Теория вероятностей: как научиться предсказывать случайные события
Разбираем основные понятия, решаем задачи и делаем первый шаг на пути к карьере в data science.
Кадр: фильм «Сумерки. Сага. Затмение» / West Video
Дмитрий Зверев
Любитель научной фантастики и технологического прогресса. Хорошо сочетает в себе заумного технаря и утончённого гуманитария. Пишет про IT и радуется этому.
Продолжаем разбираться с математическими концепциями, на которых держится современное IT. Сегодня поговорим о теории вероятностей — разделе математики, который широко используется в машинном обучении, геймдеве, статистике и науке о данных.
Из этой статьи вы узнаете:
- Что такое теория вероятностей
- Какие понятия в неё входят
- Что такое алгебра событий
- По каким формулам она работает
- Как решать задачи по теории вероятностей
Что такое теория вероятностей
Теория вероятностей — это наука, которая изучает мир случайностей и пытается их предсказать. Здесь встречаются такие понятия, как «события» и «вероятности», у которых, в свою очередь, есть свои свойства и операции — о них мы поговорим чуть позже.
Проще всего продемонстрировать, как работает теория вероятностей, на примере подбрасывания монетки. В этом случае у нас есть два варианта: орёл или решка, а значит, шанс выпадения каждой из сторон одинаковый и составляет 50%.
Но как убедиться, что это действительно так? Например, я могу подбросить монетку десять раз, и мне магическим образом девять раз подряд выпадет орёл и один раз решка. Значит ли это, что шанс выпадения орла — 90%? Конечно, нет — и у этого есть научное объяснение.
Дело в том, что теория вероятностей рассматривает случайные события в рамках бесконечности. Иными словами, если мы будем подбрасывать монетку бесконечное количество раз, то шансы выпадения орла или решки будут приближаться к 50%.
В математике такая закономерность называется законом больших чисел, и этот закон — один из фундаментальных для data science. Фишка в том, что чем больше данных мы имеем на руках, тем точнее можно делать предсказания. Подробнее об этом читайте в статье «Математика для джунов».
Такая же логика работает и для других случайных явлений — например, шанс выпадания числа 5 на игральном кубике равен 1 к 6, а вероятность того, что молния ударит в одно и то же место дважды — примерно 1 к 500.
Теория вероятностей помогает нам предсказывать шанс возникновения различных событий, когда ответ не такой однозначный и на события влияет множество факторов.
Основные понятия
Мы упомянули слова «событие» и «вероятность», но не рассказали, что они вообще значат в контексте теории вероятностей. Давайте разбираться.
События
Событие — это всё, что может произойти, когда мы совершаем какое-то действие. Например, если мы бросаем монетку, то событие — это выпадение орла или решки. Чтобы обозначать события, используют заглавные буквы латинского алфавита. Например, для орла можем выбрать букву A, а для решки — B.
Существует много разных видов и классификаций событий, но в этой статье мы остановимся на основных четёрых:
- Достоверные — те, которые точно произойдут. Если бросить стакан на пол, то с вероятностью 100% он полетит вниз.
- Невозможные — те, которые никогда не произойдут. Если бросить тот же стакан на пол, то он никогда не полетит вверх (мораль: не стоит бросать стаканы на пол, если, конечно, вы не на МКС).
- Случайные — те, которые могут произойти, а могут и не произойти. Например, если мы бросаем игральный кубик, то не можем с уверенностью сказать, что выпадет число 2.
- Несовместимые — те, которые исключают друг-друга. Например, при подбрасывании монетки может выпасть либо орёл, либо решка — оба одновременно они выпасть не могут.
Если собрать все несовместимые события вместе, они будут называться полной группой событий. Это множество событий, одно из которых обязательно случится, если мы совершаем действие, а другие — не произойдут никогда. Например, когда мы бросаем игральный кубик, может выпасть только одна из сторон.
Вероятности
Вероятность — это число, которое обозначает шанс возникновения события. Например, вероятность выигрыша в лотерею может составлять 1 к 1 000 000.
Мы записывали значения вероятностей в процентах и отношениях, но математикам удобнее располагать их в диапазоне от 0 до 1. Если вероятность равна 0, то событие никогда не произойдёт, а если 1 — точно произойдёт. Всё, что посередине, — это случайные события.
Самый простой способ вычислить вероятность — поделить число благоприятных событий на общее число возможных событий. Например, если всего в колоде 36 карт, а мы хотим достать короля пик, то вероятность этого события равна 1/36, или 0,03. Если бы нас устроил любой из королей, то вероятность была бы равна 4/36 — то есть 0,1.
К формулам мы ещё вернёмся, а пока отметим, что вероятность — это не всегда точное предсказание, а лишь оценка шанса возникновения события. Как следует из закона больших чисел, если шанс выпадения орла и решки равен 50%, это не означает, что они будут выпадать по очереди.
