Как найти угол между диагоналями четырехугольника

Научный форум dxdy

Задан выпуклый четырехугольник с известными сторонами $a, b, c, f$ и известной площадью $S$ .
Найти угол между диагоналями данного четырехугольника.

Re: Угол между диагоналями четырехугольника
21.01.2017, 00:35

Заслуженный участник

Пусть точка пересечения диагоналей делит их на отрезки длины $x,y,z,u$ , угол между диагоналями равен $\varphi$ .
По теореме косинусов имеем
$a^2 = x^2 + y^2 - 2xy \cos \varphi$ ,
и еще три таких же.
Тогда $a^2 - b^2 + c^2 - f^2 =-2\cos \varphi \cdot (xy +yz +zu+ ux)$ .
Но $https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/6/c/b6c220eb49e0e0fc072c143f5eda4fbe82.pngS = \sin \varphi \cdot (x+z)(y+u)$$ .
Поделив одно на другое, получим

формулу, которая мне почему то не была известна

$$\ctg \varphi =\frac<f^2 - c^2 + b^2 - a^2> $» /> Re: Угол между диагоналями четырехугольника 21.01.2017, 09:40 Интересно, почему четвертая сторона не <img decoding=$ , а $f$ ?

Re: Угол между диагоналями четырехугольника
21.01.2017, 10:40

Заслуженный участник

$d$

для диагоналей

Re: Угол между диагоналями четырехугольника
21.01.2017, 10:45

Доказывал почти так же. Только вводил величины $x, y, (d_1-x), (d_2-y)$ . Буква $d$ была задействована, поэтому четвертую сторону обозначил $f$ .
Еще одно примечание, стороны $a$ и $c$ , соответственно $b$ и $f$ , не имеют общих точек.

Re: Угол между диагоналями четырехугольника
21.01.2017, 11:52

Все таки, что-то в этом вопросе недосказано)
Если я хочу найти наибольшую площадь для четырехугольника с заданными сторонами, то какой угол должен взять между диагоналями?

Re: Угол между диагоналями четырехугольника
21.01.2017, 12:46
mihailm в сообщении #1186302 писал(а):

Площадь четырехугольника с заданными сторонами максимальна, когда он вписан в окружность:

$$S^2=(p-a)(p-b)(p-c)(p-f)-abcf \cdot \cos^2\left( \dfrac<A+C> \right)$» /> Re: Угол между диагоналями четырехугольника 21.01.2017, 15:16 <table cellspacing=$ Заслуженный участник

Sergic Primazon в сообщении #1186312 писал(а):
Площадь четырехугольника с заданными сторонами максимальна, когда он вписан в окружность:

Где-то видел «геометрическое» доказательство:
присобачим к каждой стороне вписанного чет-ка соответствующий сегмент описанного круга.
Считая чет-к шарнирным, деформируем его — вместе с прибамбасами. Полученная фигура имеет тот же периметр, что и круг, так что площадь ее меньше площади круга. Но ихние площади составлены из площадей сегментов (сохранились) и площадей чет-ков. Значит, площадь чет-ка уменьшилась.

Осталось только решить изопериметрическую задачу — и дело в шляпе!
Re: Угол между диагоналями четырехугольника
21.01.2017, 18:45

Получается (согласно Sergic Primazon ), что в четырехугольнике со сторонами $a,b,c,d$ угол между диагоналями, ближайший к 90 градусам, равен $$\arctg \frac <4(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)>>$» />. Что довольно прикольно) Re: Угол между диагоналями четырехугольника 21.01.2017, 20:40 <table cellspacing=$ Заслуженный участник

mihailm
Что-то у Вас не ладно с размерностью дроби.
Ну да ладно — ясно, что корень — не там. Просто — диагонали то не постоянны — при фиксированных сторонах, так что насчет ближайшести — не факт. Пример: я возьму чет-к с ортогональными диагоналями, но — не вписанный. И будет — облом.

Re: Угол между диагоналями четырехугольника
21.01.2017, 22:30

$$\arctg \frac <4\sqrt<(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)> DeBill , согласен с первым замечанием. >$» />. Но четырехугольник с ортогональными диагоналями ничего не опровергнет — справа бесконечность, угол 90 градусов Re: Угол между диагоналями четырехугольника 22.01.2017, 06:04 <table cellspacing=$ Заслуженный участник

Последний раз редактировалось gris 22.01.2017, 06:33, всего редактировалось 2 раз(а).

