Какие функции растут быстрее таблица

Задание на анализ таблицы-графика-диаграммы (№22 ЕГЭ)

Изучите график зависимости количества проросших семян определённой массы (3–4 мг) от продолжительности нахождения семян в почве (по оси х отложено время (в днях), а по оси у – количество проросших семян от общего их числа (в %)). Выберите утверждения, которые можно сформулировать на основании анализа предложенного графика.
1) Чем больше семена находятся в земле, тем лучше их всхожесть.
2) На 11 день прорастают 15% семян.
3) После 10 дня зависимость прорастания семян от продолжительности нахождения в земле становится обратно пропорциональной.
4) Семена начинают всходить на 4-6 день.
5) На 8 день всхожесть семян максимальная.

Проанализируйте график «Динамика численности зайцев и хищников». Выберите утверждения, которые можно сформулировать на основании анализа представленных данных.
1) между хищниками происходит конкуренция
2) численность жертвы изменяет численность хищника
3) в 1946 году наблюдалась самая высокая численность волков
4) численность хищников возрастает прямо пропорционально численности жертв
5) высота пиков популяционных волн жертв и хищника совпадают

Проанализируйте таблицу «Число долгожителей мужчин и женщин в период с 1940 — по 1952 годы». Выберите утверждения, которые можно сформулировать на основании анализа данных таблицы. Каково соотношение числа мужчин и женщин долгожителей в период с 1940 по 1945 гг.?
1) примерно одинаковое и составляет 1:1
2) женщин в два раза больше, чем мужчин
3) средний возраст женщин составляет 100 лет
4) наибольшее число женщин на одного мужчину приходится на 1942 год
5) на одного мужчину приходится примерно 4-5 женщин

Проанализируйте таблицу «Выживание птенцов скворца в зависимосот колити чества яиц в кладке». Выберите утверждения, которые можно сформулировать на основании анализа полученных результатов. Запишите в ответе номера выбранных утверждений.
1) Оптимальное количество яиц в кладке, позволяющее сохранить численность скворцов, – 5.
2) Гибель птенцов объясняется случайными факторами.
3) Чем меньше в кладке яиц, тем эффективнее забота о потомстве.
4) Чем больше птенцов в гнезде, тем чаще родители кормят каждого из птенцов.
5) Количество яиц в кладке зависит от климатических факторов и наличия корма.

Проанализируйте таблицу «Выживание птенцов сороки обыкновенной». Выберите утверждения, которые можно сформулировать на основании анализа полученных результатов. Запишите в ответе номера выбранных утверждений.
1) чем больше яиц в кладке, тем больше вылупляется из них птенцов
2) в среднем сорока откладывает 7 яиц
3) не все птенцы вылупляются из яиц, в среднем появляется 5 птенцов
4) все вылупившиеся птенцы выживают
5) сорока откладывает яйца в разные дни (по 1 яйцу в день), и поэтому птенцы в гнезде разновозрастные

Проанализируйте таблицу «Успешность размножения ушастой совы в повторных кладках» (повторная кладка – вторая кладка яиц за сезон). Выберите все утверждения, которые можно сформулировать на основании анализа представленных данных. Запишите в ответе цифры, под которыми указаны выбранные утверждения.
1) выживание птенцов в повторных кладках зависит от времени года
2) в большинстве случаев у сов низкая успешность размножения в повторных кладках
3) период гнездования ушастой совы – начало весны
4) чаще в повторных кладках совы откладывают три яйца
5) откладывание большого количества яиц снижает содержание в них питательных веществ

Проанализируйте диаграмму, на которой представлено число полевок в зимнем рационе ушастой совы в 2010-2015 гг., определенное по найденным остаткам скелетов полёвок в погадках (непереваренных остатках еды, отрыгнутых совой). Выберите все утверждения, которые можно свормулировать на основании анализа представленных данных. Запишите в ответе цифры, под которыми указаны выбранные утверждения.
1) Ушастые совы голодали зимой 2010-2011 и 2011-2012 гг.
2) Полевки практически отсутствовали в рационе ушастых сов зимой 2011-2012 гг.
3) Больше всего полевок становилось жертвами сов зимой 2012-2013 гг.
4) Численность популяции ушастой совы зависит от численности популяции полевок.
5) Рацион ушастой совы зависит от температурного режима зимой.

Проанализируйте диаграмму, на которой представлена доля полёвок в зимнем рационе ушастой совы в 2010-2015 гг., определённая по найденным останкам скелетов полёвок в погадках (непереваренных остатках еды, отрыгнутых совой).
1) Зимой 2010-2011 и 2014-2015 гг. основу рациона ушастой совы составляли не полёвки.
2) Популяция полёвок была минимальной в зимний период 2010-2011 и 2014-2015 гг.
3) В рационе ушастых сов число полёвок зависит от их численности в ареале (конкретной местности).
4) Рацион ушастой совы зависит от температурного режима зимой.
5) Чаще всего полёвки становились пищей ушастой совы зимой 2011-2012 гг.

Пользуясь таблицей «Химический состав морской воды и сыворотки крови» и знаниями из курса биологии, выберите верные утверждения.
1) Натрия, калия и кислорода в морской воде меньше, чем в сыворотке крови.
2) Хлор преобладает и в составе морской воды, и в составе сыворотки крови.
3) Натрий, калий и кислород содержатся в сыворотке крови, но отсутствуют в морской воде.
4) Количество хлора в сыворотке незначительно.
5) Кальций преобладает и в составе морской воды, и в составе сыворотки крови.

Проанализируйте график «Динамика численности зайцев и хищников». Выберите утверждения, которые можно сформулировать на основании анализа представленных данных.
1) хищники не являются конкурентами
2) изменения численности жертвы опережает изменение численности хищника
3) в 1950 году наблюдалась самая низкая численность жертвы
4) при низкой численности зайцев увеличивается численность рыси
5) небольшая численность хищников повышает численность зайцев

Проанализируйте таблицей «Сравнительный состав плазмы крови, первичной и вторичной мочи организма человека» и сделайте выводы. Выберите утверждения, которые можно сформулировать на основании анализа полученных результатов. Запишите в ответе номера выбранных утверждений.
1) Концентрация калия практически остаётся неизменной по мере превращения плазмы крови во вторичную мочу.
2) Белки, жиры и гликоген отфильтровываются сразу и не попадают в первичную мочу.
3) Глюкоза отсутствует в составе вторичной мочи по сравнению с первичной.
4) Первичная и вторичная моча идентичны по составу.
5) Концентрация мочевины в плазме крови и во вторичной моче не отличаются.

Проанализируйте график «Выживание муфлона в Лондонском зоопарке». Выберите утверждения, которые можно cформулировать на основании анализа представленных данных.
1) с увеличением возраста особей число выживших уменьшается
2) половина из родившихся особей проживают 100 месяцев
3) гибель особей постепенно нарастает
4) большая часть особей доживает до десяти лет
5) в исследуемой группе животных средний возраст составляет 2 года

Проанализируйте график «Вариационная кривая, отражающая распределение семян тыквы по их величине». Выберите утверждения, которые можно сформулировать на основе анализа таблицы.
1) размер семян 14-15 мм – максимальный размер
2) реже всего встречаются семена размером от 11 до 12 мм
3) наиболее часто встречаются семена среднего размера
4) средний размер семян колеблется в пределах 14-15 мм
5) семян более 19 мм не бывает в природе

Проанализируйте график динамики частоты пульса в покое в условиях высокогорья. Выберите утверждения, которые можно сформулировать на основании анализа полученных результатов.
1) сначала увеличивается, а потом снижается
2) остается неизменной в указанном интервале
3) медленно растет в указанном интервале температур
4) восстановление пульса происходит на 31-й день
5) снижается на всем указанном интервале

Проанализируйте график, отражающий колебания численности биомассы насекомых в течение года. Выберите утверждения, которые можно сформулировать на основа Вашего анализа.
1) Биомасса насекомых и их численность связаны между собой.
2) В конце осени биомасса насекомых резко уменьшается.
3) Период размножения насекомых начинается в мае.
4) Наибольшая численность насекомых приходится на осень и весну.
5) Зиму насекомые проводят в спячке.

Проанализируйте таблицу «Число долгожителей мужчин и женщин в период с 1940 по 1952 годы». Выберите утверждения, которые можно сформулировать на основании анализа данных таблицы. Каково соотношение числа мужчин и женщин долгожителей в период с 1947 по 1950 гг.?
1) примерно одинаковое и составляет 1 : 1
2) мужчин больше, чем женщин
3) женщин примерно в 5 раз больше, чем мужчин
4) соотношение женщин и мужчин составляет 1 : 17
5) на одного мужчину приходится примерно 6 женщин

Проанализируйте график зависимости числа случаев кариеса от среднего количества сахара, потребляемого на душу населения в разных странах. Выберите утверждения, которые можно сформулировать на основании анализа полученных результатов. Запишите в ответе номера выбранных предложений.
1) частота встречаемости кариеса не зависит от количества потребляемого сахара
2) умеренное потребление сахара (2 ч. ложки в день) практически не способствует развитию кариеса
3) в цивилизованных странах кариес встречается реже
4) чем больше потребляется в стране сахара, тем чаще в ней встречается кариес
5) потребление сахара в мире постоянно растет

Проанализируйте таблицу показателей индекса массы тела (ИМТ) и сделайте выводы. Выберите утверждения, которые можно сформулировать на основании анализа полученных результатов. Запишите в ответе номера выбранных утверждений.
1) У первого исследуемого выраженный дефицит массы
2) У второго и третьего исследуемого нет дефицита массы
3) У первого и третьего исследуемого приемлемый ИМТ
4) У третьего исследуемого ожирение третьей степени
5) У второго исследуемого нет избыточного веса

Испытуемым демонстрировались цифры разных цветови чёрно-белые изображения разной сложности. Фиксировалось время, необходимое испытуемому, чтобы распознать и назвать объект. Проанализируйте таблицу «Время, необходимое для узнавания тест-изображения». Выберите утверждения, которые можно сформулировать на основании анализа представленных данных.
1) Чем проще объект, тем меньше света необходимо для его узнавания.
2) Время узнавания цифр не зависит от их цвета.
3) Чёрные объекты распознаются быстрее цветных.
4) Цветные цифры распознаются быстрее, чем сложное изображение.
5) В сумерках распознавание цветного объекта ослабевает.

Проанализируйте таблицу «Функция почек во время беременности». Выберите утверждения, которые можно сформулировать на основании анализа полученных результатов. Запишите в ответе номера выбранных утверждений.
1) По показателям мочи можно определить наличие проблем со здоровьем.
2) Самая большая нагрузка на почки наблюдается в первом триместре беременности.
3) Почечный кровоток зависит от возраста женщины.
4) По концентрации глюкозы в моче здоровой женщины можно судить о сроках беременности.
5) Содержание белка в моче беременных женщин зависит от наличия воспаления.

Проанализируйте гистограмму состава рациона животного Z. По оси х расположены таксоны позвоночных животных, которыми питается животное Z, а по оси у – их количество в рационе. Выберите утверждения, которые можно сформулировать на основании анализа гистограммы. Животное Z относят к
1) всеядным животным
2) консументам II порядка
3) производителям органических веществ
4) полуводным животным
5) обитателям тундры

Проанализируйте график скорости размножения молочнокислых бактерий. Выберите утверждения, которые можно сформулировать на основании анализа полученных результатов. Запишите в ответе номера выбранных утверждений. Скорость размножения бактерий
1) всегда прямо пропорциональна изменению температуры среды
2) зависит от ресурсов среды, в которой находятся бактерии
3) зависит от генетической программы организма
4) в интервале от 20 до 36 °С повышается
5) уменьшается при температуре выше 36 °С

Проанализируйте график зависимости скорости от температуры. Выберите утверждния, которые можно сформулировать на основе анализа представленных данных. Запишите в ответе цифры, под которыми указаны выбранные утверждения.
1) исследуется фермент теплокровного животного
2) при повышении температуры происходит денатурация ферментов
3) фермент наиболее активен при температуре 38 градусов
4) все ферменты являются белками
5) скорость ферментативной реакции зависит от температуры

Проанализируйте таблицу «Число устьиц на 1 квадратный миллиметр листа» и сделайте выводы.
1) Устьица нужны для испарения воды и газообмена с окружающей средой.
2) У злаков число устьиц на обеих поверхностях листа примерно одинаково.
3) Кувшинка – водное растение, устьица находятся только на нижней стороне листа, и испарение происходит через его поверхность.
4) Слива и яблоня имеют устьица только на нижней стороне листа.
5) Количество и условия расположения устьиц не зависит от места произрастания растения

Изучите график зависимости роста насекомого от времени (по оси х отложено время (дни), а по оси у – длина насекомого (в см)). Выберите утверждения, которые можно сформулировать на основании анализа предложенного графика. Запишите в ответ номера выбранных утверждений.
1) Рост насекомого происходит плавно, без видимых скачков.
2) Вторая линька приходится на 14-15 день
3) Рост очень резкий на протяжении всего времени.
4) Между 26 и 30 днями наблюдается линька.
5) Периоды покоя насекомого сменяются резким ростом.

Проанализируйте таблицу «Выживание куропаток». Выберите утверждения, которые можно сформулировать на основе анализа полученных результатов. Запишите в ответе номера выбранных утверждений.
1) максимальная выживаемость достигается ко второму году жизни
2) смертность куропаток прямо пропорциональна возрасту
3) большую часть жизни смертность составляет около трети от числа особей данного возраста
4) на 6-10 году жизни выживаемость растет
5) минимальная выживаемость в начале и в конце жизни особей вида

Проанализируйте таблицу «Зависимость кислородной емкости крови млекопитающих от высоты над уровнем моря». Выбери те утверждения, которые можно сформулировать на основании анализа полученных результатов.
1) у животных с одинаковым количеством эритроцитов в 1мм3 крови одинаковое содержание в них гемоглобина
2) между высотой над уровнем моря и количеством эритроцитов в 1мм3 крови существует обратно пропорциональная зависимость
3) между высотой над уровнем моря и количеством эритроцитов в 1мм3 крови существует прямо пропорциональная зависимость
4) между количеством эритроцитов в 1мм3 крови и содержанием в них гемоглобина существует прямо пропорциональная зависимость
5) у животных, живущих на одинаковой высоте, может быть разное количество эритроцитов в 1мм3 крови, но всегда одинаковое содержание в них гемоглобина

Проанализируйте таблицу «»Состав вдыхаемого, выдыхаемого и альвеолярного воздуха»». Выберите утверждения, которые можно сформулировать на основании анализа полученных результатов.
1) Состав альвеолярного воздуха значительно отличается от состава вдыхаемого воздуха: в нем меньше кислорода (14,2%), большое количество углекислого газа (5,2%), а содержание азота практически одинаково, так как он не принимает участия в дыхании.
2) В выдыхаемом воздухе кислорода содержится меньше, чем в альвеолярном.
3) Количество углекислого газа во вдыхаемом и выдыхаемом воздухе практически не меняется.
4) Количество азота во выдыхаемом и вдыхаемом воздухе практически не меняется.
5) Пребывание человека в плохо проветриваемом помещении вызывает снижение работоспособности, головную боль и учащенное дыхание.

Проанализируйте график зависимости работоспособности человека от температуры окружающей среды (х – температура среды в °С, у – относительная работоспособность в %). Выберите утверждения, которые можно сформулировать на основании анализа полученных результатов.
1) сначала незначительно растет, а потом снижается
2) остается неизменной в указанном температурном интервале
3) медленно растет в указанном интервале температур
4) работоспособность у человека резко снижается
5) снижается на всем указанном интервале

Проанализируйте график изменения активности фермента каталазы у пчел в течение года. Выберите утверждения, которые можно сформулировать на основании анализа полученных результатов. Запишите в ответе номера выбранных утверждений.
1) активность фермента каталазы у пчел не зависит от времени года
2) весной и осенью у пчел происходит увеличение активности фермента каталазы
3) максимальная активность фермента каталазы у пчел приходится на зимние месяцы
4) весной и осенью у пчел происходит снижение активности фермента каталазы
5) минимальная активность фермента каталазы у пчел приходится на летние месяцы

Проанализируйте график изменения количества жира в теле насекомого в период активности (х – месяцы периода активности, у – количество жира в баллах). Выберите утверждения, которые можно сформулировать на основании анализа полученных результатов. Запишите в ответе номера выбранных утверждений.
1) в первой половине июня насекомое интенсивно использует запасы жира
2) наиболее интенсивное накопление жира происходит в июле-августе
3) в апреле и мае количество жира не изменяется
4) интенсивное снижение количества жира в теле насекомого приходится на июнь-июль
5) количество жира в теле насекомого зависит от случайных факторов среды

Проанализируйте таблицу «Содержание соланина в различных сортах картофеля». Выберите утверждения, которые можно сформулировать на основании анализа полученных результатов. Запишите в ответе номера выбранных утверждений.
1) во всех сортах картофеля содержание соланина наиболее высокое в ягодах
2) зеленые части картофеля содержат соланина больше, чем мякоть клубней
3) на свету содержание соланина в клубнях картофеля повышается
4) сорт Скала по сравнению с другими содержит меньше соланина в вегетативных органах
5) у всех рассматриваемых сортов картофеля стебли более токсичные, чем листья

Проанализируйте таблицу «Количество генетического материала». Выберите утверждения, которые можно сформулировать на основании анализа полученных результатов. Запишите в ответе номера выбранных утверждений.
1) редукция числа хромосом происходит в анафазе второго деления мейоза
2) удвоение молекул ДНК происходит в интерфазе в синтетическом периоде
3) в профазе первого деления происходят конъюгация и кроссинговер
4) в результате деления образуется четыре клетки
5) редукция числа хромосом происходит в анафазе первого деления мейоза

Проанализируйте таблицу «Потребление кислорода в зависимости от размеров млекопитающих». Выберите утверждения, которые можно сформулировать на основании анализа полученных результатов. Запишите в ответе номера выбранных утверждений.
1) чем больше масса животного, тем больше кислорода оно употребляет
2) минимальное количество кислорода требуется кенгуру
3) максимальное количество кислорода требуется землеройке
4) между массой животного и его потребностью в кислороде существует прямая пропорциональная зависимость
5) чем меньше масса животного, тем больше кислорода потребляет животное

