Решение на Упражнение 442 из ГДЗ по Алгебре за 7 класс: Мерзляк А.Г.
Представьте выражение в виде произведения многочленов:
1) c(x − 3) − d(x − 3);
2) m(p − k) − (p − k);
3) m(x − y) − n(y − x);
4) x(2 − x) + 4(x − 2);
5) 4x(2x − y) − 5y(y − 2x);
6) (y + 1)^2 − 4y(y + 1);
7) 10(a^2 − 5) + (a^2 − 5)^2;
8) (a − 2)^2 − 6(a − 2).
1.6.4. Как представить сумму в виде произведения?
Это обратное действие, и самый простой случай – вынесение общего множителя за скобки: .
Общий множитель можно найти даже там, где это совсем не очевидно:
либо , подобное вынесение широко используется в разных задачах высшей математики.
На практике часто приходится раскладывать квадратный трёхчлен , но об этом мы поговорим позже, когда будем решать квадратные уравнения. Что касается многочленов более высоких степеней, то здесь ситуация более грустная – многие из них не удаётся разложить на множители, однако если вы заранее знаете или «подозреваете», что это возможно, то нужно использовать такую схему: .
Ну и, конечно же, не «зеваем» формулы сокращенного умножения, таки обведу их:
Задание 3
а) Привести подобные слагаемые:
б) Раскрыть скобки: ,
в) Доказать, что . Вывести формулу для и .
г) Разложить на множители: ,
д) Упростить дроби:
Решения и ответы для сверки в конце книги, ваши ответы могут отличаться от моих перестановкой слагаемых и множителей.
© mathprofi.ru — mathter.pro, 2010-2024, сделано в Блокноте.
Как представлять в виде произведения выражение
Многочлен можно иногда представить в виде произведения двух или нескольких многочленов. Это возможно далеко не всегда, и в тех случаях, когда это возможно, найти требуемое разложение часто очень трудно. Практическое значение такого разложения состоит прежде всего в том, что оно часто позволяет упростить вид выражения (например, в том случае, когда в числителе и знаменателе дроби можно выделить одинаковые множители). Ниже перечислены простейшие случаи, когда разложение на множители выполняется. 1. Если все члены многочлена содержат в качестве множителя одно и то же выражение, его можно «вынести за скобки». Пример 1. 7a 2 xy — 14a 5 x 3 =7a 2 x(y – 2a 3 x 2 ). Пример 2. 6x 2 y 3 -2uxy 2 +4u 2 xy=2xy(3xy 2 -uy+2u 2 ). 2.Иногда оказывается возможным, разбив члены на несколько групп, вынести в каждой некоторый множители за скобки, после чего внутри всех скобок окажется одно и то же выражение. Тогда это выражение в свою очередь вынесется за скобки, и многочлен будет разложен на множители. Пример 1. ax+bx+ay+by=x(a+b)+y(a+b)=(a+b)(x+y). Пример 2. Замечаниe. Полезно иметь в виду, что выражение а — b можно всегда представить в виде – (b — а), так что на первый взгляд различные множители можно легко сделать одинаковыми. Пример 3.6ax-2bx+9by-27ay=2x(3a-b)+9y(b-3a)=2x(3a-b)-9y(3a-b) = (3a-b)(2x-9y). 3. Преобразование, объясненное в п. 2, иногда удается осуществить после предварительного введения новых (взаимно уничтожающихся) членов или разложения одного из членов на два слагаемых. Пример 1. a 2 –x 2 = a 2 +ax-ax –x 2 =a(a+x)-x(a+x)=(a+x)(a-x) Пример 2. p 2 +pq-2q 2 =p 2 +2pq-pq-2q 2 =p(p+2q)-q(p+2q)=(p+2q)(p-q). 4. От применения последнего приема иногда можно избавить себя, пользуясь несколькими готовыми формулами разложения, получаемыми обращением формул сокращенного умножения, именно: a 2 +2ab+b 2 =(a+b) 2 a 2 -2ab+b 2 =(a-b) 2 a 2 — b 2 = (a + b)(a — b) и т. д. Пример.4x 2 +20xy+25y 2 . Применяя первую из приведенных формул (a = 2x; b = 2y), получаем: 4x 2 + 20xy + 25y 2 = (2x + 5y) 2 Удачное выполнение разложения многочлена на возможно большее число множителей зависит от умения комбинировать вышеперечисленные приемы. Пример. 12+x 3 -4x-3x 2 =12-3x 2 +x 3 -4x=3(4-x 2 )-x(4-x 2 )=(4-x 2 )(3-x) = (2+x)(2-x)(3-x)
Как представлять в виде произведения выражение
Пусть нам даны выражения многочленов, которые требуется представить в виде произведения:
1) а во второй степени + аб — 3а — 3б
2) кр — кс — рх + сх + с — р
Решение:
1) Воспользуемся калькулятором упрощения выражений онлайн:
$$a^ + a b — 3 a — 3 b$$
$$a \left(a + b — 3\right) — 3 b$$
$$\left(a — 3\right) \left(a + b\right)$$
2) Также решим второй пример:
кр — кс — рх + сх + с — р
c - p + c*x + k*p - c*k - p*x
$$c x + c + k \left(- c + p\right) — p x — p$$
$$- \left(- c + p\right) \left(- k + x + 1\right)$$
Тэги: многочлен
© Контрольная работа РУ — примеры решения задач