Как найти стороны прямоугольного параллелепипеда

1. Прямоугольный параллелепипед

Они могут быть сделаны из разного материала и окрашены в разные цвета, но по форме они напоминают друг друга: коробки, шкафы, здания и т. п.

Все эти предметы напоминают геометрическое тело — прямоугольный параллелепипед .

Поверхность его состоит из \(6\) прямоугольников, которые называются гранями прямоугольного параллелепипеда.

Две грани называются противоположными, если у них нет общего ребра. Каждые две противолежащие грани равны.

Грани можно назвать в зависимости от того, как мы видим прямоугольный параллелепипед:
та грань, которая обращена к нам, называется передней;
точно такая же грань имеется сзади — это задняя грань;
боковые грани также являются равными прямоугольниками;
та грань, которая находится сверху, называется верхней;
а грань, на которой фигура стоит, называется нижней, или основанием, и эти две грани равны.

Вершины параллелепипеда — это вершины его граней, рёбра — отрезки, соединяющие вершины параллелепипеда.

Прямоугольный параллелепипед имеет \(8\) вершин , \(12\) рёбер, \(6\) граней (передняя, задняя, нижняя, верхняя и две боковые),

Измерения прямоугольного параллелепипеда — это его длина, ширина и высота (на нижнем рисунке — красные рёбра с общей вершиной).

Если у прямоугольного параллелепипеда все измерения равны, то он называется кубом . Грани куба — равные квадраты.

Боковое ребро параллелепипеда

Прямоугольный параллелепипед является прямой призмой, в основании которой лежит квадрат или прямоугольник, таким образом, совокупность ребер прямоугольного параллелепипеда может представлять собой два или три разных параметра. Если же они все равны между собой, то можно с уверенностью сказать, что такой параллелепипед является кубом, и его ребро можно найти по формулам, приведенным в разделе «Ребро куба».
Ребро прямоугольного параллелепипеда можно найти, зная объем тела и другие ребра: Также можно рассчитать ребро прямоугольного параллелепипеда через площадь боковой или полной поверхности, тоже зная остальные два ребра: Как и в случае с кубом, внутри прямоугольного параллелепипеда можно провести диагональ, которая соединит противоположные вершины оснований. В прямоугольном треугольнике диагональ параллелепипеда D будет гипотенузой, а диагональ основания d и ребро a – катетами. Тогда боковое ребро параллелепипеда можно будет найти через теорему Пифагора.

Если дана диагональ параллелепипеда, но нужно найти ребро, не входящее во внутренний прямоугольный треугольник, а являющееся стороной основания, то формула придет к точно такому же виду.

4. Формула диагонали прямоугольного параллелепипеда

Прямая призма, основанием которой является прямоугольник, называется прямоугольным параллелепипедом .

Длины трёх рёбер, имеющих общую вершину, называются измерениями прямоугольного параллелепипеда.

Например, три измерения — это длины трёх рёбер DA , DC , DD 1 .

Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений:

d 2 = a 2 + b 2 + c 2 ,

где \(a, b, c\) — измерения прямоугольного параллелепипеда, т. е. его длина, ширина и высота.

На рисунке: D B 1 2 = DA 2 + DC 2 + D D 1 2 .

Боковое ребро параллелепипеда

Четырехугольная призма, в основании которой находится параллелограмм, является параллелепипедом. В параллелепипеде 6 граней: 4 — боковые и 2 — его основание. Грани, как правило, представляют собой параллелограмм. Противолежащие грани параллельны и равны. Параллелепипеды бывают прямыми и наклонными. У прямого параллелепипеда боковые грани являются прямоугольниками. Прямой параллелепипед, в основании которого лежит прямоугольник, называется прямоугольным. У него все шесть граней — прямоугольники, противоположные стороны которых параллельны и равны, а все углы — прямые. Прямоугольный параллелепипед строится на трех ребрах, расположенных друг к другу под прямым углом. Длины этих ребер, обладающих общим концом, называются его измерениями.

Боковое ребро прямоугольного параллелепипеда можно рассчитать несколькими способами, в зависимости от исходных данных.
Если известны объем (V) и два ребра (b, c) правильного параллелепипеда, третье ребро (а) будет равно частному от деления объема на произведение двух ребер (b×c):

a = V / bc

Если известна площадь боковой поверхности и два ребра (b, c), находим неизвестное ребро (а) путем деления площади боковой поверхности (S) на удвоенную сумму двух известных ребер 2 (b+c).

a = S_б.п. / 2 (a+c)

Если известны два ребра (b, c) и полная площадь поверхности (S п.п.), неизвестное ребро (а) находим по формуле:

a = (S_п.п. — 2bc) / 2 (b+c)

Проведенный внутри параллелепипеда отрезок, соединяющий противоположные вершины двух его оснований, является диагональю параллелепипеда (D). Отрезок, соединяющий противоположные вершины одного из оснований, является диагональю основания (d). Внутри прямоугольного параллелепипеда можно построить прямоугольный треугольник, у которого гипотенузой будет диагональ параллелепипеда D, одним из катетов — диагональ основания d, другим — боковое ребро параллелепипеда (а). Используя теорему Пифагора, выразим квадрат диагонали основания d (гипотенузу) как сумму квадратов его сторон (катетов) b, с. Отсюда, квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда (D) равен сумме квадратов трёх его измерений (а,b,с). Зная ребра и диагональ параллелепипеда, находим боковое ребро по формуле:

a = √D 2 + d 2 = √D 2 + b 2 + c 2

где b, c — ребра параллелепипеда, a — боковое ребро параллелепипеда, D — диагональ параллелепипеда, d — диагональ основания.