Как найти элемент матрицы

Поиск элемента в матрице

Изначально рассматриваем матрицу [math]\alpha_k^m[/math] .

Описание алгоритма

• Начнем с правого столбца и будем двигаться влево, рассматривая первые элементы этих столбцов.
• Если первый элемент столбца меньше искомого, то по правилу (1) мы можем выкинуть этот столбец.
• После того, как мы выкинули некоторые столбцы, получили новую матрицу. Будем рассматривать последние элементы ее строк.
• Если элемент меньше искомого, то нам нужно «двигаться вниз».
• Если не можем применить ни одно из правил, то поиск закончен. Осталось проверить элемент на равенство искомому.

Заметим, что мы можем применять эти правила, постепенно сокращая матрицу, пока в левом верхнем углу подматрицы не останется элемент, равный искомому.

Как найти обратную матрицу?

Продолжаем разговор о действиях с матрицами. А именно – в ходе изучения данной лекции вы научитесь находить обратную матрицу. Научитесь. Даже если с математикой туго.

Что такое обратная матрица? Здесь можно провести аналогию с обратными числами: рассмотрим, например, оптимистичное число 5 и обратное ему число . Произведение данных чисел равно единице: . С матрицами всё похоже! Произведение матрицы на обратную ей матрицу равно – единичной матрице, которая является матричным аналогом числовой единицы. Однако обо всём по порядку – сначала решим важный практический вопрос, а именно, научимся эту самую обратную матрицу находить.

Что необходимо знать и уметь для нахождения обратной матрицы? Вы должны уметь решать определители. Вы должны понимать, что такое матрица и уметь выполнять некоторые действия с ними.

Есть? Тогда поехали дальше. А хотя… ехать могут все, если что-то не знаете, я буду ставить нужную ссылку по ходу объяснений.

Существует два основных метода нахождения обратной матрицы:
с помощью алгебраических дополнений и с помощью элементарных преобразований.

Сегодня мы изучим первый, более простой способ.

Начнем с самого ужасного и непонятного. Рассмотрим квадратную матрицу . Обратную матрицу можно найти по следующей формуле:

, где – определитель матрицы , – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

Понятие обратной матрицы существует только для квадратных матриц, матриц «два на два», «три на три» и т.д.

Обозначения: Как вы уже, наверное, заметили, обратная матрица обозначается надстрочным индексом

Начнем с простейшего случая – матрицы «два на два». Чаще всего, конечно, требуется найти обратную матрицу для матрицы «три на три», но, тем не менее, настоятельно рекомендую изучить более простое задание, для того чтобы усвоить общий принцип решения.

Найти обратную матрицу для матрицы

Решаем. Последовательность действий удобно разложить по пунктам.

1) Сначала находим определитель матрицы.

Если с пониманием сего действа плоховато, ознакомьтесь с материалом Как вычислить определитель?

Важно! В том случае, если определитель матрицы равен НУЛЮ – обратной матрицы НЕ СУЩЕСТВУЕТ.

В рассматриваемом примере, как выяснилось, , а значит, всё в порядке.

2) Находим матрицу миноров .

Для решения нашей задачи не обязательно знать, что такое минор, однако, желательно ознакомиться со статьей Как вычислить определитель.

Матрица миноров имеет такие же размеры, как и матрица , то есть в данном случае .
Дело за малым, осталось найти четыре числа и поставить их вместо звездочек.

Возвращаемся к нашей матрице
Сначала рассмотрим левый верхний элемент:

Как найти его минор?
А делается это так: МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором находится данный элемент:

Оставшееся число и является минором данного элемента, которое записываем в нашу матрицу миноров:

Рассматриваем следующий элемент матрицы :

Мысленно вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит данный элемент:

То, что осталось, и есть минор данного элемента, который записываем в нашу матрицу:

Аналогично рассматриваем элементы второй строки и находим их миноры:


Готово.

– матрица миноров соответствующих элементов матрицы .

