1. Линейная функция и её график
Применяя эту формулу, зная конкретное значение \(x\), можно вычислить соответствующее значение \(y\).
Пусть \(y = 0,5x — 2\).
при \(x = 0\) получим \(y = — 2\);
при \(x = 2\), получим \(y = — 1\);
при \(x = 4\), получим \(y = 0\) и т. д.
Результаты заносим в таблицу:
\(x\) — независимая переменная (или аргумент),
\(y\) — зависимая переменная (или функция).
Графиком линейной функции \(y = kx + b\) является прямая.
Чтобы построить график данной функции, нам нужны координаты двух точек, принадлежащих графику функции.
Построим в системе координат \(xOy\) точки \((0;-2)\) и \((4;0)\) и
проведём через них прямую.
В жизни существует множество ситуаций, которые можно описать математической моделью с помощью линейных функций.
на овощной базе хранится \(700\) т картофеля. Каждый день запасы пополняют на \(30\) т. Сколько картофеля станет на овощной базе через \(2\); \(4\); \(10\) дней?
После \(x\) дней количество \(y\) картофеля на овощной базе можно записать в виде формулы \(y = 700 + 30x\).
Получается, что линейная функция \(y = 30x + 700\) является математической моделью данной задачи.
При \(x = 2\) имеем \(y = 760\);
при \(x = 4\) имеем \(y = 820\);
при \(x = 10\) имеем \(y = 1000\) и т. д.
Однако надо учитывать, что в этой ситуации x ∈ ℕ .
Если функцию \(y = kx + b\) надо исследовать только для значений \(x\) из некоторого множества \(X\), то записывают y = kx + m , x ∈ X .
построить график линейной функции:
a) y = 1 3 x + 1, x ∈ − 6 ; 3 ; b) y = 1 3 x + 1, x ∈ − 6 ; 3 .
Составим таблицу значений функции:
Построим на координатной плоскости \(xOy\) точки \((-6;-1)\) и \((3;2)\) и
проведём через них прямую.
Далее выделим отрезок, соединяющий построенные точки.
Этот отрезок и есть график линейной функции y = 1 3 x + 1, x ∈ − 6 ; 3 .
Точки \((-6\); \(-1)\) и \((3\); \(2)\) на рисунке отмечены тёмными кружочками.
b) Во втором случае функция та же, только значения \(x=-6\) и \(x=3\) не рассматриваются, так как они не принадлежат интервалу \((-6;3)\).
Поэтому точки \((-6\); \(-1)\) и \((3\); \(2)\) на рисунке отмечены светлыми кружочками.
По графику линейной функции, можно определить наибольшее и наименьшее значения линейной функции на заданном отрезке.
a) y = 1 3 x + 1, x ∈ − 6 ; 3 , имеем: y наиб \(= 2\) и y наим \(= -1\);
b) y = 1 3 x + 1, x ∈ − 6 ; 3 , концы отрезка не рассматриваются, поэтому наибольшего и наименьшего значений нет.
В ходе построения графиков линейных функций можно как бы «подниматься в горку» или «спускаться с горки» в направлении оси абсцисс, т. е. линейная функция или возрастает, или убывает.
Полные системы функций. Теорема Поста о полной системе функций
Американский математик Эмиль Пост сформулировал необходимое и достаточное условие полноты системы булевых функций. Для этого он ввел в рассмотрение следующие замкнутые классы булевых функций:
- функции, сохраняющие константу [math]T_0[/math] и [math]T_1[/math] ,
- самодвойственныые функции [math]S[/math] ,
- монотонные функции [math]M[/math] ,
- линейные функции [math]L[/math] .
