Как найти локальный максимум функции

Запрошуємо усіх хто любить цікаві задачі та головоломки відвідати групу! Зараз діє акція — підтримай студента! Знижки на роботи + безкоштовні консультації.

Математика, ЗНО, ГДЗ, ТІМС

Контакты

Администратор, решение задач
Роман

Tel. +380685083397
[email protected]
skype, facebook:
roman.yukhym

Решение задач
Андрей

facebook:
dniprovets25

# Локальный экстремум

Локальный экстремум (от лат. extremum — «крайний») — максимальное или минимальное значение функции на заданном подмножестве области определения. Для любых значений переменной x, принадлежащих проколотой окрестности (окрестность точки, из которой исключена эта точка) внутренней точки xₘₐₓ (xₘᵢₙ), должно выполняться следующее неравенство: f(x)≤f(xₘₐₓ) для точки максимума, f(x)≥f(xₘᵢₙ) для точки минимума. Точка, в которой экстремум достигается, называется точкой максимума или точкой минимума функции. Если знак неравенства строгий, то экстремум называется строгим локальным, а его точка — точкой строгого локального максимума или минимума. Необходимое условие существования экстремума функции f(x) в точке x₀: производная f'(x₀)=0 либо не существует. Достаточное условие существования экстремума: функция f(x) непрерывна в некоторой окрестности точки x₀, дифференцируема в этой окрестности, кроме, может быть, самой точки x₀, и производная f'(x) меняет знак при переходе через точку x₀. Если производная меняет знак с плюса на минус, x₀ — точка максимума, если с минуса на плюс, x₀ — точка минимума. Глобальный экстремум — наибольшее или наименьшее значение функции на заданном множестве, когда всех точек этого множества выполняется неравенство: f(x)≤f(хₘₐₓ) или соответственно f(x)≥f(хₘᵢₙ). Глобальный экстремум находится среди локальных экстремумов или значений функции в граничных точках множества. Источник картинки: http://bit.ly/2cBEn8n

Новости
События
Фото дня
Цифровая энциклопедия
Дискуссионный клуб
Открытия российских ученых

Indicator, 2024 г. 18+

Нашли опечатку? Выделите текст и нажмите Ctrl+Enter

Все права защищены. Полное или частичное копирование материалов Сайта в коммерческих целях разрешено только с письменного разрешения владельца Сайта. В случае обнаружения нарушений, виновные лица могут быть привлечены к ответственности в соответствии с действующим законодательством Российской Федерации.

Конев В.В. Дифференцирование функций

Точки экстремума

Дифференцирование функций

Основные теоремы

Формула Тейлора

(6)

для всех значений x в некоторой окрестности точки . При этом называют точкой локального максимума функции .
Неравенство (6) означает, что функция является возрастающей для значений x, расположенных в непосредственной близости к точке локального максимума слева от нее; функция является убывающей для значений x, достаточно близких к этой точке и расположенных справа:

(7)

Если неравенство (6) выполняется для всех x из области определения функции , то называется точкой абсолютного максимума функции .
Аналогично, называется точкой локального минимума функции , если

(8)

для всех x в некоторой окрестности точки .
Неравенство (8) означает, что функция является убывающей для значений x, лежащих слева в непосредственной близости к точке локального минимума и возрастающей – для значений x, расположенных на близком расстоянии справа от этой точки:

(9)

Функция имеет абсолютный максимум в точке , если неравенство (6) выполняется для всех x из области определения этой функции.
Если неравенства в формулах (6) и (8) строгие, то называется точкой строгого локального максимума или минимума соответственно.
Точками экстремума функции называются точки максимума или минимума этой функции.

На рисунке 1 представлен фрагмент графика функции , определенной в промежутке и имеющей локальные экстремумы.

Рис. 1. Точки и b являются точками локального максимума.
Точки и являются точками локального минимума.
Точка b является точкой абсолютного максимума.
Точка является точкой абсолютного минимума.