Как найти точку пересечения параболы и прямой

Как найти точку пересечения прямой и параболы

Задачи по поиску точек пересечения каких-нибудь фигур идеологически просты. Сложности в них бывают только из-за арифметики, так как именно в ней допускаются различные опечатки и ошибки.

Статьи по теме:

• Как найти точку пересечения прямой и параболы
• Как найти уравнение прямой
• Как определить линию пересечения плоскостей

Инструкция

Данная задача решается аналитически, поэтому можно вовсе не рисовать графики прямой и параболы. Часто это дает большой плюс в решении примера, так как в задаче могут быть даны такие функции, что их проще и быстрее не нарисовать.

Согласно учебникам по алгебре парабола задается функцией вида f(x)=ax^2+bx+c, где a,b,c – это вещественные числа, притом коэффициент a отличен он нуля. Функция g(x)=kx+h, где k,h – это вещественные числа, определяет прямую на плоскости.

Точка пересечения прямой и параболы – это общая точка обеих кривых, поэтому в ней функции примут одинаковые значение, то есть f(x)=g(x). Данное утверждение позволяет записать уравнение: ax^2+bx+c=kx+h, которое даст возможность найти множество точек пересечения.

В уравнении ax^2+bx+c=kx+h необходимо перенести все слагаемые в левую часть и привести подобные: ax^2+(b-k)x+c-h=0. Теперь остается решить полученное квадратное уравнение.

Все найденные «иксы» – это еще не ответ на задачу, так как точку на плоскости характеризуют два вещественных числа (x,y). Для полного завершения решения необходимо вычислить соответствующие «игрики». Для этого нужно подставить «иксы» либо в функцию f(x), либо в функцию g(x), ведь для точки пересечения верно: y=f(x)=g(x). После этого вы найдете все общие точки параболы и прямой.

Для закрепления материала очень важно рассмотреть решение на примере. Пусть парабола задается функцией f(x)=x^2-3x+3, а прямая – g(x)=2x-3. Составьте уравнение f(x)=g(x), то есть x^2-3x+3=2x-3. Перенося все слагаемые в левую часть, и приводя подобные, получите: x^2-5x+6=0. Корни данного квадратного уравнения: x1=2, x2=3. Теперь найдите соответствующие «игрики»: y1=g(x1)=1, y2=g(x2)=3. Таким образом, найдены все точки пересечения: (2,1) и (3,3).

Совет полезен?
Статьи по теме:

• Как найти координаты точек пересечения графика функции
• Как найти точку пересечения двух графиков
• Как вычислять координаты точек пересечения парабол

Добавить комментарий к статье
Похожие советы

• Как определить вершину параболы
• Как найти точки пересечения графиков
• Как найти точки пересечения функций
• Как решить квадратное уравнение графически
• Как решать параметры
• Как построить квадратичную функцию
• Как решать уравнение прямой
• Как найти координаты вершины параболы
• Как найти параболу
• Как найти точку пересечение двух линий
• Как найти координаты точки пересечения прямых
• Как в mathcad решать уравнения
• Что такое парабола
• Как найти координату точки
• Как составить уравнение окружности
• Как найти точку, симметричную относительно прямой
• Как определить прямоугольные координаты
• Как начертить параболу
• Как построить функцию
• Как вычислить уравнение прямой
• Как найти точки перегиба функции

Как найти точку пересечения параболы и прямой

Argument ‘Topic id’ is null or empty

Сейчас на форуме

© Николай Павлов, Planetaexcel, 2006-2023
info@planetaexcel.ru

Использование любых материалов сайта допускается строго с указанием прямой ссылки на источник, упоминанием названия сайта, имени автора и неизменности исходного текста и иллюстраций.

