Как найти полярные координаты точки
Полярные координаты — угол направления (угол положения) на определяемую точку, измеряемый по ходу часовой стрелки от полярной оси, и расстояние (дальность) от полюса до этой точки однозначно определяют положение точки на плоскости относительно начала координат — точки О (рис.1).
Рис.1 Полярные координаты точки А.
Система полярных координат проста и может быть построена в любой точке местности, принятой за полюс. Углы и расстояния на местности, необходимые для определения местоположения объектов (целей), в этой системе при небольших расстояниях измеряют с помощью приборов наблюдения. Поэтому система плоских полярных координат широко применяется при засечке целей с одного наблюдательного пункта, целеуказании, ориентировании и т. п. При необходимости линейные и угловые измерения выполняют специальными дальномерами и угломерными приборами (устройствами). Полярной осью в этой системе координат может служить линия геодезического (астрономического) меридиана, магнитного меридиана, вертикальная линия координатной сетки на карте или принятое за начальное направление на удаленный ориентир на местности.
Полярные координаты точки на плоскости называются плоскими полярными координатами, а точки на референц-эллипсоиде — геодезическими полярными координатами. Положение точки на эллипсоиде относительно полюса определяется длиной геодезической линии S (геодезическая линия — кратчайшее расстояние между двумя точками на эллипсоиде. На всём протяжении она пересекает меридианы под углом 90 градусов) от полюса до определяемой точки и геодезическим азимутом А ее направления в точке, принятой за полюс. Геодезические полярные координаты определяют местоположение различных объектов, удаленных от п’олюса на значительные расстояния. Они широко применяются в радиотехнических системах при радиопеленговании и в других случаях.
| Новости Публикации Из истории |
Измерения по топографической карте Масштаб Измерение расстояний Измерение площадей |
Полярные и биполярные координаты Полярные Биполярные |
| Виды топографических карт По содержанию  По масштабам По назначению |
Измерение углов на местности Понятие тысячных Биноклем Компасом Линейкой Другие способы |
Разведка местности Сущность Определение условий наблюдения Определение защитных свойств местности |
| Номенклатура топографических карт Проекции карт Разграфка и номенклатура |
Измерение расстояний на местности По линейным и угловым размерам предмета Другие способы |
Тактические свойства местности Местность и ведение боя По характеру рельефа По характеру почв и растительности |
| Плоские прямоугольные координаты Понятие Определение по карте Нанесение точек Сетка соседней зоны |
Целеуказание на местности Сущность Виды |
Движение по азимутам Сущность Подготовка данных по карте Ориентирование в особых условиях |
| Геодезические координаты Понятие Определение по карте Нанесение точек |
Определение сторон горизонта По компасу Небесным светилам Признакам местных предметов |
Аэрофотоснимки местности Общие сведения Отображение местных предметов и рельефа Работа с плановым снимком |
| Дирекционный угол и азимуты Дирекционный Истинный Магнитный Сближение меридианов |
Ориентирование карты По ориентирам По компасу По Полярной звезде |
Навигационные средства и системы Гирополукомпас Координатор ГЛОНАСС НАВСТАР |
| Определение высот и превышений Виды и формы рельефа Проекция рельефа на плоскость |
Определение точки стояния По ориентирам Промером расстояния По створу Засечкой |
Цифровые карты местности Понятие и требования Классификация Методы создания Пространственные модели местности |
| Содержание топографических карт Основные элементы Гидрография Растительность Дороги Населённые пункты Промышленные и другие объекты Геодезические пункты Границы Зарамочное оформление карт |
Учебные пособия Учебники  Сборник условных  знаков |
Рабочая карта командира Подготовка карты к работе Основные правила ведения Использование рабочей карты Работа с картой на местности Целеуказание по карте и аэрофотоснимкам Понятие об изучении и оценке местности в АСУБ |
Координаты точки в полярной системе координат
Еще один способ определения положения точки на плоскости при помощи чисел — полярная система координат.
Рассмотрим на плоскости ось l с единичным вектором е и началом отсчета О (рис. 42).
Пусть М произвольная точка плоскости, не совпадающая с точкой О. Тогда \(\overrightarrow\) — радиус-вектор точки М относительно точки О.
Пусть r — длина вектора \(\overrightarrow\), т. е. | \(\overrightarrow\) | = r, а φ — угол между осью l и радиус-вектором \(\overrightarrow\). Угол φ = \(\widehat
Числа r и φ называются полярными координатами точки М: r — полярный радиус, φ — полярный угол.