3) Находим матрицу алгебраических дополнений .

Это просто. В матрице миноров нужно ПОМЕНЯТЬ ЗНАКИ у двух чисел:

Именно у этих чисел, которые я обвел в кружок!

– матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

4) Находим транспонированную матрицу алгебраических дополнений .

Что такое транспонирование матрицы, и с чем это едят, смотрите в лекции Действия с матрицами.

– транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

5) Ответ.

Вспоминаем нашу формулу
Всё найдено!

Таким образом, обратная матрица:

Ответ лучше оставить в таком виде. НЕ НУЖНО делить каждый элемент матрицы на 2, так как получатся дробные числа. Более подробно данный нюанс рассмотрен в той же статье Действия с матрицами.

Как проверить решение?

Необходимо выполнить матричное умножение либо

Получена уже упомянутая единичная матрица – это матрица с единицами на главной диагонали и нулями в остальных местах.

Таким образом, обратная матрица найдена правильно.

Если провести действие , то в результате тоже получится единичная матрица. Это один из немногих случаев, когда умножение матриц перестановочно, более подробную информацию можно найти в статье Свойства операций над матрицами. Матричные выражения. Также заметьте, что в ходе проверки константа (дробь) выносится вперёд и обрабатывается в самом конце – после матричного умножения. Это стандартный приём.

Переходим к более распространенному на практике случаю – матрице «три на три»:

Найти обратную матрицу для матрицы

Алгоритм точно такой же, как и для случая «два на два».

Обратную матрицу найдем по формуле: , где – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

1) Находим определитель матрицы.

Здесь определитель раскрыт по первой строке.

Также не забываем, что , а значит, всё нормально – обратная матрица существует.

2) Находим матрицу миноров .

Матрица миноров имеет размерность «три на три» , и нам нужно найти девять чисел.

Я подробно рассмотрю парочку миноров:

Рассмотрим следующий элемент матрицы:

МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором находится данный элемент:

Оставшиеся четыре числа записываем в определитель «два на два»

Этот определитель «два на два» и является минором данного элемента. Его нужно вычислить:

Всё, минор найден, записываем его в нашу матрицу миноров:

Как вы, наверное, догадались, необходимо вычислить девять определителей «два на два». Процесс, конечно, муторный, но случай не самый тяжелый, бывает хуже.

Ну и для закрепления – нахождение еще одного минора в картинках:

Остальные миноры попробуйте вычислить самостоятельно.

Окончательный результат:
– матрица миноров соответствующих элементов матрицы .

То, что все миноры получились отрицательными – чистая случайность.

3) Находим матрицу алгебраических дополнений .

В матрице миноров необходимо СМЕНИТЬ ЗНАКИ строго у следующих элементов:

В данном случае:
– матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

4) Находим транспонированную матрицу алгебраических дополнений .

– транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

5) Ответ:

Таким образом, обратная матрица найдена правильно.

Как оформить решение на чистовик? Примерный образец чистового оформления задания можно найти на странице Правило Крамера. Метод обратной матрицы в параграфе, где идет речь о матричном методе решения системы линейных уравнений. По существу, основная часть упомянутой задачи – и есть поиск обратной матрицы.

Нахождение обратной матрицы для матрицы «четыре на четыре» не рассматриваем, так как такое задание может дать только преподаватель-садист (чтобы студент вычислил один определитель «четыре на четыре» и 16 определителей «три на три»). В моей практике встретился только один такой случай, и заказчик контрольной работы заплатил за мои мучения довольно дорого =).

В ряде учебников, методичек можно встретить несколько другой подход к нахождению обратной матрицы, однако я рекомендую пользоваться именно вышеизложенным алгоритмом решения. Почему? Потому что вероятность запутаться в вычислениях и знаках – гораздо меньше.

Иногда обратную матрицу требуется найти методом Гаусса-Жордана, но второй способ доступен для студентов с приличной техникой элементарных преобразований.