Проанализируйте график, отражающий смену простейших в сенном настое: 1 – жгутиковые, 2 – инфузории кольноды, 3 – парамеции, 4 – брюхоресничные инфузории, 5 – амебы, 6 — сувойки. Выберите утверждения, которые можно сформулировать на основании анализа полученных результатов. Запишите в ответе номера выбранных утверждений.
1) первыми доминируют жгутиковые
2) на 10-22 сутки доминируют инфузории кольноды
3) парамеции не доминируют ни в один период времени
4) амебы доминируют на 47-69 сутки
5) наиболее продолжительный период доминируют сувойки

Проанализируйте таблицу «Распределение резус-фактора у разных народов». Выберите утверждения, которые можно сформулировать на основании анализа полученных результатов. Запишите в ответе номера выбранных утверждений.
1) резус-отрицательные люди вообще не встречаются только у австралийских аборигенов
2) доля резус-отрицательных людей наибольшая у басков
3) доля резус-положительных людей у всех народов выше чем резус-отрицательных
4) у китайцев и японцев доля резус-положительных и резус-отрицательных людей равны
5) наиболее точно доли резус-положительных и резус-отрицательных людей установлены для американских индейцев

Проанализируйте график, отражающий зaвисимость интенсивности фотосинтеза и дыхания растения от температуры. Выберите утверждения, которые можно сформулировать на основании анализа полученных результатов. Запишите в ответе номера выбранных утверждений.
1) оптимальная температура для дыхания растения — +30С°
2) оптимальная температура для фотосинтеза растения — +55С°
3) интенсивность фотосинтеза наибольшая в диапазоне температур +25 — +35С°
4) интенсивность дыхания наибольшая при температуре около +55С°
5) максимальное температурное значение, при котором еще будет происходить прирост биомассы растения, составляет +60С°

Проанализируйте таблицу «Основные характеристики геосфер Земли». Выберите утверждения, которые можно сформулировать на основании анализа полученных результатов. Запишите в ответе номера выбранных утверждений.
1) наименее тонкой геосферой Земли является атмосфера
2) наиболее плотной геосферой Земли является ядро
3) наибольшую долю в массе Земли составляет литосфера
4) наибольший объем имеет атмосфера
5) самой легкой геосферой является гидросфера

Изучите диаграммы, характеризующие возрастную структуру народонаселения в 1970 г. в трех странах, различающихся скоростью роста численности: а) Мексика, б) США, в) Швеция. Выберите утверждения, которые можно сформулировать на основании анализа диаграмм.
1) на диаграмме «а» изображена сокращающаяся популяция
2) на диаграмме «б» изображена быстро растущая популяция
3) на диаграмме «в» изображена стационарная популяция
4) на всех диаграммах изображены популяции, в которых мальчиков рождается больше, чем девочек
5) на диаграмме «а» изображена популяция с низкой рождаемостью

Проанализируйте график, отражающий зависимость смертности яиц соснового шелкопряда в разных сочетаниях температуры и влажности. Выберите утверждения, которые можно сформулировать на основании полученных результатов.
1) наименьшая смертность яиц соснового шелкопряда наблюдается при температуре 20С° и влажности 70%
2) смертность яиц соснового шелкопряда при температуре 25С° и влажности воздуха 90% составляет 5%
3) смертность яиц соснового шелкопряда при температуре 30С° и влажности воздуха 60% составляет 0%
4) смертность яиц соснового шелкопряда с увеличением температуры всегда растет
5) смертность яиц соснового шелкопряда не зависит от влажности воздуха

Проанализируйте таблицу «Содержание в клетках химических соединений». Выберите утверждения, которые можно сформулировать на основании анализа полученных результатов. Запишите в ответе номера выбранных утверждений.
1) из органических веществ в клетках больше всего белков
2) из неорганических веществ в клетках больше всего углеводов
3) воды в клетках больше, чем других веществ вместе взятых
4) в % от сырой массы в клетках больше всего органических веществ
5) в % от сухой массы в клетках больше всего неорганических веществ

Изучите график зависимости выживаемости особей в популяции от времени. Выживаемость – процент от исходного числа особей, сохранившихся в популяции за определенный промежуток времени: Z = n/N x 100%, где Z – выживаемость в %, n – число выживших, N – исходная численность популяции. (По оси х отложено время, по оси у – выживаемость.) Выберите утверждения, которые можно сформулировать на основании полученных результатов. Запишите в ответе номера выбранных утверждений. Кривая III типа
1) отражает массовую гибель особей в начальный период жизни
2) свойственна организмам, смертность которых на протяжении всей жизни мала
3) характерна для видов, у которых смертность остается относительно постоянной в течение всей жизни
4) отражает массовую гибель особей в течение всей жизни
5) характерна для организмов, не заботящихся о своем потомстве и выживающих за счет большой плодовитости (огромного количества икринок, личинок, семян и т.п.)

Проанализируйте таблицу «Аккумуляция элементов организмами». Выберите утверждения, которые можно сформулировать на основании анализа полученных результатов.
1) морские растения больше всего накапливают свинец
2) моллюски больше всего накапливают ртуть
3) в пресноводных рыбах всех исследованных элементов больше, чем в морских
4) по степени накопления в морской рыбе исследованные элементы образуют ряд: Cd→Pb→As→Hg
5) по мере продвижения по цепи питания концентрация ртути увеличивается

Проанализируйте таблицу «Распространение некоторых инфекционных болезней животных по континентам». Выберите утверждения, которые можно сформулировать на основании анализа полученных результатов. Запишите в ответе номера выбранных утверждений.
1) Европа и Азия отличаются по распространенности заболеваний
2) Ряд инфекционных болезней животных встречается повсеместно
3) Австралия является континентом, где встречаются все исследованные болезни животных
4) Распространение инфекционных болезней животных зависит от температуры
5) Южная Америка является источником распространения всех инфекционных болезней животных
6) Географические закономерности распространения инфекционных болезней животных и человека сходны

Проанализируйте график «Вариационная кривая». Выберите утверждения, которые можно сформулировать на основании анализа полученных результатов.
1) наиболее распространены средние варианты проявления признака
2) величина семян зависит от условий прорастания
3) частота встречаемости семян 10, 11, 17 мм одинакова
4) величина семян зависит от их генотипа
5) семена минимального размера встречаются в два раза чаще, чем семена максимального размера

Проанализируйте график интенсивности процессов в зависимости от температуры. Выберите верные утверждения, которые можно сформулировать на основании анализа полученных результатов.
1) Интенсивность процессов фотосинтеза и дыхания не зависит от температуры.
2) Самая высокая активность дыхания наступает при температуре от 15 до 40 градусов.
3) Самая высокая активность фотосинтеза наступает при температуре от 20 до 40 градусов.
4) Процесс фотосинтеза, в отличие от процесса дыхания, не зависит от температуры.
5) Процесс дыхания может осуществляться при более высоких температурах, чем процесс фотосинтеза.

Проанализируйте суточную потребность в белках, жирах, углеводах (г) и необходимую калорийность (ккал) для людей разных возрастов. Выберите утверждения, которые можно сформулировать на основе анализа полученных результатов.
1) У юношей по сравнению с девушками калорийность органических веществ пищи выше.
2) У мальчиков суточная потребность белка выше, чем у девочек этого же возраста.
3) Жиры в основном обеспечивают энергетические потребности школьников.
4) Потребность в жирах у юношей и мужчин не меняется.
5) В связи с ростом и развитием организма девочки нуждаются в пониженном содержании белка.

Проанализируйте график «Функциональная сосудосердечная проба». Выберите утверждения, которые можно сформулировать на основании анализа полученных результатов.
1) Спустя 1 минуту после нагрузки число ударов в минуту становится таким же, как в состоянии покоя.
2) Число ударов сердца после нагрузки возрастает почти в два раза по сравнению с состоянием покоя.
3) При нагрузке сердцебиение приходит в состояние нормы примерно за 5 минут.
4) Число ударов в минуту зависит от возраста, пола, физической тренированности обследованного человека.
5) Частоту сердечных сокращений увеличивает действие гормона адреналина.

Проанализируйте диаграмму содержания витамина С в концентрированном и свежевыжатом соках. Выберите утверждения, которые можно сформулировать на основании анализа полученных результатов.
1) Из концентрированных соков наибольшее содержание витамина С обеспечивает апельсиновый сок.
2) Для восполнения суточной потребности в витамине С требуется одинаковое количество концентрированного и свежевыжатого яблочного сока.
3) Содержание витамина С в морковном соке различается несущественно как в концентрированном соке, так и в свежевыжатом.
4) Во всех консервированных соках содержание витамина С такое же, как в свежевыжатых.
5) Содержание витамина С в свежевыжатом яблочном соке в два раза меньше, чем в свежевыжатом апельсиновом соке.

Проанализируйте диаграмму «Соотношение химических элементов в клетке (%)». Выберите утверждения, которые можно сформулировать на основании анализа полученных результатов.
1) Содержание углеводов в клетке выше, чем АТФ.
2) Из органических веществ белка в клетке наибольшее количество.
3) Суммарное содержание органических веществ в клетке составляет 25%.
4) Содержание воды в клетке максимально по сравнению с другими веществами.
5) Органические вещества в клетке представлены в основном в форме водных растворов.

Проанализируйте таблицу «Цветочные часы Карла Линнея». Выберите утверждения, которые можно сформулировать на основании полученных результатов.
1) «Цветочные часы» у светолюбивых растений работают круглые сутки.
2) Все цветы «просыпаются» с восходом солнца.
3) Самый долгий период раскрытых цветов у шиповника.
4) У бархатцев и ноготков период раскрытых цветов одинаков.
5) Самый короткий период раскрытых цветов у цикория.

Проанализируйте таблицу «Распределение хлоропластов в клетках хвои ели в зависимости от температуры». Выберите утверждения, которые можно сформулировать на основании анализа представленных данных.
1) Хлоропласты в клетках хвои ели распределены равномерно при любой температуре.
2) При отрицательных температурах клетки хвои ели сохраняют жизнеспособность.
3) С повышением температуры равномерность распределения хлоропластов в клетке возрастает.
4) С понижением температуры хлоропласты во всех клетках хвои ели распределяются неравномерно.
5) В тёплые дни количество клеток с неравномерным распределением хлоропластов не превышает 25%.

Проанализируйте таблицу «Частота обнаружения тихоходок в образцах мхов и лишайников» (тихоходки – тип микроскопических беспозвоночных, близких к членистоногим). Выберите утверждения, которые можно сформулировать на основании анализа представленных данных.
1) Тихоходки встречаются в городской местности чаще, чем в посёлках.
2) Количество лишайников зависит от степени загрязнения окружающей среды.
3) Тихоходки реже встречаются в местах загрязнения химическими отходами.
4) Возле водоёмов тихоходки встречаются чаще, чем на городских улицах.
5) Тихоходки встречаются во мхах чаще, чем в лишайниках.

Проанализируйте график зависимости длины тела личинки насекомого от времени. Выберите утверждения, которые можно сформулировать на основании анализа представленных данных.
1) Рост личинки сопровождается линькой.
2) Насекомые живут 46 дней.
3) Длина тела личинки на большинстве стадий развития увеличивается в интервале 0,4–0,6 см.
4) У личинки в процессе роста происходят внутренние изменения в строении.
5) Рост личинки происходит скачкообразно.

Проанализируйте диаграмму, на которой представлена плотность нервных клеток в головном мозге разных видов млекопитающих. Выберите утверждения, которые можно сформулировать на основании анализа представленных данных.
1) Плотность расположения нервных клеток у ежа меньше, чем у приматов.
2) У человека самый большой объём головного мозга.
3) Объём головного мозга пропорционален плотности расположения нервных клеток.
4) Плотность нервных клеток зависит от питания организма.
5) Плотность нервных клеток в мозге является особенностью каждого из приведённых видов.

Проанализируйте график зависимости температуры тела больного малярией от продолжительности болезни. Выберите утверждения, которые можно сформулировать на основании анализа представленных данных.
1) Человек – промежуточный хозяин малярийного плазмодия.
2) По мере развития болезни наблюдается тенденция к нарастанию лихорадки.
3) Малярия широко распространена в экваториальной и субэкваториальной зонах.
4) Состояния лихорадки наступают при выходе плазмодиев из эритроцитов.
5) Для данной формы малярии характерен 48-часовой цикл наступления приступов.

Проанализируйте график зависимости количества тихоходок в пробах мхов из зон с разной степенью загрязнения среды. (Тихоходки – тип микроскопических беспозвоночных, близких членистоногим.) Степень загрязнения окружающей среды определялась в условных единицах: 0 – отсутствие загрязнения; 5 – максимальное загрязнение. Выберите утверждения, которые можно сформулировать на основании анализа представленных данных.
1) Тихоходки способны выжить только в чистой среде обитания.
2) Высокая численность тихоходок возможна при средней степени загрязнения среды обитания.
3) Численность тихоходок зависит от состояния мхов.
4) Мхи плохо приспособлены к выживанию в загрязнённой среде обитания.
5) При максимальном загрязнении среды обитания в пробах мха тихоходки отсутствуют.

Проанализируйте таблицу «Влияние мутации CD24 на липидный и углеводный обмен у мышей». Выберите утверждения, которые можно сформулировать на основании анализа полученных результатов.
1) Уровень глюкозы и жирных кислот в крови у мутантных мышей стабильно выше, чем у нормальных.
2) У мутантных мышей в клетках жиры синтезируются хуже, чем углеводы.
3) У нормальных мышей сахарный диабет развивается чаще, чем у мутантных.
4) В норме уровень инсулина обратно пропорционален уровню глюкозы в крови.
5) У мутантных мышей повышенное чувство насыщения из-за низкого уровня лептина.

Проанализируйте таблицу «Влияние мутации CD24 на липидный и углеводный обмен у мышей». Выберите утверждения, которые можно сформулировать на основании анализа представленных данных.
1) Диета с высоким содержанием жиров провоцирует развитие диабета у мышей.
2) Уровни глюкозы и инсулина в крови мышей стабильно выше при диете с высоким содержанием жиров.
3) Содержание жирных кислот в крови у мутантных мышей выше, чем у мышей с нормальным генотипом.
4) Мыши на жировой диете испытывают чувство голода меньше, чем мыши на углеводной диете.
5) Мыши на жировой диете питаются более калорийно, чем мыши на углеводной диете.

Проанализируйте график «Влияние мутации CD24 на изменение мышечной массы у крыс». Выберите утверждения, которые можно сформулировать на основании анализа полученных результатов.
1) У только что родившихся мутантных крысят масса мышц больше, чем у нормальных.
2) Мутация способствует более сильному развитию мышечной ткани у крыс.
3) Мышечная масса у крыс с возрастом увеличивается независимо от наличия мутации.
4) Мутантные крысы взрослеют быстрее, чем нормальные.
5) Крысы живут 12 недель независимо от наличия мутации.

Проанализируйте таблицу «Средние физиологические показатели крови и сердечно-сосудистой системы у группы туристов, восходящих на Эверест». Выберите утверждения, которые можно сформулировать на основании анализа полученных результатов.
1) Деление клеток костного мозга происходит чаще при подъёме в гору.
2) Альпинистам приходится использовать кислородное оборудование из-за низкого наполнения гемоглобина кислородом.
3) Систолическое давление крови возрастает с подъёмом в гору значительнее, чем диастолическое.
4) При подъёме в гору максимальное потребление кислорода возрастает, наполнение артериального гемоглобина кислородом снижается.
5) Снижение температуры с подъёмом в гору вызывает повышение максимального потребления кислорода.

Проанализируйте таблицу «Средние физиологические показатели крови и сердечно-сосудистой системы у группы туристов, восходящих на Эверест». Выберите утверждения, которые можно сформулировать на основании анализа полученных результатов.
1) Систолическое давление при подъёме на Эверест возрастает из-за снижения температуры воздуха.
2) Между показателями давления крови на уровне моря и высоте 3500 м разница больше, чем между этими показателями на высотах 3500 и 5300 м.
3) Альпинистам приходится использовать кислородное оборудование из-за низкого наполнения гемоглобина кислородом.
4) Объём выталкиваемой крови за одно сокращение сердца не зависит от высоты.
5) Физиологические показатели организма зависят от высоты над уровнем моря.

Проанализируйте таблицу «Средние физиологические показатели крови и сердечно-сосудистой системы у группы туристов, восходящих на Эверест». Выберите утверждения, которые можно сформулировать на основании анализа полученных результатов.
1) Давление крови повышается с восхождением.
2) Химический состав плазмы крови изменяется с подъёмом на Эверест.
3) Насыщение артериальной крови кислородом уменьшается с подъёмом на Эверест.
4) Насыщение гемоглобина кислородом пропорционально парциальному давлению кислорода на разных высотах.
5) Частота дыхательных движений возрастает по мере восхождения.

Проанализируйте таблицу «Средние физиологические показатели крови и сердечно-сосудистой системы у группы туристов, восходящих на Эверест». Выберите утверждения, которые можно сформулировать на основании анализа полученных результатов.
1) Максимальное потребление кислорода при подъёме до высоты 3500 м от уровня моря возрастает более, чем при подъёме с высоты 3500 до высоты 5300 м.
2) Частота сердечных сокращений для местного населения, живущего на уровне моря, – 71,48 ударов в минуту.
3) По мере спуска с горы у человека будет снижаться частота сердечных сокращений.
4) Повышение концентрации гемоглобина в крови обратно пропорционально наполнению гемоглобина кислородом.
5) В горах могут хорошо себя чувствовать только люди с высоким уровнем гемоглобина в крови.

Проанализируйте таблицу «Показатели познавательных способностей и психологического состояния у туристов при восхождении на Эверест и спуске с горы». Выберите утверждения, которые можно сформулировать на основании анализа полученных результатов.
1) При подъёме до высоты 3500 м запоминание слов улучшается, но затем ухудшается.
2) Чем выше нервозность, тем лучше выполнение теста на подстановку чисел на протяжении всего путешествия.
3) При недостатке кислорода нервозность возрастает и человек впадает в депрессию.
4) Спуск с Эвереста с высоты 5300 до 1300 м не оказывает существенного влияния на проявление познавательных способностей.
5) Утомление ухудшает запоминание слов.

Проанализируйте таблицу «Показатели познавательных способностей и психологических характеристик у туристов при восхождении на Эверест и возвращении». Выберите утверждения, которые можно сформулировать на основании анализа полученных результатов.
1) Содержание кислорода в воздухе минимально на высоте 3500 м.
2) Нервозность достигает своего пика при приближении к вершине.
3) Выполнение теста на подстановку чисел не связано с высотой над уровнем моря.
4) Выполнение теста на вычёркивание символов в наибольшей степени зависит от концентрации кислорода в атмосфере.
5) Наступление депрессии зависит от скорости восхождения.

