Как найти углы треугольника по сторонам
Треугольник — это простейший многоугольник, ограниченный на плоскости тремя точками и тремя отрезками попарно соединяющими эти точки. Углы в треугольнике бывают острыми, тупыми и прямыми. Сумма углов в треугольнике величина постоянная и равна 180 градусам.
Статьи по теме:
- Как найти углы треугольника по сторонам
- Как найти углы треугольника по трем его сторонам
- Как найти углы, когда известны длины сторон треугольника
Вам понадобится
- Базовые знания в геометрии и тригонометрии.
Инструкция
Обозначим длины сторон треугольника a=2, b=3, c=4, а его углы u, v, w, каждый из которых лежит напротив одной сторон. По теореме косинусов квадрат длины стороны треугольника равен сумме квадратов длин двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. То есть a^2 = b^2 + c^2 — 2bc*cos(u). Подставим в это выражение длины сторон и получим: 4 = 9 + 16 — 24cos(u).
Выразим из полученного равенства cos(u). Получим следующее: cos(u) = 7/8. Далее найдём собственно угол u. Для этого посчитаем arccos(7/8). То есть угол u = arccos(7/8).
Аналогичным образом, выражая другие стороны через остальные, найдём оставшиеся углы.
Обратите внимание
Значение одного угла не может превышать 180 градусов. Под знаком arccos() не может стоять число больше 1 и меньше -1.
Полезный совет
Для того, чтобы найти все три угла необязательно выражать все три стороны, можно найти только 2 угла, а третий получить путём вычитания из 180 градусов значения остальных двух. Это вытекает из того, что сумма всех углов треугольника величина постоянная и равна 180 градусам.
- найти углы если один меньше чем другой
Совет полезен?
Статьи по теме:
- Как найти третий угол в треугольнике
- Как найти величину угла треугольника
- Как вычислить угол в треугольнике
Добавить комментарий к статье
Похожие советы
- Как вычислить градус угла
- Как найти углы треугольника по длинам его сторон
- Как посчитать угол треугольника
- Как найти угол прямоугольного треугольника, зная все стороны
- Как рассчитать угол
- Как найти угол, если известны стороны
- Как вычислить угол
- Как найти угол у треугольника, если известны две стороны?
- Как вывести углы
- Как найти угол прямого треугольника
- Как найти угол, если известны стороны прямоугольного треугольника
- Что такое треугольник
- Как решать задачи по геометрии на треугольники
- Как найти угол в прямоугольном треугольнике
- Как решать задачи по геометрии 7 класса
- Как найти угол в равнобедренном треугольнике
- Как найти острый угол в прямоугольном треугольнике
- Как определить углы в прямоугольном треугольнике
- Как определить градус угла
- Как найти внутренний угол
- Как решить задачи с косинусами
- Как найти градусную меру угла
- Как находить косинус в треугольнике
- Как найти синус, косинус и тангенс
Нахождение углов треугольника по заданным сторонам
Нахождение углов треугольника по заданным сторонам с использованием теоремы косинусов.
От нашего пользователя поступил запрос на создание калькулятора, рассчитывающего углы треугольника по заданным сторонам — Расчет углов треугольника.
Для треугольника, в отличие от, скажем, четырехугольника, эта задача имеет решение, ибо треугольник можно однозначно определить по трем сторонам (а также по двум сторонам и углу между ними, и по стороне и двум прилежащим углам).
Стороны в треугольнике, кстати сказать, должны следовать неравенству треугольника, то есть, сумма любых двух сторон должна быть больше третьей стороны.
Математически (см. рисунок) это выражается системой
В случае невыполнения хотя бы одного из условий треугольник называют вырожденным. Собственно, это и не треугольник уже.
Идем дальше — при известных сторонах углы проще всего определить, пользуясь теоремой косинусов, частным случаем которой является теорема Пифагора (см. рисунок)
Калькулятор ниже рассчитывает углы по введенным длинам сторон. Если треугольник вырожденный, то в результате будут нули.