ООО «Планета Эксел» ИНН 7735603520 ОГРН 1147746834949

ИП Павлов Николай Владимирович ИНН 633015842586 ОГРНИП 310633031600071

3. Аналитическая геометрия на плоскости

Из уравнения следует, что для всех точек $x \geq 0$. Далее, переменная $y$ входит в это уравнение во второй степени, так что если точка $(x,y)$ лежит на параболе, то и точка $(x,-y)$ лежит на параболе. Т.о., парабола симметрична при отражении относительно оси $x$. Точка $(p/2, \, 0)$ называется фокусом параболы. Директрисой параболы называется прямая $x=-p/2$.

Теорема. Для того, чтобы точка лежала на параболе, необходимо и достаточно, чтобы ее расстояния до фокуса и директрисы совпадали.

1. Достаточность. Расстояние до директрисы для точки $(x,y)$ равно $x+p/2$, фокальный радиус равен \[ \sqrt<(x-p/2)^2+y^2>. \] Приравнивая и возводя в квадрат, получаем: \[ x^2+px+\frac=x^2-px+\frac+y^2. \] Приводя подобные члены, приходим к (25).

2. Необходимость. Имеем: \[ r=\sqrt<(x-p/2)^2+y^2>=\sqrt, \] подставляя $y^2=2px$, получаем под корнем полный квадрат от $d^2=x+p/2$. ч.т.д.

Решение типовых задач.

Определить координаты фокуса и составить уравнение директрисы для параболы $3y^2 + 12y — 18x + 12 = 0$.

С помощью несложных преобразований приведем заданное уравнение параболы к каноническому виду: \[ 3(y^2 + 4y + 4) — 18x = 0, \] \[ 3(y + 2)^2 = 18x, \] \[ (y + 2)^2 = 2\cdot 3x. \] Из последнего уравнения следует, что вершина параболы расположена в точке $\textbf(0,-2)$, а параметр $p=3$. Следовательно, фокусом является точка $\textbf\left( \frac,-2 \right)$, а директрисой является прямая $x=-\frac$.

Составить уравнение параболы, если известно, что ее фокус находится в точке пересечения прямой $4x-3y-4=0$ с осью абсцисс.

Несложно заметить, что точкой пересечения прямой $4x-3y-4=0$ с осью абсцисс является точка $\textbf(1,0)$. По условию эта точка является фокусом параболы, следовательно, параметр $p=2$. Тогда уравнение параболы записывается как $y^2 = 4x$.

Найти уравнение прямой, проходящей через центр окружности $x^2 + y^2 + 8x -4y -3 = 0$ параллельно прямой, соединяющей фокус параболы $y = 4 x^2$ и правый фокус эллипса $\frac+\frac=1$.

1. Определить координаты фокуса и составить уравнение директрисы для параболы $y^2=6x$.

2. Определить точки пересечения прямой $x+y-3=0$ и параболы $x^2=4y$.

3. На параболе $y^2=16x$ найти точки, фокальный радиус которых равен 13.

4. Через точку $М(2, 1)$ проведена хорда параболы $y^2=4x$ , которая делится в этой точке пополам. Найти ее уравнение.

5. Вычислить длину сторон правильного треугольника, вписанного в параболу $y^2=2px$.

6. Найти точки пересечения параболы $y^2=12x$ с эллипсом \[ \frac+\frac=1. \]

7. Через фокус параболы $y^2=2px$ проведена хорда, перпендикулярная оси параболы. Вычислить ее длину.

8. На параболе $y^2=8x$ найти точку, фокальный радиус которой равен 20.

9. Составить уравнения сторон треугольника, вписанного в параболу $y^2=8x$ так, что отдна из его вершин совпадает с вершиной параболы, а точка пересечения высот совпадает с фокусом параболы.

10. Через точку $(2,1)$ провести хорду параболы $y^2=4x$, делящуюся в этой точке пополам.

Как найти точку пересечения параболы и прямой

Параболой называется геометрическое место точек, для каждой из которых расстояние до некоторой фиксированной точки плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой, называемой директрисой. Фокус параболы обозначается буквой F , расстояние от фокуса до директрисы — буквой р. Число р называется параметром параболы.