Экологический след – условная величина, характеризующая размер площади, необходимой для обеспечения одного человека пищей, теплом и т.д. в течение года. Биоёмкость – условная величина, характеризующая площадь биологически продуктивной территории, которая может использоваться для удовлетворения потребностей человека в течение года. Проанализируйте графики «Изменение экологического следа и биоёмкости сельскохозяйственных угодий в одной из провинций Китая». Выберите утверждения, сформулированные на основе анализа полученных результатов.
1) Наблюдается истощение сельскохозяйственных ресурсов в провинции.
2) Потребление пищи и других ресурсов населением провинции растет.
3) Забота об экологической обстановке в провинции постепенно растет.
4) Биоёмкость среды в провинции в целом снижается.
5) Максимальный экологический след был в провинции в 1999 г.

Проанализируйте таблицу «Энергозатраты на выращивание сельскохозяйственных культур и давление этого производства на экосистему в одной из провинций Китая». Выберите утверждения, которые можно сформулировать на основе анализа полученных результатов. Запишите в ответе цифры, под которыми указаны выбранные утверждения.
1) Производство масличных культур требует меньше площадей, чем производство зерновых.
2) Суммарное давление на экосистему сельскохозяйственного производства данной провинции слишком велико.
3) При производстве овощей давление на экосистему наименьшее.
4) Активное использование сельскохозяйственных угодий может привести к эрозии почвы.
5) Наибольшее количество энергии требуется для производства зерновых.

Проанализируйте гистограмму, в которой представлена концентрация двух ароматических веществ, выделенных из чайных листьев разного возраста. Выберите утверждения, которые можно сформулировать на основании представленных данных.
1) Концентрация веществ 1 и 2 в листьях уменьшается с возрастом.
2) Концентрация вещества 2 зависит от концентрации вещества 1.
3) Концентрация вещества 2 всегда ниже, чем концентрация вещества 1.
4) Вещество 1 играет более важную роль в жизнедеятельности растения.
5) Снижение концентрации веществ 1 и 2 связано с гибелью клеток.

Проанализируйте диаграмму «Распределение количества заболевших вирусом гриппа по возрастным группам». Выберите утверждения, которые можно сформулировать на основании анализа представленных данных.
1) Наибольшее число заболевших среди детей от 3 до 12 лет.
2) Частые активные контакты детей друг с другом – основная причина заболеваемости.
3) Люди старше 45 лет болеют реже, чем более молодые.
4) Люди старше 45 лет больше времени проводят дома, чем более молодые люди.
5) У детей от 3 до 12 лет самый слабый иммунитет.

Проанализируйте график двигательной активности животных. Крысы разного возраста помещались в центр квадрата, замерялось время (в секундах), через которое они пересекали границу этого квадрата. Сплошной линией отмечена активность самцов, пунктирной – самок. Выберите утверждения, которые можно сформулировать на основании анализа представленных данных.
1) Новорожденные крысята малоподвижны
2) Наибольшая двигательная активность наблюдается у двухмесячных самок
3) Самки активнее в поиске пищи, чем самцы
4) Самцы больше проявляют ориентировочный рефлекс, чем самки
5) После двух месяцев двигательная активность крыс снижается

Проанализируйте таблицу «Влияние кадмия на характеристики проростков гречихи». Семена гречихи выращивали в кадках, половину из которых поливали водой с добавлением солей кадмия, а другую половину – без солей кадмия. Выберите утверждения, которые можно сформулировать на основании анализа представленных данных.
1) Соли кадмия приводят к замедлению роста гречихи
2) Чем больше вес семядолей, тем успешнее прорастает семя
3) Кадмий – микроэлемент, необходимый для развития растения
4) Соли кадмия оказывают на рост корней меньшее воздействие, чем на рост стебля
5) Развитие растения зависит от массы питательных веществ в семядолях

Проанализируйте график зависимости использования организмом человека энергии гликогена от продолжительности тренировки. Выберите утверждения, которые можно сформулировать на основании анализа представленных данных. Запишите в ответе цифры, под которыми указаны выбранные утверждения.
1) В первые 10 минут тренировка неэффективна.
2) В организме весь гликоген полностью расщепляется за 40 минут тренировки.
3) В первые минуты тренировки концентрация глюкозы в крови резко возрастает.
4) Через 40 минут тренировки использование организмом гликогена прекращается.
5) В первые минуты тренировки доля использования гликогена как источника энергии максимальна.

Проанализируйте таблицу «Содержание кортизола в слюне недоношенных младенцев». Кортизол – один из гормонов надпочечников, регулирующий обмен веществ в организме. Выберите утверждения, сформулированные на основании анализа полученных результатов.
1) Секреция кортизола регулируется гипофизом.
2) На шестой месяц уровень кортизола снижается, а затем снова растёт.
3) Начиная с шестого месяца утром кортизола вырабатывается больше, чем днём.
4) В слюне содержится меньше кортизола, чем в крови.
5) Интенсивность обмена веществ связана с временем суток.

Проанализируйте график зависимости численности имаго древоточца, питающегося частями растения банана, от стадии роста этого растения. Учёные размещали клейкие ловушки среди растений и фиксировали численность насекомых, пойманных в определённые месяцы. Выберите утверждения, которые можно сформулировать на основании анализа представленных данных. Запишите в ответе цифры, под которыми указаны выбранные утверждения.
1) Наихудшие условия для развития личинок древоточца наблюдаются с февраля по июль.
2) Банан – многолетнее травянистое растение.
3) Древоточцы предпочитают питаться цветками и завязывающимися плодами банана.
4) Исследуемая плантация бананов находится в Южном полушарии.
5) Древоточцы наиболее активно поедают части растений бананов осенью.

Проанализируйте график зависимости массы тела пациента от возраста в течение первых 24 лет. Выберите утверждения, которые можно сформулировать на основании анализа представленных данных.
1) Масса тела исследуемого пациента практически не менялась после 16 лет.
2) Пациент перестал расти в 16 лет.
3) Наибольшая скорость роста массы тела наблюдалась в 14–16 лет.
4) Рост человека и масса его тела – взаимосвязанные показатели.
5) Масса тела человека зависит от его образа жизни.

Проанализируйте график изменения эффективности использования воды в фотосинтезе двух экосистем в течение года. Выберите утверждения, которые можно сформулировать на основании анализа представленных данных.
1) Исследуемые экосистемы находятся в Северном полушарии.
2) Во второй половине периода наблюдения кустарнико-травянистое сообщество демонстрирует бо́льшую эффективность использования воды.
3) Травянистые сообщества демонстрируют более высокую эффективность использования воды, чем кустарниковые.
4) Кустарниковое сообщество демонстрирует бо́льшую эффективность использования воды в начале вегетационного периода по сравнению с кустарнико-травянистым сообществом.
5) В первые 90 дней оценивалась эффективность только кустарникового сообщества.

Проанализируйте график изменения валовой первичной продукции двух экосистем в течение года. Видовой состав кустарников в исследуемых экосистемах одинаков. Выберите утверждения, которые можно сформулировать на основании анализа представленных данных.
1) Первые 100 дней измерения не производились.
2) Исследуемые экосистемы находятся в Северном полушарии.
3) Травянистые сообщества намного продуктивнее кустарниковых.
4) Травянистые растения вносят весомый вклад в первичную продукцию экосистемы.
5) Вегетационный период исследуемых экосистем длится 240–250 дней.

Проанализируйте график средней скорости движения мальков рыбок в зависимости от освещённости. Чередующиеся периоды освещённости и темноты указаны на оси абсцисс. Выберите утверждения, которые можно сформулировать на основании анализа представленных данных.
1) Мальки рыбок неподвижны на свету.
2) Питающиеся мальками рыбок хищники в основном активны днём.
3) Мальки рыбок проявляют наивысшую активность в темноте.
4) С течением времени разница в скорости движения мальков между дневными и ночными периодами сокращается.
5) Чем ярче свет, тем менее подвижны мальки рыбок.

В исследовании изучалась эффективность ингибиторов фермента EGFR-киназы, ассоциированного с многими формами рака. Новый ингибитор сравнивали с препаратом, используемым в медицине (контроль). Проанализируйте график, на котором отображена эффективность ингибирования. Выберите утверждения, которые можно сформулировать на основании анализа представленных данных. Запишите в ответе цифры, под которыми указаны выбранные утверждения.
1) Активность EGFR-киназы тем выше, чем больше развилась раковая опухоль.
2) Новый препарат является ингибитором лишь в небольших концентрациях.
3) Ингибирование EGFR-киназы способно остановить рост опухоли на ранних стадиях рака.
4) Новый ингибитор менее эффективен, чем препарат, используемый в медицине.
5) Максимального ингибирования с помощью нового препарата в исследовании достигнуть не удалось.

Проанализируйте диаграмму «Изменение площади урбанизированных земель в одном из городов Китая». Выберите утверждения, которые можно сформулировать на основании анализа полученных результатов.
1) Площадь урбанизированных земель постоянно увеличивается.
2) Административная площадь города постоянно увеличивается.
3) С 2004 по 2009 г. скорость роста урбанизированной площади увеличилась.
4) Население урбанизированных территорий постоянно увеличивается.
5) Нагрузка урбанизированных территорий на окружающую среду постоянно растёт.

Проанализируйте диаграмму «Содержание Т-лимфоцитов киллеров в тимусе здоровых и больных раком мышей при употреблении вещества Х». В эксперименте использовали мышей с раковой опухолью, в качестве контроля использовали здоровых мышей. В каждой группе одну часть мышей поили чистой водой, а другую – водой с добавлением вещества Х. Через 14 дней брали на анализ тимус (вилочковую железу). Выберите утверждения, которые можно сформулировать на основании анализа полученных результатов.
1) Наличие опухоли приводит к незначительному снижению содержания Т-лимфоцитов киллеров в тимусе.
2) Тимус увеличивается из-за употребления вещества Х.
3) Вещество Х ослабляет организм.
4) Вода стимулирует иммунный ответ организма.
5) Вещество Х способствует увеличению содержания Т-лимфоцитов киллеров в тимусе.

Для исследования возможности приёма лекарства Y в таблетках было проведено следующее исследование. Пациентам, больным гипертонией, предлагалась терапия, в результате которой у них исчезали симптомы. После этого в течение нескольких лет одна группа пациентов получала лекарство Y в таблетках, а другая группа получала плацебо (таблетки не содержащие лекарства Y). Проанализируйте график, на котором отображено число пациентов, у которых не развились вновь симптомы, в зависимости от времени. Выберите утверждения, которые можно сформулировать на основании анализа представленных данных. Запишите в ответе цифры, под которыми указаны выбранные утверждения.
1) Плацебо оказалось более действенным, чем лекарство Y.
2) Эффект плацебо нельзя считать доказанным.
3) Приём лекарства Y в таблетках снижает скорость повторного развития симптомов эффективнее, чем плацебо.
4) Гипертонию вылечить не удалось ни в одной из групп пациентов.
5) Как лекарство Y, так и плацебо эффективно снижают артериальное давление.

Для изучения эффективности лекарства Z в таблетках было проведено следующее исследование. Пациентам, больным гипертонией, предлагалась терапия, в результате которой у пациентов исчезали симптомы. После этого в течение нескольких лет одна группа пациентов получала лекарство Z в таблетках, а другая группа получала плацебо (таблетки такого же состава, но не содержащие лекарства Z). Проанализируйте график, на котором отображено число пациентов, у которых не развились вновь симптомы, в зависимости от времени. Выберите утверждения, которые можно сформулировать на основании анализа представленных данных. Запишите в ответе цифры, под которыми указаны выбранные утверждения.
1) Гипертонию вылечить не удалось ни в одной из групп пациентов.
2) Не наблюдается достоверного эффекта от применения лекарства Z в таблетках.
3) Плацебо менее эффективно, чем лекарство Z в таблетках.
4) Плацебо работает лучше, чем лекарство Z.
5) Симптомы гипертонии успешно контролируются как лекарством Z, так и плацебо.

Проанализируйте таблицу «Заражение тихоокеанской древесной лягушки (Pseudacris regilla) болезнетворным грибком». В эксперименте лягушкам давалась стандартная доза зооспор грибка и нормированная по массе доза зооспор (зависящая от массы лягушки). Выберите утверждения, которые можно сформулировать на основании анализа представленных данных. Запишите в ответе цифры, под которыми указаны выбранные утверждения.
1) Нормированная по массе доза содержит более патогенный штамм грибков, чем стандартная.
2) В двухнедельном возрасте доля инфицированных при заражении нормированной дозой такая же, как и при заражении стандартной дозой.
3) Стандартная доза выше нормированной по массе и гарантированно заражает всех лягушек.
4) Нормированная по массе доза содержит больше зооспор на миллилитр, чем стандартная доза.
5) С возрастом разница между нормированной и стандартизованной по массе дозами в целом снижается.

Проанализируйте диаграмму «Влияние новой вакцины на двигательную активность мышей». В клетку с мышами был установлен фотоэлемент, фиксирующий количество прерываний луча (прохождений мышей перед фотоэлементом). Мышам вводили две экспериментальные вакцины: в качестве положительного контроля — белок, вызывающий иммунную реакцию; в качестве отрицательного — физраствор. Выберите утверждения, сформулированные на основании анализа полученных результатов.
1) Введение физраствора не влияет на двигательную активность мышей.
2) Вакцина переносится мышами тяжелее контрольного белка и потому опасна.
3) Вакцина наиболее сильно влияет на двигательную активность мышей.
4) Двигательная активность мышей зависит от состояния иммунной системы.
5) Вакцины снижают двигательную активность мышей сильнее по сравнению с белком и физраствором.

Проанализируйте график «Гликемическая кривая в норме (1) и при сахарном диабете (2)». В двух группах испытуемых оценивалась концентрация глюкозы в крови через определённое время после приёма пищи. Выберите утверждения, которые можно сформулировать на основании анализа представленных данных. Запишите в ответе цифры, под которыми указаны выбранные утверждения.
1) При диабете концентрация сахара в крови не может снижаться за счёт выделения инсулина.
2) На второй час после приёма пищи в норме начинается снижение концентрации глюкозы в крови.
3) При диабете концентрация глюкозы снижается медленнее, чем в норме.
4) В норме инсулина выделяется больше, чем при диабете.
5) При диабете концентрация глюкозы в крови не может снизиться до нормальных значений.

Проанализируйте таблицу «Частота встречаемости первичной лактозной непереносимости у людей». Выберите утверждения, которые можно сформулировать на основании анализа представленных данных. Запишите в ответе цифры, под которыми указаны выбранные утверждения.
1) У северных итальянцев лактаза вырабатывается до более позднего возраста, чем у южных.
2) В пище северных европейцев традиционно большое количество молочных продуктов.
3) Раньше всего непереносимость развивается у вьетнамцев.
4) Среди жителей Северной Европы практически не встречается лактозная непереносимость.
5) Все вьетнамцы, участвовавшие в исследовании, оказались с лактозной непереносимостью.

Проанализируйте диаграмму, на которой представлено содержание кадмия в различных органах проростков двух сортов гречихи. Семена гречихи проращивали в кадках, поливая их водой с добавлением солей кадмия. Выберите все утверждения, которые можно сформулировать на основе анализа представленных данных. Запишите в ответе цифры, под которыми указаны выбранные утверждения.
1) Проростки гречихи сорта 2 более устойчивы к отрицательному воздействию кадмия.
2) Кадмий способствует росту зародышевых стебельков в большей степени, чем семядольных листьев.
3) Содержание кадмия в количестве 130 мкг/г сухой массы является предельной дозой для растений гречихи.
4) Проростки гречихи сорта 2 накапливают кадмий в органах меньше, чем проростки сорта 1.
5) Кадмий накапливается в зародышевых стебельках гораздо больше, чем в семядольных листьях.

Проанализируйте диаграмму, на которой представлено содержание воды в стебельках и семядольных листьях проростков гречихи. Половину семян поливали водой без кадмия, а другую половину — с кадмием. Выберите все утверждения, которые можно сформулировать на основании анализа представленных данных. Запишите в ответе цифры, под которыми указаны выбранные утверждения.
1) Кадмий повышает способность растения накапливать воду.
2) Кадмий влияет на содержание воды в семядольных листьях больше, чем в стебельках.
3) Содержание воды в растениях зависит от частоты полива.
4) Содержание воды в стебельках больше, чем в семядольных листьях.
5) Кадмий не влияет на содержание воды в органах растений.

Проанализируйте диаграммы, на которых представлена мышечная сила (в КГС) правой кисти мальчиков в возрасте 13-14 лет в разные годы. Выберите все утверждения, которые можно сформулировать на основании анализа представленных данных. Запишите в ответе цифры, под которыми указаны выбранные утверждения.
1) Сила кисти рук прямо пропорциональна возрасту мальчиков.
2) Разница в силе правой кисти между 13- и 14-летними мальчиками из поколения в поколение сокращалась.
3) В каждом следующем поколении кисть у подростков становилась слабее.
4) В прошлые периоды рост мальчиков был выше, чем в настоящее время.
5) Сила кисти рук подростков уменьшалась, так как они меньше занимались спортом.

Проанализируйте таблицу «Некоторые характеристики онтогенеза млекопитающих». Выберите все утверждения, которые можно сформулировать на основании анализа представленных данных. Запишите цифры, под которыми указаны выбранные утверждения.
1) Наличие связи между максимальной продолжительностью жизни и длительностью беременности не установлено.
2) Продолжительность беременности зависит от условий, в которых находится животное.
3) У млекопитающих наблюдается прямая зависимость между максимальной продолжительностью жизни и возрастом наступления половой зрелости.
4) Наибольшей плодовитостью обладают домашние животные.
5) Лучшая приспособленность к условиям обитания способствует большей продолжительности жизни.

Проанализируйте таблицу «Зависимость активности фотосинтеза от освещённости». Растение помещали под источником света различной интенсивности и измеряли количество углекислого газа, поглощенное растением за 1 минуту. Каждый опыт при одинаковой освещенности повторяли три раза (опыты 1-3). Выберите все утверждения, которые можно сформулировать на основании анализа представленных данных. Запишите цифры, под которыми указаны выбранные утверждения.
1) на активность фотосинтеза влияет концентрация углекислого газа
2) об активности фотосинтеза можно судить по объему выделившегося кислорода
3) с возрастанием освещенности активность фотосинтеза увеличивается
4) при освещении растений свыше 600 люмен объем поглощенного углекислого газа возрастает
5) наибольший разброс данных наблюдается в опытах серии II.