При выводе формулы $$\ctg \varphi =\frac<f^2 - c^2 + b^2 - a^2>$» /> предполагалось, что четырёхугольник с параметрами <img decoding=$ существует и выпукл.
А далее формула может жить своей жизнью.
Например, если мы рассмотрим выпуклый четырёхугольник со сторонами $(1,1,1,2)$ , то его площадь будет ограничена площадью соответствующей равнобедренной трапеции(сверху,включая) и равнобедренного треугольника (снизу, не включая). И, подставляя допустимое значение площади $S$ в формулу, мы получим верное значение угла между диагоналями.
Но если мы попытаемся подставить в эту формулу, скажем, $S=3$ , то формула выдаст результат $$\ctg \varphi =\frac<2^2 - 1^2 + 1^2 - 1^2>=\frac14\Longrightarrow \varphi\approx 76^$» /> и не заругается, хотя четырёхугольника с такими параметрами не существует. А большинство формул так себя не ведут. Они показывают или значение синуса, большее единицы, или минус под квадратным корнем, или ещё какую бяку. То есть, если мы эту формулу станем применять для исследования без учёта ограничений, то можем вылезти за пределы реальности. Вот. Re: Угол между диагоналями четырехугольника 22.01.2017, 10:59 Последний раз редактировалось mihailm 22.01.2017, 11:21, всего редактировалось 1 раз. С максимальным <img decoding=$ все вроде ясно (хотя выписанную мной формулу еще никто не подтвердил). Но, как понятно, еще есть минимальное $\varphi$ (и что интересно минимальная $S$ ), вот его как найти?

$$\arccos \frac<\sqrt <6> В примере gris , четырехугольник со сторонами 1,1,1,2. Максимальный угол между диагоналями (60 градусов) получаем по формуле. Исправлено . А вот минимальный угол (если четырехугольник выпуклый) в этом равен >$» /> В случае невыпуклого несамопересекающегося четырехугольника угол будет 30 градусов. Хотя если брать самопересекающиеся четырехугольники (с ориентированной площадью), то вроде все хорошо — и угол ноль и площадь ноль. Re: Угол между диагоналями четырехугольника 22.01.2017, 14:28 <table cellspacing=$ Заслуженный участник

Последний раз редактировалось gris 22.01.2017, 14:30, всего редактировалось 1 раз.

Ситуация аналогична формуле площади описанного многоугольника: $S=pr$ . То есть при единичном радиусе площадь численно равна полупериметру. И можно безбоязненно подставить в формулу сколь угодно большое значение полупериметра, хоть триллион, чтобы отыскался треугольник такого полупериметра и численно равной площади. Но упаси Основатель искать по формуле $S=p$ площадь треугольника с полупериметром $p=4$ . Слишком мало. Нельзя построить. Четырёхугольник такой есть, квадрат. А если $p=3$ ? Конечно нет, ведь рассмотренные для любых описанных около единичной окружности многоугольников площадь и полупериметр ограничены снизу $\pi$ .
Но геометрический смысл решения уравнения даже при полупериметре равном единичке существует. Надо только рассматривать незамкнутые ломаные из кусков касательных. Ну ясно, как их замкнуть в центре окружности. Можно просто взять отрезок на касательной длиной в два.
Вот и в случае с диагоналями четырёхугольника мне привиделся геометрический смысл подстановки запрещённых значений.

Re: Угол между диагоналями четырехугольника
22.01.2017, 18:06

Заслуженный участник

mihailm
Ну да, вроде, все получится.
Единственное ограничение на существование чет-ка: наибольшая сторона меньше суммы трех других (и тогда под корнем все положительно). Шарнирно деформируя, можем добиться вписанности — и, значит, мах достигается.

геометрия — Найти угол между диагоналями четырехугольника

В четырехугольнике суммы квадратов противоположных сторон равны. Найти угол между диагоналями этого четырехугольника.

задан 20 Май ’14 23:02

Vipz3
465 ● 20 ● 95
85&#037 принятых

@Vipz3, Если вы получили исчерпывающий ответ, отметьте его как принятый.

(21 Май ’14 21:49) Deleted

1 ответ

Диагонали четырёхугольника перпендикулярны, это его свойство в данном случае. Для доказательства распишите квадраты сторон через теорему косинусов. В итоге придете к тому, что косинус умножить на положительную сумму равно нулю. Понятно, что косинус равен нулю и угол 90.