Ещё вероятность может быть условной — или зависеть от другого события. Например, если мы хотим вытащить любой туз из колоды карт, шанс равен 4/36. Но если до этого кто-то уже вытащил одного туза, то вероятность будет равна 3/35. Это потому, что в колоде стало на одну карту меньше и количество благоприятных событий тоже уменьшилось.
С определениями закончили — теперь давайте узнаем, как событиями можно управлять.
Что такое алгебра событий
Когда мы считаем вероятности, нас может устраивать более чем один результат событий. Или другая ситуация — нам может быть важно, чтобы два события выполнялись вместе. В таких случаях на помощь приходит алгебра событий. Разбираемся, какие действия она позволяет совершать.
Дисклеймер: в этом разделе мы не рассматриваем вычитание и дополнение событий, потому что они довольно сложны для первого знакомства с теорией вероятностей. Возможно, скоро мы выпустим о них отдельную статью.
Сложение (объединение) событий
Сумма двух событий A + B — это сложное событие, которое произойдёт, если случится или событие A, или событие B, или оба одновременно.
Допустим, мы хотим вычислить вероятность выпадения на кубике стороны с числами 2 или 4. Обозначим событие «выпадение стороны 2» как A, а событие «выпадение стороны 4» как B. Так как у кубика всего шесть граней, вероятность выпадения каждой из этих сторон равна 1/6.
А так как нас интересует либо событие A, либо событие B, мы ищем сумму этих событий — A + B. Вычисляем соответствующие вероятности:
Получается, что шанс выпадения стороны 2 или 4 при броске кубика равен 2 к 6, или 1 к 3, или 33%.
Правило сложения можно применять не только к двум событиям, но и к любому их количеству. Например, событие A + B + C + D произойдёт, если случится хотя бы одно из событий A, B, C, D или одна из их комбинаций, такая как A и C или A, C и D.
Умножение (пересечение) событий
Произведение событий A и B — это событие A × B, которое произойдёт, если случится и событие A, и событие B.
Допустим, мы бросаем монетку два раза и хотим понять, каков шанс, что оба раза выпадет решка. Напомним, что вероятность выпадения решки — 1/2.
Обозначаем события: A — решка выпадает первый раз, B — решка выпадает второй раз. Считаем вероятности:
Получаем, что шанс выпадения решки два раза подряд — 25%.
Как в случае с суммой, произведение событий можно считать для любого количества разных событий. Давайте продолжим пример с монеткой — теперь мы хотим, чтобы она выпала четыре раза подряд.
Добавляем два новых обозначения: C — решка выпадает третий раз, D — решка выпадает четвёртый раз. Вероятности всё те же, считаем их произведение:
Ответ — шанс выпадения решки четыре раза подряд равен 1 к 16, или 6,25%.
Сложение совместимых событий
Когда мы говорили о сложении вероятностей, мы использовали несовместимые события, поскольку при броске кубика может выпасть только одна сторона (или ребро, если вам сильно повезёт).
Теперь, когда мы познали тонкости вероятностного умножения, можно разобраться с тем, как складывать совместимые события. В этом случае из суммы двух событий нужно просто вычесть их произведение. Формула выглядит так:
P (A + B) = P (A) + P (B) — P (A ⋅ B)
Примером такого сложения может быть выбор случайных чисел. Допустим, у нас есть набор чисел от 1 до 10 и мы хотим найти вероятность того, что выбранное число будет или нечётным, или делиться на 7 без остатка.
- Событие A — число нечётное. Вероятность выбрать именно его — 5/10.
- Событие B — число делится на 7 без остатка. Вероятность — 1/10.
Так как число 7 удовлетворяет обоим условиям, мы имеем дело с совместимыми событиями — то есть они могут происходить одновременно. Подключаем формулу: сначала находим сумму вероятностей, а потом вычитаем из неё вероятность пересечения. Внимание на экран:
Вуаля! Получается, что шанс выполнения одного из двух событий равен 11/20, или 55%.
На этом с алгеброй событий закончим и перейдём к более классическим формулам. Но не пугайтесь, мы всё подробно объясним.
Ещё несколько формул теории вероятностей
Для начала — универсальная формула. Выглядит она так:
Разберёмся, что значат все эти буквы:
- Функция P вычисляет вероятность того, что произойдёт событие, которое нас устраивает (A);
- n обозначает общее число возможных событий;
- m — число благоприятных исходов.
Например, попробуем вычислить по этой формуле вероятность выпадения решки:
Всё в порядке, формула работает.
Давайте усложним задачу: посчитаем вероятность того, что решка выпадет три раза. Для этого нужно разбить событие на несколько уникальных — например, выпадение решки при первом, втором и третьем бросках. Обозначим эти события как B, C и D.
Так как эти события зависимы друг от друга, нам нужно их перемножить — для этого подставляем в нашу формулу числа:
Всё верно — вероятность посчитали правильно.
Из этой формулы можно сделать несколько выводов:
- Если вероятность равна единице — значит, она достоверная. Смысл в том, что из общего числа событий нам подходят все — то есть событие точно произойдёт.
