1. Чётные и нечётные функции
Функцию \(y=f(x)\), x ∈ X , называют нечётной , если для любого значения \(x\) из множества \(X\) выполняется равенство f ( − x ) = − f ( x ) .
Есть чётные функции, нечётные функции, а также ни чётные, ни нечётные.
Чётная или нечётная функция \(y=f(x)\) имеет симметричную область определения \(D(f)\).
Если же \(D(f)\) — несимметричное множество, то функция \(y=f(x)\) не может быть ни чётной, ни нечётной.
Алгоритм исследования функции \(y=f(x)\) на чётность
1. Исследовать область определения функции \(D(f)\) на симметричность. Если область определения не симметрична, то функция ни чётная, ни нечётная. Если область определения симметрична, то продолжать выполнять алгоритм.
2. Записать выражение \(f(-x)\).
3. Сопоставить выражения \(f(-x)\) и \(f(x)\):
а) при f ( − x ) = f ( x ) для каждого x ∈ D ( f ) функция является чётной;
б) при f ( − x ) = − f ( x ) для каждого x ∈ D ( f ) функция является нечётной;
в) если существует точка x ∈ D ( f ) , при которой f ( − x ) ≠ f ( x ) , то функция \(y=f(x)\) не будет чётной;
г) если существует точка x ∈ D ( f ) , при которой f ( − x ) ≠ − f ( x ) , то функция \(y=f(x)\) не будет нечётной.
Если график функции \(y=f(x)\) симметричен относительно оси ординат, то \(y=f(x)\) — чётная функция.
Если график функции \(y=f(x)\) симметричен относительно начала координат, то \(y=f(x)\) — нечётная функция.
Четность и нечетность
Соображения четности (нечетности) часто используются при решении математических задач (и элементарных, и весьма «продвинутых»). В данной статье рассматриваются подходы к решению подобных задач.
Мы начнем с простейших примеров, а в заключительной части рассмотрим несколько «олимпиадных» заданий, в решении которых нам помогут соображения четности.
Четные и нечетные числа. Начальные сведения
В данной статье мы будем рассматривать главным образом натуральные или целые числа. Напомню, что число называется четным, если оно делится нацело на 2. Иначе говоря, любое четное число n можно представить в виде n = 2k, где k — целое число, а любое нечетное — в виде n = 2k + 1 (или n = 2k — 1). Ноль, естественно, будем считать четным числом.
Пример 1 . Числа 34 и 171 представьте в виде 2k или 2k + 1, где k-целое число.
34 = 2 • 17 (34 — четное число); 171 = 2 • 85 + 1 (171 — нечетное число).
Задание 1 . Числа 68, 133, -2246 и -8977 представьте в виде 2k или 2k+1, где k-целое число.
Задание 2 . Представьте число 18 в виде: а) суммы двух четных чисел, б) суммы двух нечетных чисел. Можно ли получить 18 при сложении четного и нечетного чисел?
Задание 3 . Представьте число 24 в виде: а) произведения двух четных чисел, б) произведения четного и нечетного чисел. Можно ли получить 24 при умножении двух нечетных чисел?
Сумма, произведение, частное четных (нечетных) чисел
Утверждение 1 . Сумма двух четных чисел — четное число.
Доказательство. Пусть числа m и n являются четными. Докажем, что число r = m + n также четно. m=2k, n=2p, где k и p — целые числа. Тогда r = m + n = 2k + 2p = 2(k + p) = 2s. Если числа k и p являются целыми, то их сумма s — тоже целое число. Мы доказали, что число r может быть представлено в виде произведения двойки и целого числа. Доказательство завершено.
Утверждение 2 . Сумма двух нечетных чисел — четное число. Докажите самостоятельно.
Утверждение 3 . Сумма четного и нечетного чисел — нечетное число. Докажите самостоятельно.
Утверждение 4 . Произведение двух нечетных чисел — нечетное число.
Доказательство. Пусть числа m и n являются нечетными. Докажем, что число r = m • n также нечетно.
m = 2k + 1, n = 2p + 1, где k и p — целые числа.