Как найти углы треугольника по трем его сторонам
Треугольником называют геометрическую фигуру с тремя сторонами и тремя углами. Нахождение всех этих шести элементов треугольника является одной из задач математики. Если известны длины сторон треугольника, то при помощи тригонометрических функций можно вычислить углы между сторонами.
Статьи по теме:
- Как найти углы треугольника по трем его сторонам
- Как найти углы, когда известны длины сторон треугольника
- Как найти угол, если известны стороны
Вам понадобится
- базовое знание тригонометрии
Инструкция
Пусть задан треугольник со сторонами a, b и с. При этом сумма длин двух любых сторон треугольника должна быть больше длины третьей стороны, то есть a+b>c, b+c>a и a+c>b. И необходимо найти градусную меру всех углов этого треугольника. Пусть угол между сторонами a и b обозначен как α, угол между b и c как β, а угол между c и a как γ.
Теорема косинусов звучит так: квадрат длины стороны треугольника равен сумме квадратов двух других длин его сторон минус удвоенное произведение этих длин сторон на косинус угла между ними. То есть составьте три равенства: a²=b²+c²−2×b×c×cos(β); b²=a²+c²−2×a×c×cos(γ); c²=a²+b²−2×a×b×cos(α).
Из полученных равенств выразите косинусы углов: cos(β)=(b²+c²−a²)÷(2×b×c); cos(γ)=(a²+c²−b²)÷(2×a×c); cos(α)=(a²+b²−c²)÷(2×a×b). Теперь, когда известны косинусы углов треугольника, чтобы найти сами углы воспользуйтесь таблицами Брадиса или возьмите из этих выражений арккосинусы: β=arccos(cos(β)); γ=arccos(cos(γ)); α=arccos(cos(α)).
Например, пусть a=3, b=7, c=6. Тогда cos(α)=(3²+7²−6²)÷(2×3×7)=11/21 и α≈58,4°; cos(β)=(7²+6²−3²)÷(2×7×6)=19/21 и β≈25,2°; cos(γ)=(3²+6²−7²)÷(2×3×6)=-1/9 и γ≈96,4°.
Эту же задачу можно решить другим способом через площадь треугольника. Сначала найдите полупериметр треугольника по формуле p=(a+b+c)÷2. Затем посчитайте площадь треугольника по формуле Герона S=√(p×(p−a)×(p−b)×(p−c)), то есть площадь треугольника равна квадратному корню из произведения полупериметра треугольника и разностей полупериметра и каждой из сторон треугольника.
С другой стороны, площадь треугольника равна половине произведения длин двух сторон на синус угла между ними. Получается S=0,5×a×b×sin(α)=0,5×b×c×sin(β)=0,5×a×c×sin(γ). Теперь из этой формулы выразите синусы углов и подставьте полученное в 5 шаге значение площади треугольника: sin(α)=2×S÷(a×b); sin(β)=2×S÷(b×c); sin(γ)=2×S÷(a×c). Таким образом, зная синусы углов, чтобы найти градусную меру, используйте таблицы Брадиса или посчитайте арксинусы этих выражений: β=arccsin(sin(β)); γ=arcsin(sin(γ)); α=arcsin(sin(α)).
Например, пусть дан такой же треугольник со сторонами a=3, b=7, c=6. Полупериметр равен p=(3+7+6)÷2=8, площадь S=√(8×(8−3)×(8−7)×(8−6))=4√5. Тогда sin(α)=2×4√5÷(3×7)=8√5/21 и α≈58,4°; sin(β)=2×4√5÷(7×6)=4√5/21 и β≈25,2°; sin(γ)=2×4√5÷(3×6)=4√5/9 и γ≈96,4°.
Полезный совет
Сумма углов треугольника всегда равна 180 градусов. Поэтому можно вычислить только два угла треугольника, а третий получить путем вычитания из 180 суммы этих двух углов.
- как найти sin b
Совет полезен?
