Как найти проекцию наклонной на плоскость
Угол между прямой и плоскостью. Перпендикулярность прямой и плоскости
Пусть прямая пересекает плоскость, причем не под прямым, а под каким-то другим углом. Такая прямая называется наклонной.
Опустим перпендикуляр из какой-либо точки наклонной на нашу плоскость. Соединим основание перпендикуляра с точкой пересечения наклонной и плоскости. Мы получили проекцию наклонной на плоскость.
Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и ее проекцией на данную плоскость.
Обратите внимание — в качестве угла между прямой и плоскостью мы выбираем острый угол.
Если прямая параллельна плоскости, значит, угол между прямой и плоскостью равен нулю.
Если прямая перпендикулярна плоскости, ее проекцией на плоскость окажется точка. Очевидно, в этом случае угол между прямой и плоскостью равен 90°.
Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.
Это определение. Но как же с ним работать? Как проверить, что данная прямая перпендикулярна всем прямым, лежащим в плоскости? Ведь их там бесконечно много.
На практике применяется признак перпендикулярности прямой и плоскости:
Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.
Угол между наклонной и плоскостью
Определение 3.7. Углом между наклонной и плоскостью называется угол между наклонной и ее ортогональной проекцией на плоскость.
 |
На чертеже 3.5.1 показана наклонная , , – угол между наклонной и плоскостью . Если прямая параллельна плоскости, то угол между ними по определению равен . Если прямая перпендикулярна плоскости, то угол между ними равен . Если – угол между прямой и плоскостью, то . Проведем в плоскости произвольную прямую через точку так, чтобы . Пусть , , . Рассматривая прямоугольные треугольники , , , имеем
Заметим, что или cos phi = cos beta cos gamma
Мы получили формулу трех косинусов . Обратите внимание на то, что плоскости углов и взаимно перпендикулярны.
Замечание. Поскольку углы , и острые, из формулы трех косинусов следует, что и .
Таким образом, углом между наклонной и ее ортогональной проекцией на плоскость является наименьший из углов, образованных наклонной с прямыми плоскости .
Как найти проекцию наклонной на плоскость
Чему равна проекция наклонной на плоскость, если наклонная, длина которой равна 2 см, составляет с плоскостью угол 45 градусов?
Итак, пусть АВ — наклонная, точка С — основание перпендикуляра, тогда АС — проекция. Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на эту плоскость. То есть ∠ ВАС=45°.
ВС как перпендикуляр к плоскости α перпендикулярен любой прямой в этой плоскости в том числе и прямой АС по определению, поэтому треугольник АВС прямоугольный. Значит, можно произвести следующие действия:
Помогите. Геометрия. Как найти проекцию наклонной на плоскость?
Отношение проекции наклонной к самой наклонной равно косинусу угла наклона.
От сюда: проекция равна: произведению наклонной на косинус 30 градусов. Итого: проекция равна: — 4 корня из трех.
Остальные ответы
Корень из 48
Казанова с КавказаМастер (1420) 8 лет назад
Что? А можно решение?
Артур Аверин Просветленный (20495) По теореме Пифагора. Наклонная — это гипотенуза, проекция — это катет, опускаем перпендикуляр от верхней точки наклонной на плоскость — это второй катет. Катет, лежащий напротив угла 30 градусов, равен половине гипотенузы, следовательно второй катет (перпендикуляр) будет равен 8/2=4см. Нам нужно найти первый катет (проекцию): 8^2=4^2+х^2 64=16+х^2 х^2=64-16 х^2=48 х=корень из 48 Как то так
Перпендикуляр и наклонная к плоскости
Перпендикуляр и наклонная к плоскости. Признаки взаимного расположения прямых. Угол между прямыми. Взаимное расположение прямых и плоскостей. Угол между прямой и плоскостью. Теоремы о взаимном расположении прямой и плоскости.
1) Теоретический этап
АС – перпендикуляр, АВ — наклонная, СВ – проекция наклонной
— угол между наклонной и плоскостью
АВ 2 = ВС 2 + АС 2 теорема Пифагора
2) Подготовительный этап
Перепишите и заполните пропуски:
Пример 1. Из точки, не принадлежащей данной плоскости, проведены к ней
две наклонные, равные 10 см и 18 см. Сумма длин их проекций на
плоскость равна 16 см. Найти проекцию каждой наклонной. (рис.1)
Дано: ОС — перпендикуляр, АС и ВС — наклонные, АО и ОВ – их проекции, рис.1
АС = 10 см, СВ = 18 см, АО + ОВ = 16 см,
Найти: АО, ОВ
Решение: Пусть АО = х, тогда ОВ = 16 – х. Из прямоугольных треугольников АОС и ВОС по т. Пифагора: АС 2 – АО 2 = ВС 2 – ОВ 2 , 10 2 – х 2 = 18 2 – (16 – х) 2 , 100 – х 2 = 324 – 256 + 32 х – х 2 ,
32 х = 32, х = … , АО = 1 см, ОВ = 16 – 1 = . см
Ответ: 1см и 15 см.
Пример 2. Из точки к плоскости проведены две наклонные. Одна из них длиной 12см наклонена к плоскости под углом 60 ° , проекция другой на эту плоскость равна 6 см.
Найти длину этой наклонной.