Тогда r = m • n = (2k+1) • (2p+1) = 4kp + 2k + 2p + 1 = 2(2kp + k + p) + 1 = 2s + 1.
Если числа k и p являются целыми, то число s = 2kp + k + p — тоже целое число.
Мы доказали, что число r может быть представлено в виде r = 2s + 1, следовательно, является нечетным. Ч. т. д.
Утверждение 5 . Произведение двух четных чисел — четное число. Докажите самостоятельно.
Утверждение 6 . Произведение четного и нечетного чисел — четное число. Докажите самостоятельно.
А если мы поделим четное число на четное (не равное нулю)? Что получим: чет или нечет? Естественно, однозначного ответа дать нельзя. Например, при делении 12 на 4 мы получаем нечетный результат, а при делении 32 на 4 — четный.
Если вы уже заскучали, переходите ко 2-й части статьи. Потом всегда сможете вернуться. Если же все эти теоретические построения вас не слишком утомили, давайте продолжим.
А почему, собственно, мы рассматриваем только два числа. Давайте мыслить шире!
Утверждение 7 . Сумма любого количества четных чисел четна.
Доказательство. Пусть числа M 1 , M 2 , . M N являются четными, тогда их можно представить в виде 2K 1 , 2K 2 , . , 2K N , где K 1 , K 2 , . K N — целые числа.
Тогда: M 1 + M 2 + . + M N = 2K 1 + 2K 2 + . + 2K N = 2( K 1 + K 2 + . + K N ) = 2S, где S-целое число. Четность доказана.
Утверждение 8 . Сумма четного количества нечетных чисел четна. Сумма нечетного количества нечетных чисел нечетна. Докажите самостоятельно.
Утверждение 9 . Произведение может быть нечетным только в том случае, если все сомножители нечетны. Докажите самостоятельно.
Так, сумма 2+4+6+. +1022+1024 четна, поскольку все слагаемые четны. Сумма 1+3+5+7+9 нечетна, т. к. содержит 5 нечетных слагаемых. Произведение 2*3*4*. *1001*1002 четно уже хотя бы по той причине, что первый сомножитель является четным.
Задание 4 . Четными или нечетными будут следующие выражения: а) 2+12+22+. +1002+1012+1022, б) 1+11+111+. +111111+1111111, в) 3*13*23*. *10003*10013*10023, г) 2*3*4*. *12357891 ?
Задание 5 . Докажите, что произведение всех простых чисел, не превосходящих 1000000, четно. Докажите, что произведение любого количества простых чисел, каждое из которых больше 100, нечетно. Напомню, что натуральное число называется простым, если делится только на себя и на 1.
И вновь о сумме и произведении
Пример 2 . Юный математик Петя сложил сумму двух целых чисел и их произведение. Он утверждает, что у него получилось число 56792. Возможно ли такое, если известно, что хотя бы одно из исходных чисел нечетно?
Решение. Обозначим исходные числа A и B. Очевидно, возможно 4 варианта:
- A и В — четные числа (но этот случай в задаче не рассматривается),
- A и B — нечетные числа,
- A четно, а B нечетно,
- A нечетно, B четно.
В принципе, два последних случая можно было бы безболезненно объединить, но для нас это сейчас несущественно. В предыдущем пункте мы выяснили все, что касается четности суммы и произведения. А теперь давайте составим таблицу. В первых двух колонках укажем четность чисел А и В, в 3-й колонке — четность суммы, в 4-й четность произведения, в 5-й — четность итогового числа.
| A | B | A+B | AB | (A+B) + АВ |
| Ч | Ч | Ч | Ч | Ч |
| Н | Н | Ч | Н | Н |
| Ч | Н | Н | Ч | Н |
| Н | Ч | Н | Ч | Н |
Во всех случаях (кроме первого) получаем нечетный результат!
Между прочим, наш юный друг Петя утверждает, что получил четное число. Мы доказали, что это невозможно. Петя ошибся.
Задание 6 . Юный математик Маша умножила произведение двух целых чисел на их сумму. Она утверждает, что получилось число 89999719. Права ли Маша?
