Как найти площадь сечения правильной четырехугольной пирамиды

стереометрия — Найти площадь сечения правильной четырехугольной пирамиды

Здравствуйте! Подскажите, пожалуйста, как решить данную задачку по геометрии.

В правильной четырехугольной пирамиде $%MABCD$% с вершиной $%M$% стороны основания равны $%6$%, а боковые ребра $%12$%. Найти площадь сечения пирамиды плоскостью проходящей через точку $%C$% и середину ребра $%MA$% параллельно прямой $%BD$%.

Если не сложно, то с рисунком, хотя и за решение буду очень рад!

задан 1 Июн ’13 22:46

Alex111
3 ● 3 ● 5 ● 7
50&#037 принятых

Подскажите пожалуйста, ребята..

(2 Июн ’13 10:47) Alex111

Хотя бы рисунок.

(2 Июн ’13 11:46) Alex111

Где-то было вчера. Поищите.

(2 Июн ’13 13:56) Angry Bird

у меня получилось корень из 594, а у препода 25 в чем косяк? как получилось 24 расскажите плиз поподробнее. Может арифметика страдает

(2 Июн ’13 18:46) aqvating

Я тоже посчитал и у меня получилось 24.

(2 Июн ’13 18:51) crazycrosshair

1 ответ

$% S=\frac12 CK \cdot EG$%

$%MO$% и $%CK$% медиани треуголника $%AMC\Rightarrow \frac=\frac$%

$%\bigtriangleup MEG\sim \bigtriangleup MBD\Rightarrow EG=\frac 23 BD.$%

@Nafania $%EKGC$% не ромб. Он четырехугольник диагонали которого перпендикулярны.Вот доказательство $%BD\perp MO , BD\perp AC\Rightarrow BD\perp (MAC)\Rightarrow BD\perp CK.$%

Так-как $%EG||BD \Rightarrow EG\perp CK $%

отвечен 2 Июн ’13 14:34

Площадь сечения пирамиды формула. Площадь боковой поверхности усеченной пирамиды

На данном уроке мы рассмотрим усеченную пирамиду, познакомимся с правильной усеченной пирамидой, изучим их свойства.

Вспомним понятие n-угольной пирамиды на примере треугольной пирамиды. Задан треугольник АВС. Вне плоскости треугольника взята точка Р, соединенная с вершинами треугольника. Полученная многогранная поверхность и называется пирамидой (рис. 1).

Рис. 1. Треугольная пирамида

Рассечем пирамиду плоскостью , параллельной плоскости основания пирамиды . Полученная между этими плоскостями фигура и называется усеченной пирамидой (рис. 2).

Рис. 2. Усеченная пирамида

Нижнее основание АВС;

Если РН — высота исходной пирамиды, то — высота усеченной пирамиды.

Свойства усеченной пирамиды вытекают из способа ее построения, а именно из параллельности плоскостей оснований:

Все боковые грани усеченной пирамиды являются трапециями. Рассмотрим, например, грань . У нее по свойству параллельных плоскостей (поскольку плоскости параллельны, то боковую грань исходной пирамиды АВР они рассекают по параллельным прямым), в то же время и не параллельны. Очевидно, что четырехугольник является трапецией, как и все боковые грани усеченной пирамиды.

Отношение оснований одинаково для всех трапеций:

Имеем несколько пар подобных треугольников с одинаковым коэффициентом подобия. Например, треугольники и РАВ подобны в силу параллельности плоскостей и , коэффициент подобия:

В то же время подобны треугольники и РВС с коэффициентом подобия:

Очевидно, что коэффициенты подобия для всех трех пар подобных треугольников равны, поэтому отношение оснований одинаково для всех трапеций.

Правильной усеченной пирамидой называется усеченная пирамида, полученная сечением правильной пирамиды плоскостью, параллельной основанию (рис. 3).

Рис. 3. Правильная усеченная пирамида

Определение.

Правильной называется пирамида, в основании которой лежит правильный n-угольник, а вершина проектируется в центр этого n-угольника (центр вписанной и описанной окружности).