Пусть дана некоторая парабола. Введем декартову прямоугольную систему координат так, чтобы ось абсцисс проходила через фокус данной параболы перпендикулярно к директрисе и была направлена от директрисы к фокусу; начало координат расположим посередине между фокусом и директрисой (рис.). В этой системе координат данная парабола будет определяться уравнением

(1)

Уравнение (1) называется каноническим уравнением параболы. В этой же системе координат директриса данной параболы имеет уравнение

.

Фокальный радиус произвольной точки М( x; y ) параболы (то есть длина отрезка F(M ) может быть вычислен по формуле

.

Парабола имеет одну ось симметрии, называемую осью параболы, с которой она пересекается в единственной точке. Точка пересечения параболы с осью называется ее вершиной. При указанном выше выборе координатной системы ось параолы совмещена с осью абсцисс, вершина находится в начале координат, вся парабола лежит в правой полуплоскости.

Если координатная система выбрана так, что ось абсцисс совмещена с осью параболы, начало координат — с вершиной, но парабола лежит в левой полуплоскости (рис.), то ее уравнение будет иметь вид

(2)

В случае, когда начало координат находится в вершине, а с осью совмещена ось ординат, парабола будет иметь уравнение

(3)

если она лежит в верхней полуплоскости (рис.), и

(4)

если в нижней полуплоскости (рис.)

Каждое из уравнений параболы (2), (3), (4), как и уравнение (1), называется каноническим.