Задание 7 . Юный математик Петя утверждает, что при сложении двух целых чисел получил 927, а при умножении — 6321. Возможно ли такое? Объясните ваш ответ.
Сознаю, что первая часть статьи может показаться читателю довольно утомительной и однообразной. К сожалению, обойтись без этих «скучных» базовых понятий нельзя. Обещаю, что дальше будет гораздо интереснее.
Применение свойств четности и нечетности чисел при решении тестовых задач в 5-6 классах средней школы
Новоселова О. А. Применение свойств четности и нечетности чисел при решении тестовых задач в 5-6 классах средней школы // Научно-методический электронный журнал «Концепт». – 2017. – Т. 44. – С. 92–96. – URL: http://e-koncept.ru/2017/570151.htm.
Аннотация. В статье представлена разработка занятия математического кружка по теме «Четность и нечетность», рассчитанная на учащихся 5 – 6 классов. По времени занятие рассчитано на 2 часа. Вводятся определения четного и нечетного числа, чисел одинаковой и разной четности, формулируются и доказываются свойства четных и нечетных чисел. Также в статье приводятся задачи на применение свойств четности и нечетности чисел, рассматриваются свойства чередования, задачи на разбиение на пары.
Полный текст статьи
Введение. Понятие чётности очень важно для развития математической культуры школьника. Теоретически это понятие простое и обычно не вызывает трудностей. Задачи же, связанные с чётностью, могут варьироваться от самых простых до очень сложных. Эти задачи позволяют на простом материале ввести школьника в разнообразный круг математических идей.
Вводная задача 1. Николай с сыном и Пётр с сыном пошли на рыбалку. Николай поймал столько же рыб, сколько его сын, а Пётр — столько же, сколько его сын. Все вместе поймали 27 рыб. Сколько рыб поймал Николай?
Решение. Сначала кажется, что в задаче не хватает данных: два неизвестных и одно уравнение. Затем кто-то должен сообразить, что условия задачи противоречивы. Действительно, отцы поймали столько же рыб, сколько и сыновья. Но тогда общее число рыб должно быть чётным, а по условию оно нечётно.
Вариант рассуждения: Николай с сыном вместе поймали чётное число рыб. То же верно и для Петра с сыном. Значит, и сумма этих чисел чётна. (Если школьники сами не догадаются до одного из этих соображений, следует им немного подсказать).
Но никакого противоречия нет! К противоречию привело неявное предположение о том, что на рыбалке было четыре человека. Но их могло быть и три (Николай — сын или отец Петра). Из условия теперь следует, что все поймали рыб поровну, то есть по 9 штук. С этой задачей (но не с её решением) желательно ознакомить школьников за несколько дней до начала первого занятия. [1]
1. Определение четных и нечетных чисел
Первое занятие по теме «Четность-нечетность» можно начать с забавного вопроса: «Нуль — четное число или нечетное?» Ребята задумываются… Тогда приходится начать дискуссию: «Нуль делится на 2»? Через некоторое время дети отвечают: «Да». Тогда задаю еще раз тот же вопрос: «Так нуль — число четное или нечетное»? И тут уже всё понятно: «Четное»!
Понятие четности чисел известно с глубокой древности и ему часто придавалось мистическое значение. Так, в древнекитайской мифологии нечетные числа соответствовали ян, что означало небо, благоприятность, а четные – это инь, земля, изменчивость, неблагоприятность. В Европе и некоторых восточных странах считается, что четное количество даримых цветов приносит счастье. В России четное количество цветов принято приносить лишь на похороны умершим. В случаях, когда в букете много цветов, четность или нечетность их количества уже не играет такой роли.
Далее идет обсуждение вводной задачи. Она позволяет начать разговор об определении и свойствах чётности. Прежде всего, мы использовали тот факт, что число вида п + п чётно (отцы поймали столько же рыб, сколько сыновья, поэтому вместе они поймали чётное число рыб).
Вот ещё одна задача, иллюстрирующая ту же идею.
Задача 2. Кузнечик прыгал вдоль прямой и вернулся в исходную точку. Все прыжки имеют одинаковую длину. Докажите, что он сделал чётное число прыжков.