В данном случае в основании пирамиды лежит квадрат, и вершина проектируется в точку пересечения его диагоналей. У полученной правильной четырехугольной усеченной пирамиды ABCD — нижнее основание, — верхнее основание. Высота исходной пирамиды — РО, усеченной пирамиды — (рис. 4).

Рис. 4. Правильная четырехугольная усеченная пирамида

Определение.

Высота усеченной пирамиды — это перпендикуляр, проведенный из любой точки одного основания к плоскости второго основания.

Апофема исходной пирамиды — РМ (М — середина АВ), апофема усеченной пирамиды — (рис. 4).

Определение.

Апофема усеченной пирамиды — высота любой боковой грани.

Ясно, что все боковые ребра усеченной пирамиды равны между собой, то есть боковые грани — равные равнобедренные трапеции.

Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему.

Доказательство (для правильной четырехугольной усеченной пирамиды — рис. 4):

Итак, необходимо доказать:

Площадь боковой поверхности здесь будет состоять из суммы площадей боковых граней — трапеций. Поскольку трапеции одинаковы, имеем:

Площадь равнобедренной трапеции — это произведение полусуммы оснований и высоты, апофема является высотой трапеции. Имеем:

Что и требовалось доказать.

Для n-угольной пирамиды:

Где n — количество боковых граней пирамиды, a и b — основания трапеции, — апофема.

Стороны основания правильной усеченной четырехугольной пирамиды равны 3 см и 9 см, высота — 4 см. Найти площадь боковой поверхности.

Рис. 5. Иллюстрация к задаче 1

Решение. Проиллюстрируем условие:

Через точку О проведем прямую MN параллельно двум сторонам нижнего основания, аналогично через точку проведем прямую (рис. 6). Поскольку в основаниях усеченной пирамиды квадраты и построения параллельны, получим трапецию, равную боковым граням. Причем ее боковая сторона будет проходить через середины верхнего и нижнего ребра боковых граней и являться апофемой усеченной пирамиды.

Рис. 6. Дополнительные построения

Рассмотрим полученную трапецию (рис. 6). В этой трапеции известно верхнее основание, нижнее основание и высота. Требуется найти боковую сторону, которая является апофемой заданной усеченной пирамиды. Проведем перпендикулярно MN. Из точки опустим перпендикуляр NQ. Получим, что большее основание разбивается на отрезки по три сантиметра (). Рассмотрим прямоугольный треугольник , катеты в нем известны, это египетский треугольник, по теореме Пифагора определяем длину гипотенузы: 5 см.

Теперь есть все элементы для определения площади боковой поверхности пирамиды:

Пирамида пересечена плоскостью, параллельной основанию. Докажите на примере треугольной пирамиды, что боковые ребра и высота пирамиды делятся этой плоскостью на пропорциональные части.

Рис. 7. Иллюстрация к задаче 2

Задана пирамида РАВС. РО — высота пирамиды. Пирамида рассечена плоскостью , получена усеченная пирамида , причем . Точка — точка пересечения высоты РО с плоскостью основания усеченной пирамиды . Необходимо доказать:

Ключом к решению является свойство параллельных плоскостей. Две параллельные плоскости рассекают любую третью плоскость так, что линии пересечения параллельны. Отсюда: . Из параллельности соответствующих прямых вытекает наличие четырех пар подобных треугольников:

Из подобия треугольников вытекает пропорциональность соответствующих сторон. Важная особенность заключается в том, что коэффициенты подобия у этих треугольников одинаковы:

Что и требовалось доказать.

Правильная треугольная пирамида РАВС с высотой и стороной основания рассечена плоскостью , проходящей через середину высоты РН параллельно основанию АВС. Найти площадь боковой поверхности полученной усеченной пирамиды.