Дано: ОС — перпендикуляр, АС и ВС — наклонные, АО и ОВ – их проекции, СА = 12 см, САО = 60°, ОВ = 6 см ,
Решение: Δ АОС — прямоугольный, АСО = 90 ° – 60 ° = 30 ° , АО = СА : 2 = 12: 2 = … (по свойству)
Из прямоугольного ΔАОС по т. Пифагора: СО 2 = СА 2 –АО 2 = 12 2 – 6 2 = 144 – 36 = …
Из прямоугольного ΔСОВ по т. Пифагора: СВ 2 = СО 2 + ОВ 2 = 108 + (6 ) 2 = 108 + 36 6 = 108 + 216 = … , СВ = … см.
Ответ: 18 см.
Пример 3. Из точки С к данной плоскости проведены перпендикуляр СО = 6 см и две наклонные. Каждая из наклонных образует с плоскостью угол 60 ° . Угол между наклонными 120 ° . Найти расстояние между основаниями наклонных.
Дано: ОС — перпендикуляр, АС и ВС — наклонные, АО и ОВ – их проекции, СО = 6 см, САО = СВО = 60 ° , АСВ = 120 °
Решение: sin САО = СО : АС, АС = ВС = СО : sin САО = 6: sin60 ° = 6 : = 12 : = 4 ,
Δ АВС – равнобедренный, по т. косинусов: АВ 2 = АС 2 + ВС 2 – 2 АС ВС cos АСВ =
= (4 ) 2 + (4 ) 2 – 2 4 cos 120 ° = 16 3 + 16 3 — 2 16 3 ( – ) = 48 + 48 + 48 = … ,
Ответ: АВ = 12 см.
Пример 4. Из точки С к данной плоскости проведены перпендикуляр СО и две наклонные СВ и АС, ОВ= 4 см, САО = 30°, СВО = 60 ° , а угол между наклонными 90 ° . Найти расстояние между основаниями наклонных.
Дано: ОС — перпендикуляр, АС и ВС — наклонные, АО и ОВ – их проекции, ОВ= 4 см, САО = 30 ° , СВО = 60 ° , АСВ = 90 ° ,
Решение: ΔСОВ – прямоугольный, СВО = 60 ° , ОСВ = 90 ° — 60 ° = 30 ° , ВС = 2 ОВ = 2 4 = … см (по свойству). Из прямоугольного ΔСОВ по т. Пифагора: СО 2 = ВС 2 – ОВ 2 = 8 2 – 4 2 = 64 – 16 = … , СО = = 4 см, АС = 2 СО = 2 4 = … см. Из прямоугольного ΔАВС по т. Пифагора: АВ 2 = АС 2 + ВС 2 = (8 ) 2 + 8 2 = 64 3 + 64 = … , АВ = … см.
Ответ: АВ = 16 см.
П ример 5. Дан параллелепипед АВСDА1В1С1D1 , у которого основание квадрат.
3) Практический этап
- Из точки, не принадлежащей данной плоскости, проведены к ней две наклонные,
равные 20 см и 36 см. Сумма длин их проекций на плоскость равна 32 см.
Найти проекцию каждой наклонной. - Из точки к плоскости проведены две наклонные. Одна из них длиной 24 см наклонена к плоскости под углом 60 ° , проекция другой на эту плоскость равна 12 см. Найти длину этой наклонной.
- Из точки С к данной плоскости проведены перпендикуляр СО = 12 см и две наклонные. Каждая из наклонных образует с плоскостью угол 60 ° . Угол между наклонными 120 ° .
Найти расстояние между основаниями наклонных. - Из точки С к данной плоскости проведены перпендикуляр СО и две наклонные СВ и АС.
ОВ= 8, САО = 30 ° , СВО = 60 ° , а угол между наклонными 90 ° . Найти расстояние между основаниями наклонных. - Дан параллелепипед АВСDА1В1С1D1, у которого основание квадрат. Докажите, что С1D1 ⊥ ВС.
- Дано: АС — перпендикуляр, АВ — наклонная, АС = 12 см, ВС = 5 см. Найдите АВ. (Указание: АВ 2 = ВС 2 + АС 2 )
- Дано: АО — перпендикуляр, АВ и АС — наклонные, АВ = АС, ОАВ = ВАС = 60°,
АО = 2,5 см. Найти: ВС. (Указание: Δ ВАС – равносторонний, ВС = АВ = АС = 2АО) - Телефонная проволока длиной 15 м протянута от телефонного столба, где она прикреплена на высоте 8 м от поверхности земли, к дому, где ее прикрепили на высоте 20 м. Найдите расстояние между домом и столбом, предполагая, что проволока не провисает.
- Из вершины равностороннего треугольника АВС проведен перпендикуляр АК к плоскости треугольника. Найдите длину АК, если ВС = 3 см, КС = 3 см.
- Прямые АВ и CD перпендикулярны некоторой плоскости и пересекают ее в точках В и D соответственно. Найдите AС, если АВ = 9, CD = 15, BD = 8.
- Отрезок МН пересекает некоторую плоскость в точке К. Через концы отрезка проведены прямые HP и ME, перпендикулярные плоскости и пересекающие ее в точках Р и Е. Найдите РЕ, если HP = 4 см, НК = 5 см, ME = 12 см.