Проанализируйте диаграмму «Активность жителей, отдыхающих в парке, до и после установки тренажеров в фитнес-зоне», если численность посетителей парка после установки тренажеров не изменилась. Выберите все утверждения, которые можно сформулировать на основании анализа представленных данных. Запишите в ответе цифры, под которыми указаны выбранные утверждения.
1) Установка тренажеров в парках положительно сказывается на здоровье проживающих поблизости людей
2) Предпочитающих прогуливаться в фитнес-зоне людей стало меньше, а на удалении от неё – больше
3) Прогулки для здоровья полезнее, чем пассивный отдых на скамейках
4) В парке доля занимающихся фитнесом людей увеличилась после установки тренажеров
5) Молодые люди предпочитают активный отдых, а пожилые – отдых на скамейках

Проанализируйте диаграмму «Половозрастная структура населения России в 2017 году». Выберите все утверждения, которые можно сформулировать на основании анализа представленных данных. Запишите в ответе цифры, под которыми указаны выбранные утверждения.
1) Численность мужчин в возрастных группах 35 лет и старше меньше численности женщин.
2) Генетически определяемое соотношение полов у человека составляет 1:1.
3) Численность населения России в 2017 году составляла 100 млн человек.
4) В группах детских садов мальчиков больше, чем девочек.
5) Наибольшая доля населения приходится на возрастную группу 30-34 года.

Проанализируйте график изменения скорости роста объёма муравейника в мае-сентябре. Выберите все утверждения, которые можно сформулировать на основании анализа представленных данных. Запишите цифры, под которыми указаны выбранные утверждения.
1) скорость роста объёма муравейника связана с активностью размножения муравьев
2) в середине и конце лета объем муравейника растет
3) чем выше температура воздуха, тем выше скорость роста объема муравейника
4) максимальная скорость роста объема муравейника наблюдается в начале сентября
5) биотические условия для роста муравейника в конце лета более благоприятные, чем в начале лета

Проанализируйте диаграмму «Частота осложнений беременности у женщин с заболеваниями щитовидной железы (основная группа) и без заболеваний (контрольная группа)». Выберите все утверждения, которые можно сформулировать на основании анализа представленных данных. Запишите в ответе цифры, под которыми указаны выбранные утверждения.
1) 15,2% беременных женщин с заболеваниями щитовидной железы погибают от гестоза.
2) Риск развития анемии у беременных женщин с заболеваниями щитовидной железы многократно выше, чем у здоровых.
3) Риск гибели плода при заболеваниях щитовидной железы выше, чем при здоровой беременности.
4) Патологическая прибавка в весе может быть как у беременных женщин с заболеваниями щитовидной железы, так и не имеющих таких заболеваний.
5) Гестационнный диабет и угроза прерывания беременности у женщин контрольной группы развивается с одинаковой частотой.

Проанализируйте график «Частота возникновения сопутствующих заболеваний у женщин на поздних сроках беременности в зависимости от наличия токсикоза». Выберите утверждения, которые можно сформулировать на основании анализа представленных данных. Запишите в ответе цифры, под которыми указаны выбранные утверждения.
1) Вероятность развития отёка лёгких и острой лёгочной недостаточности у беременных с наличием токсикоза одинакова.
2) Развитие токсикоза на поздних сроках беременности приводит к смерти от отёка лёгких в 27% случаев.
3) Из-за осложнений при токсикозе могут начаться преждевременные роды.
4) У 43% женщин при наличии токсикоза на поздних сроках беременности возникают какие-либо осложнения.
5) При токсикозе вероятность развития сопутствующих заболеваний выше.

Проанализируйте график «Концентрация гормонов в течение менструального цикла». Выберите все утверждения, которые можно сформулировать на основании анализа представленных данных. Запишите в ответе цифры, под которыми указаны выбранные утверждения.
1) Наибольшая концентрация эстрогенов приходится на период овуляции.
2) Концентрация прогестерона достигает максимума после оплодотворения яйцеклетки.
3) Максимальная продолжительность менструального цикла составляет 28 дней.
4) На протяжении всего цикла концентрация прогестерона остается ниже концентрации эстрогена.
5) В начале фолликулярной фазы концентрация прогестерона меняется незначительно.

Проанализируйте график «Зависимость от температуры активности фермента ДНК-полимеразы у двух штаммов микроорганизмов». Выберите все утверждения, которые можно сформулировать на основании анализа представленных данных. Запишите в ответе цифры, под которыми указаны выбранные утверждения.
1) Активность фермента из штамма Б выше, чем активность фермента из штамма А.
2) Максимальная абсолютная активность ферментов из обоих штаммов одинакова.
3) Максимальная активность фермента из штамма Б наблюдается при 60° С.
4) Активность ферментов зависит от температуры.
5) Активность ферментов зависит от их первичной структуры.

Проанализируйте график «Рост суспензионной культуры клеток Диоскореи дельтовидной разных штаммов после пересадки в новую питательную среду». Выберите все утверждения, которые можно сформулировать на основании анализа представленных данных. Запишите в ответе цифры, под которыми указаны выбранные утверждения.
1) Штамм Б быстрее увеличивает биомассу в начале культивирования.
2) Максимальная плотность биомассы в культуре штамма А ниже.
3) Размер клеток зависит от времени культивирования.
4) Клетки штамма А крупнее.
5) Начальная плотность биомассы для обоих штаммов одинакова

Проанализируйте таблицу «Сравнительный анализ успешности размножения и продуктивности редких хищных птиц в естественных и искусственных гнездовьях в Белорусском Поозерье». Выберите все утверждения, которые можно сформулировать на основании анализа представленных данных. Запишите в ответе цифры, под которыми указаны выбранные утверждения.
1) Скопа всегда откладывает два яйца в кладке.
2) Не у всех беркутов, гнездившихся в искусственных гнездах, птенцы успешно вылетели из гнезда.
3) У всех исследованных видов птиц при размножении в искусственных гнёздах среднее количество потомков выше.
4) Среднее количество птенцов, вылетающих из гнезда, у беркутов ниже, чем у змееядов.
5) Среди исследованных видов беркут – наименее успешный вид при размножении в естественных гнёздах.

Проанализируйте таблицу «Структура рациона енотовидной собаки в 2001-2003 годах в Витебской области». Выберите все утверждения, которые можно сформулировать на основании анализа представленных данных. Запишите в ответе цифры, под которыми указаны выбранные утверждения.
1) Чаще всего в мае енотовидная собака в Витебской области в 2001–2003 годах поедала насекомых.
2) Яйца птиц не являются излюбленным видом пищи для енотовидной собаки.
3) Численность моллюсков в Витебской области не изменяется с апреля по октябрь.
4) За указанный период наблюдений в Витебской области енотовидная собака употребляла клюкву чаще всего в апреле.
5) Представители вида енотовидная собака не употребляют в пищу ракообразных.

Проанализируйте диаграмму «Содержание вещества Х в клетках кишечной палочки нормального генотипа и в клетках с мутацией Z при холодовом стрессе». Выберите все утверждения, которые можно сформулировать на основании анализа представленных данных. Запишите в ответе цифры, под которыми указаны выбранные утверждения.
1) Мутация Z повышает устойчивость клеток к холоду.
2) В отсутствие холодового стресса нормальные клетки содержат меньше вещества Х, чем клетки с мутацией Z.
3) Мутация Z понижает устойчивость клеток к холоду.
4) Холодовой стресс влияет на содержание вещества Х только в клетках с мутацией Z.
5) Холодовой стресс приводит к увеличению содержания вещества Х в исследованных в эксперименте клетках кишечной палочки.

Проанализируйте диаграмму «Содержание вещества Х в клетках кишечной палочки нормального генотипа и в клетках с мутацией Z при световом стрессе». Выберите все утверждения, которые можно сформулировать на основании анализа представленных данных. Запишите в ответе цифры, под которыми указаны выбранные утверждения.
1) Вещество Х обеспечивает защиту клеток кишечной палочки от света.
2) Вещество Х образуется в клетках кишечной палочки только при световом стрессе.
3) Световой стресс усиливает накопление вещества Х в нормальных клетках кишечной палочки.
4) Световой стресс усиливает накопление вещества Х в клетках кишечной палочки с мутацией Z.
5) По содержанию вещества Х можно отличить клетки с мутацией Z от нормальных клеток в нестрессовых условиях.

Проанализируйте таблицу «Влияние вируса скручивания листьев подсолнечника на показатели подсолнечника при сборе урожая». Выберите все утверждения, которые можно сформулировать на основании анализа представленных данных. Запишите в ответе цифры, под которыми указаны выбранные утверждения.
1) Вирус чаще заражает молодые растения.
2) Вирус влияет только на вегетативные органы растения.
3) Вирус снижает урожайность подсолнечника.
4) Чем позднее произойдёт заражение, тем меньше потери урожая.
5) Вирус скручивания листьев подсолнечника – наиболее частая причина потери урожая семян подсолнечника.

Проанализируйте таблицу «Частота заболеваний сердечно-сосудистой системы в группах с различной массой тела». Выберите все утверждения, которые можно сформулировать на основании анализа представленных данных. Запишите в ответе цифры, под которыми указаны выбранные утверждения.
1) Ожирение является причиной заболеваний сердечно-сосудистой системы.
2) У людей с ожирением сердечная недостаточность встречается чаще, чем инсульт.
3) В XXI веке частота инсультов повысилась по сравнению с предыдущим веком.
4) При ожирении риск коронарной недостаточности выше, чем риск сердечной недостаточности.
5) Наиболее распространённым заболеванием из трёх представленных у людей с нормальным весом является сердечная недостаточность.

Проанализируйте таблицу «Численность описанных видов организмов по царствам». Выберите утверждения, которые можно сформулировать на основании анализа представленных данных. Запишите в ответе цифры, под которыми указаны выбранные утверждения.
1) Простейшие – самые примитивные из эукариот.
2) Редуценты – самая малочисленная экологическая группа организмов в экосистемах.
3) Животные – наиболее многообразное царство организмов.
4) На поверхности земли многообразие видов гораздо больше, чем в океанических экосистемах.
5) Археи – вымирающее царство.

Проанализируйте таблицу с результатами исследования «Влияние витамина на запоминание слов». Каждому ребёнку на несколько секунд показывали табличку с набором слов и считали, сколько раз её необходимо показать, чтобы ребенок запомнил все слова. Зачем в течение некоторого времени дети принимали витамин, улучшающий память, после чего опыт повторяли. Выберите все утверждения, которые можно сформулировать на основании анализа представленных данных. Запишите в ответе цифры, под которыми указаны выбранные утверждения.
1) Исследуемый витамин влияет на развитие внимания у детей.
2) Исследуемый витамин в большинстве случаев улучшает запоминание детьми групп слов.
3) Исследуемый витамин ускоряет формирование синапсов в мозгу.
4) Пятилетним детям в среднем необходимо меньше повторений, чем четырёхлетним.
5) Количество повторений слов для запоминания зависит от словарного запаса детей.

Проанализируйте диаграмму, на которой представлена средняя острота зрения пяти групп учащихся в начале и конце учебного года. Выберите утверждения, которые можно сформулировать на основании анализа представленных данных. Запишите в ответе цифры, под которыми указаны выбранные утверждения.
1) Мышцы глаза тренируются в течение года.
2) У группы 3 самое большое изменение остроты зрения в течение учебного года.
3) Чем ближе конец года, тем выше нагрузка на глаза.
4) В начале учебного года острота зрения ниже, чем в конце года.
5) Острота зрения повышается в хорошо освещённых классах.

Проанализируйте диаграммы «Рост», «Масса тела» и «Объём грудной клетки (ОГК)» для разнополых подростков одного возраста и одной группы испытуемых. Выберите утверждения, которые можно сформулировать на основании анализа полученных результатов. Запишите в ответе цифры, под которыми указаны выбранные утверждения.
1) Девочки в среднем имеют меньший рост, чем мальчики.
2) Объём грудной клетки у девочек в среднем больше, чем у мальчиков, и не коррелирует с ростом.
3) Мальчики растут быстрее девочек.
4) У подростков вес увеличивается пропорционально росту.
5) В среднем мальчики опережают девочек по росту и объёму грудной клетки.

Проанализируйте таблицу «Показатели среднего роста подростков в разные годы наблюдений». Выберите все утверждения, которые можно сформулировать на основании анализа представленных данных. Запишите в ответе цифры, под которыми указаны выбранные утверждения.
1) Рост подростков прямо пропорционален количеству потребляемой пищи.
2) В 13 лет у мальчиков завершается первый этап полового созревания, и их рост ускоряется.
3) Физическое развитие современных подростков значительно лучше, чем у подростков прошлых поколений.
4) В каждом следующем поколении наблюдается увеличение среднего роста подростков.
5) В 13 лет рост мальчиков в среднем ниже, чем рост девочек, а в 14 лет, наоборот, рост мальчиков опережает рост девочек.

Проанализируйте график «Изменение массы тела пациентов, принимающих лекарственный препарат, в сравнении с принимающими плацебо». Выберите все утверждения, которые можно сформулировать на основании анализа представленных данных. Запишите в ответе цифры, под которыми указаны выбранные утверждения.
1) Прием плацебо вызывал снижение массы тела на таком же уровне, как лекарственный препарат.
2) Скорость снижения веса в экспериментальной группе была выше, чем в контрольной.
3) Масса тела людей в контрольной и экспериментальной группе до начала эксперимента была на одном уровне.
4) В исследовании препарата приняли участие пациенты с избыточной массой тела.
5) Лекарственный препарат более эффективен для снижения массы тела, чем плацебо.

Проанализируйте таблицу «Заражение тихоокеанской древесной лягушки (Pseudacris regilla) болезнетворным грибком». В эксперименте одной группе лягушек давалась стандартная доза зооспор грибка, а другой – нормированная по массе доза зооспор (зависящая от массы лягушки). Выберите утверждения, которые можно сформулировать на основании анализа представленных данных. Запишите в ответе цифры, под которыми указаны выбранные утверждения.
1) Для тихоокеанской древесной лягушки нормированная по массе доза зооспор в течение эксперимента всегда ниже, чем стандартная.
2) Чем старше особи, тем больше они подвержены заражению.
3) Доля лягушек, инфицированных стандартной дозой зооспор, равномерно снижается на протяжении первого месяца после метаморфоза.
4) Развитие с метаморфозом понижает устойчивость животных к грибковым заболеваниям.
5) Наибольшая устойчивость к заражению отмечена у лягушек в возрасте 1 месяца.

Проанализируйте таблицу «Вероятность укусов комарами, инфицированными малярийным плазмодием, жителей острова Борнео в зависимости от демографических показателей». Выберите утверждения, которые можно сформулировать на основании анализа представленных данных. Запишите в ответе цифры, под которыми указаны выбранные утверждения.
1) Студенты и безработные оказываются укушенными комарами реже, чем представители других родов занятий.
2) Длительное пребывание на открытом воздухе влечёт наибольший риск заражения малярией.
3) Дети выходят из дома реже, чем взрослые.
4) Детей комары кусают реже, чем взрослых.
5) Чем человек моложе, тем меньше у него шансов быть укушенным комаром.

Проанализируйте таблицу «Вероятность укусов комарами, инфицированными малярийным плазмодием, жителей острова Борнео в зависимости от демографических показателей». Выберите утверждения, которые можно сформулировать на основании анализа представленных данных. Запишите в ответе цифры, под которыми указаны выбранные утверждения.
1) Женщины на острове Борнео больше времени проводят на улице.
2) Дети устойчивее к малярии, чем взрослые.
3) Работа на плантации связана с самым высоким риском быть укушенным комаром.
4) Безработные меньше подвержены укусам комаров.
5) Женщин комары кусают чаще, чем мужчин.

Проанализируйте таблицу «Некоторые причины смертей в России (2020 г.)» Выберите все утверждения, которые можно сформулировать на основании анализа представленных данных. Запишите в ответе цифры, под которыми указаны выбранные утверждения.
1) Среди представленных в таблице причин наибольшее количество смертей вызывают инфекционные заболевания.
2) Младенческая смертность в России очень мала и стоит на последнем месте в списке причин смерти.
3) Смертность от отравления алкоголем более чем в два раза превышает смертность от ВИЧ.
4) Онкологические заболевания уносят меньше жизней, чем заболевания сердечно-сосудистой системы.
5) Смерть от внешних причин (травмы, отравления) в общей структуре смертности можно расположить на четвертом месте.

Проанализируйте таблицу «Изменения средней силы сжатия кисти школьников в разные годы». Выберите все утверждения, которые можно сформулировать на основании анализа представленных данных. Запишите цифры, под которыми указаны выбранные утверждения.
1) После 13 лет мышечная сила кисти мальчиков не увеличивается.
2) У 13-летних девочек во все годы наблюдения мышечная сила кисти меньше, чем у 14-летних.
3) Среди подростков 14-летние мальчики являются наиболее сильными.
4) Сила сжатия кисти у школьников из поколения в поколение снижается.
5) С возрастом во всех поколениях разрыв в результатах сжатия кисти между девочками и мальчиками увеличивается.

Проанализируйте таблицу «Состав крови здоровых животных». Выберите все утверждения, которые можно сформулировать на основании анализа представленных данных. Запишите в ответе цифры, под которыми указаны выбранные утверждения.
1) У хищных животных содержание гемоглобина в крови выше, чем у растительноядных.
2) Чем выше гематокрит, тем выше содержание эритроцитов в крови животных.
3) У кошек нормальное содержание лейкоцитов в крови варьирует в больших пределах, чем у других животных.
4) У коз количество эритроцитов в единице объема крови может быть в два раза выше, чем у собак.
5) У животных близких таксонов состав крови более схож, чем у животных отдаленных таксонов.

Проанализируйте таблицу «Динамика изменений концентрации ПСА в крови больного N после начала лучевой терапии» (белок ПСА – маркер онкозаболеваний)
1) К третьему месяцу лечения концентрация ПСА в крови больного N снизилась примерно в 2,5 раза.
2) Лучевая терапия не привела к стойкому снижению концентрации ПСА в крови больного N.
3) Чем выше ПСА, тем вероятнее рецидив заболевания.
4) Содержание ПСА в крови больного N прямо пропорционально дозе облучения.
5) Чем выше уровень ПСА, тем более поздняя стадия заболевания наблюдается у пациента.

