Как складывать и вычитать степени

Свойства степеней с одинаковыми основаниями

Будьте внимательны! Правил относительно сложения и вычитания степеней с одинаковыми основаниями не существует.

Запишем эти свойства-правила в виде формул:

a m × a n = a m+n
a m ÷ a n = a m–n
(a m ) n = a mn

Теперь рассмотрим их на конкретных примерах и попробуем доказать.

5 2 × 5 3 = 5 5 — здесь мы применили правило; а теперь представим как бы мы решали этот пример, если бы не знали правила:

5 2 × 5 3 = 5 × 5 × 5 × 5 × 5 = 5 5 — пять в квадрате — это пять умноженное на пять, а в кубе — произведение трех пятерок. В результате получилось произведение пяти пятерок, но это нечто иное как пять в пятой степени: 5 5 .

Деление степеней

3 9 ÷ 3 5 = 3 9–5 = 3 4 . Запишем деление в виде дроби:

Сокращение показателей при делении

Ее можно сократить:

Результат деления степеней

В результате получим:

Таким образом мы доказали, что при делении двух степеней с одинаковыми основаниями, их показатели надо вычитать.

Однако при делении нельзя, чтобы делитель был равен нулю (так как на ноль делить нельзя). Кроме того, поскольку мы рассматриваем степени только с натуральными показателями, то не можем в результате вычитания показателей получить число меньше, чем 1. Поэтому на формулу a m ÷ a n = a m–n накладываются ограничения: a ≠ 0 и m > n.

Перейдем к третьему свойству:
(2 2 ) 4 = 2 2×4 = 2 8

Запишем в развернутом виде:
(2 2 ) 4 = (2 × 2) 4 = (2 × 2) × (2 × 2) × (2 × 2) × (2 × 2) = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2 8

Можно прийти к такому выводу и логически рассуждая. Нужно перемножить два в квадрате четыре раза. Но в каждом квадрате две двойки, значит всего двоек будет восемь.

Урок 6. Свойства степеней с натуральным показателем. Формулы и действия со степенями

Prostobank.ua рассказывает об основном свойстве степеней, а также свойствах степеней с натуральным показателем. На уроке математики вы узнаете, как возвести степень в степень, как складывать степени при умножении чисел с одинаковыми основами, как возвести отрицательное число в степень, как сложить и вычитать, умножить и делить степени.

УРОКИ МАТЕМАТИКИ ДЛЯ ВСЕХ

Подбор кредитов:

УРОКИ МАТЕМАТИКИ ДЛЯ ВСЕХ

Степень целого положительного числа с натуральным показателем

Изучая натуральные числа, мы анализировали понятие степени натурального числа (подробнее здесь: Степень числа. Возведение в степень. Таблица степеней натуральных чисел). На этом уроке мы рассмотрим основное свойство степени, формулы и действия со степенями.

Что такое степень числа с натуральным показателем?

Степенью числа а с натуральным показателем n больше единицы называют произведение множителей, каждый из которых равен а:

Урок 6. Свойства степеней с натуральным показателем. Формулы и действия со степенями image:1

Основное свойство степени

Для любого целого числа a и натуральных показателей m и n выполняется равенство, характеризующее основное свойство степеней:

Исходя из основного свойства степеней, при умножении степеней одного и того же целого числа показатели степеней нужно сложить, а основу оставить без изменений.

Объяснение: при умножении степени складываются – основу степени (число 3) оставляем без изменений, а показатели степеней суммируем: 2 + 5 = 7. Получим в произведении число 3 в седьмой степени.

Возведение степени в степень

Для любого целого числа a и натуральных показателей m и n выполняется равенство:

Правило возведения степени в степень звучит так:

Чтобы возвести степень в степень, нужно показатели степеней перемножить, а основу оставить ту же.

Пример

Объяснение: основу степени (число 2) оставляем без изменений, показатели степеней перемножаем: 3 ⋅ 4 = 12

Степень произведения чисел

Для любых целых чисел a и b и натурального показателя степеней n выполняется равенство:

Чтобы найти n-ую степень произведения чисел, нужно перемножить n-ые степени множителей.

Пример

Возведение отрицательного числа в степень

Степень целого отрицательного числа с натуральным показателем: правило возведения

Чтобы возвести в степень отрицательное число, нужно возвести в такую же степень модуль этого числа и перед результатом поставить знак плюс, если показатель степени является четным числом, или минус, если показатель степени – нечетное число

Рассмотрим примеры, когда основой степени является целое отрицательное число -2:

Урок 6. Свойства степеней с натуральным показателем. Формулы и действия со степенями image:8

В первом примере мы возвели число -2 к третьей степени. Показатель степени, число 3, нечетный, поэтому перед результатом ставим знак минус.

Если поднести к четвертой степени число -2, то получим в результате положительное число (ведь показатель степени число 4 является четным).

Действия со степенями. Примеры

Выше мы рассмотрели основные свойства степеней с натуральным показателем, если основа целое положительное число или целое отрицательное число. Теперь рассмотрим конкретные примеры, где нужно выполнить действия со степенями – сложение и вычитание, умножение и деление.

Сложение и вычитание степеней с одинаковыми основаниями

Складывая или вычитая выражения со степенями, мы пользуемся теми же правилами, что и для алгебраических выражений.