Замкнутые классы булевых функций
Класс функций сохраняющих ноль [math]T_0[/math] .
| Определение: |
| Говорят, что функция сохраняет ноль, если [math]f(0, 0, \ldots, 0) = 0[/math] . |
Класс функций сохраняющих единицу [math]T_1[/math] .
| Определение: |
| Говорят, что функция сохраняет единицу, если [math]f(1, 1, \ldots, 1) = 1[/math] . |
Класс самодвойственных функций [math]S[/math] .
| Определение: |
| Говорят, что функция самодвойственна (англ. self-dual), если [math]f(\overline,\ldots,\overline)=\overline |
Класс монотонных функций [math]M[/math] .
| Определение: |
| Говорят, что функция монотонна (англ. monotonic function) , если [math]\forall i (a_i \leqslant b_i) \Rightarrow f(a_1,\ldots,a_n)\leqslant f(b_1,\ldots,b_n)[/math] . |
Класс линейных функций [math]L[/math] .
| Определение: |
| Говорят, что функция линейна (англ. linear function), если существуют такие [math]a_0, a_1, a_2, \ldots, a_n[/math] , где [math]a_i \in \, \forall i=\overline[/math] , что для любых [math]x_1, x_2, \ldots, x_n[/math] имеет место равенство: [math]f(x_1, x_2, \ldots, x_n) = a_0\oplus a_1\cdot x_1\oplus a_2\cdot x_2 \oplus\ldots\oplus a_n\cdot x_n[/math] . |
Количество линейных функций от [math]n[/math] переменных равно [math]~2^[/math] .
Функция является линейной тогда, и только тогда, когда в ее полиноме Жегалкина присутствуют слагаемые, каждое из которых зависит не более чем от одной переменной. Построить полином Жегалкина можно с помощью преобразования Мебиуса.
Формулировка и доказательство критерия Поста
Набор булевых функций [math]K[/math] является полным тогда и только тогда, когда он не содержится полностью ни в одном из классов [math] S,M,L,T_0,T_1 [/math] , иными словами, когда в нем имеется хотя бы одна функция, не сохраняющая ноль, хотя бы одна функция, не сохраняющая один, хотя бы одна несамодвойственная функция, хотя бы одна немонотонная функция и хотя бы одна нелинейная функция.
Необходимость.
Заметим, что необходимость этого утверждения очевидна, так как если бы все функции из набора [math]K[/math] входили в один из перечисленных классов, то и все суперпозиции, а, значит, и замыкание набора входило бы в этот класс, и набор [math]K[/math] не мог бы быть полным.
Достаточность.
Докажем, что если набор [math]K[/math] не содержится полностью ни в одном из данных классов, то он является полным.
- Рассмотрим функцию, не сохраняющую ноль — [math]f_0[/math] (то есть функцию, для которой [math]f_0(0) = 1[/math] ). Тогда [math] f_0(1)[/math] может принимать два значения:
- [math]f_0(1) = 1[/math] , тогда [math]f_0(x, x, x, \ldots, x) = 1[/math] .
- [math]f_0(1) = 0[/math] , тогда [math]f_0(x, x, x, \ldots, x) = \neg x[/math] .
- [math]f_1(0) = 0[/math] , тогда [math]f_1(x, x, x, \ldots, x) = 0[/math] .
- [math]f_1(0) = 1[/math] , тогда [math]f_1(x, x, x, \ldots, x) = \lnot x[/math] .
Таким образом, возможны четыре варианта:
- Мы получили функцию [math] \neg [/math] .
Используем несамодвойственную функцию [math]f_s[/math] . По определению, найдется такой вектор [math]x_0[/math] , что [math]f_s(x_0) = f_s(\lnot x_0)[/math] . Где [math]x_0 = (x_, x_, \ldots, x_)[/math] .
Рассмотрим [math]f_s(x^>, x^>, \ldots, x^>)[/math] , где либо [math]x^> = x[/math] , при [math]x_ = 1[/math] . Либо [math]x^> = \lnot x[/math] , при [math]x_ = 0 [/math] . Нетрудно заметить, что [math]f_s(0) = f_s(1) \Rightarrow f_s = \operatorname [/math] . Таким образом мы получили одну из констант.
- Мы получили [math] \neg [/math] и [math]0 \Rightarrow[/math] имеем константу, равную [math]1[/math] , поскольку [math]\lnot 0 = 1[/math] .
- Мы получили [math] \neg [/math] и [math]1 \Rightarrow[/math] имеем константу, равную [math]0[/math] , поскольку [math]\lnot 1 = 0[/math] .