- Если вероятность равна нулю — значит, она невозможная. Всё из-за того, что нам не подходит ни одно из имеющихся событий.
- Если вероятность находится в диапазоне от нуля до единицы — она случайная. Это значит, что общее число результатов больше нуля, но не все из них нам подходят.
Теперь вы знаете достаточно, чтобы решать простые задачи по теории вероятностей, чем мы и займёмся в следующем разделе.
Решаем задачи по теории вероятностей
При решении задач используйте главную формулу теории вероятностей, а также формулы сложения и произведения вероятности событий.
Задача 1. В колоде 52 карты. Мы решили вытащить из неё одну — найдите вероятность того, что это будет туз.
- Число всех возможных событий — 52, так как в колоде 52 карты.
- Число благоприятных событий — четыре, так как всего в колоде четыре туза.
Вычислим вероятность того, что из всех карт нам попадётся именно туз:
Теперь посчитаем сумму благоприятных событий:
Ответ: 4/52, или 1/13.
Задача 2. В кармане лежит шесть монет: две рублёвых, две пятирублёвых и две десятирублёвых. Мы по очереди достаём две из них случайным образом. Найдите вероятность того, что они обе будут одного номинала.
Сначала мы достаём первую монету. Это может быть или рубль, или пять, или десять. Получается, вероятность достать монету любого номинала — 1/3.
Теперь достаём вторую монету — она должна быть того же номинала, что и первая. Так как только одна из них удовлетворяет нашим критериям, вероятность этого составляет 1/5. А так как наши события связаны друг с другом, перемножаем вероятности обоих:
Ответ: 1/15.
Задача 3. Вы бросаете игральные кости с шестью сторонами. Найдите вероятность того, что сумма выпавших очков будет равна 7.
Всего существует шесть различных комбинаций, которые дают сумму 7:
Общее число возможных результатов при бросании двух костей равно 6 × 6 = 36. Подставляем наши значения в формулу:
Ответ: 6/36, или 1/6.
Что дальше
В этой статье мы разобрались с базовыми понятиями теории вероятностей. Если хотите лучше разбираться в вопросе, хорошие лекции можно найти здесь и здесь. А на этом бесплатном курсе теория даётся сразу с примерами и упражнениями — полезно, если хотите отточить знания на практике.
Для общего развития можно почитать нашу статью «Математика для джунов» и статью о том, как устроена случайность в играх. А если вы всерьёз нацелены вкатиться в data science и хотите подтянуть математический бэкграунд, для вас есть курс «Основы математики для Data Science».
Читайте также:
- Интегралы: всё, что вы хотели знать, без интриг и сложных терминов
- Заняться фронтенд-разработкой в 12 лет, выиграть IT‑чемпионат в 13: история Али Сулейманова
- Чем различается фронтенд- и бэкенд-разработка
Букву P используют потому, что на английский язык слово «вероятность» переводится как probability.
Как решать задачи на вероятность?
Если вас интересует вопрос заголовка, вы наверняка студент или школьник, столкнувшийся с новым для себя предметом. Задачи теории вероятностей сейчас решают и школьники пятых классов продвинутых школ, и старшеклассники перед ЕГЭ, и студенты буквально всех специальностей — от географов до математиков. Что же это за предмет такой, и как к нему подойти?
Спасибо за ваши закладки и рекомендации
Вероятность. Что это?
Теория вероятностей, как следует из названия, имеет дело с вероятностями. Нас окружают множество вещей и явлений, о которых, как бы ни была развита наука, нельзя сделать точных прогнозов.
Мы не знаем, какую карту вытянем из колоды наугад или сколько дней в мае будет идти дождь, но, имея некоторую дополнительную информацию, можем строить прогнозы и вычислять вероятности этих случайных событий.
Таким образом, мы сталкиваемся с основным понятием случайного события — явления, поведение которого невозможно предсказать, опыта, результат которого заранее невозможно вычислить и т.п. Именно вероятности событий вычисляются в типовых задачах.
Вероятность — это некоторая, строго говоря, функция, принимающая значения от 0 до 1 и характеризующая данное случайное событие. 0 — событие практически невозможно, 1 — событие практически достоверно, 0,5 (или «50 на 50») — с равной вероятностью событие произойдет или нет.
Подробно решим ваши задачи по теории вероятностей
Алгоритм решения задач на вероятность
Подробнее с основами теории вероятностей можно ознакомиться, например, в онлайн учебнике.
А теперь не будем ходить вокруг да около, и сформулируем схему, по которой следует решать стандартные учебные задачи на вычисление вероятности случайного события, а затем ниже на примерах проиллюстрируем ее применение.
- Внимательно прочитать задачу и понять, что именно происходит (что из какого ящика вытаскивается, что где лежало, сколько приборов работает и т.п.)
- Найти основной вопрос задачи вроде «вычислить вероятность того, что . » и вот это многоточие записать в виде события, вероятность которого надо найти.