Проанализируйте таблицу «Гнездование грачей на различных видах деревьев». Выберите все утверждения, которые можно сформулировать на основании анализа представленных данных. Запишите в ответе цифры, под которыми указаны выбранные утверждения.
1) Грачи выбирают место гнездования исходя из экологической чистоты территории.
2) На окраине города растет меньше дубов, чем в центре.
3) Предпочитаемое дерево для гнездования грачей — тополь.
4) За городом грачи поселяются на ивах чаще, чем в центре города.
5) Чем ближе к центру города, тем меньше грачей.

Проанализируйте таблицу «Реакция мальков на загрязнение воды трифенилфосфатом (ТФФ)». Выберите все утверждения, которые можно сформулировать на основании анализа представленных данных. Запишите в ответе цифры, под которыми указаны выбранные утверждения.
1) Частота сердечных сокращений у мальков при отсутствии ТФФ выше, чем при добавлении ТФФ в различной концентрации.
2) ТФФ ядовит как для мальков, так и для взрослых рыб.
3) ТФФ в определённых концентрациях может оказывать положительное влияние на мальков.
4) При концентрации ТФФ 20 мкг/л были допущены ошибки при проведении эксперимента.
5) В эксперименте была выявлена зависимость между концентрацией ТФФ и частотой нарушения развития у мальков.

Проанализируйте диаграмму распределения гнёзд серой вороны на территории района Ясенево в Москве в 2006 и 2016 годах. Выберите все утверждения, которые можно сформулировать на основании анализа представленных данных. Запишите в ответе цифры, под которыми указаны выбранные утверждения.
1) Вороны предпочитают гнездиться поближе к источникам пищи.
2) Застройка района Ясенево вызвала миграцию ворон на другие территории.
3) Количество гнёзд серой вороны в Ясенево уменьшилось за прошедшие 10 лет.
4) На нескольких участках наблюдается полное исчезновение вороньих гнёзд.
5) Популяция вороны находится под сильным антропогенным стрессом.

Проанализируйте диаграмму плотности расположения гнёзд серой вороны в центре города, в спальном районе на окраине (район Ясенево) и в лесопарковой зоне («Узкое») в 2006 и 2016 годах. Выберите все утверждения, которые можно сформулировать на основании анализа представленных данных. Запишите в ответе цифры, под которыми указаны выбранные утверждения.
1) Вороны предпочитают гнездиться поблизости от человеческого жилья.
2) Вороны предпочитают гнездиться поближе к источникам пищи.
3) Застройка центра Москвы и Ясенево стимулирует ворон к переселению.
4) Плотность гнёзд в районе Ясенево в 2016 году стала несколько больше плотности гнёзд в центре Москвы.
5) Сильнее всего изменилась численность ворон в центре города.

Выберите все утверждения, которые можно сформулировать на основании анализа представленных данных. Запишите в ответе цифры, под которыми указаны выбранные утверждения.
1) Начиная с 2010 года количество отходов в Москве стабильно растёт.
2) С 2007 по 2010 год москвичи больше заботились об окружающей среде.
3) Качество и объёмы переработки бытовых отходов в Москве постепенно растут с 2010 года.
4) Население Москвы с 2007 по 2010 год снижалось, а потом начало быстро расти.
5) В течение 7 лет отходы коммунального сектора в Москве остаются приблизительно на одном уровне.

Проанализируйте таблицу “Показатели тестирования двигательных возможностей юношей с последствиями детского церебрального паралича (ДЦП) и здоровых сверстников”. Выберите все утверждения, которые можно сформулировать на основании анализа представленных данных. Запишите в ответе цифры, под которыми указаны выбранные утверждения.
1) Быстрота реакции у юношей с ДЦП хуже более чем в 2 раза по сравнению с их здоровыми сверстниками.
2) Занятия лечебной физкультурой помогают эффективнее развивать двигательные качества.
3) Юношам с ДЦП постоянно необходима посторонняя помощь.
4) У юношей с ДЦП двигательные качества развиты слабее относительно здоровых сверстников.
5) Лучше всего у юношей с ДЦП развита координационная способность.

Проанализируйте график зависимости выработки фермента лактазы у людей от возраста. Лактаза — фермент, расщепляющий молочный сахар (лактозу). Выберите все утверждения, которые можно сформулировать на основании анализа представленных данных. Запишите в ответе цифры, под которыми указаны выбранные утверждения.
1) Чем старше человек, тем меньше лактазы у него вырабатывается.
2) В первый год жизни человека выработка лактазы максимальна.
3) В возрасте старше 21 года употребление молока в пищу нежелательно.
4) Выработка фермента зависит от количества молока в рационе.
5) С возрастом у человека уменьшается потребность в лактазе.

Проанализируйте график “Влияние температуры кладки на формирование пола у эмбрионов черепах”. Выберите все утверждения, которые можно сформулировать на основании анализа представленных данных. Запишите в ответе цифры, под которыми указаны выбранные утверждения.
1) У красноухой черепахи температурный диапазон рождения самцов уже, чем у грифовой черепахи
2) Наибольшее число самцов появляется у обоих видов при температуре кладки 26 °С.
3) У красноухой черепахи при температуре кладки 26-28 °С из яиц вылупляются только самцы.
4) При температуре кладки 31 °С у обоих видов черепах все эмбрионы погибают.
5) У грифовой черепахи при любой температуре кладки самцов рождается меньше, чем самок.

Проанализируйте диаграммы «Функционирование экосистем при различном типе использования почвенных ресурсов». Выберите все утверждения, которые можно сформулировать на основании анализа представленных данных. Запишите в ответе цифры, под которыми указаны выбранные утверждения.
1) При низкой интенсивности использования почвы урожайность будет ниже.
2) Устойчивость экосистемы будет ниже при низкой интенсивности использования почвы.
3) При высокой интенсивности использования почвы большое число вредителей снижает доход от повышенного урожая.
4) Низкая урожайность не позволит окупить низкую интенсивность использования почвы.
5) При высокой интенсивности использования почвы разложение детрита происходит меньше.

Как посчитать синус быстро

и точно. Точнее, с заданной точностью, простите за каламбур.

Под катом я расскажу, как сделать это с использованием школьного курса алгебры и целочисленной арифметики, при чём здесь полиномы Чебышёва I-го рода, и дам ссылки на примеры реализаций для ПК и Cortex-M3.

Если вам лень вникать в теорию, и нужны только примеры реализации — сразу переходите в конец статьи.

Поехали.
Если нужно найти синус, или другую тригонометрическую функцию на ПК, это делается просто — сейчас в процессоры семейства x86/x64 встроен FPU, а он знает инструкцию fsin, при помощи которой вычисляется искомое. Вычисляется, если говорить с натяжкой, быстро.

Если это надо сделать это на МК без плавающей точки — то возникают проблемы. Можно использовать функцию из поставляемой вместе с компилятором библиотеки, будет точно, но очень медленно. Если надо быстрее — то первое, что приходит в голову, заранее посчитать таблицу со значениями, но точность при этом сильно упадёт, и будет зависеть от шага аргумента между смежными значениями. Следующий интуитивно понятный шаг — использовать интерполяцию по двум соседним точкам таблицы. Это поможет поднять точность, но несильно. Иногда для достижения нужной точности размер таблицы всё равно превосходит разумные пределы.

Что же тогда делать? Увеличивать степень аппроксимации. Это позволит увеличить точность вычислений и (или) уменьшить размер таблиц. И сделать это совсем несложно.

Аппроксимация полиномами

Кусочно-линейная аппроксимация — это, по сути, аппроксимация полиномом первой степени. Выходное значение вычисляется по формуле y = A1·x + A0 , где x — это входной аргумент, A0, A1 — некие коэффициенты.

Для примера разобьём весь период от 0 до 2π на 8 равных интервалов, и для каждого подберём такие коэффициенты A0 и A1, что бы максимум ошибки при любом аргументе был минимален (как это сделать, я расскажу ниже). Если мы построим график этого «синуса», он будет выглядеть примерно так (сплошная линия):

Штриховой линией нарисовано более точное значение синуса. А график ошибки (разницы между «настоящим» и аппроксимированным значениями будет таким:

На нём, если приглядеться, не выполняется условие «максимум ошибки при любом аргументе был минимален», но сейчас это неважно. Максимальная ошибка составляет 0.03684497.

Небольшое отступление. Числа вроде 0.03684497 или 2.448728e-09 слишком абстрактны для понимания, их трудно сравнивать. Мне, как человеку, долгое время работающему в двоичной системе, гораздо ближе биты. Поэтому к ним я и буду приводить величину ошибки, беря от неё минус логарифм по основанию 2, тогда она превращаются соответственно в 4.76 или 28.6 бит. По мне, такие логарифмические «попугаи» проще для восприятия и нагляднее. По итогам предыдущего абзаца можно сказать, что «значение синуса вычислено с точностью 4.76239 бита».

Теперь давайте разобьём один период (от 0 до 2π) не на 8, а на 64 интервала, по 16 на каждый квадрант. И рассмотрим один интервал в районе, например, 45°. График ошибки (сплошная чёрная линия) выглядит так:

Он очень похож на график параболы y = x², который нарисован там же красным штрих-пунктиром. Так же, как парабола, выглядит график полинома Чебышёва I-рода 2-й степени (более того, он ей и является). На КДПВ, он изображён голубой линией.

А что если мы учтём это, и попробуем на этом же отрезке вычислять синус по формуле y = A2·x² + A1·x + A0 ?

Считаем тройку коэффициентов А0, А1, А2 (как — об этом ниже), по ним считаем целевой синус, и находим ошибку (сплошная чёрная линия):

Красным штрих-пунктиром нарисован полином Чебышёва3-й степени, и снова оба графика очень похожи.

Здесь я открою маленький секрет. График синуса, найденный аппроксимацией функцией 2-степени по 8 интервалам, с точностью до долей пикселя совпадает с «настоящим», и, будучи нарисованными вместе, они полностью перекрывали бы друг друга. Тремя картинками выше, где нарисованы графики, сиреневым пунктиром изображён не «настоящий» синус, а полученный функцией 2-й степени.

Как сильно увеличилась точность при переходе от 1-й ко 2-й степени? Для 64 интервалов на период она возросла с 10.7 до 17.63 бит. Откуда взялись эти числа, я расскажу ниже.

Если мы дальше продолжим увеличивать степень полинома, то ошибки будут ещё меньше, и будут приобретать формы полиномов Чебышёва разных степеней:

Точность аппроксимации на 64 отрезках при этом возрастёт до 24.980 бит (3-я степень) и 32.651 бит (4-я степень).
Если дальше повышать степень — тенденции сохранятся. Думаю, смысл применения полиномов для аппроксимации синуса понятен.

Как считать коэффициенты

В википедии, в статье про полиномы Чебышёва есть фраза: «Многочлены Чебышёва играют важную роль в теории приближений, поскольку корни многочленов Чебышёва первого рода используются в качестве узлов в интерполяции алгебраическими многочленами«. Это как раз наш случай.

Посмотрим ещё раз на их графики:

Голубая линия (полином 2-й степени) пересекает ось абсцисс (y=0) в двух точках x = ±0.7071 . Оранжевая (3-й степени) — в трёх точках: x = 0 и x = ±0.866 . Это и есть корни полиномов, они будут использованы «в качестве узлов в интерполяции».

Ещё небольшое отступление, как представлять аргументы. На 32-битных процессорах полный период (круг) удобно представить как 2 32 (0x100000000), а угол, соответственно, в диапазоне от 0 до 0xffffffff . Если количество интервалов аппроксимации, на которые разбит круг, равно 2 n , то угол можно интерпретировать как двоичное число с фиксированной точкой. Например, при разбиении на 64 интервала (2 6 ), угол будет интерпретироваться как число размерности 6.26. Здесь старшие 6 бит — это номер интервала (считая от нуля), а младшие 26 бит — смещение внутри него.

Возьмём, для примера, угол 15°. Если вычислить 15°/360° · 2 32 , то получим 0000_1010_1010_1010_1010_1010_1010_1011 в двоичном виде. В размерности 6.26 будет выглядеть как 000010.10101010101010101010101011 . Здесь первые 6 бит 000010 — это десятичное 2 (2-й интервал), а оставшиеся 26 10101010101010101010101011 , будучи поделены на 2 26 , дадут 0.66666667 — это смещение внутри интервала. То же самое получим: 2.66666667 = 64 * 15/360.

Теперь давайте найдём коэффициенты A0, A1 и т.д. При аппроксимации полиномом 1-й степени y = A1·x + A0 нам нужно, что бы на заданном интервале с номером N в точке со смещением 0.14645 целевое значение было равно y=sin((N + 0.14645)/64 * 2π) , а в точке 0.85355 — y=sin((N + 0.85355)/64 * 2π) . Это делается при помощи системы из двух линейных уравнений с 2 неизвестными A1 и A0:

A1·0.14645 + A0 = sin((N + 0.14645)/64 * 2π)
A1·0.85355 + A0 = sin((N + 0.85355)/64 * 2π)

Для интервала N=2 (где находится 15°), получаем: A1 = 0.09521 и A0 = 0.19523 .

Пройдясь по всем N, от 0 до 63, получим таблицу с наборами коэффициентов A1 и A0. С ней уже можно считать синус с точностью 10.7 бит. Как это делать, расскажу ниже (если кто до сих пор не понял сам).

Перейдём ко 2-й степени y = A2·x² + A1·x + A0. В качестве аргумента x подставим, соответственно, корни полинома 3-й степени 0.066987, 0.5 и 0.933013. Напишем систему из 3 уравнений с 3 неизвестными A2, A1 и A0:

A2·0.066987² + A1·0.066987 + A0 = sin((N + 0.066987)/64 * 2π)
A2·0.5² + A1·0.5 + A0 = sin((N + 0.5)/64 * 2π)
A2·0.933013² + A1·0.933013 + A0 = sin((N + 0.933013)/64 * 2π)

Решения для интервала N=15 будут следующие:

A2 = -0.004812613
A1 = +0.009628370
A0 = +0.995184425

Обратите внимание на A2 и A1. Если их умножить 2 7 и 2 6 соответственно, то их значения всё равно будет лежать в пределах от -1 до +1. Интервал №15 я выбрал не случайно — на нём значение A0 максимально и близко к 1.

Вообще, в большинстве случаев коэффициенты при больших степенях можно увеличить на некий коэффициент. При целочисленных операциях это уменьшит погрешность вычислений, а на Cortex-M3 к тому же сократит их время — об этом я расскажу ниже.

Для вычисления таблиц других размеров в предыдущую систему уравнений вместо 64 нужно подставить нужный размер. Для аппроксимации полиномом степени P нужно найти корни полинома Чебышёва степени P+1, и записать систему из P+1 уравнений с P+1 неизвестными, не забывая возводить корень многочлена в нужную степень ‘n’ при каждом An. (Если предыдущее предложение непонятно, то ничего страшного. Ближе к концу статьи будет ссылка на готовый генератор таблиц и краткая инструкция к нему.)

Точность вычислений

Разные комбинации размера таблицы и степени полинома дают разную погрешность. Не имея представления, как определить её аналитически, я решил считать «в лоб», перебирая все возможные комбинации, и прогоняя через каждую все углы от 0 до 0xffffffff. Для этого был создан проект accuracy_test. Суть в следующем:

• в проект включены таблицы, степенью полинома от 1 до 6 и размером от 4 до 65536, всего 90 штук. Какие таблицы проверяем, указывается в аргументах при запуске. Можно указать набор или диапазон проверяемых таблиц;
• с помощью заданной таблицы производится аппроксимация синуса по всем возможным 4294967296 аргументам. Результат аппроксимации сравнивается со значением, полученным стандартной функцией sinl(), получается разница-ошибка;
• находится самая большая в абсолютном значении ошибка — это самый худший случай аппроксимации. Можно утверждать, что заданным методом точность вычисления не хуже, чем эта самая ошибка.

Количество аргументов от 0 до 2 32 -1 велико, но не бесконечно, и их перебор занимает какое-то конечное время. Ноутбук с Intel Core-I7 перебирает их примерно за 6, а одноплатный компьютер на Allwinner A20 за 25 минут. Причём на ПК, как показал один эксперимент, львиную часть времени занимает вычисление «эталонного» значения функцией sinl.

Результаты проверок всех 90 таблиц в конечном итоге сводятся в одну небольшую табличку, на основании которой строится диаграмма:

На ней видно, что с увеличением размера таблицы точность растёт, и тем быстрее, чем выше степень полинома, при этом не поднимаясь выше 54 бит. Это самая большая точность, которую мне удалось достичь, при этом вычисления производились на ПК, с помощью 80-битных чисел с плавающей точкой (long double). Почему я заострил внимание «на ПК», будет чуть дальше.

При использовании 32-битных целочисленных вычислений результаты скромнее:

Здесь точность не превышает 30.36 бит. Но с учётом того, что старший бит отведён под знак числа, ошибка получается менее самого младшего бита.
На этой диаграмме, как видно, присутствуютне все комбинации размера таблицы и степени полинома. Это связано с тем, что некоторые коэффициенты при малом количестве интервалов превышают 1, и при умножении на 0x7f000000 выходят за пределы знакового 32-битного числа. Компилятор предупреждает об этом, а попытки определить точность дают результат в районе 0 бит.
Максимальная точность на 32-битных целых числах, которую я получил, составляет 30.37 бит при множителе 0x7fffff00.

Несколько слов о вычислениях на ARM со встроенным АРМовским FPU (armhf)

Результаты неприятно удивили.

Во-первых, выяснилось, что он может работать только с 64-битными числами с плавющей точкой (в отличии от 80-битных long double на x86/x64), и нет разницы, переменные какого типа пытаться использовать — double или long double, компилятор всё сводит к double.

Во-вторых, вычисления на ARM по точности немного отличаются от таких на x86 в худшую сторону — при долгой работе с числами набегают ошибки округления. Это можно увидеть, если посмотреть на соответствующие диаграммы для 64-битных float (файл формата ods, xls). ARM хуже вычисляет как и сами таблицы, так и аппроксимацию синуса на их основе. Причём худший вариант — когда он вычисляет на таблицах, созданных им же. Использование таблиц от x86 дают немного лучший результат, значит таблицы лучше не создавать на ARMах.

Результаты всех проверок сведены в несколько файлов, в каждом из них есть несколько листов:

— для чисел с плавающей точкой — ods, xls;
— для целых 32-битных чисел — ods, xls;
— для чисел с плавающей точкой (ods, xls), когда в качестве эталона использована не sinl, а аппроксимация теми же таблицами.

О последнем надо сказать особо.