Рис. 8. Иллюстрация к задаче 3

АСВ — правильный треугольник, Н — центр данного треугольника (центр вписанной и описанной окружностей). РМ — апофема заданной пирамиды. — апофема усеченной пирамиды. Согласно свойству параллельных плоскостей (две параллельные плоскости рассекают любую третью плоскость так, что линии пересечения параллельны), имеем несколько пар подобных треугольников с равным коэффициентом подобия. В частности нас интересует отношение:

Найдем НМ. Это радиус окружности, вписанной в основание, соответствующая формула нам известна:

Теперь из прямоугольного треугольника РНМ по теореме Пифагора найдем РМ — апофему исходной пирамиды:

Из начального соотношения:

Теперь нам известны все элементы для нахождения площади боковой поверхности усеченной пирамиды:

Итак, мы ознакомились с понятиями усеченной пирамиды и правильной усеченной пирамиды, дали основные определения, рассмотрели свойства, доказали теорему о площади боковой поверхности. Следующий урок будет посвящен решению задач.

Список литературы

1. И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. — 5-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008. — 288 с.: ил.
2. Шарыгин И. Ф. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. — М.: Дрофа, 1999. — 208 с.: ил.
3. Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. — 6-е изд., стереотип. — М.: Дрофа, 2008. — 233 с.: ил.

1. Uztest.ru ().
2. Fmclass.ru ().
3. Webmath.exponenta.ru ().

Домашнее задание

Пирамида. Усеченная пирамида

Пирамидой называется многогранник, одна из граней которого многоугольник (основание ), а все остальные грани – треугольники с общей вершиной (боковые грани ) (рис. 15). Пирамида называется правильной , если ее основанием является правильный многоугольник и вершина пирамиды проектируется в центр основания (рис. 16). Треугольная пирамида, у которой все ребра равны, называется тетраэдром .

Боковым ребром пирамиды называется сторона боковой грани, не принадлежащая основанию Высотой пирамиды называется расстояние от ее вершины до плоскости основания. Все боковые ребра правильной пирамиды равны между собой, все боковые грани – равные равнобедренные треугольники. Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из вершины, называется апофемой . Диагональным сечением называется сечение пирамиды плоскостью, проходящей через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани.

Площадью боковой поверхности пирамиды называется сумма площадей всех боковых граней. Площадью полной поверхности называется сумма площадей всех боковых граней и основания.

1. Если в пирамиде все боковые ребра равнонаклонены к плоскости основания, то вершина пирамиды проектируется в центр окружности описанной около основания.

2. Если в пирамиде все боковые ребра имеют равные длины, то вершина пирамиды проектируется в центр окружности описанной около основания.

3. Если в пирамиде все грани равнонаклонены к плоскости основания, то вершина пирамиды проектируется в центр окружности вписанной в основание.

Для вычисления объема произвольной пирамиды верна формула:

где V – объем;

S осн – площадь основания;

H – высота пирамиды.

Для правильной пирамиды верны формулы:

где p – периметр основания;

h а – апофема;

S осн – площадь основания;

V – объем правильной пирамиды.

Усеченной пирамидой называется часть пирамиды, заключенная между основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию пирамиды (рис. 17). Правильной усеченной пирамидой называется часть правильной пирамиды, заключенная между основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию пирамиды.

Основания усеченной пирамиды – подобные многоугольники. Боковые грани – трапеции. Высотой усеченной пирамиды называется расстояние между ее основаниями. Диагональю усеченной пирамиды называется отрезок, соединяющий ее вершины, не лежащие в одной грани. Диагональным сечением называется сечение усеченной пирамиды плоскостью, проходящей через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани.

Для усеченной пирамиды справедливы формулы:

где S 1 , S 2 – площади верхнего и нижнего оснований;

S полн – площадь полной поверхности;

S бок – площадь боковой поверхности;

V – объем усеченной пирамиды.

Для правильной усеченной пирамиды верна формула:

где p 1 , p 2 – периметры оснований;

h а – апофема правильной усеченной пирамиды.

Пример 1. В правильной треугольной пирамиде двугранный угол при основании равен 60º. Найти тангенс угла наклона бокового ребра к плоскости основания.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 18).