- Событие записано. Теперь надо понять, к какой «схеме» теории вероятностей относится задача, чтобы правильно выбрать формулы для решения. Ответьте на тестовые вопросы типа:
- происходит одно испытание (например, выбрасывание двух костей) или несколько (например, проверка 10 приборов);
- если испытаний несколько, зависимы ли результаты одного от других (зависимость или независимость событий);
- событие происходит в единственной ситуации или задача говорит о нескольких возможных гипотезах (например, шар вынимается из любого ящика из трех, или из конкретного).
Как решать задачи: классическая вероятность
Пример 1. В группе из 30 студентов на контрольной работе 6 студентов получили «5», 10 студентов – «4», 9 студентов – «3», остальные – «2». Найти вероятность того, что 3 студента, вызванные к доске, получили по контрольной работе «2».
Начинаем решение по пунктам, описанным выше.
- В задаче речь идет о выборе 3 студентов из группы, которые удовлетворяют определенным условиям.
- Вводим основное событие $X$ = (Все 3 студента, вызванные к доске, получили по контрольной работе «2»).
- Так как в задаче происходит только одно испытание и оно связано с отбором/выбором по определенному условию, речь идет о классическом определении вероятности. Запишем формулу: $P=m/n$, где $m$ – число исходов, благоприятствующих осуществлению события $X$, а $n$ – число всех равновозможных элементарных исходов.
- Теперь необходимо найти значения $m$ и $n$ для этой задачи. Сначала найдем число всех возможных исходов — число способов выбрать 3 студентов из 30. Так как порядок выбора не имеет значения, это число сочетаний из 30 по 3: $$n=C_^3=\frac=\frac=4060.$$ Найдем число способов вызвать только студентов, получивших «2». Всего таких студентов было $30-6-10-9=5$ человек, поэтому $$m=C_^3=\frac=\frac=10.$$
- Получаем вероятность: $$P(X)=\frac=\frac=0,002.$$ Задача решена.
Некогда решать? Найди решенную задачу
Готовые решения задач по любым разделам теории вероятностей, более 10000 примеров! Найди свою задачу:
Как решать задачи: формула Бернулли
- В задаче идет речь о серии одинаковых испытаний — бросаний монеты.
- Вводим основное событие $X$ = (При 8 бросаниях монеты герб выпадет 5 раз).
- Так как в задаче происходит несколько испытаний, и вероятность появления события (герба) одинакова в каждом испытании, речь идет о схеме Бернулли. Запишем формулу Бернулли, которая описывает вероятность того, что из $n$ бросков монет герб выпадет ровно $k$ раз: $$ P_(k)=C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^.$$
- Записываем данные из условия задачи: $n=8, p=0,5$ (вероятность выпадения герба в каждом броске равна 0,5) и $k=5$
- Подставляем и получаем вероятность: $$ P(X)=P_(5)=C_8^5 \cdot 0,5^5 \cdot (1-0,5)^=\frac\cdot 0,5^8=\frac\cdot 0,5^8= 0,219.$$ Задача решена.
И это все? Конечно, нет.
Выше мы упомянули только малую часть тем и формул теории вероятностей, для более подробного изучения вы можете посмотреть учебник онлайн на данном сайте (или скачать классические учебники по ТВ), ознакомиться со статьями по решению вероятностных задач, бесплатными примерами, воспользоваться онлайн калькуляторами. Удачи!
Спасибо за ваши закладки и рекомендации
Полезные статьи по теории вероятностей
- Как найти математическое ожидание случайной величины?
- Как найти дисперсию случайной величины?
- Как найти вероятность в задачах про выстрелы?
- Как найти вероятность в задачах про подбрасывания монеты?
- Как найти вероятность в задачах про подбрасывание игральных костей?
- Как найти вероятность в задачах про станки?
- Как найти вероятность в задачах про надежность схем и цепей?
- Как найти вероятность наступления хотя бы одного события?
Основные формулы теории вероятности
Практически 100%-ая копия полюбившегося многим инстаграм, идеально подойдет для портфолио, презентации работ своим клиентам или как отклик на понравившуюся вакансию. Молодой ресурс, но администраторы оперативно реагируют на предложения и вопросы.
Основные формулы теории вероятности
Множество $A-$ совокупность каких-либо объектов $a$, называемых элементами множества: $a\in A$
Дополнение $\overline A $
$\overline A $ содержит все элементы, не принадлежащие $A$
Равенство
множеств $A=B$Два множества $A$ и $B$ равны между собой, если они состоят из одних и тех же элементов
Объединение < сумма >множеств $C=A+B$
Множество $C$ состоит из всех элементов, принадлежащих или множеству $A$, или множеству $B$ или и $A$ и $B$ одновременно
Пересечение
< произведение >
множеств $C=A\cdot B$Множество $C$ состоит из элементов, принадлежащих одновременно и множеству $A$ и множеству $B$
Разность двух
множеств $C=A-B$$C$ состоит из элементов множества $A$, которые не являются элементами множества $B$
Два множества называются эквивалентными, если между ними установлено взаимно-однозначное соответствие.