Сравним числа с плавающей точкой и какие точности на них достигнуты:

— float 32-бит, мантисса 23+1 бит, точность аппроксимации — 24 бита.
— float 64-бит, мантисса 52+1 бит, точность аппроксимации — 53 бита.
— float 80-бит, мантисса 63+1 бит, точность аппроксимации — почти 54 бита, хотя можно было ожидать 64.

Куда делись 10 бит?

Возникло предположение, что неточно вычисляется «эталонный» синус функцией sinl. Для проверки был проведён эксперимент, где сравнивались результаты аппроксимации двумя разными таблицами. В качестве эталона использовались несколько таблиц длиной 2 15 , 2 16 , разных степеней полинома, а сами вычисления производились 80-битными long double.

Предположение не подтвердилось, зато было замечено, что время проверки уменьшилось в несколько раз! Проверка таблицы 65536_p^1 функцией sinl заняла 279с, а аппроксимацией — 56с. Получается, что более 80% времени процессор был занят вычислением функции sinl.

В свете этого можно рекомендовать использовать на ПК аппроксимацию вместо sinl, можно получить выигрыш во времени.

А куда же делись 10 бит, я так и не понял. Есть подозрение, что точность, равная разрядности мантиссы на 32- и 64-битных float получалась за счёт запаса 80-битных вычислений, результаты которых потом огрублялись до заданных 32 и 64, а без огрубления она как раз составляла те самые 54 бита. При вычислениях на ARMах с 64-битным FPU точность вычисления упала до 50.8 бита против 53 на x86/x64.

Таблицы с коэффициентами

Их можно получить программой make_table. Там есть файл проекта на code::blocks, исходные тексты + скрипт для самостоятельной сборки с помощью gcc, а так же готовый .exe.

В качестве аргументов программа принимает:

— размер таблицы, равный 2 n ;
— степень полинома;
— множитель для коэффициентов для приведения их к целочисленным значениям;
— параметр AC_SHIFT, показывающий, на сколько бит множитель при коэффициенте, например, 3-й степени будет «весомее» множителя предыдущей 2-й.

Результатом работы программы является исходный код на языке С. Программа выводит его непосредственно на экран, и его можно перенаправить в файл.

.\make_table.exe 64 3 0x40000000LL 3 > ..\tables\sine_approx_64_3_3.c

создаст файл sine_approx_64_3_3.c. Этот файл содержит таблицу коэффициентов для аппроксимации полиномами 3-й степени по 64 отрезкам, чего достаточно для получения 25-битной точности. Множитель при коэффициенте A0 = 0x40000000, а множители при коэффициентах более высоких степеней будут отличаться от соседних в 2³ = 8 раз.

В начале файла есть набор директив препроцессора, с помощью которых можно настраивать некоторые параметры таблицы:

TABLE_TYPE — тип данных таблицы, по умолчанию int32_t. Его можно «перебить», указав компилятору другой.
Q1_ONLY — указание использовать только первый квадрант, позволяет уменьшить объём таблицы в 4 раза.
DC — «добавка» к ко всем коэффициентам перед превращением их в целочисленный вид, позволяет делать арифметическое округление. По умолчанию равно 0.5 (для int32_t), для чисел с плавающей точной следует задать его равным 0.
AC0 — множитель для коэффициента 0-й степени, по умолчанию 0x40000000LL. Может быть задан другой, для таблицы типа float можно задать 1.
AC_SHIFT — на сколько бит будет сдвинут влево множитель AC0 для каждой последующей степени (механизм этого понятен при формировании множителей AC1, AC2 и так далее). Для таблицы длиной 64 строки оптимальное значение 3, для таблиц другой длины оптимальные значения лежат в районе от 1 до 5.

Каждая строка полученной таблицы выглядит примерно так:

-0.00015749713825 * AC3 + DC, -0.000000170942 * AC2 + DC, +0.098174807817 * AC1 + DC, -0.000000001187 * AC0 + DC, // 0

где
-0.00015749713825096520473455514 * AC3 — коэффициент для x³, -0.00000017094269773828251637917 * AC2 — для x², и так далее.

В конце файла, после таблицы, сформирован отчёт, какой «запас по битам» имеется у каждого коэффициента. В процессе расчёта множителей находятся таковые с максимальными абсолютными значениями. В таблице из примера для множителя 0 степени это 0.999999969786949, что почти рано 1.0, и запаса по битам нет. А максимальный коэффициент 3-го порядка равен 0.00015749713825, его можно безболезненно умножить на 2 12 , и результат будет всё ещё меньше 1. С помощью запаса по битам при желании можно скорректировать сомножители AC1 . ACn.

Если есть желание повторить проверки точности, то в папке проекта есть скрипт на lua, который может сформировать необходимые исходные файлы, и сформирует cmd-файл, запустив который получится 90 файлов с таблицами на 2 2 . 2 16 строк и степенями от 1 до 6. Впрочем, все они и так присутствуют

Как это использовать на практике

Для использования аппроксимации в своём проекте для начала нужно определиться, с какой точностью нужно вычислять синус. Потом нужно оценить ресурсы (объём памяти и быстродействие вычислителя), которые у вас есть.

К примеру, вы хотите, используя 32-битные целочисленные операции, сделать генератор с 24-битным ЦАП. Старший бит отведён на знак, поэтому точность аппроксимации должна быть не меньше 23 бит. На диаграмме видно, что заданная точность достигается при использовании:

— таблицы на 8192 строки при использовании аппроксимации 1-й степени,
— 512 строк при 2-й степени,
— 64 строки при 3-й степени,
— 32 при 4-й степени,
— 16 при 5-й степени, и
— 8 при 6-й степени.

При желании степень полинома можно увеличить ещё, длина таблицы при этом уменьшится.

Теперь следует определиться с ресурсами и приоритетами их использования. Если вы хотите получить максимальное быстродействие, нужно использовать аппроксимацию 1-й степени, при этом таблица на 8192 строки займёт 64к. Если вы используете какой-нибудь STM32 на Cortex-M3, то размещение таблицы в ОЗУ уменьшит время вычисления в отличии от размещения её в памяти программ, и у ST можно найти контроллеры с объёмом ОЗУ больше 64к.

Если у вас очень мало памяти и есть запас по быстродействию (FPGA например) , можно использовать аппроксимацию с высокими степенями.
Таблицы 5-й и 6-й степеней займут, соответственно, 16 * (5+1) * 4 = 384 и 8 * (6+1) * 4 = 224 байт.

Уменьшить объём ещё в 4 раза можно, используя симметричность функции синуса. Точность при этом может упасть, т.к. при аргументе функции 0x40000000 , что равно 90°, будет использован 0x3fffffff , вместо 0x40000001 — 0x3ffffffe , и т.д. Для использования этого фокуса, при сборке проекта в опциях компилятора нужно добавить Q1_ONLY — это уменьшит размер таблицы и добавит лишние вычисления в функции get_sine_int32() и get_sine_float().

Примеры использования

Есть 2 готовых примера — для ПК и для популярного STM32F103C8.

Что бы избавиться от лишних умножений для возведения в степень, формула
y = A2·x² + A1·x + A0
преобразована к виду
y = ((0 + A2)·x + A1)·x + A0

В упрощённом виде код выглядит так:

// angle — угол (доля полного периода в диапазоне от 0.0 до 1.0, фикс.точка 0.32)
// pN — двоичная степень количества интервалов; N = 2^pN
// ac_shift — двоичная степень отношения «весов» смежных коэффициентов
// pw — степень полинома
// table — таблица коэффициентов, одномерный массив размером 2^pN * (pw + 1)
int idx = angle >> (32 — pN); // индекс строки в таблице
uint32_t X = (angle X >>= ac_shift; // уменьшая X, корректируем «веса» коэффициентов
const int32_t* A = table + idx * (pw + 1); // указатель на первый коэфф (при степени pw) в строке таблицы
int64_t sum = A[0];
for(int i = 1; i sum *= (int32_t)X; // sum — промежуточный результат, фикс. точ. размерности 32.32
sum >>= 32; // приводим sum к размерности 64.0
sum += A[i]; // прибавляем очередной коэфф.
>
// теперь sum содержит искомое значение

ПК

Там есть 2 функции на выбор — для целочисленных вычислений get_sine_int32 и для вычисления с плавающей точкой get_sine_float. Каждая оформлена в отдельной паре файлов (.h / .c), которые нужно включить в свой проект. Так же в проект надо включить нужную таблицу с коэффициентами. Использование таблиц и функций с плавающей точкой на ПК оправдано, т.к. это позволяет ускорить вычисления.

Cortex-M3

Проект на embitz для STM32F103C8.
Вычисления синуса полиномами от 1-й до 6-й степеней оформлены в виде ассемблерных вставок в код на С. Перед каждой вставкой в комментариях есть примерно измеренное кол-во тактов на 1 цикл вычислений, когда таблица находится во flash и когда в RAM, время получается разное. Размешение таблиц в оперативной памяти позволяет немного поднять быстродействие.
Я не считаю себя знатоком ARMовского ассемблера, возможно кому-то удасться вычисления ускорить.

Здесь надо рассказать о том, почему использование коэффициента AC_SHIFT ускоряет вычисление. У Cortex-M3 есть инструкции умножения двух 32-битных чисел с получением 64-битного результата: UMULL и SMULL. Первая умножает два беззнаковых числа, и нам не подходит, потому коэффициенты есть положительные и отрицательные. Вторая, которую мы используем, умножает знаковые числа:
одно из них — это коэффициент из таблицы, знаковое число,
второе — это смещение угла внутри интервала, число беззнаковое.

Если второе число превысит 0x7fffffff, то оно блоком умножения будет интерпретировано как отрицательное и результат будет не тот, который мы ожидаем. Но инструкции, которая перемножала бы знаковое и беззнаковое число, в наборе команд нет. Мы будем использовать SMULL и позаботимся о том, что бы второе число не превышало 0x7fffffff, уменьшив его минимум в 2 раза. При этом надо будет после каждого умножения корректировать результат. Сделать это можно двумя способами:
— каждый раз удваивать результат, на что уйдут машинные такты;
— сделать в два раза больше то число, которое на него умножаем.

Более экономичным является второй способ. Если x уменьшен в 2 раза, то из формулы
y = (((0 + A3)·x + A2)·x + A1)·x + A0
понятно, что в 2 раза должен быть увеличен коэффициент A1, в 4 раза A2, и в 8 раз A3.
Если же x уменьшен в 4 раза, то множители становятся соответственно 4, 16 и 64. За это при компиляции таблиц отвечает параметр AC_SHIFT. Кроме того, его использование убивает второго зайца — коэффициенты, содержащие много нулей после запятой — а они относятся к высоким степеням полиномов, не так сильно теряют точность при округлении.

Вот и всё. Буду рад вашим замечаниям, уточнениям и предложениям.

• целочисленная арифметика
• cortex-m3
• stm32
• тригонометрические функции

Возрастание, убывание и экстремумы функции

Нахождение интервалов возрастания, убывания и экстремумов функции является как самостоятельной задачей, так и важнейшей частью других заданий, в частности, полного исследования функции. Начальные сведения о возрастании, убывании и экстремумах функции даны в теоретической главе о производной, которую я настоятельно рекомендую к предварительному изучению (либо повторению) – ещё и по той причине, что нижеследующий материал базируется на самой сути производной, являясь гармоничным продолжением указанной статьи. Хотя, если времени в обрез, то возможна и чисто формальная отработка примеров сегодняшнего урока.

А сегодня в воздухе витает дух редкого единодушия, и я прямо чувствую, что все присутствующие горят желанием научиться исследовать функцию с помощью производной. Поэтому на экранах ваших мониторов незамедлительно появляется разумная добрая вечная терминология.

Зачем? Одна из причин самая что ни на есть практическая: чтобы было понятно, что от вас вообще требуется в той или иной задаче!

Монотонность функции. Точки экстремума и экстремумы функции

Рассмотрим некоторую функцию . Упрощённо полагаем, что она непрерывна на всей числовой прямой:

На всякий случай сразу избавимся от возможных иллюзий, особенно это касается тех читателей, кто недавно ознакомился с интервалами знакопостоянства функции. Сейчас нас НЕ ИНТЕРЕСУЕТ, как расположен график функции относительно оси (выше, ниже, где пересекает ось). Для убедительности мысленно сотрите оси и оставьте один график. Потому что интерес именно в нём.

Функция возрастает на интервале, если для любых двух точек этого интервала, связанных отношением , справедливо неравенство . То есть, бОльшему значению аргумента соответствует бОльшее значение функции, и её график идёт «снизу вверх». Демонстрационная функция растёт на интервале .

Аналогично, функция убывает на интервале, если для любых двух точек данного интервала, таких, что , справедливо неравенство . То есть, бОльшему значению аргумента соответствует мЕньшее значение функции, и её график идёт «сверху вниз». Наша функция убывает на интервалах .

Если функция возрастает или убывает на интервале, то её называют строго монотонной на данном интервале. Что такое монотонность? Понимайте в буквальном смысле – однообразие.

Также можно определить неубывающую функцию (смягчённое условие в первом определении) и невозрастающую функцию (смягчённое условие во 2-м определении). Неубывающую или невозрастающую функцию на интервале называют монотонной функцией на данном интервале (строгая монотонность – частный случай «просто» монотонности).

Теория рассматривает и другие подходы к определению возрастания/убывания функции, в том числе на полуинтервалах, отрезках, но чтобы не выливать на вашу голову масло-масло-масляное, договоримся оперировать открытыми интервалами с категоричными определениями – это чётче, и для решения многих практических задач вполне достаточно.

Таким образом, в моих статьях за формулировкой «монотонность функции» почти всегда будут скрываться интервалы строгой монотонности (строгого возрастания или строгого убывания функции).

Окрестность точки. Слова, после которых студенты разбегаются, кто куда может, и в ужасе прячутся по углам. …Хотя после поста Пределы по Коши уже, наверное, не прячутся, а лишь слегка вздрагивают =) Не беспокойтесь, сейчас не будет доказательств теорем математического анализа – окрестности мне потребовались, чтобы строже сформулировать определения точек экстремума. Вспоминаем:

Окрестностью точки называют интервал, который содержит данную точку, при этом для удобства интервал часто полагают симметричным. Например, точка и её стандартная — окрестность:

Собственно, определения:

Точка называется точкой строгого максимума, если существует её -окрестность, для всех значений которой за исключением самой точки выполнено неравенство . В нашем конкретном примере это точка .

Точка называется точкой строгого минимума, если существует её -окрестность, для всех значений которой за исключением самой точки выполнено неравенство . На чертеже – точка «а».

Примечание: требование симметричности окрестности вовсе не обязательно. Кроме того, важен сам факт существования окрестности (хоть малюсенькой, хоть микроскопической), удовлетворяющей указанным условиям

Точки называют точками строго экстремума или просто точками экстремума функции. То есть это обобщенный термин точек максимума и точек минимума.

Как понимать слово «экстремум»? Да так же непосредственно, как и монотонность. Экстремальные точки американских горок.

Как и в случае с монотонностью, в теории имеют место и даже больше распространены нестрогие постулаты (под которые, естественно, подпадают рассмотренные строгие случаи!):

Точка называется точкой максимума, если существует её окрестность, такая, что для всех значений данной окрестности выполнено неравенство .
Точка называется точкой минимума, если существует её окрестность, такая, что для всех значений данной окрестности выполнено неравенство .

Заметьте, что согласно последним двум определениям, любая точка функции-константы (либо «ровного участка» какой-нибудь функции) считается как точкой максимума, так и точкой минимума! Функция , к слову, одновременно является и невозрастающей и неубывающей, то есть монотонной. Однако оставим сии рассуждения теоретикам, поскольку на практике мы почти всегда созерцаем традиционные «холмы» и «впадины» (см. чертёж) с уникальным «царём горы» или «принцессой болота» . Как разновидность, встречается остриё, направленное вверх либо вниз, например, минимум функции в точке .

Да, кстати, о королевских особах:
– значение называют максимумом функции;
– значение называют минимумом функции.

Общее название – экстремумы функции.

Пожалуйста, будьте аккуратны в словах!

Точки экстремума – это «иксовые» значения.
Экстремумы – «игрековые» значения.

! Примечание: иногда перечисленными терминами называют точки «икс-игрек», лежащие непосредственно на САМОМ ГРАФИКЕ функции.

Сколько может быть экстремумов у функции?

Ни одного, 1, 2, 3, … и т.д. до бесконечности. Например, у синуса бесконечно много минимумов и максимумов.

ВАЖНО! Термин «максимум функции» не тождественен термину «максимальное значение функции». Легко заметить, что значение максимально лишь в локальной окрестности, а слева вверху есть и «покруче товарищи». Аналогично, «минимум функции» – не то же самое, что «минимальное значение функции», и на чертеже мы видим, что значение минимально только на определённом участке. В этой связи точки экстремума также называют точками локального экстремума, а экстремумы – локальными экстремумами. Ходят-бродят неподалёку и глобальные собратья. Так, любая парабола имеет в своей вершине глобальный минимум или глобальный максимум. Далее я не буду различать типы экстремумов, и пояснение озвучено больше в общеобразовательных целях – добавочные прилагательные «локальный»/«глобальный» не должны заставать врасплох.

Чайникам на первых порах рекомендую создать и осмыслить небольшой терминологический конспект, чтобы не путать Иран с Ираком.

Подытожим наш небольшой экскурс в теорию контрольным выстрелом: что подразумевает задание «найдите промежутки монотонности и точки экстремума функции»?

Формулировка побуждает найти:

– интервалы возрастания/убывания функции (намного реже фигурирует неубывание, невозрастание);

– точки максимума и/или точки минимума (если таковые существуют). Ну и от незачёта подальше лучше найти сами минимумы/максимумы 😉

Как всё это определить? С помощью производной функции!

Как найти интервалы возрастания, убывания,
точки экстремума и экстремумы функции?

Многие правила, по сути, уже известны и понятны из урока о смысле производной.

Рассмотрим дифференцируемую на некотором интервале функцию . Тогда:

– если производная на интервале, то функция возрастает на данном интервале;

– если производная на интервале, то функция убывает на данном интервале.

Примечание: справедливы и обратные утверждения.

Пусть точка принадлежит области определения функции . Данная точка называется критической, если в ней производная равна нулю: либо значения не существует. Критическая точка может быть точкой экстремума. А может и не быть. Очень скоро мы рассмотрим необходимые и достаточные условия существования экстремума.