583	Составить уравнение параболы, вершина которой находится в начале координат, зная, что:
583.1	парабола расположена в правой полуплоскости, симметрично относительно оси Ох и ее параметр р=3;
583.2	парабола расположена в левой полуплоскости симетрично относительно оси Ох и ее параметр р=0,5.
583.3	парабола расположена в верхней полуплоскости симметрично относительно оси Оу и ее параметр р=1/4.
583.4	парабола расположена в нижней полуплоскости симметрично оси Оу и ее параметр р=3.
584	Определить величину параметра и расположение относительно координатных осей следующих парабол:
584.1	;
584.2	;
584.3	;
584.4	.
585	Составить уравнение параболы, вершина которой находится в начале координат, зная, что:
585.1	парабола расположена симметрично относительно оси Ох и проходит через точку А(9; 6);
585.2	парабола расположена симметрично относительно оси Ох и проходит через точку В(-1; 3);
585.3	парабола расположена симметрично относительно оси Оу и проходит через точку С(1; 1);
585.4	парабола расположена симметрично относительно оси Оу и проходит через точку D(4; -8).
586	Стальной трос подвешен за два конца; точки крепления расположены на одинаковой высоте; расстояние между ними равно 20 см. Величина его прогиба на расстоянии 2 м от точки крепления, считая по горизонтали, равна 14,4 см. Определить величину прогиба этого троса в середине между точками крепления, приближенно считая, что трос имеет форму дуги параболы.
587	Составить уравнение параболы, которая имеет фокус Е(0; -3) и проходит через начало координат, зная, что ее осью служит ось Оу.
588	Установить, какие линии определяются следующими уравнениями. Изобразить эти линии на чертеже.
588.1	;
588.2	;
588.3	;
588.4	;
588.5	;
588.6	;
588.7	;
588.8	.
589	Найти фокус F и уравнение директрисы параболы .
590	Вычислить фокальный радиус точки М параболы , если абсцисса точки М равна 7.
591	Вычислить фокальный радиус точки М параболы , если ордината точки М равна 6.
592	На параболе найти точки, фокальный радиус которых равен 13.
593	Составить уравнение параболы, если дан фокус F(-7; 0) и уравнение директрисы .
594	Составить уравнение параболы, зная, что ее вершина совпадает с точкой ( ; ), параметр равен p, ось параллельна оси Ох и парабола простирается в бесконечность:
594.1	в положительном направлении оси Ох;
594.2	в отрицательном направлении оси Ох.
595	Составить уравнение параболы, зная, что ее вершина совпадает с точкой ( ; ), параметр равен p, ось параллельна оси Оу и парабола простирается в бесконечность:
595.1	в положительном направлении оси Оу (т.е. парабола является восходящей);
595.2	в отрицательном направлении оси Оу (т.е. парабола являетя нисходящей).
596	Установить, что каждое из следующих уравнений определяет параболу, и найти ее вершины А, величину параметра р и уравнение директрисы:
596.1	;
596.2	;
596.3	;
596.4	.
597	Установить, что каждое из следующих уравнений определяет параболу, и найти координаты ее вершины А и величину параметра р:
597.1	;
597.2	;
597.3	.
598	Установить, что каждое из следующих уравнений определяет параболу, и найти ее вершины А и величину параметра р:
598.1	;
598.2	;
598.3	.
599	Установить, какие линии определяются следующими уравнениями:
599.1	;
599.2	;
599.3	;
599.4	.
600	Составить уравнение параболы, если даны ее фокус F(4; 3) и директриса .
601	Составить уравнение параболы, если даны ее фокус F(4; 3) и директриса .
602	Составить уравнение параболы, если даны ее фокус F(2; -1) и директриса .
603	Даны вершина параболы А(6; -3) и уравнение ее директрисы . Найти фокус F этой параболы.
604	Даны вершина параболы А(-2; -1) и уравнение е директрисы . Составить уравнение этой параболы.
605	Определить точки пересечения прямой и параболы .
606	Определить точки пересечения прямой и параболы .
607	Определить точки пересечения прямой и параболы .
608	В следующих случаях определить, как расположена данная прямая относительно данной параболы – пересекает ли, касается или проходит вне ее:
608.1	, ;
608.2	, ;
608.3	, .
609	Определить, при каких значениях углового коэффициента k прямая :
609.1	пересекает параболу ;
609.2	касается ее;
609.3	проходит вне этой параболы.
610	Вывести условие, при котором прямая касается параболы .
611	Доказать, что к параболе можно провести одну и только одну касательную с угловым коэффициентом .
612	Составить уравнение касательной к параболе в ее точке М 1(x1; y1).
613	Составить уравнение прямой, которая касается параболы и параллельна прямой .
614	Составить уравнение прямой, которая касается параболы и перпендикулярна к прямой .
615	Провести касательную к параболе параллельно прямой и вычислить расстояние d между этой касательной и данной прямой.
616	На параболе найти точку М 1, ближайшую к прямой , и вычислить расстояние d от точки М 1 до этой прямой.
617	Составить уравнения касательных к параболе , проведенных из точки А(2; 9).
618	К параболе проведена касательная. Доказать, что вершина этой параболы лежит посередине между точкой пересечения касательной с осью Ох и проекцией точки касания на ось Ох.
619	Из точки А(5; 9) проведены касательные к параболе . Составить уравнение хорды, соединяющей точки касания.
620	Из точки Р(-3; 12) проведены касательные к параболе . Вычислить расстояние d от точки Р до хорды параболы, соединяющей точки касания.
621	Определить точки пересечения эллипса и параболы .
622	Определить точки пересечения гиперболы и параболы .
623	Определить точки пересечения парабол , .
624	Доказать, что прямая, касающаяся параболы в некоторой точке М, составляет равные углы с фокальным радиусом точки М и с лучом, который, исходя из М, идет параллельно оси параболы в ту сторону, куда парабола бесконечно простирается.
625	Из фокуса параболы под острым углом к оси Ох направлен луч света. Известно, что . Дойдя до параболы, луч от нее отразился. Составить уравнение прямой, на которой лежит отраженный луч.
626	Доказать, что две параболы, имеющую общую ось и общий фокус, расположенный между ее вершинами, пересекаются под прямым углом.
627	Доказать, что если две параболы со взаимно перпендикулярными осями пересекаются в четырех точках, то эти точки лежат на одной окружности.

Текст издания: © Д.В.Клетенник «Сборник задач по аналитической геометрии». М., Наука, Физматлит, 1998 Решение задач: © 2004-2013, Кирилл Кравченко, http://a-geometry.narod.ru/ , http://kirill-kravchenko.narod.ru/