Радиус вписанной окружности правильного треугольника, формула
Радиус вписанной окружности правильного треугольника вычисляется по классической формуле
(a — сторона правильного треугольника;
r — радиус вписанной окружности правильного треугольника)
После подстановок, преобразований и упрощений получается следующая формула:
Радиус вписанной и описанной окружности: полезные формулы. Задание С4
В этой статье я хочу привести несколько полезных формул, которые помогают легко найти радиус вписанной и описанной окружности, и показать решение задачи из задания С4 с использованием этих формул.
1 . Площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности:
. где 
Отсюда:
То есть радиус вписанной окружности равен отношению площади треугольника к его полупериметру.
Для прямоугольного треугольника и 
— катеты треугольника, а 
— гипотенуза.
2 . Площадь треугольника равна отношению произведения его сторон к учетверенному радиусу описанной окружности:
Угол при основании равнобедренного треугольника равен . Найдите отношение радиуса вписанной в этот треугольник окружности к радиусу описанной окружности:
Для вас другие записи этой рубрики:
- Решение задачи с параметром графическим способом. Задание 18
- Метод интервалов для решения дробно-рациональных неравенств
- Исследование функции. Задание В14 (2014)
- ДВИ в МГУ, 14.07.2107. Вариант 2, задача 5. Планиметрия.
- Решение комбинированных неравенств методом интервалов
- Наименьшее значение функции на отрезке. Задание 12
Окружность, вписанная в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
Определение 1 . Биссектрисой угла называют луч, делящий угол на две равные части.
ТЕОРЕМА 1 (Основное свойство биссектрисы угла) . Каждая точка биссектрисы угла находится на одном и том же расстоянии от сторон угла (рис.1).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на биссектрисе угла BAC , и опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.1). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны острые углы DAF и DAE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,
что и требовалось доказать.
ТЕОРЕМА 2 (обратная теорема к теореме 1) . Если некоторая точка находится на одном и том же расстоянии от сторон угла, то она лежит на биссектрисе угла (рис.2).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую внутри угла BAC и находящуюся на одном и том же расстоянии от сторон угла. Опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.2). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,
что и требовалось доказать.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2 . Окружность называют окружностью, вписанной в угол , если она касается сторон этого угла.
ТЕОРЕМА 3 . Если окружность вписана в угол, то расстояния от вершины угла до точек касания окружности со сторонами угла равны.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО . Пусть точка D – центр окружности, вписанной в угол BAC , а точки E и F – точки касания окружности со сторонами угла (рис.3).
Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE (как радиусы окружности), а гипотенуза AD – общая. Следовательно
что и требовалось доказать.
ЗАМЕЧАНИЕ . Теорему 3 можно сформулировать и по-другому: отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3 . Биссектрисой треугольника называют отрезок, являющийся частью биссектрисы угла треугольника, и соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.
ТЕОРЕМА 4 . В любом треугольнике все три биссектрисы пересекаются в одной точке.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО . Рассмотрим две биссектрисы, проведённые из вершин A и C треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 4).
Опустим из точки O перпендикуляры OD , OE и OF на стороны треугольника. Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла BAC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:
Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла ACB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:
Следовательно, справедливо равенство:
откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на биссектрисе угла ABC . Таким образом, все три биссектрисы треугольника проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4 . Окружностью, вписанной в треугольник , называют окружность, которая касается всех сторон треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, описанным около окружности .
СЛЕДСТВИЕ . В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну. Центром вписанной в треугольник окружности является точка, в которой пересекаются все биссектрисы треугольника.
Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник
Формулы, позволяющие найти радиус вписанной в треугольник окружности , удобно представить в виде следующей таблицы.
Формула для радиуса вписанной в треугольник окружности через площадь и полупериметр
a, b, c – стороны треугольника, S –площадь, r – радиус вписанной окружности, p – полупериметр
Формула для радиуса вписанной в треугольник окружности через полупериметр и стороны
a, b, c – стороны треугольника, r – радиус вписанной окружности, p – полупериметр
Формула для радиуса вписанной в треугольник окружности через основание и боковую сторону
a – боковая сторона равнобедренного треугольника, b – основание, r – радиус вписанной окружности
Формула для радиуса вписанной в треугольник окружности через сторону
a – сторона равностороннего треугольника, r – радиус вписанной окружности
Формула для радиуса вписанной в треугольник окружности через катеты и гипотенузу
Вывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник
ТЕОРЕМА 5 . Для произвольного треугольника справедливо равенство
где a, b, c – стороны треугольника, r – радиус вписанной окружности, – полупериметр (рис. 6).
с помощью формулы Герона получаем:
что и требовалось.
ТЕОРЕМА 6 . Для равнобедренного треугольника справедливо равенство
где a – боковая сторона равнобедренного треугольника, b – основание, r – радиус вписанной окружности (рис. 7).
то в случае равнобедренного треугольника, когда
что и требовалось.
ТЕОРЕМА 7 . Для равностороннего треугольника справедливо равенство
где a – сторона равностороннего треугольника, r – радиус вписанной окружности (рис. 8).
то в случае равностороннего треугольника, когда
что и требовалось.
ЗАМЕЧАНИЕ . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в равносторонний треугольник, непосредственно, т.е. без использования общих формул для радиусов окружностей, вписанных в произвольный треугольник или в равнобедренный треугольник.