- Мы получили [math]1[/math] и [math]0[/math] .
Рассмотрим немонотонную функцию [math]f_m[/math] . Существуют такие [math]x_1, x_2, \ldots, x_n[/math] , что [math]f_m(x_1, x_2, \ldots, x_, 0 , x_, \ldots, x_n) = 1[/math] , [math]f_m(x_1, x_2, \ldots, x_, 1 , x_, \ldots, x_n) = 0[/math] , зафиксируем все [math]x_1, x_2, \ldots, x_n[/math] , тогда [math]f_m(x_1, x_2, \ldots, x_, x, x_, \ldots, x_n)= \lnot x[/math] .
В итоге имеем три функции: [math] \neg [/math] , [math]0[/math] , [math]1[/math] .
Используем нелинейную функцию [math]f_l[/math] . Среди нелинейных членов [math]f_l[/math] (ее представления в виде полинома Жегалкина), выберем тот, в котором минимальное количество элементов. Все аргументы кроме двух в этом члене приравняем единице, оставшиеся два назовем [math]x_1[/math] и [math]x_2[/math] . Все элементы, не входящие в данный член, примем равными нулю. Тогда эта функция будет представима в виде [math]g_l = x_1 \land x_2 [ \oplus x_1] [\oplus x_2][ \oplus ~1][/math] , где в квадратных скобках указаны члены, которые могут и не присутствовать (остальные слагаемые будут равны нулю, поскольку в них есть как минимум один аргумент, не входящий в выбранный член, так как в выбранном члене минимальное число элементов).
Рассмотрим несколько вариантов:
- Присутствует член [math]\oplus ~1[/math] . Возьмем отрицание от [math]g_l[/math] и член [math]\oplus ~1[/math] исчезнет.
- Присутствуют три члена, без [math]\oplus ~1[/math] : [math]g_l= x_1 \land x_2 \oplus x_1 \oplus x_2[/math] . Составив таблицу истинности для этой функции нетрудно заметить, что она эквивалентна функции [math] \vee [/math] .
- Присутствуют два члена, без [math]\oplus ~1[/math] . Построив две таблицы истинности для двух различных вариантов, заметим, что в обоих случаях функция истинна только в одной точке, следовательно, СДНФ функции [math]g_l[/math] будет состоять только из одного члена. Если это так, то не составляет труда выразить [math] \wedge [/math] через [math] \neg [/math] и [math]g_l[/math] . Например, если функция [math]g_l(x_1, x_2, \ldots, x_n)[/math] принимает истинное значение, когда аргументы c номерами [math]i_1, i_2, \ldots, i_m[/math] ложны, а все остальные истины, то функцию [math] \wedge [/math] можно выразить как [math]g_l([\lnot]x_1, [\lnot]x_2, \ldots, [\lnot]x_n)[/math] , где [math]\lnot[/math] ставится перед аргументами с номерами [math]i_1, i_2, \ldots, i_m[/math] .
- Присутствует один член. Выразим [math] \wedge [/math] через [math] \neg [/math] и [math]g_l[/math] аналогично пункту 3.
В итоге получим функцию [math] \neg [/math] , а также либо функцию [math] \wedge [/math] , либо функцию [math] \vee [/math] . Поскольку функцию [math] \wedge [/math] можно выразить через [math] \vee [/math] и [math] \neg [/math] , а функцию [math] \vee [/math] через [math] \wedge [/math] и [math] \neg [/math] , то мы получили базис [math] \wedge [/math] , [math] \vee [/math] , [math] \neg [/math] . Любую булеву функцию, не равную тождественному нулю, можно представить в форме СДНФ, то есть выразить в данном базисе. Если же функция равна тождественному нулю, то ее можно представить в виде [math]x \land \lnot x[/math] .
Примеры
Согласно критерию Поста система булевых функций полна тогда и только тогда, когда она не содержится целиком ни в одном из классов [math]T_0[/math] , [math]T_1[/math] , [math]S[/math] , [math]M[/math] , [math]L[/math] .
В частности, если функция не входит ни в один из классов Поста, она сама по себе формирует полную систему. В качестве примера можно назвать штрих Шеффера или стрелку Пирса.