Пирамида правильная, значит в основании равносторонний треугольник и все боковые грани равные равнобедренные треугольники. Двугранный угол при основании – это угол наклона боковой грани пирамиды к плоскости основания. Линейным углом будет угол a между двумя перпендикулярами: и т.е. Вершина пирамиды проектируется в центре треугольника (центр описанной окружности и вписанной окружности в треугольник АВС ). Угол наклона бокового ребра (например SB ) – это угол между самим ребром и его проекцией на плоскость основания. Для ребра SB этим углом будет угол SBD . Чтобы найти тангенс необходимо знать катеты SO и OB . Пусть длина отрезка BD равна 3а . Точкой О отрезок BD делится на части: и Из находим SO : Из находим:

Пример 2. Найти объем правильной усеченной четырехугольной пирамиды, если диагонали ее оснований равны см и см, а высота 4 см.

Решение. Для нахождения объема усеченной пирамиды воспользуемся формулой (4). Чтобы найти площади оснований необходимо найти стороны квадратов-оснований, зная их диагонали. Стороны оснований равны соответственно 2 см и 8 см. Значит площади оснований и Подставив все данные в формулу, вычислим объем усеченной пирамиды:

Ответ: 112 см 3 .

Пример 3. Найти площадь боковой грани правильной треугольной усеченной пирамиды, стороны оснований которой равны 10 см и 4 см, а высота пирамиды 2 см.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 19).

Боковая грань данной пирамиды является равнобокая трапеция. Для вычисления площади трапеции необходимо знать основания и высоту. Основания даны по условию, остается неизвестной только высота. Ее найдем из где А 1 Е перпендикуляр из точки А 1 на плоскость нижнего основания, A 1 D – перпендикуляр из А 1 на АС . А 1 Е = 2 см, так как это высота пирамиды. Для нахождения DE сделаем дополнительно рисунок, на котором изобразим вид сверху (рис. 20). Точка О – проекция центров верхнего и нижнего оснований. так как (см. рис. 20) и С другой стороны ОК – радиус вписанной в окружности и ОМ – радиус вписанной в окружности:

По теореме Пифагора из

Площадь боковой грани:

Пример 4. В основании пирамиды лежит равнобокая трапеция, основания которой а и b (a > b ). Каждая боковая грань образует с плоскостью основания пирамиды угол равный j . Найти площадь полной поверхности пирамиды.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 21). Площадь полной поверхности пирамиды SABCD равна сумме площадей и площади трапеции ABCD .

Воспользуемся утверждением, что если все грани пирамиды равнонаклонены к плоскости основания, то вершина проектируется в центр вписанной в основание окружности. Точка О – проекция вершины S на основание пирамиды. Треугольник SOD является ортогональной проекцией треугольника CSD на плоскость основания. По теореме о площади ортогональной проекции плоской фигуры получим:

Аналогично и значит Таким образом задача свелась к нахождению площади трапеции АВСD . Изобразим трапецию ABCD отдельно (рис.22). Точка О – центр вписанной в трапецию окружности.

Так как в трапецию можно вписать окружность, то или Из по теореме Пифагора имеем

Найти площадь сечения четырехугольной пирамиды

В призме SABCD, боковые ребра равны 10, а стороны основания — 8. Найдите площадь сечения трапеции.

Лучший ответ

S(сеч) =(8+4)*(√21)/2=6√21

Остальные ответы

Похожие вопросы

Ваш браузер устарел

Мы постоянно добавляем новый функционал в основной интерфейс проекта. К сожалению, старые браузеры не в состоянии качественно работать с современными программными продуктами. Для корректной работы используйте последние версии браузеров Chrome, Mozilla Firefox, Opera, Microsoft Edge или установите браузер Atom.

ПЛОЩАДЬ СЕЧЕНИЯ

. Основание правильной четырёхугольной пирамиды – квадрат со стороной 8. Высота пирамиды равна 9. Через сторону основания проведена плоскость, образующая с плоскостью основания угол, равный arctg 3/4 . Найдите площадь сечения пирамиды этой плоскостью.
Начали изучать метод координат в стереометрии. Это домашнее задание. Не могу понять, как здесь применить этот метод.