ТЕОРЕМА 8 . Для прямоугольного треугольника справедливо равенство
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО . Рассмотрим рисунок 9.
Поскольку четырёхугольник CDOF является прямоугольником, у которого соседние стороны DO и OF равны, то этот прямоугольник – квадрат. Следовательно,
В силу теоремы 3 справедливы равенства
Следовательно, принимая также во внимание теорему Пифагора, получаем
что и требовалось.
ЗАМЕЧАНИЕ . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, с помощью общей формулы для радиуса окружности, вписанной в произвольный треугольник.
Справочник по математике для школьников
- Арифметика
- Алгебра
- Тригонометрия
- Геометрия (планиметрия)
- Геометрия (стереометрия)
- Элементы математического анализа
- Вероятность и статистика
Геометрия (планиметрия)
- Основные фигуры планиметрии
- Фигуры, составляющие основу планиметрии
- Углы на плоскости
- Теорема Фалеса
- Углы, связанные с окружностью
- Признаки параллельности прямых
- Типы треугольников. Признаки равенства треугольников
- Свойства и признаки равнобедренного треугольника
- Свойства и признаки прямоугольного треугольника
- Свойства сторон и углов треугольника
- Подобие треугольников
- Теорема Пифагора. Теорема косинусов
- Биссектриса треугольника
- Медиана треугольника
- Высота треугольника. Задача Фаньяно
- Средние линии треугольника
- Теорема Чевы
- Теорема Менелая
- Описанная окружность. Теорема синусов
- Формулы для стороны, периметра и площади правильного треугольника
- Площадь треугольника
- Окружность, вписанная в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
- Вневписанные окружности
- Четырехугольники
- Параллелограммы
- Трапеции
- Четырехугольники, вписанные в окружность. Теорема Птолемея
- Описанные четырехугольники
- Площади четырехугольников
- Многоугольники
- Правильные многоугольники
- Углы, связанные с окружностью
- Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке
- Две окружности на плоскости. Общие касательные к двум окружностям
- Площадь круга и его частей. Длина окружности и ее дуг
- Окружность, описанная около треугольника. Теорема синусов
- Окружность, вписанная в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
- Вневписанные окружности
- Четырехугольники, вписанные в окружность. Теорема Птолемея
- Описанные четырехугольники
- Площади четырехугольников
- Площадь треугольника
- Вывод формул Герона и Брахмагупты
- Средние линии
- Геометрические места точек на плоскости
- Движения плоскости. Теорема Шаля. Аффинные преобразования плоскости
Учебные пособия для школьников
- Задачи на проценты
- Квадратный трехчлен
- Метод координат на плоскости
- Прогрессии
- Решение алгебраических уравнений
- Решение иррациональных неравенств
- Решение логарифмических неравенств
- Решение логарифмических уравнений
- Решение показательных неравенств
- Решение показательных уравнений
- Решение рациональных неравенств
- Решение тригонометрических уравнений
- Степень с рациональным показателем
- Системы уравнений
- Тригонометрия в ЕГЭ по математике
- Уравнения и неравенства с модулями
- Фигуры на координатной плоскости, заданные неравенствами
Демоверсии ЕГЭ
- Демонстрационные варианты ЕГЭ по английскому языку
- Демонстрационные варианты ЕГЭ по биологии
- Демонстрационные варианты ЕГЭ по географии
- Демонстрационные варианты ЕГЭ по информатике
- Демонстрационные варианты ЕГЭ по испанскому языку
- Демонстрационные варианты ЕГЭ по истории
- Демонстрационные варианты ЕГЭ по китайскому языку
- Демонстрационные варианты ЕГЭ по литературе
- Демонстрационные варианты ЕГЭ по математике
- Демонстрационные варианты ЕГЭ по немецкому языку
- Демонстрационные варианты ЕГЭ по обществознанию
- Демонстрационные варианты ЕГЭ по русскому языку
- Демонстрационные варианты ЕГЭ по физике
- Демонстрационные варианты ЕГЭ по французскому языку
- Демонстрационные варианты ЕГЭ по химии
- Итоговое сочинение (изложение) в 11 классе
Демоверсии ОГЭ
- Демонстрационные варианты ОГЭ по английскому языку
- Демонстрационные варианты ОГЭ по биологии
- Демонстрационные варианты ОГЭ по географии
- Демонстрационные варианты ОГЭ по информатике
- Демонстрационные варианты ОГЭ по испанскому языку
- Демонстрационные варианты ОГЭ по истории
- Демонстрационные варианты ОГЭ по литературе
- Демонстрационные варианты ОГЭ по математике
- Демонстрационные варианты ОГЭ по немецкому языку
- Демонстрационные варианты ОГЭ по обществознанию
- Демонстрационные варианты ОГЭ по русскому языку
- Демонстрационные варианты ОГЭ по физике
- Демонстрационные варианты ОГЭ по французскому языку
- Демонстрационные варианты ОГЭ по химии
- Итоговое собеседование по русскому языку в 9 классе
Радиус вписанной окружности равнобедренного треугольника, формула
Радиус вписанной окружности равнобедренного треугольника вычисляется по классической формуле
\[p=\frac<1>(a+a+b)=a+\frac\]
(a, b — стороны равнобедренного треугольника;
r — радиус вписанной окружности равнобедренного треугольника) После подстановок, преобразований и упрощений получается следующая формула:\[r = \frac \sqrt< \frac > \]