Широко известны такие полные системы булевых функций:
- [math]\left\<\land,\lor,\neg\right\>[/math] (конъюнкция, дизъюнкция, отрицание);
- [math]\left\<\land,\oplus,1\right\>[/math] (конъюнкция, сложение по модулю два, константа один).
Первая система используется, например, для представления функций в виде дизъюнктивных и конъюнктивных нормальных форм, вторая — для представления в виде полиномов Жегалкина.
Первая из упоминавшихся выше полных систем безызбыточной не является, поскольку согласно законам де Моргана либо дизъюнкцию, либо конъюнкцию можно исключить из системы и восстановить с помощью остальных двух функций. Вторая система является безызбыточной — все три её элемента необходимы для полноты системы.
Теорема о максимальном числе функций в базисе: максимально возможное число булевых функций в базисе — четыре.
Иногда говорят о системе функций, полной в некотором замкнутом классе, и, соответственно, о базисе этого класса. Например, систему [math]\left\<\oplus,1\right\>[/math] можно назвать базисом класса линейных функций.
См. также
- Булевы функции
- Суперпозиции
- Полином Жегалкина
Источники информации
- Википедия — Критерий Поста
- Википедия — Замкнутые классы булевых функций
- Образовательный сайт MiniSoft
- Post’s lattice
- Лекции по дискретной математике
Математика
Функция вида называется прямой пропорциональностью, является частным случаем линейной зависимости.
Графиком линейной функции является прямая линия.
Для построения графика достаточно знать координаты двух точек.
Свойства линейной функции
2) Множеством значений функции является множество всех действительных чисел
3) Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений.
4) Функция не является ни четной, ни нечетной (кроме особых случаев).
5) Функция непериодическая.
6) График функции пересекает ось Ох в точке , а ось Оу — в точке (0; b).
8) Функция монотонно возрастает на области определения при k>0, монотонно убывает при k 0: функция принимает отрицательные значения на промежутке и положительные значения на промежутке
Для построения графика функции — прямой линии, очевидно, достаточно двух точек.
Особые случаи
1) Если b=0, получим уравнение y=kx. Функция такого вида называется прямой пропорциональностью. Графиком является прямая, проходящая через начало координат.
2) Если k=0, получим уравнение y=b. Графиком является прямая, параллельная оси Ох, проходящая через точку (0; b).
Линейная функция « y = kx + b » и её график
Прежде чем перейти к изучению функции « y = kx » внимательно изучите урок
«Что такое функция в математике» и «Как решать задачи на функцию».
Важно!
Функцию вида « y = kx + b » называют линейной функцией.
Буквенные множители « k » и « b » называют числовыми коэффициентами .
Вместо « k » и « b » могут стоять любые числа (положительные, отрицательные или дроби).
Другими словами, можно сказать, что « y = kx + b » — это семейство всевозможных функций, где вместо « k » и « b » стоят числа.
Примеры функций типа « y = kx + b ».
- y = 5x + 3
- y = −x + 1
- y =
Давайте определим для каждой функций выше, чему равны числовые коэффициенты « k » и « b » .
Функция Коэффициент « k » Коэффициент « b » y = 5x + 3 k = 5 b = 3 y = −x + 1 k = −1 b = 1 y = Обратите особое внимание на функцию « y = 0,5x » в таблице. Часто совершают ошибку при поиске в ней числового коэффициента « b ».
Рассматривая функцию « y = 0,5x », неверно утверждать, что числового коэффициента « b » в функции нет.
Числовый коэффициент « b » присутствет в функции типа « y = kx + b » всегда. В функции « y = 0,5x » числовый коэффициент « b » равен нулю .
Как построить график линейной функции
« y = kx + b »Запомните!
Графиком линейной функции « y = kx + b » является прямая .
Так как графиком функции « y = kx + b » является прямая линия , функцию называют линейной функцией.
Из геометрии вспомним аксиому (утверждение, которое не требует доказательств), что через любые две точки можно провести прямую и притом только одну.