Решение. Сколько раз он прыгнул вправо, столько же прыгнул и влево (так как вернулся в исходную точку)… Откуда следует, что число вида п + п = 2п чётно? А это просто определение.
Определение. Целое число называется четным, если оно делится на 2 без остатка, и нечетным, если оно на 2 не делится.
Таким образом, «общий вид» чётного числа 2п, где п — произвольное целое число. Речь идёт именно о целых, а не только о натуральных (то есть целых положительных) числах. В частности, важно понимать, что 0 — тоже чётное число.
Каков же «общий вид» нечётного числа? 2n + 1. Действительно, если от нечётного числа отнять 1, то оно станет чётным, то есть нечётное число равно сумме чётного числа 2п и единицы. Часто используется запись нечётного числа и в виде 2п — 1.
2. Свойства четных и нечетных чисел
Свойство 1. Из определения чётного числа сразу следует, что произведение любого (целого) числа на чётное число чётно. Доказательство: k • 2п = 2(kn).
Свойство 2. Несколько более сложно проверить, что произведение двух нечётных чисел нечётно. Доказательство: (2k + l)(2n + 1) = 2(2kп + k + п) + 1.
Определение. Два целых числа называются числами одинаковой четности, если оба четные или оба нечетные. Два целых числа называют числами разной четности, если одно из них четное, а другое нечетное.
Свойство 3. Сумма двух чисел разной чётности нечётна.
Доказательство: 2k + 2п + 1 = 2(k + п) + 1 = 2m + 1, где m = k + п – целое число. Сумма нечетна.
Свойство 4. Сумма двух чисел одной чётности чётна.
Доказательство: 2k + 2п = 2(k + п) = 2m, где m = k + п — целое число. Таким образом, сумма — четное число.
2k + 1 + 2п + 1 = 2(k + п + 1) = 2m, где m = k + п + 1 — целое число. Таким образом, сумма — четное число.
Обратные утверждения. Затем можно предложить ребятам сформулировать и доказать утверждения, обратные утверждениям о четности суммы.
Если сумма двух чисел нечётна, то слагаемые имеют разную чётность. Доказательство. Действительно, если бы они имели одинаковую чётность, то сумма была бы чётной.
Если сумма двух чисел чётна, то слагаемые имеют одинаковую чётность. Доказательство аналогично.
Перейдем к следующему свойству четных и нечетных чисел.
Задача 3 (подготовительная). Сумма трех чисел нечётна. Сколько слагаемых нечётно? Ответ: одно или три.
Решение. Нетрудно привести примеры, показывающие, что оба случая возможны. Остальные два случая (нечётных слагаемых два или их нет совсем) легко приводятся к противоречию. Теперь можно перейти к наиболее общей формулировке.
Свойство 5. Чётность суммы совпадает с чётностью количества нечётных слагаемых.
Доказательство. 2а1 + 1 + 2а2 + 1 + … + 2ап + 1 = 2(а1 + а2 + … + ап) + п. Первое число — четное, потому что оно представляет собой произведение, одним из его сомножителей является число два, а второе число — четное по условию (n — четное число слагаемых). Сумма двух четных чисел — четная.
Аналогичные рассуждения приводятся для нечетного количества нечетных слагаемых. Учащиеся делают вывод: нечетность суммы совпадает с нечетностью количества нечетных слагаемых.
3. Задачи на применение свойств четности и нечетности [2]
Задача 4. Хозяйка купила общую тетрадь объемом 96 листов и пронумеровала все ее страницы по порядку числами от 1 до 192. Щенок Антошка выгрыз из этой тетради 25 листов и сложил все 50 чисел, которые на них написаны. Могло ли у него получиться 1990?
Решение. На каждом листе сумма номеров страниц нечетна, а сумма 25 нечетных чисел – нечетна. Поэтому число 1990 у Антошки получиться не могло.
Задача 5. В школе 1688 учащихся, причем мальчиков на 373 больше, чем девочек. Доказать, что такого не может быть.
Решение. Если девочек х, то всего учеников 2х + 373, а это число нечетное как сумма четного и нечетного чисел.
Задача 6. Четно или нечетно число 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + … + 993?