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам,

cкидкa 15% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-hihi5

© Copyright mathprofi.ru, Александр Емелин, 2010-2024. Копирование материалов сайта запрещено

Как найти элемент матрицы

Сложение определено для матриц одного типа, т.е. для матриц, у которых число строк и столбцов совпадает. Сумма матриц \(A=\\>\) и \(B=\\>\), матрица \(A+B\), определяется следующим образом: \((A+B)_=A_+B_\), \(1 \leq i \leq m, 1 \leq k \leq n\). Иными словами: складываются элементы матриц \(A\) и \(B\), стоящие на одинаковом месте (т.е. на пересечении одинаковых строк и столбцов) и записываются в то же место.

Пусть \[ A=\left( \begin 1 &4 & -1 \\ 3 & -6 & 7 \end \right) , \] \[ B=\left( \begin 2 &1 & 0 \\ 1 & 3 & 4 \end \right) , \] тогда \[ A+B=\left( \begin 3 & 5 & -1 \\ 4 & -3 & 11 \end \right) . \]

Умножение матрицы на число

Пусть \(A=\\>\) — матрица типа \((m,n)\), \(\lambda\) — произвольное число. Тогда матрица \(\<\lambda a_\>\) называется произведением числа \(\lambda \) на матрицу \(A\) и обозначается \(\lambda \cdot A\).

Пусть \[ A=\left( \begin 1 &4 & -1 \\ 7 & 5 & 2 \\ 3 & -6 & 7 \end \right) , \] тогда \[ 5A=\left( \begin 5 &20 & -5 \\ 35 & 25 & 10 \\ 15 & -30 & 35 \end \right) . \]

Как и в обычной, в матричной арифметике знак умножения иногда не указывают, так что выражения \(c\cdot A\) и \(cA\) равноправны.

Пусть \[ A=\left( \begin 2 & 3 \\ 4 & 5 \end \right), B=\left( \begin 1 & -2 \\ 3 & 4 \end \right). \]

Проверить ответ

\[3A-2B=\left( \begin 4 & 13 \\ 6 & 7 \end \right)\]

Транспонирование матриц

Если для заданной матрицы \(A\) ее строки записать как столбцы, получим новую матрицу, которая называется транспонированной исходной, и обозначается \(A^T\).

Пусть \[ A=\left( \begin 1 &4 & -1 & 4 \\ 7 & 5 & 2 & 2\\ 3 & -6 & 7 & 8 \end \right), \] тогда \[ A^T=\left( \begin 1 &7 & 3 \\ 4 & 5 & -6 \\ -1 & 2 & 7 \\ 4 &2 &8 \end \right) . \]

Подчеркнем, если матрица \(A\) имеет тип (\(m,n)\), то \(A^T\) имеет тип \((n,m)\), так что эта операция, вообще говоря, меняет тип матрицы. В частности, если \(A\) была матрицей-столбцом, \(A^T\) будет матрицей-строкой той же длины. Поэтому из типографских соображений матрицу-столбец часто представляют в виде \((a_1,a_2,a_3. a_n)^T\) (это выражение занимает меньше места).

Элементарные свойства операций с матрицами

Введенные операции обладают многими естественными арифметическими свойствами. Перечислим ряд из них.

1. Для любых матриц \(A,B,C\) одного типа \((A+B)+C=A+(B+C)\)(ассоциативность сложения).

2. Для любых матриц \(A,B\) одного типа \(A+B=B+A\) (коммутативность сложения).

3. Пусть \((m,n)\)-матрица \(O\) состоит из нулей. Такая матрица играет роль нуля при сложении матриц типа \((m,n)\), \(A+O=A\), \(0\cdot A=O\) для любой матрицы \(A\) того же типа.

4. Для любых чисел \(c_1,c_2\) и любой матрицы \(A\) верно \((c_1+c_2)A=c_1A+c_2A\).

5. Для любых матриц \(A,B\) одного типа и любого числа \(c\) верно \(c(A+B)=cA+cB\).