Ось l называется полярной осью, а точка О — полюсом.
Полярный радиус точки О принимается равным нулю, полярный угол точки О не определяется.
Если точка М имеет полярные координаты r и φ, то пишут М ( r ; φ). Например, точка К (рис. 43) имеет координаты r = 2, φ = 45°, т. е. K (2; 45°).
Очевидно, что положение точки на плоскости полностью определяется заданием ее полярных координат.
Если r > 0, а φ — произвольное число, то существует (и притом только одна) точка М такая, что
Если r = 0, то точка совпадает с полюсом.
Отметим, что полярный угол точки, не совпадающей с полюсом, определяется неоднозначно. Например, полярным углом для точки K (см. рис. 43) является не только угол φ = 45°, но и угол φ = 405° и, вообще, любой угол φ = 45° + 360°k, где k = 0, ±1, ±2 . .
Полярный угол точки определяется с точностью до слагаемого, кратного 360°. Если r > 0, то пары чисел (r ; φ) и (r ; φ + 360°k), где k = 0, ±1, ±2 . определяют одну и ту же точку плоскости. Чтобы соответствие между точками плоскости (за исключением полюса) и их полярными координатами было взаимно однозначным на полярный угол φ накладывают ограничение 0 < φ < 360°.
Установим связь между полярными и прямоугольными декартовыми координатами одной и той же точки М плоскости.
Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат О, i, j (рис. 44).
Примем начало координат -точку О -за полюс, ось абсцисс — за полярную ось l. Тогда луч [О у) оси ординат направлен под углом 90° к оси l.
Очевидно, декартовы координаты точки М выражаются через ее полярные координаты следующим образом:
х = r cos φ, y = r sin φ. (1)
Формулы (1) позволяют находить прямоугольные декартовы координаты точки по ее полярным координатам. Из формулы (1) получаем
х 2 + у 2 = r 2 cos 2 φ + r 2 sin 2 φ = r 2 ( cos 2 φ + sin 2 φ) = r 2 ,
Если r =/= 0 ( М не совпадает с точкой О), то из (1) и (2) следует
Формулы (2), (3) позволяют переходить от прямоугольных декартовых координат точки к ее полярным координатам.
Задача 1. Найти полярные координаты точки М (-1;\(\sqrt\)).
По формуле (2) находим
По формулам (3) имеем
cos φ = -1 /2 = — 1 /2 , sin φ = √ 3 /2,
откуда φ = 120°. Итак, М (2; 120°).
Задача 2. Найти прямоугольные декартовы координаты точки М(4; 135°).
По формулам (1) имеем
х = 4 • cos135° = 4 • (- √ 2 /2) = — 2√ 2 ,
у = 4 • sin 135° = 4 • √ 2 /2 = 2√ 2 .
Итак, М (- 2√ 2 ; 2√ 2 ).
Как найти полярные координаты точки
Полярная система координат определяется заданием некоторой точки О, называемой полюсом, исходящего из этой точки луча ОА, называемого полярной осью, и масштаба для измерения длин. Кроме того, при задании полярной системы должно быть сказано, какие повороты вокруг точки О считаются положительными (на чертежах обычно положительными считаются повороты против часовой стрелки).
Полярными координатами произвольной точки М (относительно заданной системы) называются числа и (см. рис.). Угол при этом следует понимать так, как принято в тригонометрии. Число называется первой координатой, или полярным углом точки М ( называются также амплитудой).
Символ М( ; ) обозначает, что точка М имеет полярные координаты и .
Полярный угол имеет бесконечно много возможных значений (отличающихся друг от друга на величину вида , где n — целое положительное число). Значение полярного угла, удовлетворяющее неравенствам , называется главным.
В случаях одновременного рассмотрения декартовой и полярной систем координат условимся: 1). Пользоваться одним и тем же масштабом, 2). При определении полярных углов считать положительным повороты в том направлении, в каком следует вращать положительную ось абсцисс, чтобы кратчайшим путем совместить ее с положительной осью ординат (таким образом, если оси декартовой системы находятся в обычном расположении, то есть ось Ох направлена вправо, а ось Оу — вверх, то и отсчет полярных углов должен быть обычным, то есть положительными следует считать те углы, которые отсчитываются против часовой стрелки).
При этом условии, если полюс полярной системы координат совпадает с началом декартовых прямоугольных координат, а полярная ось совпадает с положительной полуосью абсцисс, то переход от полярных координат произвольной точки х к декартовым координатам той же точки осуществляется по формулам
, .