Урок 6. Свойства степеней с натуральным показателем. Формулы и действия со степенями image:9

То есть, если выражение содержит степени с одинаковыми основами и показателями, действия сложения и вычитания выполняют как для целых чисел.

Умножение степеней с разными основами

Правило умножения степеней звучит так:

Чтобы умножить степень с одинаковыми показателями, достаточно перемножить основания, а показатель степени оставить таким же.

Формула умножения чисел с одинаковыми степенями:

где a и b – любые целые числа, n – натуральное число

Решим несколько примеров на умножение степеней, используя формулу и правило:

Урок 6. Свойства степеней с натуральным показателем. Формулы и действия со степенями image:12

Деление степеней

Правило деления степеней с одинаковыми основами звучит так:

При делении степеней с одинаковыми основаниями от показателя степени делимого вычитается показатель степени делителя, а основа остается без изменений.

Формула: как делить степени

где а – целое число, которое не равно нулю, а m – и натуральные числа

Примеры

сложение и вычитание степеней с одинаковым основанием? ..

если перемножаем два числа с одинаковыми основаниями и разными степенями, то основание остаётся, а степени складываются.
Если эти же числа делят — то степени вычитаются.

только умножение и деление

Ничего сложного. \Пример на сложение:
2**3+2**4=2**3(1+2)=8*3=24 ( ** означает возвести в степень)
То есть меньшую степень выносим за скобки, как множитель. С вычитанием тоже самое.
Про умножение и деление уже обьяснили.

Как складывать степени

Соавтор(ы): David Jia. Дэвид Джиа — репетитор и основатель частной репетиторской компании LA Math Tutoring в Лос-Анджелесе, Калифорния. Имеет более 10 лет преподавательского опыта, работает с учащимися всех возрастов и классов над разными предметами, а также занимается конультированием по поступлению в колледж и подготовкой к SAT, ACT, ISEE и другим тестам. Набрав максимальные 800 баллов за SAT по математике и 690 — по английскому языку, получил стипендию Дикинсона в Университете Майами, который окончил со степенью бакалавра делового администрирования. Кроме того, был инструктором в обучающих онлайн-видео компаний, выпускающих учебники, таких как Larson Texts, Big Ideas Learning и Big Ideas Math.

Количество просмотров этой статьи: 231 297.

В этой статье:

Степень, а точнее показатель степени, говорит нам о том, сколько раз следует умножить данное число (основание степени) на само себя. [1] X Источник информации Чтобы найти сумму степеней, следует уметь определить, вручную либо на калькуляторе, значение каждого слагаемого. При сложении переменных со степенями необходимо знать правила суммирования схожих членов.

Метод 1 из 3:

Сложение чисел со степенями вручную

Например, если дано выражение 3 4 + 2 5 +2^> , сначала следует вычислить 3 4 > :
3 4 >
= 3 × 3 × 3 × 3
= 81

После предыдущего действия наш пример имеет вид 81 + 2 5 > , поэтому необходимо вычислить 2 5 > :
2 5 >
= 2 × 2 × 2 × 2 × 2
= 32

В нашем примере:
3 4 + 2 5 +2^>
= ( 3 × 3 × 3 × 3 ) + ( 2 × 2 × 2 × 2 × 2 )
= ( 81 ) + ( 32 )
= 113

Метод 2 из 3:

Сложение чисел со степенями на калькуляторе

Найдите на калькуляторе клавишу степени. Как правило, на ней написано y x > , E X P или x с пустым квадратом, который обозначает показатель степени. Данный метод не годится, если в вашем калькуляторе нет опции возведения в степень.

Например, если дано выражение 3 4 + 2 5 +2^> , для ввода первого слагаемого следует нажать следующие клавиши:
3
y x >
4

Например, если дано выражение 3 4 + 2 5 +2^> , для ввода второго слагаемого следует нажать такие клавиши:
2
y x >
5

$Step 5 Нажмите знак равенства (клавишу = <\displaystyle =></p> <p>).» width=»460″ height=»345″ /></p> <p>Метод 3 из 3:</p> <h4>Сложение переменных со степенями</h4> <p><img loading=$

Показатель степени определяет, сколько раз следует умножить основание степени само на себя (например, x 3 = x × x × x =x\times x\times x> ). [3] X Источник информации
В случае переменных перед ними могут стоять коэффициенты, на которые их следует умножить. [4] X Источник информации
Если перед какой-либо переменной нет коэффициента, это значит, что она умножается на 1 . Например, x 4 = 1 x 4 =1x^>

Например, если дано выражение x 4 + 3 x 6 + 4 x 4 + 2 y 4 +3x^+4x^+2y^> , то нетрудно заметить, что слагаемые x 4 > и 4 x 4 <\displaystyle 4x^> имеют одинаковые основания ( x ) и показатели степени ( 4 ). Таким образом, эти два члена можно сложить. В слагаемом 3 x 6 <\displaystyle 3x^> другой показатель степени, а член 2 y 4 <\displaystyle 2y^> имеет другое основание, поэтому их нельзя складывать.

Например, если дано выражение x 4 + 4 x 4 +4x^> , следует сложить коэффициенты перед x 4 > , а основание и показатель степени оставить теми же:
x 4 + 4 x 4 +4x^>
= ( 1 ) x 4 + ( 4 ) x 4 <\displaystyle =(1)x^+(4)x^>
= 5 x 4 <\displaystyle =5x^>