Бесконечные множества, эквивалентные множеству натуральных чисел $\mathbb < N >$
Перестановки. Число
перестановокСоединения, отличающиеся только порядком элементов, называются перестановками. Число перестановок из $n$ элементов $P_n =n!$, где
$n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot \ldots \cdot n$
Размещения.
Число размещенийСоединения из $n$ различных элементов по $m$, отличающихся друг от друга составом элементов либо их порядком, называются размещениями. Число размещений из $n$ по $m$
Сочетания.
Число сочетанийСоединения из $n$ различных элементов по $m$, отличающихся друг от друга хотя бы одним элементом, называются сочетаниями. Число сочетаний из $n$ по $m$
$C_n^0 +C_n^1 +C_n^2 +\ldots +C_n^ < n-1 >+C_n^n =2^n$
Это опыт < испытание >, результат которого заранее не определен
Результат, который обязательно наступает при осуществлении данного комплекса условий < опыта, эксперимента >называется достоверным событием
Это событие, которое может произойти, а может и не произойти в данном испытании
Это событие, которое не может произойти при данном комплексе условий
Относительная частота события $A$
Отношение $\nu (A)=\frac < m > < n >$ числа экспериментов $m$, завершившихся событием $A$, к общему числу $n$ проведенных экспериментов
Статистическое определение
вероятностиЕсли при неограниченном увеличении числа экспериментов относительная частота события $\nu (A)$ стремится к некоторому фиксированному числу, то событие $A$ стохастически устойчиво и это число $p(A)$ называют вероятностью события $A$
Определение
вероятности в классической
схеме$P(A)=\frac < m > < n >$, где $m$ – число исходов стохастического эксперимента, благоприятствующих наступлению события $A$, $n$ – общее число всех равновозможных исходов
Вероятность
суммы
< объединения >, двух событий $A$ и $B$Вероятность
произведения двух зависимых
событий $A$ и $B$$P(AB)=P(A)\cdot P(B/A)=P(B)\cdot P(A\vert B)$,
где $P(B\vert A)$ – условная вероятность события $B$ при условии, что событие $A$ с ненулевой вероятностью произошло
Независимые
события $A$ и $B$Это такие события, для которых $P(B\vert A)=P(B)$ и $P(A\vert B)=P(A)$.
Следовательно, $P(AB)=P(A)\cdot P(B)$
Стохастический эксперимент состоит из последовательности $n$ независимых и одинаковых испытаний, в каждом из которых может произойти событие $A$ или событие, ему противоположное $\overline A $ с вероятностями соответственно равными $p$ и $q=1-p$
Вероятность того, что в серии из $n$ испытаний событие $A$ появится ровно $m$ раз $P_n (m)=C_n^m \cdot p^m\cdot q^ < n-m >$
Вероятность того, что при $n$ испытаниях $A$ появляется не менее $m_1 $ и не более $m_2 $ раз вычисляется по формуле:
При достаточно большом $n$ и малом $p$, если $a=np\lt 10\rightarrow P_n (m)\approx \frac < a^m > < m! >e^ < -a >$
Локальная формула Муавра-Лапласа
При достаточно большом $n$ и не слишком малых $p$ и $q$
Интегральная
формула
Муавра – Лапласа$P_n (m_1 \leqslant m\leqslant m_2 )=\Phi (x_2 )-\Phi (x_1 )$,
Понятие
случайной
величиныСлучайной величиной называют переменную величину, которая принимает числовые значения в зависимости от исходов испытания случайным образом.
Понятие
дискретной
случайной
величиныДСВ $X$ – случайная величина, принимающая различные значения, которые можно записать в виде конечной или бесконечной последовательности, то есть численные значения которой образуют конечное или счетное множество.
Закон
распределения
дискретной
случайной
величиныСоответствие между значениями $x_1, x_2, \cdots $ дискретной случайной величины и их вероятностями $p_1, p_2, \cdots $ называется законом распределения и может быть задан таблично или аналитически < то есть с помощью формул >. Если ДСВ $X$ принимает конечное множество значений $x_1 ,x_2 ,x_3 . $ соответственно с вероятностями $p_1 ,p_2 . p_n $, то ее закон распределения определяется формулами
$P(X=x_k )=p_k , ~k=1,2. n$ и $\sum\limits_ < k=1 >^n < p_k =1 >$
Если ДСВ $X$ принимает бесконечную последовательность значений $x_1 ,x_2 ,x_3 . $ соответственно с вероятностями $p_1 ,p_2 ,p_3 . $, то ее закон распределения определяется формулами
$P(X=x_k )=p_k, ~k=1,2. n$ и $\sum\limits_ < k=1 >^\infty < p_k =1 >$
Понятие
непрерывной
случайной
величиныНСВ $X$ – случайная величина, которая может принимать любые значения из некоторого промежутка, то есть множество значений непрерывной случайной величины несчетно.