Статьи по теме:
- Как по сторонам треугольника узнать угол
- Как вычислить угол в треугольнике
- Как найти величину угла треугольника
Добавить комментарий к статье
Похожие советы
- Как найти угол в прямоугольном треугольнике
- Как найти угол прямого треугольника
- Как найти углы треугольника по длинам его сторон
- Как посчитать угол треугольника
- Как найти угол прямоугольного треугольника, зная все стороны
- Как вычислить угол
- Как рассчитать угол
- Как найти внутренний угол
- Как найти третий угол в треугольнике
- Как найти острый угол в прямоугольном треугольнике
- Как найти угол у треугольника, если известны две стороны?
- Как вывести углы
- Как решать задачи по геометрии на треугольники
- Как вычислить градус угла
- Как определить градус угла
- Как решить геометрическую задачу
- Что такое треугольник
- Как найти угол между сторонами
- Как определить углы в прямоугольном треугольнике
- Как решить задачи с косинусами
- Как найти градусную меру угла
- Как найти прямой угол
как найти угол треугольника если известны 3 стороны
Пусть задан треугольник со сторонами a, b и с. При этом сумма длин двух любых сторон треугольника должна быть больше длины третьей стороны, то есть a+b>c, b+c>a и a+c>b. И необходимо найти градусную меру всех углов этого треугольника. Пусть угол между сторонами a и b обозначен как α, угол между b и c как β, а угол между c и a как γ.
Теорема косинусов звучит так: квадрат длины стороны треугольника равен сумме квадратов двух других длин его сторон минус удвоенное произведение этих длин сторон на косинус угла между ними. То есть составьте три равенства: a²=b²+c²−2×b×c×cos(β); b²=a²+c²−2×a×c×cos(γ); c²=a²+b²−2×a×b×cos(α).
Из полученных равенств выразите косинусы углов: cos(β)=(b²+c²−a²)÷(2×b×c); cos(γ)=(a²+c²−b²)÷(2×a×c); cos(α)=(a²+b²−c²)÷(2×a×b). Теперь, когда известны косинусы углов треугольника, чтобы найти сами углы воспользуйтесь таблицами Брадиса или возьмите из этих выражений арккосинусы: β=arccos(cos(β)); γ=arccos(cos(γ)); α=arccos(cos(α)).
Например, пусть a=3, b=7, c=6. Тогда cos(α)=(3²+7²−6²)÷(2×3×7)=11/21 и α≈58,4°; cos(β)=(7²+6²−3²)÷(2×7×6)=19/21 и β≈25,2°; cos(γ)=(3²+6²−7²)÷(2×3×6)=-1/9 и γ≈96,4°.
Эту же задачу можно решить другим способом через площадь треугольника. Сначала найдите полупериметр треугольника по формуле p=(a+b+c)÷2. Затем посчитайте площадь треугольника по формуле Герона S=√(p×(p−a)×(p−b)×(p−c)), то есть площадь треугольника равна квадратному корню из произведения полупериметра треугольника и разностей полупериметра и каждой из сторон треугольника.
С другой стороны, площадь треугольника равна половине произведения длин двух сторон на синус угла между ними. Получается S=0,5×a×b×sin(α)=0,5×b×c×sin(β)=0,5×a×c×sin(γ). Теперь из этой формулы выразите синусы углов и подставьте полученное в 5 шаге значение площади треугольника: sin(α)=2×S÷(a×b); sin(β)=2×S÷(b×c); sin(γ)=2×S÷(a×c). Таким образом, зная синусы углов, чтобы найти градусную меру, используйте таблицы Брадиса или посчитайте арксинусы этих выражений: β=arccsin(sin(β)); γ=arcsin(sin(γ)); α=arcsin(sin(α)).
Например, пусть дан такой же треугольник со сторонами a=3, b=7, c=6. Полупериметр равен p=(3+7+6)÷2=8, площадь S=√(8×(8−3)×(8−7)×(8−6))=4√5. Тогда sin(α)=2×4√5÷(3×7)=8√5/21 и α≈58,4°; sin(β)=2×4√5÷(7×6)=4√5/21 и β≈25,2°; sin(γ)=2×4√5÷(3×6)=4√5/9 и γ≈96,4°.