проекции точек A и K на плоскостях проекций (рис. 86). Соединив одноименные проекции точек проекций 
и 
, получаем две проекции линии ската. Используя метод прямоугольного треугольника, рассмотренный в теме 3, определяем углы наибольшего наклона к плоскостям проекций, а также натуральную величину отрезка ( AK ). 
– угол наклона плоскости P к горизонтальной плоскости проекций H . Рисунок 86 – Эпюр, линия наклона к горизонтальной плоскости проекций В пространстве рассмотрим прямоугольный треугольник 
(рис. 87), являющийся горизонтально проецирующей плоскостью 
| V | A а / |
| P |
| k | | а | Н.В. |
| x P X | ||
| K k | A 1 | |
| P H | ||
| H | y | |
| угол наклона плоскости | ||
| угол наклона плоскости | ||
| на чертеже | ||
| в пространстве |
Рисунок 87 – Проецирующий аппарат, определение натуральной величины линии наклона к горизонтальной плоскости проекций
Поворачиваем 
вокруг катета 
до совмещения с горизонтальной плоскостью проекций 
. Гипотенуза 
дает натуральную величину в новом положении и является отрезком линией наибольшего ската, а угол между построенной натуральной величиной (линией ската) и ее горизонтальной проекцией, является углом наклона плоскости P к плоскости проекций H . Определить угол наклона плоскости 
к горизонтальной плоскости проекций (рис. 88, а ).
Для удобства через 
проводим горизонталь плоскости (рис. 88, а ). Мы знаем, что горизонталь плоскости всегда параллельна горизонтальной плоскости проекций и поэтому 
– фронтальная проекция горизонтали плоскости пройдет всегда параллельно оси x . Рисунок 88 – Эпюр, построение линии ската, определение натуральной величины отрезка прямой Определяем горизонтальную проекцию горизонтали плоскости –
. Используем правило: прямая принадлежит плоскости, если у прямой и плоскости есть две общие точки . В нашем примере горизонталь (прямая) принадлежит точкам А и 1 в
пространстве на эпюре h ‘ a ‘1’ . Найдем проекции точек А и 1 , опустив линии связи от фронтальных проекций точек (правила построения эпюра точки и взаимного положения прямой и точки, рис 88, а ). Исходя из правила (линия ската (наклона) плоскости к горизонтальной плоскости проекций всегда перпендикулярна горизонтали плоскости) восстанавливаем перпендикуляр к горизонтальной проекции горизонтали, рис. 88, б . Для удобства возьмем горизонтальную проекцию 
и восстановим перпендикуляр к горизонтальной проекции горизонтали, согласно правилу. Затем находим фронтальную проекцию отрезка B2 , который является линией наибольшего ската. Согласно найденным двум проекциям линии наибольшего ската плоскости B2 , находим ее натуральную величину и угол наклона к горизонтальной плоскости проекций – методом прямоугольного треугольника. II. Линии наибольшего наклона плоскости к фронтальной плоскости проекций Линия наклона плоскости к фронтальной плоскости проекций всегда перпендикулярна фронтальному следу плоскости или к фронталям плоскости (рис. 89). Рисунок 89 – Проецирующий аппарат, линия наклона к фронтальной плоскости проекций V 
– угол наклона плоскости P к фронтальной плоскости проекций V .
Аналогично рис. 87 определяем угол наклона плоскости P к плоскости V . В связи с тем, что плоскость, заданная треугольником Vh’H (рис. 90) поворачивается вокруг оси Vh’ до совмещения с фронтальной плоскостью проекций V , то гипотенуза V’H 1 проецируется в натуральную величину и является отрезком линией наибольшего наклона, а угол между построенной натуральной величиной и ее фронтальной проекцией является углом наибольшего наклона плоскости P к фронтальной плоскости проекций V . Рисунок 90 – Проецирующий аппарат, линия наклона к фронтальной плоскости проекций V (вращение плоскости Q до совмещения с плоскость V ) Рисунок 91 – Эпюр, линия наклона к горизонтальной плоскости проекций
Принадлежность точки плоскости
Принадлежность точки плоскости на комплексном чертеже определяется согласно аксиоме инцидентности или отношения принадлежности между элементами евклидова пространства, которая гласит: — если точка E принадлежит прямой k, а прямая k принадлежит плоскости α, то точка E принадлежит плоскости α: E ∈ k ∧ k ∈ α ⇒ E ∈ α.
Задача на принадлежность точки плоскости может быть выражена следующим образом: — заключить точку E(E`, E») в; — провести через точку E(E`, E») плоскость α общего положения
Принадлежность точки плоскости
Положение плоскости α в пространстве определяется тремя точками — вершинами ΔABC. Здесь принадлежность точки плоскости α общего положения определяется ее принадлежностью прямой k, которая принадлежит плоскости α, потому что две ее точки A и D принадлежат этой плоскости. Проведя прямую в плоскости через точку E
Принадлежность точки плоскости
доказываем тем самым ее принадлежность заданной плоскости. Заключить точку M в плоскость α заданную параллельными прямыми a и b
Принадлежность точки плоскости
Здесь принадлежность точки плоскости α общего положения определяется ее принадлежностью прямой k, которая принадлежит плоскости α, потому что две ее точки 1 и 2 принадлежат этой плоскости. Построение искомой плоскости α: — проводим прямую через точку M; — через точки 1 и 2 взятые на прямой k проводим взаимно параллельные прямые a и b соответственно.