Исходя из аксиомы выше следует, что чтобы построить график функции вида
« у = kx + b » нам достаточно будет найти всего две точки.Для примера построим график функции « y = −2x + 1 ».
Найдем значение функции « y » для двух произвольных значений « x ». Подставим, например, вместо « x » числа « 0 » и « 1 ».
Важно!
Выбирая произвольные числовые значения вместо « x », лучше брать числа « 0 » и « 1 ». С этими числами легко выполнять расчеты.
x Расчет « y = −2x + 1 » 0 y(0) = −2 · 0 + 1 = 1 1 y(1) = −2 · 1 + 1 = −2 + 1 = −1 Полученные значения « x » и « y » — это координаты точек графика функции.
Запишем полученные координаты точек « y = −2x + 1 » в таблицу.
Точка Координата по оси « Оx » (абсцисса) Координата по оси « Оy » (ордината) (·)A 0 1 (·)B 1 −1 Отметим полученные точки на системе координат.
Теперь проведем прямую через отмеченные точки. Эта прямая будет являться графиком функции « y = −2x + 1 ».
Как решать задачи на
линейную функцию « y = kx + b »Построить график функции « y = 2x + 3 ». Найти по графику:
- значение « y » соответствующее значению « x » равному −1; 2; 3; 5 ;
- значение « x », если значение « y » равно 1; 4; 0; −1 .
Вначале построим график функции « y = 2x + 3 ».
Используем правила, по которым мы строили график функции выше. Для построения графика функции « y = 2x + 3 » достаточно найти всего две точки.
Выберем два произвольных числовых значения для « x ». Для удобства расчетов выберем числа « 0 » и « 1 ».
Выполним расчеты и запишем их результаты в таблицу.
Точка Координата
по оси « Оx »Координата
по оси « Оy »(·)A 0 y(0) = 2 · 0 + 3 = 3 (·)B 1 y(1) = 2 ·1 + 3 = 5 Отметим полученные точки на прямоугольной системе координат.
Соединим полученные точки прямой. Проведенная прямая будет являться графиком функции « y = 2x + 3 ».
Теперь работаем с построенным графиком функции « y = 2x + 3 ».
Требуется найти значение « y », соответствующее значению « x »,
которое равно −1; 2; 3; 5 .Тему «Как получить координаты точки функции» с графика функции мы уже подробно рассматривали в уроке «Как решать задачи на функцию».
В этому уроке для решения задачи выше вспомним только основные моменты.
Запомните!
Чтобы найти значение « y » по известному значению « x » на графике функции необходимо:
- провести перпендикуляр от оси « Ox » (ось абсцисс) из заданного числового значения « x » до пересечения с графиком функции;
- из полученной точки пересечения перпендикуляра и графика функции провести еще один перпендикуляр к оси « Oy » (ось ординат);
- полученное числовое значение на оси « Oy » и будет искомым значением.
По правилам выше найдем на построенном ранее графике функции « y = 2x + 3 » необходимые значения функции « y » для « x » равным −1; 2; 3; 5 .
Запишем полученные результаты в таблицу.
Заданное значение « x » Полученное с графика значение « y » −1 1 2 7 3 9 5 13 Переходим ко второму заданию задачи. Требуется найти значение « x », если значение « y » равно 1; 4; 0; −1 .
Выполним те же действия, что и при решении предыдущего задания. Разница будет лишь в том, что изначально мы будем проводить перпендикуляры от оси « Oy » .
Запишем полученные результаты в таблицу.
Заданное значение « y » Полученное с графика значение « x » −1 −2 0 −1,5 1 −1 4 0,5 Как проверить, проходит ли график через точку
Рассмотрим другое задание.
Не выполняя построения графика функции « y = 2x −
», выяснить, проходит ли график через точки с координатами (0; −
Запомните!
Чтобы проверить принадлежность точки графику функции нет необходимости строить график функции.
Достаточно подставить координаты точки в формулу функции (координату по оси « Ox » вместо « x », а координату по оси « Oy » вместо « y ») и выполнить арифметические расчеты.
- Если получится верное равенство, значит, точка принадлежит графику функции.
- Если получится неверное равенство, значит, точка не принадлежит графику функции.