Но сначала потренируемся на кошках разделаемся с простейшими примерами. Почин положен в конце теоретической статьи о производной, и на очереди другие жертвы анализа. Заодно есть возможность провести маленькое самотестирование – насколько хорошо вы запомнили, как выглядят графики жизненно важных функций? В тяжелом случае, конечно же, следует открыть первый урок на соседней вкладке и щёлкать туда-сюда по мере комментариев.

Производная кубической функции неотрицательна:
для любого «икс».
Действительно, кубическая парабола идёт «снизу вверх». Бесконечно близко около точки скорость изменения функции равна нулю, о чём в рупор кричит производная: . И вот вам, кстати, сразу пример, когда в критической точке нет максимума или минимума функции.

Функция обитает на промежутке , а её производная неравенством однозначно показывает, что «корень из икс» строго растёт на интервале В критической точке функция определена, но не дифференцируема.
С геометрических позиций тут нет общей касательной. Однако в теории рассматриваются так называемые односторонние производные, и в указанной точке существует правосторонняя производная с правосторонней касательной. Желающие разобраться в этом подробнее могут покурить первый том матана.

Примечание: согласно информации первого параграфа, точка не является точкой минимума функции (хотя «по понятиям» это вроде бы так). Дело в том, что определения точек максимума и минимума предполагают существование функции
и слева и справа от данных точек. Так же не считаются точками экстремума крайние значения области определения арксинуса и арккосинуса (см. ниже).

Стандартная гипербола идёт «сверху вниз», то есть данная функция убывает на всей области определения. Что и показывает её производная:
для любого «икс» кроме нуля.
Здесь, к слову, точка вообще не считается критической, так как функция банально в ней не определена.

Экспоненциальная функция растёт на всей числовой прямой (для любого значения «икс» справедливо строгое неравенство ). Исследуя же производную , легко сделать вывод, что функция наоборот – убывает на .

Что делает натуральный логарифм сегодня вечером?
Растёт:
на интервале .

Начертите/распечатайте на соседних либо одном чертеже (иль просто представьте в уме) графики функции и её производной . Там, где график косинуса находится над осью , синус растёт. Обратно – где график расположен ниже оси абсцисс, синус убывает. А в тех точках, где косинус пересекает ось (), синусоида достигает минимума или максимума.

Аналогичная история с косинусом и его производной (второй кадр запечатлён в статье Геометрические преобразования графиков).

Производная тангенса несёт бодрую весть о том, что функция возрастает на всей области определения.

С котангенсом и его производной ситуация ровно противоположная.

Арксинус на интервале растёт – производная здесь положительна: .
При функция определена, но не дифференцируема. Однако в критической точке существует правосторонняя производная и правостороння касательная, а на другом краю – их левосторонние визави.

Думаю, вам не составит особого труда провести похожие рассуждения для арккосинуса и его производной.

Все перечисленные случаи, многие из которых представляют собой табличные производные, напоминаю, следуют непосредственно из определения производной.

Зачем исследовать функцию с помощью производной?

Чтобы лучше узнать, как выглядит график этой функции: где он идёт «снизу вверх», где «сверху вниз», где достигает минимумов максимумов (если вообще достигает). Не все функции такие простые – в большинстве случаев у нас вообще нет ни малейшего представления о графике той или иной функции.

Настала пора перейти к более содержательным примерам и рассмотреть алгоритм нахождения интервалов монотонности и экстремумов функции:

Найти интервалы возрастания/убывания и экстремумы функции

Решение:

1) На первом шаге нужно найти область определения функции, а также взять на заметку точки разрыва (если они существуют). В данном случае функция непрерывна на всей числовой прямой, и данное действие в известной степени формально. Но в ряде случаев здесь разгораются нешуточные страсти, поэтому отнесёмся к абзацу без пренебрежения.

2) Второй пункт алгоритма обусловлен

необходимым условием экстремума:

Если в точке есть экстремум, то либо значения не существует.

Смущает концовка? Экстремум функции «модуль икс».

Условие необходимо, но не достаточно, и обратное утверждение справедливо далеко не всегда. Так, из равенства ещё не следует, что функция достигает максимума или минимума в точке . Классический пример уже засветился выше – это кубическая парабола и её критическая точка .

Но как бы там ни было, необходимое условие экстремума диктует надобность в отыскании подозрительных точек. Для этого следует найти производную и решить уравнение :

Получилось обычное квадратное уравнение:

Положительный дискриминант доставляет две критические точки:

Примечание: корни можно традиционно обозначить через , однако в ходе полного исследования функции удобнее обойтись без подстрочных индексов, так как они вносят лишние оговорки и путаницу

Итак, – критические точки

Но экстремумов в них может и не оказаться, поэтому нужно продолжить решение.

первое достаточное условие экстремума,

которое вкратце формулируется следующим образом: пусть функция дифференцируема в некоторой окрестности критической точки . Тогда:

– если при переходе через точку производная меняет знак с «плюса» на «минус», то в данной точке функция достигает максимума;

– если при переходе через точку производная меняет знак с «минуса» на «плюс», то в данной точке функция достигает минимума.

Тут всё очень и очень наглядно, представьте – функция росла-росла-росла, и после прохождения некоторого рубежа вдруг стала убывать. Максимум. Во втором случае график шёл-шёл-шёл «сверху вниз», а при переходе через точку развернулся в противоположную сторону. Минимум.

Исходя из вышесказанного, вытекает логичное решение: на числовой прямой нужно отложить точки разрыва функции, критические точки и определить знаки производной на интервалах, которые входят в область определения функции.

В рассматриваемом примере с непрерывностью на всё тип-топ, поэтому работаем только с найдёнными критическими точками.

Напрашивается метод интервалов, который уже применялся для определения интервалов знакопостоянства функции. Так почему бы его не использовать для производной? Ведь производная тоже простая смертная функция, найдёшь её – и делай всё, что хочешь.

Внимание! Сейчас мы работаем с ПРОИЗВОДНОЙ, а не с самой функцией!

Перед нами парабола , ветви которой направлены вниз, и многим читателям уже понятны знаки производной, но ради повторения снова пройдёмся по всем этапам метода интервалов. Отложим на числовой прямой найденные критические точки:

I) Берём какую-нибудь точку интервала и находим значение производной в данной точке. Удобнее всего выбрать :
, значит, производная отрицательна на всём интервале .

II) Выбираем точку , принадлежащую интервалу , и проводим аналогичное действие:
, следовательно, на всём интервале .

III) Вычислим значение производной в наиболее удобной точке последнего интервала:
, поэтому в любой точке интервала .

В результате получены следующие знаки производной:

Время собирать урожай!

На интервалах производная отрицательна, значит, САМА ФУНКЦИЯ на данных интервалах убывает, и её график идёт «сверху вниз». На среднем интервале , значит, функция возрастает на , и её график идёт «снизу вверх».

При переходе через точку производная меняет знак с «–» на «+», следовательно, в этой точке функция достигает минимума:

При переходе же через точку производная меняет знак с «+» на «–», и функция достигает максимума в данной точке:

Ответ: функции возрастает на интервале и убывает на интервалах . В точке функция достигает минимума: , а в точке – максимума:

Остерегайтесь сокращенной записи . Под значками обычно понимают минимальное и максимальное значение, а это, как пояснялось выше, далеко не то же самое, что минимум и максимум.

Пример так тщательно провёрнут через мясорубку, что грех не привести графическое изображение всех событий. Незнакомец теоретической части статьи снимает шляпу:

Что произошло? На первом этапе мы нашли производную и критические точки (в которых парабола пересекает ось абсцисс). Затем методом интервалов было установлено, где (парабола ниже оси) и (парабола выше оси). Таким образом, с помощью производной мы узнали интервалы возрастания/убывания и экстремумы «синей» функции.

Помимо 1-го достаточного условия экстремума существует и 2-е достаточное условие, однако для исследования функций оно малоинформативно и больше используется в экстремальных задачах.

В начале первой статьи о графиках функции я рассказывал, как быстро построить параболу на примере : «…берём первую производную и приравниваем ее к нулю: …Итак, решение нашего уравнения: – именно в этой точке и находится вершина параболы…». Теперь, думаю, всем понятно, почему вершина параболы находится именно в этой точке =) Вообще, следовало бы начать с похожего примера и здесь, но он уж слишком прост (даже для чайника). К тому же, аналог есть в самом конце урока о производной функции. Поэтому повысим степень:

Найти промежутки монотонности и экстремумы функции

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и примерный чистовой образец оформления задачи в конце урока.

Наступил долгожданный момент встречи с дробно-рациональными функциями:

Исследовать функцию с помощью первой производной

Обратите внимание, как вариативно можно переформулировать фактически одно и то же задание.

Решение:

1) Функция терпит бесконечные разрывы в точках .

2) Детектируем критические точки. Найдём первую производную и приравняем её к нулю:

Решим уравнение . Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю:

Таким образом, получаем три критические точки:

3) Откладываем на числовой прямой ВСЕ обнаруженные точки и методом интервалов определяем знаки ПРОИЗВОДНОЙ:

Напоминаю, что необходимо взять какую-нибудь точку интервала, вычислить в ней значение производной и определить её знак. Выгоднее даже не считать, а «прикинуть» устно. Возьмём, например, точку , принадлежащую интервалу , и выполним подстановку: .

Два «плюса» и один «минус» дают «минус», поэтому , а значит, производная отрицательна и на всём интервале .

Действие, как вы понимаете, нужно провести для каждого из шести интервалов. Кстати, обратите внимание, что множитель числителя и знаменатель строго положительны для любой точки любого интервала, что существенно облегчает задачу.

Итак, производная сообщила нам, что САМА ФУНКЦИЯ возрастает на и убывает на . Однотипные интервалы удобно скреплять значком объединения .

В точке функция достигает максимума:
В точке функция достигает минимума:

Подумайте, почему можно заново не пересчитывать второе значение 😉

При переходе через точку производная не меняет знак, поэтому у функции там НЕТ ЭКСТРЕМУМА – она как убывала, так и осталась убывающей.

! Повторим важный момент: точки не считаются критическими – в них функция не определена. Соответственно, здесь экстремумов не может быть в принципе (даже если производная меняет знак).

Ответ: функция возрастает на и убывает на В точке достигается максимум функции: , а в точке – минимум: .

Знание интервалов монотонности и экстремумов вкупе с установленными асимптотами даёт уже очень хорошее представление о внешнем виде графика функции. Человек среднего уровня подготовки способен устно определить, что у графика функции есть две вертикальные асимптоты и наклонная асимптота . Вот наш герой:

Постарайтесь ещё раз соотнести результаты исследования с графиком данной функции.
В критической точке экстремума нет, но существует перегиб графика (что, как правило, и бывает в похожих случаях).

Найти экстремумы функции

Найти интервалы монотонности, максимумы и минимумы функции

…прямо какой-то Праздник «икса в кубе» сегодня получается.
Тааак, кто там на галёрке предложил за это выпить? =)

В каждой задаче есть свои содержательные нюансы и технические тонкости, которые закомментированы в конце урока.

Как отмечалось, в ходе выполнения задания всегда нужно внимательно следить за точками разрыва и интервалами, которые не входят в область определения функции. Казус состоит в том, что иногда производная может существовать на таких участках! Простейший пример: производная натурального логарифма определена на интервале , но сам логарифм – нет. Интервалы, которые не входят в область определения функции, НЕЛЬЗЯ рассматривать и у производной!

Типичный барьерный риф:

Найти интервалы монотонности и экстремумы функции

Приближаю оформление к боевым условиям и прекращаю нумерацию пунктов алгоритма.

Решение: в Примере 11 статьи об интервалах знакопостоянства была найдена область определения данной функции: , знание которой КРИТИЧЕСКИ ВАЖНО учитывать в нашей задаче:

Вроде бы всё хорошо: у нас есть корень и крайние точки области определения:.

Но производная проявила своеволие – она в отличие от свого родителя определена и на интервале . Более того, точка (не критическая. ;)) вошла в этот нехороший интервал! Что делать? Мама всегда права, поэтому определяем знаки производной только на интервалах области определения функции:

Функция убывает на интервале и возрастает на интервале . Точки экстремума (и, понятно, экстремумы) ОТСУТСТВУЮТ. Значение осталось не при делах, так как на интервале попросту нет графика функции .

Ответ: функция убывает на интервале и возрастает на, экстремумы отсутствуют.

Будьте очень внимательны, если вам встретится логарифм или корень – в подобных примерах просто необходимо увАжить область определения функции!

Найти интервалы монотонности и экстремумы функции

Это приятный разгрузочный пример для самостоятельного решения.

И заключительный пример посвящен другому приключению непослушной дочери:

Найти точки экстремума функции

Решение: функция определена и непрерывна на всей числовой прямой.
Найдём критические точки:

На всякий случай детализирую преобразования знаменателя:
, затем сокращаем числитель и знаменатель на «икс».

Таким образом, – критические точки. Почему значения , обращающие знаменатель производной в ноль, следует отнести к критическим точкам? А дело в том, что САМА-ТО ФУНКЦИЯ в них определена! Ситуация необычна, но клубок распутывается по стандартной схеме.

Определим знаки производной на полученных интервалах:

Функция возрастает на интервале и убывает на .

В точке функция достигает минимума: .
В точке функция достигает максимума: .
В точке нет экстремума.

Ответ: – точка минимума, – точка максимума

По условию требовалось найти точки экстремума и что-то добавлять излишне. Но в решении как бы невзначай вычислены и сами экстремумы 😉

Давайте посмотрим на на эту оригинальную картину:

В точке – классическое остриё, направленное вниз, при – «нормальный» максимум. В точках функция не дифференцируема, однако в них существуют бесконечные производные и вертикальные касательные (см. теорию производной).

. да, родители и дети бывают разными. Но мама права в 95% случаев с погрешностью . Я проводил статистическое исследование.

Решения и ответы:

Пример 2: Решение:

1) Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой.
2) Найдём критические точки:

– критическая точка.
3) Методом интервалов определим знаки производной:

Ответ: функция убывает на интервале и возрастает на интервале . В точке функция достигает минимума:

Пример 4: Решение:

1) Функция терпит бесконечный разрыв в точке .
2) Найдём критические точки:

, – критические точки.
3) Методом интервалов определим знаки производной:

В точке функция достигает минимума: .
В точке экстремум отсутствует.
Ответ: в точке функция достигает минимума:
Примечание: обратите внимание, что информацию об интервалах монотонности раскрывать не обязательно, так как по условию требовалось найти только экстремумы функции

Пример 5: Решение:

1) Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой кроме точки .

2) Найдём критические точки:

Примечание: в данном случае перед дифференцированием выгодно почленно разделить числитель на знаменатель
– критическая точка.
3) Определим знаки производной:

Ответ: функция возрастает на и убывает на . В точке она достигает максимума:

Пример 7: Решение:

Область определения: .
Найдём критические точки:

– критическая точка.
Определим знаки производной:

Ответ: функция убывает на интервале и возрастает на интервале В точке функция достигает минимума:

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам,

cкидкa 15% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-hihi5

© Copyright mathprofi.ru, Александр Емелин, 2010-2024. Копирование материалов сайта запрещено

Суперфункции и корень из факториала Текст научной статьи по специальности «Математика»

Построена голоморфная функция h такая, что hhz = z!; эта функция интерпретируется как квадратный корень из факториала.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Кузнецов Д.Ю., Траппманн Г.

Континуальное обобщение логистического отображения
Тетрация как специальная функция

Функция Кёнигса и дробное итерирование аналитических в единичном круге функций с вещественными коэффициентами и неподвижными точками

Расчёт допусков на реализацию программного управления в стационарных непрерывных системах
Дробное Итерирование аналитических в единичном круге функций с вещественными коэффициентами
i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Superiunctions and square root oш factorial

The holomorphic function h is constructed such that hhz = z\ ; this function is interpreted as square root of factorial.

Текст научной работы на тему «Суперфункции и корень из факториала»

Суперфункции и корень из факториала

Д. Ю. Кузнецов1^, Г. Траппманн2’&

1 Институт лазерной науки, Университет электрических коммуникаций. Япония, 182-8585, Токио, Чофугаока, 1-5-1 Чофу.

2 Германия, 13351 Берлин, Камерунер 9. E-mail: а dima@ils. иес.ac.jp, b henryk@pool. math, tu-berlin.de

Статья поступила 13.08.2009, подписана в печать 13.10.2009

Построена голоморфная функция h такая, что hhz = г!; эта функция интерпретируется как квадратный корень из факториала.

Ключевые слова: суперфункция, корень из факториала, физфак МГУ, обратная задача. УДК: 519.651, 519.669. PACS: 02.30.Ks, 02.30.Zz, 02.30.Gp, 02.30.Sa.

Мотивацией для настоящей работы явилась задача из курса квантовой механики, читаемого на физическом факультете МГУ, в которой предложено придать смысл оператору л/Т [1]. В прошлом веке удовлетворительное решение найдено не было; утверждалось, что функция л/Т не может иметь какого-либо смысла [2].

В квантовой механике повторное (итерированное) применение операции (обычно оператора некоторой наблюдаемой величины) интерпретируется как «степень» операции; такой смысл имеют, в частности, квадрат координаты и квадрат импульса. По аналогии мы используем обозначение без круглых скобок. В этих обозначениях sin а означает sin(a), In sin 2 означает ln(sin(z)) и т.п.; такие же обозначения используются в текстах по элементарной алгебре. Чтобы избежать двусмысленностей при итерациях, мы используем префиксное обозначение Factorial «г = Factorial^) вместо z\.

Будем считать, что факториал — это известная мероморфная функция, выражаемая через Гамма-функцию [3] сдвинутого на единицу аргумента. Именно так интерпретируется факториал в алгоритмических языках Mathematica и Maple. Факториал вещественного аргумента показан на рис. 1.

В настоящей работе квадратный корень из факториала есть голоморфная функция h, отличающаяся тем, что ее повторное применение дает факториал, т.е. hhz = z\. Для вещественных значений аргумента график функции л/Т показан на рис. 2. Ниже описано, как можно вычислять эту функцию не только для вещественных, но и для комплексных значений аргумента, используя суперфункции [4-6].