отвечен 21 Май ’14 0:40

Как найти угол между диагоналями четырехугольника

В школьном учебнике выведены следующие формулы площади параллелограмма: формулы площади параллелограмма &n.

Автор
Пиголкина Татьяна Сергеевна 455 статей

§3. Площади четырёхугольников

В школьном учебнике выведены следующие формулы площади параллелограмма:

формулы площади параллелограмма

Где `a` и `b` — стороны параллелограмма, `h_a` и `h_b` — высоты к ним, `varphi` — величина угла между сторонами параллелограмма.

Докажем теорему о площади четырёхугольника.

Площадь выпуклого четырёхугольника равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними, т. е

где `d_1` и `d_2` — диагонали четырёхугольника, `alpha` — величина угла между ними.

Доказательство

`ABCD` — выпуклый четырёхугольник, диагонали которого `AC` и `BD` пересекаются в точке `O` под углом `alpha` (рис. 15). Через вершины `A` и `C` проведём прямые, параллельные диагонали `BD`, а через вершины `B` и `D` проведём прямые, параллельные диагонали `AC`. Проведённые прямые в пересечении образуют параллелограмм со сторонами, равными диагоналям `BD` и `AC`, и углом `alpha`. Площадь параллелограмма равна `AC*BD*sinalpha`, а площадь четырёхугольника `ABCD` равна, как легко видеть, половине его площади, т. е.

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. Это сразу следует из доказанной формулы, т. к. диагонали ромба перпендикулярны.

Найти площадь параллелограмма, стороны которого равны `a` и `b` `(a!=b)`, а угол между диагоналями равен `alpha(alpha<90^@)`.

Пусть `O` — точка пересечения диагоналей параллелограмма `ABCD` (рис. 16), `AB=a`, `AD=b`. Обозначим `BD=2x`, `AC=2y`.

Применим теорему косинусов к треугольникам`AOB` и `AOD` (заметим, что `/_AOD=180^@-alpha)`, будем иметь: `a^2=x^2+y^2-2xycosalpha`, `b^2=x^2+y^2+2xycosalpha`. По теореме 3 площадь `S` параллелограмма `ABCD` будет равна `1/2AC*BDsinalpha=2xysinalpha`. Заметим, что это выражение легко можно найти, не определяя `x` и `y` из системы. Действительно, из двух уравнений для `x` и `y` получим `b^2-a^2=4xycosalpha`. По условию `b!=a`, следовательно, `cosa!=0` и `xy=(b^2-a^2)/(4cosalpha)`. Выражаем площадь параллелограмма по формуле (8):

Середины сторон выпуклого четырёхугольника `ABCD` являются вершинами другого четырёхугольника (четырёхугольника Вариньона). Доказать, что четырёхугольник Вариньона — параллелограмм и его площадь равна половине площади `S` четырёхугольника `ABCD`.

1. Проведём диагонали `AC` и `BD`. Середины сторон обозначим `K`, `L`, `M` и `N` (рис. 17). По определению `KL` — средняя линия треугольника `ABC`, по теореме о средней линии `KL«|\|«AC`, `KL=1/2AC`.

Аналогично, `NM` — средняя линия треугольника `ADC`, `NM«|\|«AC`, `NM=1/2AC`.

В четырёхугольнике `KLMN` противоположные стороны `KL` и `NM` равны и параллельны, по признаку `KLMN` — параллелограмм.

Если рассмотреть стороны `LM` и `KN`, то точно также установим, что `LM«|\|«BD«|\|«KN` и `LM=KN=1/2BD`.

2. Из параллельности `KL«|\|«AC` и `KN«|\|«BD` следует, что угол `LKN` параллелограмма `KLMN` равен углу между диагоналями четырёхугольника `ABCD` (обозначим угол `alpha`).

Имеем `S_(KLMN)=KL*KNsinalpha=1/2AC*1/2BDsinalpha`, а по теореме 3

Из этого следует `S_(KLMN)=1/2S_(ABCD)`, ч. т. д.

Рассмотрим несколько задач, где определяется или используется площадь трапеции. Напомним,

что площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на её высоту, т. е.

Найти площадь трапеции, если её основания равны `16` и `44`, а боковые стороны равны `17` и `25`.