Функция
распределения. Свойства функции распределенияФункцией распределения случайной величины $X$ называется функция действительного переменного $x$, определяемая равенством $F(x)=P(X\lt x)$, где $P(X\lt x)$ — вероятность того, что случайная величина $X$ принимает значение, меньше $x$
Функция распределения $F(x)$ для ДСВ $X$, которая может принимать значения $x_1 ,x_2 . x_n $ c соответствующими вероятностями $p_1 ,p_2 . p_n$ имеет вид $F(x)=\sum\limits_ < x_k \lt x > < P(X\lt x_k ) >$, где символ $x_k \lt x$ означает, что суммируются вероятности $p_k $ тех значений, которые меньше $x$.
Функция является разрывной.
Случайная величина $X$ называется непрерывной, если ее функция распределения $F(x)$ является непрерывно дифференцируемой.
Вероятность того, что СВХ примет значение из промежутка $\left[ < \alpha ;\beta >\right)$, равна разности значений ее функции распределения на концах этого полуинтервала:
$P(\alpha \leqslant X\lt \beta )=F(\beta )-F(\alpha )$
Свойства функции распределения
1. $0\leqslant F(x)\leqslant 1$
2. Если $x_1 \lt x_2 $, то $F(x_1 )\leqslant F(x_2 )$, то есть функция распределения является неубывающей.
Функция
распределения. Свойства функции распределения3. Функция $F(x)$ в точке $x_0 $ непрерывна слева, то есть $\mathop < \lim >\limits_ < x\to x_0 -0 >F(x)=F(x_0 )$; $F(x_0 -0)=F(x_0 )$
4. Если все возможные значения СВХ принадлежат интервалу $(a;b)$, то $F(x)=0$ при $x\leqslant a$, $F(x)=1$ при $x\geqslant b$
5. Если все возможные значения СВХ принадлежат бесконечному интервалу $\left( < -\infty ;+\infty >\right)$, то $\mathop < \lim >\limits_ < x\to -\infty >F(x)=0;\mathop < \lim >\limits_ < x\to +\infty >F(x)=1;$
Если $X$ – непрерывная случайная величина, то вероятность того, что она примет одно заданное определенное значение, равна нулю:
Отсюда следует, что для непрерывной случайной величины выполняются равенства:
$P(\alpha \lt X\lt \beta )=P(\alpha \leqslant X\leqslant \beta )=P(\alpha \leqslant X\lt \beta )=$
$=P(\alpha \lt X\leqslant \beta )=F(\beta )-F(\alpha )$
Плотность
распределения
вероятностей
непрерывной
случайной
величины.
Свойства функции плотности
распределения.Плотностью распределения < дифференциальной функцией распределения >вероятностей НСВ $X$ в точке $x$ называют предел отношения вероятности попадания значений этой величины в интервал $\left( < x;x+\Delta x >\right)$ к длине $\Delta x$ этого интервала, когда последняя стремится к нулю:
Следовательно, $f(x)= < F >‘(x)$, то есть плотность распределения есть первая производная от функции распределения НСВХ.
Вероятность того, что НСВХ примет значение, принадлежащее интервалу $(a;b)$, определяется равенством $P(a\lt X\lt b)=\int\limits_a^b < f(x)dx >$
Плотность
распределения
вероятностей
непрерывной
случайной
величины.
Свойства функции плотности
распределения.Зная плотность распределения, можно найти функцию распределения $F(x)=\int\limits_ < -\infty >^x < f(x)dx >$
Свойства функции плотности
1. Плотность распределения $f(x)$ — неотрицательная функция, то есть $f(x)\geqslant 0$
2. Несобственный интеграл по бесконечному промежутку $\left( < -\infty ;+\infty >\right)$ от функции плотности вероятностей равен единице: $\int\limits_ < -\infty >^ < +\infty > < f(x)dx=1 >$
3. Если все возможные значения случайной величины принадлежат отрезку $\left[ < \alpha ;\beta >\right]$, то $\int\limits_\alpha ^\beta < f(x)dx=1 >$, так как вне этого промежутка $f(x)=0$
Для ДСВ $X$ равно сумме произведений всех ее значений на соответствующие вероятности: $M(X)=\sum\limits_ < i=1 >^n < x_i p_i >$
где $f(x)=F'(x)$ – функция плотности распределения вероятности.
Свойства
математического ожидания1. $M(C)=C$, если $C=const,$
4. Если $X$ и $Y$ – независимые случайные величины, то $M(XY)=M(X)\cdot M(Y)$
Дисперсия
случайной
величиныРазность $X-M(X)$ называется отклонением случайной величины $X$ от ее математического ожидания $M(X)=a$.
Математическое ожидание отклонения равно нулю: $M(X-a)=0$
Дисперсией, или рассеянием случайной величины $X$ называется математическое ожидание квадрата ее отклонения:
$D(X)=M((X-a)^2)$ Следовательно, для любой случайной величины $X:\;\;D(X)\geqslant 0$
3. Если случайные величины $X$ и $Y$ независимы, то $D(X\pm Y)=D(X)+D(Y),$
Среднее
квадратическое
отклонениеСреднеквадратическим отклонением, или стандартным отклонением, случайной величины $X$ называется корень квадратный из ее дисперсии:
$\sigma (X)=\sqrt < D(X) >\Leftrightarrow D(X)=\sigma ^2.$
Закон распределения дискретной случайной величины, определяемой формулой Бернулли
$p_k =P_n (k)=C_n^k \cdot p^k\cdot q^ < n-k >(k=0,1,2. n)$
называется биномиальным. Постоянные $n,~p$ называются параметрами биномиального распределения $\left( < q=1-p >\right)$.