6. Для любых чисел \(c_1,c_2\) и любой матрицы \(A\) верно \((c_1c_2)A=c_1(c_2A)\).

7. Для любой матрицы \(A\) верно \(1\cdot A=A\).

8. Для любых матриц \(A,B\) одного типа \((A+B)^T=A^T+B^T\).

9. Для любого числа \(c\) и любой матрицы \(A\) верно: \((cA)^T=cA^T\).

10. Для любой квадратной матрицы \(detA=detA^T\).

11. Для любой матрицы \((A^T)^T=A\).

Умножение матриц

Рассмотрим сначала умножение матрицы-строки на матрицу столбец. Пусть \(A=(a_1,a_2. a_n)\), \(B=(b_1,b_2. b_n)^T\). Тогда

\[ AB=a_1b_1+a_2b_2+. +a_nb_n=\sum _^na_mb_m. \quad \quad(9) \]

Для того, чтобы было определено умножение между \(A\) и \(B\), необходимо, чтобы длина строки была равна длине столбца. Это условие называют условием согласования типов. Формулу (9) называют правилом умножения строчки на столбец.

Теперь обсудим общий случай. Пусть матрица \(A\) имеет тип \((m,n)\), а матрица \(B\) имеет тип \((n,p)\) (так что длина строки матрицы \(A\) совпадает с длиной столбца матрицы \(B\)). Тогда можно определить их произведение, матрицу \(C\), следующим образом: матрица \(C\) будет иметь тип \((m,p)\), причем для вычисления ее элемента \(C_\), \(1 \leq i \leq m, 1 \leq k \leq p\), следует взять строку с номером \(i\) матрицы \(A\) и умножить на столбец с номером \(k\) матрицы \(B\), \[ c_=a_b_+a_b_+. +a_b_=\sum _^na_b_. \] Таким образом следует вычислить все \(mp\) элементов матрицы \(C\). Еще раз подчеркнем, что для того, чтобы можно было перемножать матрицы \(A\) и \(B\), их типы должны быть согласованы!

Пусть \[ A=\left( \begin 1 &4 & -1 \\ 3 & -6 & 7 \end \right) , B=\left( \begin 2 &1 \\ 1 & 3 \\ -3 &5 \end \right) . \]

В данном случае матрица \(A\) имеет тип (2,3), матрица \(B\) имеет тип (3,2), так что типы матриц согласнованы и в результате умножения \(A\) на \(B\) получим матрицу типа \((2,2)\). Получаем: \[ AB=\left ( \begin 1\cdot 2 +4 \cdot 1+(-1)\cdot (-3) & 1\cdot 1 +4 \cdot 3+(-1)\cdot 5\\ 3\cdot 2 +(-6) \cdot 1+7\cdot (-3) &3\cdot 1 +(-6) \cdot 3+7\cdot 5 \end \right )= \left( \begin 9 & 8\\ -21 & 20 \end \right). \]

Для приведенных матриц произведение \(BA\) не определено — типы матриц \(B\) и \(A\)не согласованы. Это отражает общую ситуацию: результат произведения матриц зависит от порядка сомножителей (в отличие от обычной арифметики) — и даже может не существовать для одного выбора порядка сомножителей, существуя для другого.

Элементарные свойства операций с матрицами (продолжение)

Операция умножения матриц также обладает рядом естественных свойств. (Ниже считается, что типы матриц \(A,B\) согласованы, так что их можно перемножать).

6. Для квадратных матриц \(A,B\) одного типа \(det(AB)=detA \cdot detB\).

7. Рассмотрим квадратную матрицу порядка \(n\), \(E=diag\\). Такая матрица играет выделенную роль в умножении матриц: для любых матриц \(A,B\) имеем \(EA=A\), \(BE=B\). Матрица \(E\) называется единичной матрицей порядка \(n\). Согласно описанным выше результатам, \(detE=1\).