Решение. Разность 1 – 2 имеет ту же четность, что и сумма 1 + 2, разность 3 – 4 — ту же четность, что и сумма 3 + 4, и т.д. Поэтому данная сумма имеет ту же четность, что и сумма 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + … + 993. Из 993 слагаемых последней суммы 496 четных и 497 нечетных, следовательно, сумма нечетна.
Задача 7. В ряд выписаны числа от 1 до 10. Можно ли расставить между ними знаки плюс и минус, чтобы получилось выражение, равное нулю?
Решение: Нет, нельзя. Четность полученного выражения всегда будет совпадать с четностью суммы 1 + 2 + . + 10 = 55. Данная сумма всегда будет нечетной, а 0 — четное число.
Задача 8. Можно ли разменять 100 рублей при помощи 25 монет достоинством 1 и 5 рублей?
Решение. Нет, т.к. сумма нечетного количества нечетных слагаемых — нечетное число.
Задача 9. В пятиэтажном доме с четырьмя подъездами подсчитали число жителей на каждом этаже и, кроме того, в каждом подъезде. Могут ли все полученные 9 чисел быть нечетными?
Решение. Обозначим число жителей на этажах соответственно через a1, a2, a3, a4, a5, a число жителей в подъездах соответственно через b1, b2, b3, b4. Тогда общее число жителей дома можно подсчитать двумя способами — по этажам и по подъездам:
a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = b1 + b2 + b3 + b4. Если бы все эти 9 чисел были нечетными, то сумма в левой части записанного равенства была бы нечетной, а сумма в правой части — четной. Следовательно, это невозможно.
Задача 10. Верно ли равенство 1 2 + 2 3 + 3 4 + … + 99 100 = 20002007?
Решение. Произведения четного и нечетного чисел четны, а сумма четных слагаемых всегда четна.
Задача 11. Четна или нечетна сумма всех натуральных чисел от 1 до 17?
Решение. Из 17 натуральных чисел 8 четных: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, а остальные 9 чисел нечетны. Сумма всех этих четных чисел четна, а сумма девяти нечетных — нечетна. Тогда сумма всех 17 чисел нечетна как сумма четного и нечетного чисел.
Задача 12. Кузнечик прыгает по прямой: первый раз на 1 см, второй раз на 2 см и т.д. Может ли он через 25 прыжков вернуться на прежнее место?
Решение. Чтобы вернуться на старое место, общее количество сантиметров должно быть четно, а сумма 1 + 2 + 3 + … + 25 нечетна. Поэтому вернуться на прежнее место кузнечик не сможет.
Задачи для самостоятельного решения
Задача 13. Можно ли разменять 25 рублей десятью монетами достоинством 1, 3 и 5 руб.?
Решение. Если мы сложим четное число каких-либо целых чисел, то получим число четное, а 25 — нечетное число. Поэтому разменять 25 руб. таким образом нельзя.
Задача 14. В магазин «Все для собак и кошек» привезли новые игрушки. Могут ли десять игрушек ценой в 3, 5 или 7 рублей стоить в сумме 53 рубля?
Решение. Сумма четного количества нечетных чисел четна. У нас есть 10 чисел (цена одной игрушки), все они нечетные, значит, их сумма должна быть четна. Но 53 – число нечетное, поэтому получить его в виде суммы 10 нечетных чисел нельзя.
Задача 15. У Антона было 5 плиток шоколада. Может ли Антон, поделив каждую плитку на 9, 15 или 25 кусочков, получить всего 100 кусков шоколада?
Решение. Нет, т.к. если сложить 5 нечетных чисел, получим нечетный результат. А число 100 четно.
Задача 16. У Нины было 11 плиток шоколада фабрики «Краскон». Может ли Нина, поделив каждую плитку на 7, 13 или 21 кусочков, получить всего 100 кусков шоколада?
Решение. Нет, т.к. если сложить 11 нечетных чисел, получим нечетный результат, а 100 — четное число.
Задача 17. Доказать, что в равенстве 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 8 ? 9 =20, «?» — это знаки плюс или минус, допущена ошибка.
Решение. В выражении нечетное количество нечетных чисел. Ответ должен быть нечетным числом.