Распределением Пуассона называется распределение вероятностей дискретной случайной величины, определяемое формулой Пуассона $P_n (k)=\frac < a^ke^ < -a >> < k! >$, где $a=np$ – параметр распределения.
Равномерное распределение на интервале $\left( < a;b >\right)$
Если значения случайной величины, которые она принимает в конечном промежутке $(a;b)$, возможны в одинаковой степени, то плотность распределения вероятностей этой величины постоянна на данном промежутке и равна нулю вне этого промежутка, то есть
Геометрическим называется распределение дискретной случайной величины $X$, определяемое формулой
Показательным называется распределение с плотностью вероятностей, определяемой по формуле $f(x)=\left\ < < \begin < l >0\mbox < при >\;x\lt 0, \\ \lambda e^ < -\lambda x >\mbox < >\;\mbox < при >\;x\geqslant 0, \\ \end >\right.$
где $\lambda >0$ — параметр распределения.
Замечание. Если $T$ – время безотказной работы элемента, $\lambda $ — интенсивность отказов, то случайная величина $T$ распределена по экспоненциальному закону с функцией распределения $F(t)=P(T\lt t)=1-e^ < -\lambda t >,_ < >$ где $\lambda \gt 0$. $F(t)$ определяет вероятность отказа элемента за время $t$. Вероятность безотказной работы элемента за время $t$ равна $e^ < -\lambda t >$. Функция $R(t)=e^ < -\lambda t >$ называется функцией надежности.
Нормальное распределение $N(a;\sigma )$
Нормальным распределением, или распределением Гаусса, называется распределение с плотностью вероятностей
Постоянные $a$ и $\sigma \quad (\sigma \gt 0)$ называются параметрами нормального распределения.
$M(X)=a; ~ D(X)=\sigma ^2; ~ \sigma =\sqrt < D(X) >$
Вероятность попадания значений нормальной случайной величины $X$ в интервале $(\alpha ;\beta )$ определяется формулой
где $\Phi (x)$ – функция Лапласа.
Нормированное распределение $N(0;1)$
Нормированным или стандартным называется такое нормальное распределение непрерывной случайной величины, когда функция плотности вероятностей $f(x)=\frac < 1 > < \sqrt < 2\pi >> e^ < \frac < -x^2 > < 2 >> .$
$M(X)=a=0; ~ \sigma (X)=\sigma =1.$
Мода случайной величины $\overline M $
Модой ДСВ $X$ называется ее наиболее вероятное значение.
Модой НСВ $X$ называется то ее значение, при котором плотность распределения вероятностей максимальна.
Медианой непрерывной случайной величины $X$ называется такое ее значение $M_e $, для которого одинаково вероятно, окажется ли случайная величина меньше или больше $M_e $, то есть $P(x\lt M_e )=P(x>M_e )=0,5$.
Если прямая $x=a$ является осью симметрии кривой распределения $f(x)$, то
$\overline M =M_e =M(X)=a$.
Начальные
моменты $\nu _k $Начальным моментом $\nu _k ~ k$ -го порядка случайной величины $X$ называется математическое ожидание $k$-ой степени этой случайной величины: $\nu _k =M(X^k)$.
Для ДСВ $X:_ < >\nu _k =\sum\limits_ < i=1 >^n < x_i^k \cdot p_i >$, где $\sum\limits_ < i=1 >^\infty < p_i =1 >$.
Начальный момент $k$-го порядка НСВ $X$ с плотностью распределения $f(x)$ определяется формулой :
Центральные моменты $\mu _k $
Центральным моментом $\mu _k ~ k$-го порядка случайной величины $X$ называется математическое ожидание $k$-ой степени отклонения этой величины от ее математического ожидания. Если обозначить $M(X)=a$, то $\mu _k =M((X-a)^k)$
если множество этой величины конечно, а если – счетно, то $\mu _k =\sum\limits_ < i=1 >^\infty < (x_i -a)^k\cdot p_i >.$
Для НСВ $X$ с плотностью распределения $f(x)$ центральный момент $k$-го порядка определяется формулой: $\mu _k =\int\limits_ < -\infty >^ < +\infty > < (x_i -a)^k\cdot f(x)dx >.$
Некоторые
свойства
начальных
и центральных
моментов$\nu _0 =1;~ \nu _1 =M(X),$
$\mu _0 =1;~ \mu _1 =0;~ ~ \mu _2 =D\left( X \right),$
$\mu _2 =\nu _2 -\nu _1^2 ,$
$\mu _3 =\nu _3 -3\nu _1 \nu _2 +2\nu _1^3 ,$
$\mu _4 =\nu _4 -4\nu _1 \nu _3 +6\nu _1^2 \nu _2 -3\nu _1^4 .$
Отношение центрального момента 3-го порядка к кубу среднеквадратического отклонения случайной величины называется асимметрией: $A(X)=\frac < \mu _3 > < \sigma ^3 >$.