1. Умножить матрицы:

а) \[ \left( \begin 2 & 1 \\ 3 & 4 \end \right)\cdot \left( \begin 1 & -1 \\ 2 & 1 \end \right). \]

б) \[ \left( \begin 3 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end \right)\cdot \left( \begin 1 &1 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & 1 \end \right). \]

2. Вычислить \[ \left( \begin 3 & 2 \\ -4 & -2 \end \right)^5. \]

3. Вычислить \(AB-BA\), если

а) \[ A=\left( \begin 1 &2 & 3 \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & 1 \end \right), B=\left( \begin 4 & 2 & 3 \\ — 1 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \end \right). \]

б) \[ A=\left( \begin 2 &1 & 0 \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end \right), B=\left( \begin 3 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & 3 \\3 & 5 & 1 \end \right). \]

а) \(f(A)\), если \(f(x)=x^2-3x+3\), \[ A=\left( \begin -1 & 3 & 2 \\ 1 & -1 & 3 \\ -1 & 2 & 1 \end \right). \]

б) \(f(A)\), если \(f(x)=x^2+4x-2\), \[ A=\left( \begin 2 & 1 & 1 \\ 3 & -1 & 2 \\ -1 & 2 & 0 \end \right). \]

5. Показать, что каждая матрица второго порядка \[ A=\left( \begin a & b \\ c & d \end \right) \]

удовлетворяет уравнению \[ x^2-(a+d)x+(ad-bc)=0. \]

Обратная матрица

В рамках обычной арифметики обсуждается решение числового уравнения \[ ax=1, \] где \(a\) — заданное число. Если \(a \neq 0\), это уравнение имеет единственное решение, которое обозначается \(x=a^\) и называется обратным к \(a\) числом.

Пусть \(A\) — заданная квадратная матрица порядка \(n\), можно рассмотреть матричное уравнение \[ AX=E. \quad \quad(10) \]

Решение уравнения (\ref) называется матрицей, обратной \(A\).

Для того, чтобы существовала обратная \(A\) матрица, небходимо и достаточно, чтобы матрица \(A\) была невырожденной.

Обратную матрицу обозначают \(A^\).

Основные свойства обратной матрицы.

3. Если квадратные матрицы порядка \(n\) \(A\) и \(B\) невырождены, то \(AB\) тоже невырождена, у нее существует обратная матрица, причем \((AB)^=B^A^\).

4. Для невырожденной квадратной матрицы \(A\) верно: \((A^)^=A\).

5. Для невырожденной квадратной матрицы \(A\) верно: \((A^T)^=(A^)^T\).

Докажите эти свойства обратной матрицы.

Для вычисления эелементов обратной матрицы существуют явные формулы.

Пусть \(A\) — квадратная невырожденная матрица порядка \(n\). Вычислим матрицу \(D\) — матрицу алгебраических дополнений, согласно соотношениям

Пусть \(n=2\), \[ A=\left( \begin a & b \\ c & d \end \right), \] \(detA=ad-bc \neq 0\). Следуя (11), получаем: \[ D=\left( \begin d & -c \\ -b & a \end \right), \] так что \[ A^=\frac\left( \begin d & -b \\ -c & a \end \right). \]

Таким образом, для матрицы порядка 2 формулы для обратной матрицы достаточно простые. Для больших порядков формулы становятся существенно более громоздкими.

Найти обратную матрицу для матрицы

1. \[ A=\left( \begin 2 &2 & 3 \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & 1 \end \right). \]

2. \[ A=\left( \begin 2 &-1 & 0 \\ 0 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 1 \end \right). \]

3. \[ A=\left( \begin 1 &1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 2 & 3 & 4 \end \right). \]

