Как найти координаты центр окружности??
Инструкция
1
Аналитически окружность задается уравнением вида (x-x0)²+(y-y0)²=R², где x0 и y0 − координаты центра окружности, R − ее радиус. Итак, центр окружности (x0;y0) здесь задан в явном виде.
2
Пример. Установите центр фигуры, заданной в декартовой системе координат уравнением (x-2)²+(y-5)²=25.
Решение. Данное уравнение является уравнением окружности. Ее центр имеет координаты (2;5). Радиус такой окружности равен 5.
3
Уравнение x²+y²=R² соответствует окружности с центром в начале координат, то есть, в точке (0;0). Уравнение (x-x0)²+y²=R² означает, что центр окружности имеет координаты (x0;0) и лежит на оси абсцисс. Вид уравнения x²+(y-y0)²=R² говорит о расположении центра с координатами (0;y0) на оси ординат.
4
Общее уравнение окружности в аналитической геометрии запишется как: x²+y²+Ax+By+C=0. Чтобы привести такое уравнение к выше обозначенному виду, надо сгруппировать члены и выделить полные квадраты: [x²+2(A/2)x+(A/2)²]+[y²+2(B/2)y+(B/2)²]+C-(A/2)²-(B/2)²=0. Для выделения полных квадратов, как можно заметить, требуется добавлять дополнительные величины: (A/2)² и (B/2)². Чтобы знак равенства сохранялся, эти же величины надо вычесть. Прибавление и вычитание одного и того же числа не меняет уравнения.
5
Таким образом, получается: [x+(A/2)]²+[y+(B/2)]²=(A/2)²+(B/2)²-C. Из этого уравнения уже видно, что x0=-A/2, y0=-B/2, R=√[(A/2)²+(B/2)²-C]. Кстати, выражение для радиуса можно упростить. Домножьте обе части равенства R=√[(A/2)²+(B/2)²-C] на 2. Тогда: 2R=√[A²+B²-4C]. Отсюда R=1/2·√[A²+B²-4C].
6
Окружность не может быть графиком функции в декартовой системе координат, так как, по определению, в функции каждому x соответствует единственное значение y, а для окружности таких «игреков» будет два. Чтобы убедиться в этом, проведите перпендикуляр к оси Ox, пересекающий окружность. Вы увидите, что точек пересечения две.
7
Но окружность можно представить как объединение двух функций: y=y0±√[R²-(x-x0)²]. Здесь x0 и y0, соответственно, представляют собой искомые координаты центра окружности. При совпадении центра окружности с началом координат объединение функций принимает вид: y=√[R²-x²].
Остальные ответы
Похожие вопросы
Координаты центра окружности по трем точкам
Обычно эта задача решается через уравнения круга, но для программирования нужно аналитическое решение (в виде формулы).
Если решать систему уравнений, пытаясь выразить все неизвестные величины через 6 координат известных точек, то можно получить выражения для Xo, Yo и R.
Но вид этих выражений и их последующая реализация в виде программного кода — мягко говоря — не вдохновляют начинать эту работу.
К счастью, есть алгебраический метод, сводящийся к ряду несложных поэтапных расчетов, которые позволяют вычислить искомые неизвестные.
Ниже прилагаю реализацию этого подхода в виде функции на javascript.
Основы мат. анализа Примеры
Перенесем в правую часть уравнения, прибавив к обеим частям.
Составим полный квадрат для .
Нажмите для увеличения количества этапов.
Применим форму , чтобы найти значения , и .
Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.
Найдем значение по формуле .
Нажмите для увеличения количества этапов.
Подставим значения и в формулу .
Сократим общий множитель и .
Нажмите для увеличения количества этапов.
Вынесем множитель из .
Сократим общие множители.
Нажмите для увеличения количества этапов.
Этап 5.3.2.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 5.3.2.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 5.3.2.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 5.3.2.2.4
Разделим на .
Найдем значение по формуле .
Нажмите для увеличения количества этапов.
Подставим значения , и в формулу .
Упростим правую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов.
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов.
Этап 5.4.2.1.1
Сократим общий множитель и .
Нажмите для увеличения количества этапов.
Этап 5.4.2.1.1.1
Вынесем множитель из .
Этап 5.4.2.1.1.2
Сократим общие множители.
Нажмите для увеличения количества этапов.
Этап 5.4.2.1.1.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 5.4.2.1.1.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 5.4.2.1.1.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 5.4.2.1.1.2.4
Разделим на .
Этап 5.4.2.1.2
Умножим на .
Подставим значения , и в уравнение с заданной вершиной .
Подставим вместо в уравнение .
Перенесем в правую часть уравнения, прибавив к обеим частям.
Нажмите для увеличения количества этапов.
Это формула окружности. Используем эту формулу для определения центра и радиуса окружности.
Сопоставим параметры окружности со значениями в стандартной форме. Переменная представляет радиус окружности, — сдвиг по оси X от начала координат, а — сдвиг по оси Y от начала координат.
1. Основные понятия
2) мы имеем формулу для расчёта расстояния между двумя точками, если знаем координаты точек AB = x A − x B 2 + y A − y B 2 , а если так, то квадрат расстояния AB 2 = x A − x B 2 + y A − y B 2 .
Допустим, что центр окружности находится в точке C x C ; y C , а радиус окружности равен \(R\).
Любая точка P x ; y на этой окружности находится на расстоянии \(R\) от центра \(C\), значит, справедливо равенство
x − x C 2 + y − y C 2 = R 2 .
Это и есть уравнение окружности с центром \(C\) и радиусом \(R\). Координаты всех точек, которые находятся на окружности, удовлетворяют уравнению.
Если центр окружности находится в начале координат 0 ; 0 , то уравнение имеет вид
x 2 + y 2 = R 2 .
Уравнение прямой
Для выведения уравнения прямой проведём эту прямую как серединный перпендикуляр некоторому отрезку с данными координатами конечных точек отрезка.
Известно, что все точки серединного перпендикуляра находятся на равных расстояниях от концов отрезка.
Координаты концов отрезка A x A ; y A и B x B ; y B . Любая точка P x ; y находится на равных расстояниях от конечных точек PA = PB , конечно, равны и квадраты расстояний PA 2 = PB 2 , значит, справедливо равенство
x − x A 2 + y − y A 2 = x − x B 2 + y − y B 2 , которое и есть уравнение прямой.
После возведения выражений в скобках и приведения подобных слагаемых
x 2 − 2 ⋅ x ⋅ x A + x A 2 + y 2 − 2 ⋅ y ⋅ y A + y A 2 =
= x 2 − 2 ⋅ x ⋅ x B + x B 2 + y 2 − 2 ⋅ y ⋅ y B + y B 2 ;
2 ⋅ x ⋅ x B − 2 ⋅ x ⋅ x A + 2 ⋅ y ⋅ y B − 2 ⋅ y ⋅ y A + x A 2 − x B 2 + y A 2 − y B 2 = 0 ;