Через вершину `C` проведём `CK«|\|«BA` (рис. 18). `ABCK` — параллелограмм, его противоположные стороны равны, поэтому в треугольнике `KCD` определяются все стороны: `KC=AB=25`, `CD=17`, `KD=AD-BC=28`.

По формуле Герона вычисляем площадь этого треугольника: `p=36`, `S_(KCD)=210`.

С другой стороны, `S_(KCD)=1/2KD*CF`, если `CF_|_AD`. Отсюда находим `CF=(2S_(KCD))/(KD)=15` и вычисляем площадь трапеции

Отрезок длины `m`, параллельный основаниям трапеции, разбивает её на две трапеции (рис. 19). Найти отношение площадей этих трапеций, если основания трапеции равны `a` и `b` `(b

Пусть `BC=b`, `AD=a` и `MN=m`, и `MN«|\|«AD`. Проведём `CE«|\|«BA` и `NF«|\|«BA`, а также `CK_|_MN` и `NP_|_AD`. Обозначим `CK=h_1`, `NP=h_2`. Далее, т. к. `CE«|\|«NF`, то `/_ECN=/_FND`, а из `MN«|\|«AD` следует `/_ENC=/_FDN`. Следовательно, треугольники `ECN` и `FND` имеют по два равных угла, они подобны. Из подобия имеем `(EN)/(FD)=(CN)/(ND)`. Прямоугольные треугольники `KCN` и `PND` также подобны и `(CK)/(NP)=(CN)/(ND)`, поэтому `(EN)/(FD)=(CK)/(NP)`, т. е. `(m-b)/(a-m)=(h_1)/(h_2)`. Если `S_1` и `S_2` — площади трапеций `MBCN` и `AMND`, то

Как найти угол между диагоналями четырехугольника

В выпуклом четырёхугольнике ABCD : ∠ ВАС = 20°, ∠ ВСА = 35°, ∠ ВDС = 40°, ∠ ВDА = 70°.
Найдите угол между диагоналями четырёхугольника.

Решение

Докажем, что точка D – центр описанной окружности треугольника ABC . Это можно сделать различными способами.

Первый способ. Опишем окружность около треугольника ABC и продолжим отрезок BD до пересечения с этой окружностью в точке K (рис. а). Так как ∠ ВKС = ∠ ВАС = 20°, то ∠ KCD = ∠ ВDС – ∠ DKС = 20° (угол ВDС – внешний для треугольника KDC ). Следовательно, DC = DK .
Аналогично, так как ∠ ВKА = ∠ ВСА = 35°, а ∠ ВDА = 70°, то ∠ KАD = 35°, то есть DK = DA .

Второй способ. На луче AD отметим точку М так, что отрезок DM = DB (рис. б). Тогда ∠ DВM = ∠ BMD = ½ ∠ ВDА = 35° = ∠ ВСА , следовательно, точки A, B, C и M лежат на одной окружности.
Аналогично, отметив на луче CD точку Р так, что DP = DB , получим, что точка P лежит на той же окружности. Точка D равноудалена от точек В, М и Р , поэтому она является центром полученной окружности.

Третий способ. Центр описанной окружности тупоугольного треугольника ABC лежит в той же полуплоскости относительно прямой АС , что и точка D (рис. а, б). Он является пересечением двух ГМТ: из которых отрезок BC виден под углом α = 2∠ ВАС = 40° и из которых отрезок AB виден под углом
β = 2∠ ВСА = 70°.
В указанной полуплоскости эти ГМТ являются дугами окружностей, которые имеют единственную общую точку. По условию, из точки D эти же отрезки видны под такими же углами, поэтому точка D совпадает с центром описанной окружности треугольника ABC .

Пусть T – точка пересечения диагоналей четырёхугольника ABCD . ∠ DBA = ½ (180° – ∠ BDA ) = 55°, угол BTC – внешний для треугольника BTА , значит, ∠ ВTC = ∠ TАВ + ∠ АВТ = 75°.

Ответ

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2010/11
Класс
1
Класс	9
задача
Номер	9.4.2

Как найти угол между диагоналями четырехугольника

Научный форум dxdy

геометрия — Найти угол между диагоналями четырехугольника

1 ответ

Как найти угол между диагоналями четырехугольника

§3. Площади четырёхугольников

Как найти угол между диагоналями четырехугольника

Решение

Ответ

Источники и прецеденты использования

Добавить комментарий Отменить ответ