Что же никто не обращает на меня внимание. Пожалуйста, помогите.

. Думаю, что обращают.
Но отсутствие ответов может означать нецелесообразность применения метода координат для стереометрической части задачи. После приведения этой задачи к планиметрической (для отыскания высоты равнобедренной трапеции, которая получится в сечении) в принципе можно и метод координат применить.
Метод координат.
На чертеже сечение пирамиды вертикальной плоскостью, в котором лежит искомая высота трапеции. Угол BDA — плоский угол двугранного угла между плоскостью сечения и основанием пирамиды
Введя систему координат, строим уравнения прямых AC и ВD. Решая систему, находим координаты точки В, затем длину BD как расстояние между точками B и D. Это расстояние и есть высота трапеции с основанием 8
Затем найдем длину BC и из подобных треугольников определим длину меньшего основания.
Подобные треугольники получатся на грани, высотой которой является АС

Метод координат:
Строим уравнение секущей плоскости, это практически очевидно z=(3/4)y. Строим уравнение пересекаемой грани. Находим координаты y, z линии пересечения y=6, z=9/2. Теперь, используя подобие с к=1/2, находим длину линии пересечения l=4. А теперь можно найти площадь трапеции, лежащей на основании пирамиды, являющейся проекцией искомого сечения С=(4+8)/2*6=36. Искомая площадь сечения S=C/cos(arctg3/4)=45.

А вот здесь посмотрите решение «профессиональных» математиков.

Если метод координат НАЧАЛИ изучать, то #4, поскольку используется только материал 9 класса.
Если заканчиваете, то #5

Задайте свой вопрос по математике
профессионалам

● Сейчас онлайн 75 репетиторов по математике
Получите ответ профи быстро и бесплатно

Другие вопросы на эту тему:

Показательно-степенные уравнения

Не могу сыну правильно объяснить, он начал в матшколе изучать эти странные уравнения.
1) х!(факториал)=1
2) |x-2|^(x^2+x-6)=1
3) (x)^(x)^0/5=((x)^0/5)^x-х в степени корень из х= корень из х в степени х.
Ранее я видел у Вас дискуссию на тему ноль в степени ноль. Даже сам задал вопрос: почему все спокойно смотрят на 0!=1 и бурно реагируют на 0^0=1.
Мне это самому интересно.

Стереометрия, 10 класс

Здравствуйте! Подскажите, как развить пространственное мышление у детей 10 класса, которые только начинают изучать стереометрию?
Дело в том, что ученик не может решить задачи рода «Плоскость альфа и бета параллельны, прямая м лежит в плоскость альфа. Докажите, что м параллельна плоскости бета».

Найти площадь сечения

В прямом параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 с основаниями ABCD и A1B1C1D1 известно, что AB = 29, AD = 36, BD = 25, AA1 = 48. Найдите площадь сечения AB1C1D.
Можно ли применить координатный метод?

Задача по геометрии 10 класс

Из вершины прямого угла С равнобедренного треуг. АВС проведен отрезок СК, перпендикулярный плоскости треуг. и равный 2 квадратных корня из 2 см.
Найдите площадь треуг. АКВ, если АС-4см.

Очень часто не понимаю для чего нужны некоторые действия в математике

Собираюсь изучать информатику. Хочу хорошо понимать все разделы математики. Вот, сейчас повторяю всю школьную программу по математике и не могу понять, для чего нужно уметь раскладывать квадратный трехчлен на множители? Какая цель у этого разложения? Можно, ведь, найти х1, х2 через дискриминанту. И теорему Вьета плохо понимаю. Буду рад подробному ответу. Особенно хорошо я понимаю, когда есть график, тогда могу хорошо представить и потом уже самостоятельно пользоваться. Буду рад вашим объяснениям. Заранее благодарен.

Решите задачу с2 пожалуйста.

дан цилиндр радиус основания которого равен 6 а высота равна 10 отрезки AB и CD диаметры одного из оснований цилиндра а отрезок AA1 образующая цилиндра. найдите тангенс угла между прямыми BC и A1D, если AC= 4 корня из 5