В этом же случае формулы
,
являются формулами перехода от декартовых координат к полярным.
При одновременно рассмотрении в дальнейшем двух полярных систем координат условимся считать направление положительных поворотов и масштаб для обеих систем одинаковыми.
| 26 | Построить точки, заданные полярными координатами: A(3; p /2), B(2; p ), C(3; — p /4), D(4; 22/7), E(5; 2) и F(1; -1). |
| 27 | Определить полярные координаты точек, симметричных относительно полярной оси точкам M 1(3; p /4), M2(2; — p /2), M3(3; — p /3), M4(1; 2), M5(5; -1), заданным в полярной системе координат. |
| 28 | Определить полярные координаты точек, симметричных относительно полюса точкам M 1(1; p /4), M2(5; p /2), M3(2; — p /3), M4(4; 5 p /6), M5(3; -2), заданными в полярной системе координат. |
| 29 | В полярной системе координат даны две вершины А(3; -4p /9) и B(5; 3 p /14) параллелограмма ABCD, точка пересечения диагоналей которого совпадает с полюсом. Определить две другие вершины этого параллелограмма. |
| 30 | В полярной системе координат даны токи A(8; p /2) и B(6; p /3). Вычислить полярные координаты середины отрезка, соединяющего точки А и В. |
| 31 | В полярной системе координат даны точки А(3; p /2), B(2; — p /4), C(1; p ), D(5; -3 p /4), E(3; 2), F(2; -1). Положительное направление полярной оси изменено на противоположное. Определить полярные координаты заданных точек в новой системе. |
| 32 | В полярной системе координат даны точки M 1(3, p /3), M2(1; 2 p /3), M3(2; 0), M4(5; p /4), M5(3; -2 p /3), M6(1; 11 p /12). Полярная ось повернута так, что в новом положении она проходит через точку M 1. Определить координаты заданных точек в новой (полярной) системе. |
| 33 | В полярной системе координат даны точки М 1(12; 4 p /9), M2(12; -2 p /9). Вычислить полярные координаты середины отрезка, соединяющего точки М 1 и М 2. |
| 34 | В полярной системе координат даны точки М 1( r 1, q 1) и М 2( r 2, q 2). Вычислить расстояние d между ними. |
| 35 | В полярной системе координат даны точки М 1(5; p /4), М 2(8; — p /2). Вычислить расстояние d между ними. |
| 36 | В полярной системе координат даны две смежные вершины квадрата М 1(12; — p /10), М 2(3; p /15). Определить его площадь. |
| 37 | В полярной системе координат даны две противоположные вершины квадрата P(6; -7p /12), Q(4; p /6). Определить его площадь. |
| 38 | В полярной системе координат даны две вершины правильного треугольника А(4; -p /12), B(8; 7 p /12). Определить его площадь. |
| 39 | Одна из вершин треугольника OAB находится в полюсе, две другие суть точки А(r 1, q 1) и В( r 2, q 2). Вычислить площадь этого треугольника. |
| 40 | Одна из вершин треугольника ОАВ находится в полюсе, две другие суть точки А(5; p /4), B(4, p /12). Вычислить площадь этого треугольника. |
| 41 | Вычислить площадь треугольника, вершины которого А(3; p /8), B(8; 7 p /4), C(6; 5 p /8) заданы в полярных координатах. |
| 42 | Полюс полярной системы координат совпадает с началом декартовых прямоугольных координат, а полярная ось совпадает с положительной полуосью абсцисс. В полярной системе координат даны точки M 1(6; p /2), M2(5; 0), M3(2; p /4), M4(10; — p /3), M5(8; 2 p /3), M6(12; — p /6). Определить декартовы координаты этих точек. |
| 43 | Полюс полярной системы координат совпадает с началом декартовых прямоугольных координат, а полярная ось совпадает с положительной полуосью абсцисс. В декартовой прямоугольной системе координат даны точки М 1(0; 5), M2(-3; 0); M3(; 1), M4(; ), M5(1; ). Определить полярные координаты этих точек. |
| Текст издания: © Д.В.Клетенник «Сборник задач по аналитической геометрии». М., Наука, Физматлит, 1998 Решение задач: © 2004-2013, Кирилл Кравченко, http://a-geometry.narod.ru/ , http://kirill-kravchenko.narod.ru/ |
Полярная система координат: основные понятия и примеры
Полярная система координат: основные понятия и обозначения
Если уж речь зашла о полярной системе координат, то вообразите себя полярниками, стоящими на Северном полюсе. Или на Южном (это не так важно). Пусть в точке полюса находится начало линейки. В точку полюса также положим начало карандаша, а весь карандаш полностью прилегает к линейке. Теперь повернём карандаш так, чтобы его начало оставалось там же, на полюсе, а между ним и линейкой образовался некоторый угол поворота. Конец карандаша оказался в некоторой точке, назовём её M. Вот мы и получили полярные координаты точки M: длина карандаша и угол, на который был повёрнут карандаш. А теперь об этом же в более строгих и точных определениях.