Матричные уравнения

Матричными уравнениями называются уравнения вида \[ AX=G, \quad \quad(12)\] \[ XB=G, \quad \quad(13)\] \[ AXB=G, \quad \quad(14)\] где матрицы \(A,B,G\) заданы и требуется построить матрицу \(X\). Мы будем здесь считать, что матрицы \(A,B,G\) — квадратные одного порядка. Решение этих уравнений нетрудно построить, если матрицы \(A,B\) невырождены, так что существуют их обратные \(A^, B^\). Умножая, например, уравнение (12) слева на матрицу \(A^\), получаем: \[ A^(AX)=(A^A)X=EX=X=A^G. \] Умножая уравнение (13) справа на \(B^\), получаем: \[ (XB)B^=X(BB^)=XE=X=GB^. \] Аналогично, умножая (14) слева на \(A^\) и справа на \(B^\), получим: \[ X=A^GB^. \]

1. Найти решение матричного уравнения (12), если \[ A=\left( \begin 2 & 6 \\ -9 & 3 \end \right) , G=\left( \begin -26 & -50 \\ 27 & -15 \end \right) . \]

2. Найти решение матричного уравнения (12), если \[ A=\left( \begin 8 & -7 \\ -5 & 4 \end \right) , G=\left( \begin 25 & -34 \\ -16 & 22 \end \right) . \]

3. Найти решение матричного уравнения (13), если \[ B=\left( \begin -8 & -5 \\ -9 & 5 \end \right) , G=\left( \begin -20 & 30 \\ -19 & 20 \end \right) . \]

4. Найти решение матричного уравнения (13), если \[ B=\left( \begin 9 & 8 \\ -3 & 7 \end \right) , G=\left( \begin -72 & 23 \\ 0 & 58 \end \right) . \]

5. Найти решение матричного уравнения (14), если \[ A=\left( \begin 4 & 2 \\ 3 & -4 \end \right) , B=\left( \begin -1 & 2 \\ -2 & -1 \end \right) , G=\left( \begin 20 & -50 \\ 26 & 23 \end \right) . \]

6. Найти решение матричного уравнения (14), если \[ A=\left( \begin -4 & -2 \\ -3 & 3 \end \right) , B=\left( \begin 3 & 4 \\ 4 & 3 \end \right) , G=\left( \begin 132 & 134 \\ 18 & 24 \end \right) . \]

Матрицы и операции над ними

Если в матрице число строк равно числу столбцов (m = n), то матрица называется квадратной n-го порядка, а в противном случае – прямоугольной.

Две матрицы A = (α_ij) и B = (b_ij) равны, если равны между собой элементы, стоящие на одинаковых местах, то есть если

при всех I и j (при этом число строк (столбцов) матриц A и B должно быть одинаковым).

Матрицы можно складывать, умножать на число и умножать матрицу на матрицу.

1. Для того, чтобы сложить две матрицы A = (a_ij) и B = (b_ij) с одинаковым количеством (m) строк и (n) достаточно сложить элементы, стоящие на одинаковых позициях, т.е. у матрицы C = (c_ij) каждый элемент определяется равенством

2. Чтобы умножить матрицу A = (a_ij) на число λ достаточно каждый элемент матрицы умножить на это число λ:

3. Произведением матрицы A = (a_ij), имеющей (m) строк и (k) столбцов, на матрицу B = (b_ij), имеющей (k) строк и (n) столбцов, называется матрица C = (c_ij), имеющая (m) строк и (n) столбцов, у которой элемент c_ij равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы A и j-го столбца матрицы B, то есть

Умножать матрицу А на матрицу В можно только в том случае, когда число столбцов матрицы A должно быть равно числу строк матрицы B. В противном случае произведение не определено. Произведение матриц обозначается A·B = C.

Для произведения матриц не выполняется равенство между матрицами A·B и B·A, так как в общем случае одна из этих операций может быть не определена.

Умножение квадратной матрицы любого порядка на соответствующую единичную матрицу не меняет матрицу.

Вопросы:

1. Что называется матрицей?
2. Какие виды матрицы знаете?
3. Какие операции над матрицами существуют?
4. Правило нахождения суммы двух матриц?
5. Всегда ли можно найти произведение матриц?

Пример 1. Найти АВ и ВА, если