Как найти наименьшее значение выражения

Наибольшее и наименьшее значение функции

Наибольшее (наименьшее) значение функции – это самое большое (маленькое) принимаемое значение ординаты на рассматриваемом интервале.

Чтобы найти наибольшее или наименьшее значение функции необходимо:

Найти производную функции $f'(х)$
Найти стационарные точки, решив уравнение $f'(х)=0$
Проверить, какие стационарные точки входят в заданный отрезок.
Вычислить значение функции на концах отрезка и в стационарных точках из п.3
Выбрать из полученных результатов наибольшее или наименьшее значение.

Чтобы найти точки максимума или минимума необходимо:

Найти производную функции $f'(х)$
Найти стационарные точки, решив уравнение $f'(х)=0$
Разложить производную функции на множители.
Начертить координатную прямую, расставить на ней стационарные точки и определить знаки производной в полученных интервалах, пользуясь записью п.3.
Найти точки максимума или минимума по правилу: если в точке производная меняет знак с плюса на минус, то это будет точка максимума (если с минуса на плюс, то это будет точка минимума). На практике удобно использовать изображение стрелок на промежутках: на промежутке, где производная положительна, стрелка рисуется вверх и наоборот.

Таблица производных некоторых элементарных функций:

Функция	Производная
$c$	$0$
$x$	$1$
$x^n, n∈N$	$nx^, n∈N$
$/$	$-/$
$/x, n∈N$	$-/>, n∈N$
$√^n, n∈N$	$/, n∈N$
$sinx$	$cosx$
$cosx$	$-sinx$
$tgx$	$/$
$ctgx$	$-/$
$cos^2x$	$-sin2x$
$sin^2x$	$sin2x$
$e^x$	$e^x$
$a^x$	$a^xlna$
$lnx$	$/$
$log_x$	$/$

Основные правила дифференцирования

1. Производная суммы и разности равна производной каждого слагаемого

Найти производную функции $f(x) = 3x^5 – cosx + /$

Производная суммы и разности равна производной каждого слагаемого

2. Производная произведения.

Найти производную $f(x)=4x∙cosx$

Найдите наименьшее значение выражения и значения x и y, при которых оно достигается

Найдите наименьшее значение выражения, и значения x и y, при которых оно достигается, |6x + 5y +7| + |2x + 3y + 1|

Так как данное выражение содержит сумму модулей (а модуль не может быть отрицательным), то наименьшее его значение равно нулю.

То есть, каждое слагаемое должно быть равно нулю.

|6x + 5y +7| + |2x + 3y + 1|

Исходя из этого, заменим выражение системой уравнений.

Данную систему проще решить способом сложения.

Умножим обе части второго уравнения на (-3), затем сложим уравнения.

После сложения получаем: -4y + 4 = 0, y = 1

Теперь из любого уравнения выразим x и найдем его значение.

2x + 3y + 1 = 0
2x = -3y – 1= -3*1 – 1 = -4
x = -2

Смотрите видеоурок с подробным решением задачи.

Научный форум dxdy

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву , правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

Максимальное и минимальное значения выражения

Максимальное и минимальное значения выражения
15.08.2012, 16:20

Последний раз редактировалось Keter 15.08.2012, 16:29, всего редактировалось 2 раз(а).

Найти наибольшее и наименьшее значение выражения , если $x^2+2xy+3y^2=4$ .

Я предлагаю оба выражения преобразовать немного: $2x^2-xy-y^2=(x-y)(2x+y)=\alpha;$
$x^2+2xy+3y^2=4x^2+4xy+y^2+y^2-2xy+x^2+y^2-4x^2=(2x+y)^2+(x-y)^2+y^2-4x^2=\beta;$
$\beta-2\alpha=(2x+y)^2-2(x-y)(2x+y)+(x-y)^2+y^2-4x^2=5x^2+y^2=4-2\alpha;$
$$\alpha=\dfrac<5x^2+y^2-4>.$» /> Затем из второго выражения выразить <img decoding=$ через $x$ и найти его наибольшее и наименьшее значения: $3y^2+2xy+x^2-4=0;$
$D=12-2x^2 \quad \Rightarrow \quad x \in [ -\sqrt; \sqrt];$
$$y=\dfrac<1> \Big( -x \pm \sqrt \Big).$» /> Максимальное значение функции <img decoding=$ и равняется $\max \psi (x) = \sqrt2$ , а минимальное при $$x=-\sqrt6; \quad \min \psi (x) = \dfrac<-\sqrt6>$» />. У функции <img decoding=$ достигается при $$x = -\sqrt6; \quad y = \dfrac<-\sqrt6>$» />, а наибольшее при <img decoding=$ .

$$\min \Big( 2x^2-xy-y^2 \Big) = -13 \dfrac<1>;$» /> <img decoding=$

$$f(x, y)=\dfrac<5x^2+y^2-4> Можно конечно рассмотреть функцию двух переменных $» />, но мне кажется это не то. Есть какие-то недостатки в решении? Может другие идеи? Re: Максимальное и минимальное значения выражения 15.08.2012, 16:41 <table cellspacing=$ Заслуженный участник

Keter в сообщении #606382 писал(а):
Есть какие-то недостатки в решении?

Есть — оно безумно длинное.

Система уравнений $https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/4/2/b42cc2ca627f47e336a5651440353ecc82.pngx^2-xy-y^2=m,\ \ x^2+2xy+3y^2=4$$ может иметь ноль, два или четыре решения. Искомые максимум и минимум — это в точности те два значения параметра $m$ , при которых система будет иметь два решения. А эта система в зависимости от параметра решается очень легко и очень стандартно (причём её вовсе не надо будет решать до конца, там быстро становится очевидным условие на параметр).

наименьшие_значения — Найдите наименьшее значение выражения

Найдите наименьшее значение выражения |36^m — 5^n|, где m,n — натуральные числа.

задан 17 Апр ’22 11:14

При m=1, n=2 получаем значение 11, поэтому минимальное значение этого не превосходит. Если x — минимальное значение, то ясно, что оно нечётное, поэтому остались только варианты x=1,3,5,7,9, т.е. 36^m=5^n+-x. Поскольку число слева заканчивается на 6, то простой перебор оставляет в качестве x только 1 и 9. А их легко проверить, перебрав остатки от деления чисел 5^n+1 и 5^n-9 на 36 и поняв, что нацело ни одно из этих чисел на 36 не делится. Итого ответ 11.

(17 Апр ’22 12:21) caterpillar
(17 Апр ’22 12:26) Такеши

@Такеши, не за что. Можете также поиграться с остатками от деления на 9 и 4.

(17 Апр ’22 12:54) caterpillar

так же ТС может набрать в яндексе в точности условие задачи и получить первую ссылку (теперь вторую после этой страницы) с полным решением

хотя это он, как понимаю принципиально не делает, нафига париться то?

(17 Апр ’22 13:44) mihailm

Здравствуйте

Математика — это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

задан
17 Апр ’22 11:14

показан
617 раз

обновлен
17 Апр ’22 13:44