Через точку M провести плоскость α заданную следами
Принадлежность точки плоскости
Здесь принадлежность точки плоскости α общего положения определяется ее принадлежностью прямой h, которая, в то же время, принадлежит плоскости α и является ее горизонталью. Построение искомой плоскости α: — проводим прямую h (горизонталь искомой плоскости) через точку K; — проводим горизонтальный след αH // h` ⇒ αx; — через точки αx и hV проводим фронтальный след αV.
Принадлежность прямой плоскости
Принадлежность прямой плоскости на комплексном чертеже определяется согласно аксиомам инцидентности или отношения принадлежности между элементами евклидова пространства, которые гласят: — если точка A принадлежит прямой k, а прямая k принадлежит плоскости α, то точка A принадлежит плоскости α; — если две точки A и B, принадлежащие прямой k, принадлежат плоскости α, то и прямая k принадлежит плоскости α.
Задача на принадлежность прямой плоскости может быть выражена следующим образом: — заключить прямую k(k`, k») в; — провести через прямую k(k`, k») плоскость α общего положения
Принадлежность прямой плоскости
Положение плоскости α в пространстве определяется тремя точками: — точка A ∉ k; — точки 1 и 2 ∈ k Здесь принадлежность прямой плоскости α общего положения определяется двумя точками — 1 и 2 взятыми на прямой k. Проведя прямые через точки 1 и A и 2 и A получим искомую плоскость , заданную пересекающимися прямыми a и b соответственно.
Принадлежность прямой плоскости
Положение плоскости α в пространстве определяется двумя параллельными прямыми: — a // b и точки 1 ∈ a и 2 ∈ b — точки 1 и 2 ∈ k Здесь принадлежность прямой плоскости α общего положения определяется двумя точками — 1 и 2 взятыми на прямой k. Проведя прямые a // b через точки 1 и 2 соответственно получим искомую плоскость , заданную прямыми a // b.
Провести через прямую k(k`, k») плоскость α общего положения, заданную следами
Принадлежность прямой плоскости
Положение плоскости α в пространстве определяется двумя параллельными прямыми — горизонталями плоскости: — h1 // h2 и точки 1 ∈ h1 и 2 ∈ h2 — точки 1 и 2 ∈ k Здесь принадлежность прямой плоскости α общего положения определяется двумя точками — 1 и 2 взятыми на прямой k. Проведя прямые h1 // h2 через точки 1 и 2 соответственно, получим искомую плоскость α, заданную следами αH и αV.
Признак принадлежности точки и прямой плоскости
Признак принадлежности точки прямой был рассмотрен выше (свойство 1 евклидова пространства). Невозможно выбрать точку в плоскости, принадлежащую данной плоскости, произвольно, не связывая ее с другими элементами плоскости. Точку в плоскости выбирают, исходя из условия, что она находится на прямой линии этой плоскости. Так как все точки прямой, принадлежащей плоскости, принадлежат этой же плоскости, то решение задачи о принадлежности точки плоскости сводится к определению принадлежности прямой плоскости. Иными словами, признак принадлежности точки плоскости можно сформулировать следующим образом: точка принадлежит плоскости, если она принадлежит прямой, принадлежащей плоскости. Или: точка принадлежит плоскости, если ее проекции принадлежат проекциям прямой, принадлежащей проекциям плоскости. На рис. 6.15, а показан комплексный чертеж, из которого видно, что точка А принадлежит прямой а, а точка В — прямой b на основе принадлежности соответствующих проекций:
Поскольку для определения положения прямой достаточно знать положение двух точек, принадлежащих прямой, то признак принадлежности прямой плоскости можно сформулировать так: если две точки прямой принадлежат плоскости, то и прямая принадлежит плоскости (рис. 6.15, б). Значит, если проекции двух точек прямой принадлежат проекциям точек плоскости, то прямая принадлежит плоскости.
Для прямых с и d на рис. 6.15, б
Задание: построить проекции прямой а, принадлежащей ААВС (рис. 6.16).
Решение. На любой из проекций проводим прямую а. В данном случае на горизонтальной проекции (рис. 6.17). По линиям связи определяем положение фронтальных проекций точек: 1 на стороне треугольника А С и 2 — ВС.
Так как на профильной проекции треугольник спроецировался в виде отрезка прямой линии (профильно проецирующаяся плоскость), то проекции любой линии, принадлежащей плоскости, будут лежать на этой прямой.
Здесь же и будет располагаться третья проекция прямой линии. Поэтому отпадает необходимость нахождения профильных проекций точек 1 и 2.