4. Задачи на чередование [2]
Свойства чередования:
- Если в некоторой замкнутой цепочке чередуются объекты двух видов, то их четное число (и каждого вида поровну).
- Если в некоторой замкнутой цепочке чередуются объекты двух видов:
- начало и конец цепочки разных видов, то в ней четное число объектов;
- начало и конец одного вида, то нечетное число.
3. Обратно: по четности длины чередующейся цепочки можно узнать, одного или разных видов её начало и конец.
Задача 18. Может ли вращаться система из 7 шестеренок, если первая сцеплена со второй, вторая с третьей и т.д., а седьмая сцеплена с первой?
Решение. Нет. Если первая вращается по часовой стрелке, то все нечетные шестеренки должны вращаться по часовой стрелке, а первая и седьмая одновременно вращаться по часовой стрелке не могут.
Задача 19. Может ли конь пройти с поля a1 на поле h8, побывав по дороге на каждом из остальных полей ровно один раз?
Решение. Нет, не может. Так как конь должен сделать 63 хода, то последним (нечетным) ходом он встанет на поле другой четности, нежели a1; но h8 имеет тот же цвет.
Задача 20. Все костяшки домино выложили (соблюдая правила игры) в одну длинную цепь. На одном конце этой цепи оказалось 5 очков. Сколько очков может быть на другом конце цепи?
Решение. Если где-то лежит костяшка ∗ − 5, то рядом с ней лежит костяшка 5 − ∗ — возникает разбиение на пары. Сколько костяшек с пятеркой всего? Все ли они в этом разбиении на пары участвуют?
Задачи на разбиение на пары [2]
Свойство: если предметы можно разбить на пары, то их количество четно.
Задача 21. Можно ли нарисовать 9 — звенную замкнутую ломаную, каждое звено которой пересекается ровно с одним из остальных звеньев?
Решение. Если бы такое было возможно, то все звенья ломаной разбились бы на пары пересекающихся. Однако тогда число звеньев должно быть четным.
Задача 22. Семь тринадцатируков с планеты Тринадцатирук решили устроить турнир по армреслингу. Смогут ли они одновременно провести поединки для всех своих рук, чтобы все руки принимали участие, и в каждом поединке встречалось ровно две руки?
Решение. Тринадцатируки не смогут провести поединки для всех рук одновременно, так как в каждом поединке принимает участие две руки, а всего рук 13 · 7 = 91.
Задача 23. В народной дружине 100 человек и каждый вечер трое из них идут на дежурство. Может ли через некоторое время оказаться так, что каждый с каждым дежурил ровно один раз?
Решение. Так как на каждом дежурстве, в котором участвует данный человек, он дежурит с двумя другими, то всех остальных можно разбить на пары. Однако 99 – нечетное число.
Список литературы
1. Медников Л. Э. Четность. – 4-е изд., стереотип. – М.: МЦНМО, 2013.
2. Генкин С. А., Итенберг И. В., Фомин Д. В. Ленинградские математические кружки: пособие для внеклассной работы. Киров, издательство «АСА», 1994.
Как определить четность числа уравнение
ЗАДАЧИ НА ЧЕТНОСТЬ И НЕЧЕТНОСТЬ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
Выступление на школьной научно — практической конференции математического научного общества учащихся на тему:
«Задачи на четность и нечетность натуральных чисел»
Подготовила: Пелевина Екатерина ученица 9 класса
Руководитель: Фролова И.А. учитель математики
Четность, нечетность натуральных чисел
Теоретическая часть
Число называется четным, если оно делится на 2 без остатка.
Формула четного числа 2п.
Формула нечетного числа 2п+1.
- Сумма четных слагаемых — четна.
- Если число нечетных слагаемых четно, то и сумма четна.
- Если сумма двух чисел — четное число, то и их разность тоже четное число.
- Если сумма двух чисел — нечетное число, то и их разность тоже нечетное число.
- Если число нечетных слагаемых нечетно, то и сумма нечетна.
- Если один из множителей — четное число, то и произведение четно.
- Если все множители нечетны, то и произведение нечетно.