Полярная система координат определяется заданием некоторой точки O, называемой полюсом, исходящего из этой точки луча OA (обозначается также и как Ox), называемого полярной осью, и масштаба для изменения длин. Кроме того, при задании полярной системы координат должно быть определено, какие повороты вокруг точки O считаются положительными (на чертежах обычно положительными считаются повороты против часовой стрелки).
Итак, выберем на плоскости (рисунок выше) некоторую точку O (полюс) и некоторый выходящий из неё луч Ox. Кроме того, укажем единицу масштаба. Полярными координатами точки M называются два числа ρ и φ, первое из которых (полярный радиус ρ) равно расстоянию точки M от полюса O, а второе (полярный угол φ, который называют также амплитудой) — угол, на который нужно повернуть против часовой стрелки луч Ox до совмещения с лучом OM.
Точку M с полярными координатами ρ и φ обозначают символом M(ρ, φ) .
Связь полярных координат с декартововыми координатами
Установим связь между полярными координатами точки и её декартовыми координатами. Будем предполагать, что начало декартовой прямоугольной системы координат находится в полюсе, а положительная полуось абсцисс совпадает с полярной осью. Пусть точка M имеет декартовы координаты x и y и полярные координаты ρ и φ.Тогда
Полярные координаты ρ и φ точки M определяются по её декартовым координатам следующим образом:
Для того, чтобы найти величину угла φ, нужно, используя знаки x и y, определить квадрант, в котором находится точка M, и, кроме того, воспользоваться тем, что тангенс угла φ равен .
Приведённые выше формулы называются формулами перехода от декартовых координат к полярным.
Одно из наиболее частых применений полярных координат в высшей математике — решения двойных интегралов в полярных координатах.
Задачи о точках в полярной системе координат
Пример 1. В полярной системе координат на плоскости даны точки
Найти полярные координаты точек, симметричных этим точкам относительно полярной оси.
Решение. При симметрии длина луча не меняется. Следовательно, первая координата — длина луча — у симметричной относительно полярной оси точки будет как и у данной точки. Как видно из рисунка в начале урока, при построении симметричной относительно полярной оси точки данную точку нужно повернуть вокруг полярной оси на тот же угол φ. Следовательно, в полярной системе координат второй координатой симметричной точки будет угол для исходной точки, взятый с противоположным знаком, то есть -φ. Итак, полярные координаты точки, симметричной данной относительно полярной оси будут отличаться лишь второй координатой, и эта координата будет с противоположным знаком. Полярные координаты искомых симметричных точек будут следующими:
Пример 2. В полярной системе координат на плоскости даны точки
Найти полярные координаты точек, симметричных этим точкам относительно полюса.
Решение. При симметрии длина луча не меняется. Следовательно, первая координата — длина луча — у симметричной относительно полюса точки будет как и у данной точки. Симметричная относительно полюса точка получается вращением исходной точки на 180 градусов против часовой стрелки, то есть на угол π. Следовательно, вторая координата точки, симметричной данной относительно полюса рассчитывается как φ + π (если в результате получится числитель больше знаменателя, то вычтем из полученного числа один полный оборот, то есть 2π). Получаем следующие координаты точек, симметричных данным относительно полюса:
Пример 3. Полюс полярной системы координат совпадает с началом декартовых прямоугольных координат, а полярная ось совпадает с положительной полуосью абсцисс. В полярной системе координат даны точки
Найти декартовы координаты этих точек.
Решение. Используем формулы перехода от полярных координат к декартовым:
Получаем следующие декартовы координаты данных точек:
Пример 4. Полюс полярной системы координат совпадает с началом декартовых прямоугольных координат, а полярная ось совпадает с положительной полуосью абсцисс. В декартовой прямоугольной системе координат даны точки
Найти полярные координаты этих точек.
Решение. Определяем первую из полярных координат по формуле , а тангенс угла φ — второй из полярных координат как . Получаем следующие полярные координаты данных точек: