2. Перевод дробных чисел из десятичной системы счисления в любую другую систему счисления
1. Целую часть числа переводим по алгоритму перевода целых чисел из десятичной системы счисления в любую другую систему счисления.
Делим число на основание системы счисления, в которую необходимо перевести, при этом записывая в обратном порядке остатки, из которых складывается искомое число.
2. Дробную часть числа умножаем последовательно на основание системы счисления, в которую необходимо перевести. Умножаем до тех пор, пока не получим единицу в целой части или пока не получим нужное число разрядов по условию задания. Из целых частей получившихся произведений записываем в прямом порядке искомое число.
1. перевести число \(58,14\) из десятичной системы счисления в двоичную систему счисления.
Следуя алгоритму, переводим сначала целую часть десятичного числа \(58\) в двоичную систему счисления. Делим его последовательно на основание искомой системы счисления — \(2\). Получаем число \(111010\). Следующим шагом переводим дробную часть \(0,14\) от десятичного числа, отбросив целую часть. Умножаем последовательно число на основание искомой системы счисления — \(2\). Умножаем до тех пор, пока не получим единицу в целой части. Записываем выделенные на схеме числа в прямом порядке и получаем в итоге двоичное число \(111010,001\).
2. перевести число \(58,14\) из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную систему счисления.
Следуя алгоритму, переводим сначала целую часть десятичного числа \(58\) в шестнадцатеричную систему счисления. Делим его последовательно на основание искомой системы счисления — \(16\). Получаем число 3 A . Следующим шагом переводим дробную часть \(0,14\) от десятичного числа, отбросив целую часть. Умножаем последовательно дробную часть на основание искомой системы счисления — \(16\). Умножаем до тех пор, пока не получим ноль в целой части. Записываем выделенные на схеме числа в прямом порядке и получаем в итоге шестнадцатеричное число \(3A,23D7\).
Способы перевода чисел из одной системы счисления в другую
Странно, что в школах на уроках информатики обычно показывают ученикам самый сложный и неудобный способ перевода чисел из одной системы в другую. Это способ заключается в последовательном делении исходного числа на основание и сборе остатков от деления в обратном порядке.
Например, нужно перевести число 81010 в двоичную систему:
Результат записываем в обратном порядке снизу вверх. Получается 81010 = 11001010102
Если нужно переводить в двоичную систему довольно большие числа, то лестница делений приобретает размер многоэтажного дома. И как тут собрать все единички с нулями и ни одной не пропустить?
В программу ЕГЭ по информатике входят несколько задач, связанных с переводом чисел из одной системы в другую. Как правило, это преобразование между 8- и 16-ричными системами и двоичной. Это разделы А1, В11. Но есть и задачи с другими системами счисления, как например, в разделе B7.
Для начала напомним две таблицы, которые хорошо бы знать наизусть тем, кто выбирает информатику своей дальнейшей профессией.
Таблица степеней числа 2:
| 2 1 | 2 2 | 2 3 | 2 4 | 2 5 | 2 6 | 2 7 | 2 8 | 2 9 | 2 10 |
| 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 | 128 | 256 | 512 | 1024 |
Она легко получается умножением предыдущего числа на 2. Так, что если помните не все эти числа, остальные нетрудно получить в уме из тех, которые помните.
Таблица двоичных чисел от 0 до 15 c 16-ричным представлением:
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
| 0000 | 0001 | 0010 | 0011 | 0100 | 0101 | 0110 | 0111 | 1000 | 1001 | 1010 | 1011 | 1100 | 1101 | 1110 | 1111 |
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | A | B | C | D | E | F |
Недостающие значения тоже нетрудно вычислить, прибавляя по 1 к известным значениям.
Перевод целых чисел
Итак, начнем с перевода сразу в двоичную систему. Возьмём то же число 81010. Нам нужно разложить это число на слагаемые, равные степеням двойки.
- Ищем ближайшую к 810 степень двойки, не превосходящую его. Это 2 9 = 512.
- Вычитаем 512 из 810, получаем 298.
- Повторим шаги 1 и 2, пока не останется 1 или 0.
- У нас получилось так: 810 = 512 + 256 + 32 + 8 + 2 = 2 9 + 2 8 + 2 5 + 2 3 + 2 1 .
Способ 1: Расставить 1 по тем разрядам, какие получились показатели у слагаемых. В нашем примере это 9, 8, 5, 3 и 1. В остальных местах будут стоять нули. Итак, мы получили двоичное представление числа 81010 = 11001010102 . Единицы стоят на 9-м, 8-м, 5-м, 3-м и 1-м местах, считая справа налево с нуля.
Способ 2: Распишем слагаемые как степени двойки друг под другом, начиная с большего.
| 2 9 = | 1000000000 | (1 и девять нулей) + |
| 2 8 = | 100000000 | (1 и восемь нулей) + |
| 2 5 = | 100000 | (1 и пять нулей) + |
| 2 3 = | 1000 | (1 и три нуля) + |
| 2 1 = | 10 | (1 и один ноль) |
А теперь сложим эти ступеньки вместе, как складывают веер: 1100101010 .
Вот и всё. Попутно также просто решается задача «сколько единиц в двоичной записи числа 810?».
Ответ — столько, сколько слагаемых (степеней двойки) в таком его представлении. У 810 их 5.
Теперь пример попроще.
Переведём число 63 в 5-ричную систему счисления. Ближайшая к 63 степень числа 5 — это 25 (квадрат 5). Куб (125) будет уже много. То есть 63 лежит между квадратом 5 и кубом. Тогда подберем коэффициент для 5 2 . Это 2.
Получаем 6310 = 50 + 13 = 50 + 10 + 3 = 2 * 5 2 + 2 * 5 + 3 = 2235 .
Ну и, наконец, совсем лёгкие переводы между 8- и 16-ричными системами. Так как их основанием является степень двойки, то перевод делается автоматически, просто заменой цифр на их двоичное представление. Для 8-ричной системы каждая цифра заменяется тремя двоичными разрядами, а для 16-ричной четырьмя. При этом все ведущие нули обязательны, кроме самого старшего разряда.
Переведем в двоичную систему число 5478.
| 5478= | 101 | 100 | 111 |
| 5 | 4 | 7 |
Ещё одно, например 7D6A16.
| 7D6A16= | (0)111 | 1101 | 0110 | 1010 |
| 7 | D | 6 | A |
Переведем в 16-ричную систему число 7368. Сначала цифры запишем тройками, а потом поделим их на четверки с конца: 7368 = 111 011 110 = 1 1101 1110 = 1DE16 . Переведем в 8-ричную систему число C2516. Сначала цифры запишем четвёрками, а потом поделим их на тройки с конца: C2516 = 1100 0010 0101 = 110 000 100 101 = 60458 . Теперь рассмотрим перевод обратно в десятичную. Он труда не представляет, главное не ошибиться в расчётах. Раскладываем число на многочлен со степенями основания и коэффициентами при них. Потом всё умножаем и складываем. E6816 = 14 * 16 2 + 6 * 16 + 8 = 3688 . 7328 = 7 * 8 2 + 3*8 + 2 = 474 .
Перевод отрицательных чисел
Здесь нужно учесть, что число будет представлено в дополнительном коде. Для перевода числа в дополнительный код нужно знать конечный размер числа, то есть во что мы хотим его вписать — в байт, в два байта, в четыре. Старший разряд числа означает знак. Если там 0, то число положительное, если 1, то отрицательное. Слева число дополняется знаковым разрядом. Беззнаковые (unsigned) числа мы не рассматриваем, они всегда положительные, а старший разряд в них используется как информационный.
Для перевода отрицательного числа в двоичный дополнительный код нужно перевести положительное число в двоичную систему, потом поменять нули на единицы и единицы на нули. Затем прибавить к результату 1.
Итак, переведем число -79 в двоичную систему. Число займёт у нас один байт.
Переводим 79 в двоичную систему, 79 = 1001111. Дополним слева нулями до размера байта, 8 разрядов, получаем 01001111. Меняем 1 на 0 и 0 на 1. Получаем 10110000. К результату прибавляем 1, получаем ответ 10110001 . Попутно отвечаем на вопрос ЕГЭ «сколько единиц в двоичном представлении числа -79?». Ответ — 4.
Прибавление 1 к инверсии числа позволяет устранить разницу между представлениями +0 = 00000000 и -0 = 11111111. В дополнительном коде они будут записаны одинаково 00000000.
Перевод дробных чисел
Дробные числа переводятся способом, обратным делению целых чисел на основание, который мы рассмотрели в самом начале. То есть при помощи последовательного умножения на новое основание с собиранием целых частей. Полученные при умножении целые части собираются, но не участвуют в следующих операциях. Умножаются только дробные. Если исходное число больше 1, то целая и дробная части переводятся отдельно, потом склеиваются.
Переведем число 0,6752 в двоичную систему.
| 0 | ,6752 |
| *2 | |
| 1 | ,3504 |
| *2 | |
| 0 | ,7008 |
| *2 | |
| 1 | ,4016 |
| *2 | |
| 0 | ,8032 |
| *2 | |
| 1 | ,6064 |
| *2 | |
| 1 | ,2128 |
Процесс можно продолжать долго, пока не получим все нули в дробной части или будет достигнута требуемая точность. Остановимся пока на 6-м знаке.
Получается 0,6752 = 0,101011 .
Если число было 5,6752, то в двоичном виде оно будет 101,101011 .
- Авторские методические материалы
- Задачи по математике
- Задачи по физике
- Биология
- Подготовка к ЕГЭ
- Задачи по химии
- Астрономия
- Статьи об образовании
- История науки
ДРОБНЫЕ ЧИСЛА В ДВОИЧНОЙ СИСТЕМЕ СЧИСЛЕНИЯ
В любой системе счисления нужно уметь представлять не только целые числа, но и дробные. С математической точки зрения это ординарная задача, которая давно решена. Однако с точки зрения компьютерной техники это далеко не тривиальная проблема, во многом связанная с архитектурой компьютера. Ресурсы компьютеров не бесконечны, и основной трудностью является представление периодических и непериодических дробей. Следовательно, такие дроби следует округлять, задавать класс точности участвующих (и могущих появиться в результате вычислений!) чисел без потери точности вычислений, а также следить за тем, чтобы потеря точности не произошла при переводе чисел из одной системы счисления в другую. Особенно важно аккуратно производить вычисления при операциях с плавающей точкой.
Запишем формулу представления дробного числа в позиционной системе счисления:
Ap = an-1·p n-1 +an-2·p n-2 + . + a1·p 1 +a0·p 0 +a-1·p -1 +a-2·p -2 + . + a-m·p -m , [4.1]
В случае десятичной системы счисления получим:
24,732 = 2·10 1 +4·10 0 +7·10 -1 +3·10 -2
Перевод дробного числа из двоичной системы счисления в десятичную производится по следующей схеме:
101101,1012 = 1·2 5 +0·2 4 +1·2 3 +1·2 2 +0·2 1 +1·2 0 +1·2 -1 +0·2 -2 +1·2 -3 =45,625
Перевод дробного числа из десятичной системы счисления в двоичную осуществляется по следующему алгоритму:
Пример: Требуется перевести дробное десятичное число 206,116 в дробное двоичное число.
Перевод целой части дает 20610=110011102 по ранее описанным алгоритмам; дробную часть умножаем на основание 2, занося целые части произведения в разряды после запятой искомого дробного двоичного числа:
.116 • 2 = 0.232 .232 • 2 = 0.464 .464 • 2 = 0.928 .928 • 2 = 1.856 .856 • 2 = 1.712 .712 • 2 = 1.424 .424 • 2 = 0.848 .848 • 2 = 1.696 .696 • 2 = 1.392 .784 • 2 = 0.784 и т.д.
Получим: 20610=11001110,00011101102
Таблицу степеней первых восьми отрицательных степеней двойки можно посмотреть в Приложении.
1. Перевод дробных чисел из любой системы счисления в десятичную систему счисления
1. Целую часть числа переводим по алгоритму перевода целых чисел из любой системы счисления в десятичную систему счисления.
Умножаем каждую цифру в числе на основание системы счисления, возведённое в степень, соответствующую разряду цифры в числе, а затем все суммируем.
2. Дробную часть переводим по тому же алгоритму, но с учётом того, что возводим основание системы в отрицательные степени.
1. перевести число 101,11 2 в десятичную систему счисления.
Сначала рассмотрим число и определим разряды каждой цифры в числе, чтобы понимать в какую степень ставить основание системы счисления.
Так как основание исходной системы счисления — \(2\), то получаем следующее решение.
В итоге получаем, что число 101,11 2 в двоичной системе счисления равно числу 5,75 10 в десятичной системе счисления.
2. перевести число B 6,38 16 в десятичную систему счисления.
Рассмотрим число и определим разряды каждой цифры в числе, чтобы понимать, в какую степень ставить основание системы счисления.
Так как основание исходной системы счисления — \(1\)\(6\), то получаем следующее решение. Также учтём, что число \(B\) в шестнадцатеричной системе счисления — это число \(11\) в десятичной системе счисления.
В итоге получаем, что число B 6,38 16 в шестнадцатеричной системе счисления равно числу 182,21875 10 в десятичной системе счисления.