Если распределение случайной величины симметрично относительно ее математического ожидания, то асимметрия равна нулю.
Эксцессом случайной величины называется величина $Э_x =\frac < \mu _4 > < \sigma ^4 >-3.$
Для нормального распределения $Э_x =0$.
Кривые, более островершинные по сравнению с нормальной кривой Гаусса, имеют $Э_x \gt 0$.
У более плосковершинных кривых $Э_x \lt 0.$Далее:
Свойства криволинейного интеграла второго рода
Несобственные интегралы от неограниченной функции
Вычисление площадей плоских областей
СДНФ. Теорема о представлении в виде СДНФ. Построение СДНФ по таблице
Формула Гаусса — Остроградского
Скалярное поле, производная по направлению, градиент
Лемма о построении множества $[F]_{x1,x2}$
Переход от двойного интеграла к повторному. Изменение порядка интегрирования. Переход к полярным координатам
Частные случаи векторных полей
Механические приложения криволинейного интеграла 1-го рода
Вычисление двойного интеграла
Определение тройного интеграла. Теорема существования тройного интеграла
Свойства тройного интеграла
Векторное поле
Огравление $\Rightarrow $
04 октября 2016, 20:35 проектирование км, кмд, кж Теория вероятности [Калинин В.М., Тихомиров С.Р.] 0 30087 0
- Доверительный интервал
- Идеи, этапы теории вероятности
1. Классическое определение вероятности
Когда неизвестно, произойдёт в ходе испытания данное событие или нет, то говорят, что это случайное событие .
Например, случайное событие — выпадение решки при бросании монеты.
Достоверное событие — событие, которое в ходе испытания обязательно наступит.
Невозможное событие — событие, которое в ходе испытания точно не произойдёт.Если при проведении испытаний наступает исход, который влечёт за собой появление события \(A\), то этот исход назовём благоприятствующим событию \(A\).
Дадим классическое определение вероятности.
Вероятность события \(A\) — отношение количества благоприятствующих событию \(A\) исходов к общему количеству всех равновозможных исходов.
P ( A ) = m n , где
\(m\) — количество исходов испытания, в которых наступает событие \(A\),
\(n\) — количество всех равновозможных исходов.
Бросают игральный кубик. Какова вероятность, что выпадет \(3\) очка?Решение. Количество элементарных исходов \(n=6\). Событие \(A\) — выпадение трёх очков. Число случаев, благоприятствующих событию \(A\) равно \(m=1\). Получаем:
P ( A ) = m n = 1 6 .
Существует связь между терминами теории вероятностей и теории множеств. Соответствия заключаются в следующем:
- испытание с N исходами — множество из N элементов;
- отдельный исход испытания — элемент множества;
- случайное событие — подмножество;
- невозможное событие — пустое множество;
- достоверное событие — подмножество, которое совпадает со всем множеством;
- вероятность события — доля (часть) элементов подмножества среди всех элементов множества.
Случайные события называются не совместными в данном испытании, если никакие два из них не могут появиться вместе.
Теорема
Если события \(A\) и \(B\) не совместны, то вероятность того, что наступит или \(A\), или \(B\), равна \(P(A) + P(B)\).
Теорема
Для нахождения вероятности противоположного события следует из единицы вычесть вероятность самого события: \(P(B) = 1-P(A)\).
Но встречаются испытания и с бесконечным множеством исходов. К ним классическая вероятностная схема уже неприменима. В таком случае применяют правило нахождения геометрической вероятности .
Пусть фигура \(X\) является частью фигуры \(Y\). Тогда вероятность того, что случайно выбранная из фигуры \(Y\) точка будет принадлежать фигуре \(X\), равна P = S ( X ) S ( Y ) , где \(S(X)\) — площадь фигуры \(X\), \(S(Y)\) — площадь фигуры \(Y\).
Аналогично поступают с множествами на числовой прямой (тогда площади заменяем на длину числовых множеств) и с пространственными телами (тогда площади заменяем на объёмы пространственных тел).
в прямоугольник \(5×4\) cm 2 помещён круг радиуса \(1,5\) \(cm\). В прямоугольник случайным образом поставили одну точку. Какова вероятность того, что эта точка будет находиться внутри круга?
Решение: по определению геометрической вероятности искомая вероятность равна отношению площади круга (в который точка должна попасть) к площади прямоугольника (в которой точка ставится), т. е. P = S круга S прямоугольника = π ⋅ 1,5 2 5 ⋅ 4 = 0,353 .
Рис. 1. Прямоугольник и круг
Рис. 1. Прямоугольник и круг. © ЯКласс.