Построение нецелой степени, т. е. нецелой итерации какой-либо функции (например, д/ёхр, предложенной

в [7-9], или л/Т), может быть основано на концепции суперфункции [4-6]. Для заданной функции Я, которую будем называть ниже «передаточная функция», суперфункция F есть голоморфное решение уравнения Абеля

~-6 -5-4-3-2-1 0 1 2 3 х

Рис. 1. Факториал вещественного аргумента и графическое решение уравнения х\ = х

3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5

~-6 -5-4-3-2-1 0 1 2 3 х

Рис. 2. а) у = Factorial(x) (длинный штрих); у = л/Т(х) = Factorial1/2(x) (сплошная кривая) и у = = л/xl = Factorial(x)1/2 (короткий штрих); б) суперфакториал у = F(x) (сплошная кривая) в сравнении с его асимптотой у = 2 + exp(kx) (короткий штрих)

Этому уравнению уже около двухсот лет [10-12], хотя в 1827 г. Ннльс Абель написал его в иной форме, для обратной функции F. Уравнение (1) пришло в физику из феноменологического рассмотрения преобразования сигнала F в однородной одномерной нелинейной системе, отличающейся тем, что преобразование сигнала на единичной длине характеризуется передаточной функцией Я. Уравнение (1) допускает и другие приложения, обсуждаемые ниже в п. 6.

В некотором смысле уравнение (1) эквивалентно уравнению Шрёдера [13-17]. При экспоненциальном преобразовании аргумента каждой обратной функции Шрёдера соответствует суперфункция, но не каждая суперфункция может быть просто выражена через обратную функцию Шрёдера. Поэтому здесь мы пользуемся суперфункциями, а не функциями Шрёдера.

Суперфункция F определяет дробную итерацию Нс передаточной функции Я:

Функция Нс может рассматриваться как дробная степень функции Я, потому что она удовлетворяет ожидаемым соотношениям

Я1 = Я, Hc+d(z) = HcHdz = Hc(Hd(z)),

т. е. для двух чисел end. имеет место тождество Нс Hd = Hc+d, как если бы Я была числом, а не функцией. В частности, при с = 1/2 половинная итерация h(z) = y/H

Некоторые суперфункции (см. табл. 1) широко известны; для их использования не требуется знать, что они являются суперфункциями. Несколько примеров (в том числе тригонометрических) суперфункций были предложены также на сайтах [5, 6, 18].

Суперфункции от экспоненты (табл. 1, строка 4) пока не так широко известны, хотя Хельмут Кнезер предложил половинную итерацию экспоненты, т. е. фактически у’ехр еще в 1950 г. [7]. Мы называем тетраци-

ей суперфункцию от ехр6, такую, что 1е16(0) = 1, и голоморфную на множестве С\, т. е. голоморфное решение уравнения

1е1ь(г+1) = ехр6(1е16(г)). (3)

Для целых значений 2 тетрация 1е16(г) есть результат г-кратного применения экспоненты к единице:

г = ехр6(ехр6(. ехр6(1). )У (4)

г-кратное применение экспоненты

Вычисление тетрации tet6 при &>ехр(1/е), и в частности для Ь = е и Ь = 2, описано в работах [9, 19, 22]. Для Ь = е имеется быстрая аппроксимация [20, 21]. Вычисление тетрации при 1 < Ь < ехр(1/е), и в частности для b = V2, рассмотрено в работе [4].

Кроме того, для пары взаимно обратных функций Р и Q новые пары (передаточная функция, суперфункция) могут быть получены преобразованием, указанным в последней строчке табл. 1, так что таблица суперфункций может быть сущестенно длиннее.

Таблицу 1 можно расширять также с помощью произвольной пары F, F-1 биголоморфных функций, декларируя F как суперфункцию и строя соответствующую передаточную функцию по формуле (2) при с = 1.

В настоящей работе рассмотрена обратная задача, т. е. для данной передаточной функции, а именно для

1 Z+1 b + z z — b be С

2 b + z bz + с (z — c)/b Ьф 0

Я bz + с bz+ c, log,, I z——- 1

4 bz tetj(z) tet^(z) (3), (4), [4, 9, 19-22]

5 zb exp(bz) logft(ln(z)) b> 0

6 In (b + ez) In(bz) ez/b Ьф 0

7 (ab+zb)]/b az]/b (z/a)b a>0, Ьф0

8 2z2 — 1 cos(2z) log2(arccos(z))

9 2z2 — 1 cosh(2z) log2(arccosh(z)) ср. № 8

10 2z/(l^z2) tan(2z) log2(arctan(z))

11 2z/(l+z2) tanh(2z) ЧЧй))

12 Factorial (z) SuperFactorial(z) ArcSuperFactorial(z) (6), (8)

факториала, строится суперфункция F и ее обратная функция F~l; тогда при с =1/2 уравнение (2) определяет функцию л/Т, давая смысл эмблеме физфака МГУ.

2. Факториал, аркфакториал и стационарные точки

Для вычисления суперфакториала и арксуперфакто-риала нужны эффективные представления факториала и аркфакториала. Карты факториала и аркфакториала комплексного аргумента показаны на рис. 3 в координатах x = Re(z), y = lm(z) линиями Re(Factorial(z)) = = р = const и Im(Factorial(z)) = q = const. Толстые линии соответствуют целым значениям р и q\ например, на карте факториала линии р = 1 пересекают горизонтальную линию q = 0 в точках (х = 0, у = 0) и (х = 1, у = 0); линия р = 2 пересекает горизонтальную линию q = 0 в точке (х = 2, у = 0); линия р = 6 пересекает горизонтальную линию q = 0 в точке (х = 3, у = 0). На этих картах промежуточные линии проведены с шагом 0.2. В правой части карты факториала (левый график) плотность линий велика и они бы слились, поэтому там показаны только линии р = 0 и q = 0. Кроме того, плотность линий велика («бесконечна») в окрестностях полюсов функции факториал; полюса отмечены белыми точками. Такой же способ изображения функции ее картой используется и на других рисунках.

К сожалению, в алгоритмических языках пока отсутствуют эффективные процедуры для вычисления аркфакториала (АркГамма, как и, например, Арк-Бессель, пока не представлены в стандартных пакетах). Поэтому для вычисления факториала и аркфакториала использованы программы [23], написанные на языке С++.

При вычислении суперфункции от некоторой передаточной функции ключевым является вопрос о ее стационарных точках (fixed points [16, 17]). В частности, для факториала стационарными точками являются решения

уравнения Factorial(z) = «г. Вещественные стационарные точки соответствуют абсциссам пересечений графиков у = Factorial х и у = х. Эти графики показаны на рис. 1

Для факториала и аркфакториала наиболее известны стационарные точки г=1 и г = 2. Разумеется, у факториала имеется также счетное множество отрицательных стационарных точек. Четыре из них видны в левом нижнем углу рис. 1. Каждая из стационарных точек может быть использована для построения суперфункции и нецелых степеней передаточной функции, голоморфных в некоторой окрестности этой точки и сингулярных в других стационарных точках [4]. Таким образом, существует много различных квадратных корней из факториала.

В настоящей работе рассмотрена только одна реализация суперфакториала, и только один корень из факториала, соответствующие стационарной точке 2. Этот выбор обусловлен желанием построить такой д/Т, который неограниченно растет в положительном направлении вещественной оси, медленнее факториала и медленнее любой растущей экспоненты, но быстрее любого полинома, соответствуя интуитивному представлению о такой функции. Именно этот корень из факториала изображен в левой части рис. 2 сплошной кривой.

3. Вычисление суперфакториала

Рассмотрим суперфакториал F, который стремится к стационарному значению 2 при больших отрицательных значениях вещественной части аргумента:

Factorial(F(z))=F(z+l), lim F(x-hiy) = 2. (5)

По аналогии с суперэкспонентой [4] ищем решение F в виде

Рис. 3. f = Factorial(z) (а) и / = ArcFactorial(z) (б) в комплексной z-плоскости; уровни Re(/) = р = const и уровни Im(/) = q = const показаны толстыми линиями для р = —6, —5, —4, —3, —2, —1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 и для

q = -6, -5, -4, -3, -2, -1,0, 1,2, 3,4, 5, 6

-4 -2 0 2 4 6 х -6 -4 -2 0 2 4 6 л;

Рис. 4. Карты функций f = И и [ = й в тех же обозначениях, что и на рис. 3

Рис. 5. Функция / = y/T(z) = Factorial 1/2(z), рассчитанная по формуле (10) (а) и / = д/ехр^) (б) в тех же обозначениях, что и на рис. 3, 4; толстыми линиями показаны уровни p,q = — 4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4.

где /г есть константа, а функция Ф имеет смысл ложения в уравнение Шрёдера (7) дает значение обратной функции Шрёдера. Подстановка выражения (6) в уравнение (5) дает уравнение Шрёдера [13, 14]

Ф(/Гбг) = Factorial (Ф(г)), (7)

где К = exp(k). Ищем решение в виде разложения

к = 1п(К) = 1п (3 + 2 Рас^па1′(0)) = 1п(3 — 2 7) «

где 7 = —Г'(1) « 0.5772156649 есть постоянная Эйлера [3], и цепочку уравнений для коэффициентов и. Из этих уравнений находим

тг2 + 672 — 187 + 6

где и суть постоянные вещественные коэффициенты, а N есть натуральное число. Подстановка такого раз-

i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

где £(2) = Y1 есть дзета-функция Римана [3];

Похожие (но более громоздкие) выражения получаются и для других коэффициентов и; значения коэффициентов приведены в табл. 2. Кроме того, пусть ¿¿о = 2 и «1 = 1. Частичная сумма (8) при N = 20 дает приближение для суперфакториала

обеспечивая порядка 15 значимых десятичных цифр при Re(2) —2. Для вычисления F(z) при Re(2) > —2 используется рекуррентная формула F(z) = Factorial(F(z- 1)). Таким образом расчитывался суперфакториал при построении графиков на рис. 2 и 4.

Таблица 2 Коэффициенты и и U в разложениях (8) и (9)

2 0.7987318351724345 ^0.7987318351724345

3 0.5778809754764832 0.6980641135593670

4 0.3939788096629718 ^0.6339640557572815

5 0.2575339580323327 0.5884152357911399

6 0.1629019581037053 ^0.5538887519936520

7 0.1002824191713524 0.5265479025985924

8 0.0603184725913977 -0.5041914604280215

9 0.0355544582258062 0.4854529800293392

10 0.0205859954874424 ^0.4694346809094714

Суперфакториал F является целой периодичной функцией. Ее период

Т = 2тпД» 10.2534496811560279265772640691397 i

чисто мнимый, так что структура на графике этой функции на рис. 4 воспроизводится при трансляциях вдоль мнимой оси. Вдоль вещественной оси, суперфакториал F быстро растет; быстрее, чем экспонента, и быстрее, чем тетрация [9].

В окрестности положительной части вещественной оси график суперфакториала имеет квазипериодичную «фрактальную» структуру, напоминающую поведение растущих суперэкспонент [4, 22]. Вероятно, и другие голоморфные функции, растущие быстрее любой конечной итерации экспоненты (т. е. ехрс при фиксированном с), ведут себя таким образом.

Обратная функция от суперфакториала, т. е. арксуперфакториал G = F~l, показана на рис. 4,6. Эта функция может быть выражена обращением асимптотического разложения (8):

0(2) = ± log Un(z — 2Г + 0(z — 2f+1j , (9)

3.6.25 из [3]) позволяет выразить коэффициенты U через коэффициенты и точно; приближенные значения коэффициентов U приведены в правом столбце табл. 2.

Частичная сумма (9) при N = 20 дает приближение для G(z) с 15 корректными десятичными знаками при — 2| ^ 0.1. Для иных значений аргумента может использоваться уравнение G(z) = G(ArcFactorial(2)) + 1. Итерации аркфакториала сходятся к значению 2; после нескольких таких итераций арксуперфакториал может быть аппроксимирован выражением (9). При использовании переменных complex double таким образом может быть получено порядка 14 значащих цифр. Вычисление эффективно: генерация каждого из представленных здесь рисунков занимает порядка секунды.

Арксуперфакториал G = F-1 является голоморфной функцией в области С \ . Вдоль вещественной оси арксуперфакториал растет до бесконечности, хотя и медленно; медленнее, чем логарифм, и медленнее, чем арктетрация [9]. Столь же медленный рост модуля арксуперфакториала имеет место при удалении от начала координат в любом направлении, кроме отрицательного направления вещественной оси. Число 2 является точкой ветвления функции G; разрез области голоморфизма на рис. 4 проведен в сторону отрицательной части вещественной оси.

5. Квадратный корень из факториала

Выбор суперфакториала F и арксуперфакториала G задает любую, в частности дробную и даже комплексную, степень факториала; функция может итерироваться комплексное число раз. В случае степени 1/2 комбинация (2) суперфакториала и арксуперфакториала дает функцию уТ, т.е. «корень из факториала»:

уТ (2) = Factorial1/2 (2) = F(l/2 + G(z)). (10)

Поведение этой функции в комплексной плоскости показано на рис. 5, а. Для сравнения на рис. 5, б показан квадратный корень из экспоненты у/ёхр(2) = tet(l/2 + tet-1 (2)), где тетрация tet есть суперфункция от экспоненты, т. е. голоморфное решение уравнения (3) при b = е. Быстрое численное представление тетрации tet, голоморфной в области С\, и арктетрации tet»»1 описанно в работе [20]; программа на языке Mathematica для вычисления функций tet и tet»»1 доступна на сайте [21]. Арктетрация иногда называется еще «superlogarithm» [24], хотя она и не являтся суперфункцией логарифма.

Построенный уТ является голоморфной функцией в домене С\ , где v = min(jd) = 0.8856.

Карта функции уТ похожа на карту функции у’ехр и даже в некотором смысле проще: л/Т имеет только одну точку ветвления и только один разрез, в то время как у’ехр имеет две точки ветвления и два разреза. Функция уТ для вещественных значений аргумента показана на рис. 2. В целом эта функция соответствует интуитивным представлениям о ее поведении. В частности, вдоль вещественной оси уТ растет быстрее любого полинома, но медленнее любой экспоненты.

Похожим образом карты функций Factorial^ и ехрс могут быть построены и для других значений с. В частности, при с = 1 функция Factorial^ становится обычным факториалом; при с = — 1 это аркфакториал; а при с = 0 это идентичная функция, значение которой равно значению ее аргумента. Для целых положительных значений с с-кратная итерация факториала может интерпретироваться обычным образом:

Factorial^) = Factorial! Factorial(. Factorial^) . ))■

с-кратное применение факториала

Уравнение (2) определяет плавный (голоморфный) переход от передаточной функции к ее обратной. Такие переходы существуют не только для факториала, но и для других передаточных функций.

6. Физические приложения

Хотя на сегодня неизвестны распределенные физические системы с факториальной передаточной функцией, уже сам факт существования суперфакториала и соответственно функции л/Т дает надежду строить суперфункции для передаточных функций реальных физических систем. Рассмотрим возможные физические приложения формализма суперфункций.

В исследованиях нелинейного отклика оптических материалов образец предполагается оптически тонким; тогда интенсивность излучения при прохождении образца изменяется незначительно и можно говорить, например, о поглощении при некотором фиксированном значении интенсивности. Однако при незначительном изменении интенсивности точность измерения поглощения невысока. Реконструкция суперфункции по передаточной функции образца может позволить увеличить оптическую толщину образца и улучшить точность. В частности, передаточная функция образца половинной толщины является квадратным корнем (т. е. половинной итерацией) передаточной функции исходного образца.

В нелинейной акустике имеет смысл исследование поглощения ударных волн в однородной трубе — глушителе. Использование суперфункций может помочь восстановить передаточную функцию глушителя произвольной длины.

Для анализа процесса конденсации могут использоваться вертикальная труба с парами и маленькие капли жидкости, диффундирующие вниз сквозь эти пары. В первом приближении при фиксированном давлении паров масса капли на выходе будет передаточной функцией от ее массы на входе. Квадратный корень (половинная итерация) этой передаточной функции будет передаточной функцией трубы половинной длины.

Если снежный ком катится с лавиноопасного склона, то его масса растет как функция Т7 от расстояния, которое он прокатился. Исследовать это явление лучше на безопасном холме, где есть возможность измерять массу кома после скатывания как передаточную функцию Я исходной массы. Тогда Т7 — суперфункция.

Если требуется сконструировать операционнный элемент с факториальной передаточной функцией и предлагается реализовать этот элемент с виде после-

довательного соединения пары идентичных элементов, то каждый из этих двух элементов должен иметь передаточную функцию л/Т, показанную на рис. 2.

Извлечение корней из функций может иметь и другие (вероятно, неожиданные) приложения и использоваться для описания процессов, растущих быстрее любого полинома, но медленнее любой экспоненты. Теоретическая наука должна быть готова к таким приложениям. В частности, суперэкспонента, суперфакториал, у’ехр и vT должны быть подняты до статуса специальных функций.

Суперфакториал построен как суперфункция факториала, т.е. голоморфное решение уравнения (5). Для данной передаточной фукции Я на основе ее суперфункции и арксуперфункции произвольная степень с функции Я выражается уравнением (2). Для Я = Factorial и с = 1/2 это дает способ вычисления функции vT, показанной на рис. 2 и 5. Предложенный формализм извлечения нецелых итераций от функций может иметь применение в различных разделах физики и техники.

Авторы выражают благодарность Р. Д. Кузнецову, М. А. Каллистратовой, А. В. Борисову, М. Садгрову и П. В. Елютину за ценную критику, Ш. Окудайре за предложения новых применений суперфункций, а также участникам тетрального форума [6] и ситизендиу-ма [5] за ценные обсуждения.

1. Владимир Дмитриевич Кривченков // Сер. «Выдающиеся ученые физического факультета МГУ» / Сост. И. М. Са-раева, Ю. М. Романовский, A.B. Борисов. М.: Физический факультет МГУ, 2008. Онлайновая версия, с. 81. http ://www.phys.msu.ru/rus/about/structure/ admin/OTDEL-IZDAT/HISTORY/

2. Гордиенко В.M., Новик B.K. О времени и факультете, о кафедре и о себе. 70-летие профессора В. П. Кандидова. М„ 2007.

3. Абрамовиц M., Стегун И. Справочник по специальным функциям. М., 1979.

4. Kouznetsov D., Trappmann H. Mathematics of computation. 2010, in press. Preprint ILS UEC, 2009:

http ://www.ils.uec.ac.jp/~dima/PAPERS/ 2009sqrt2.pdf

5. http : //eil. citizendium.org/wiki/Superfunction

6. Trappmann H. Elementary superfunctions. Tetration Forum. Berlin, 2009.

http ://math.eretrandre.org/tetrationforum /showthread.php?tid=275

7. Kneser H. // J. für die reine und angewandte Mathematik, 1950. 187. P. 56.

8. Trappmann H., Kouznetsov D. Uniqueness of holomorphic Abel functions. Preprint ILS UEC, 2009.

http ://www.ils.uec.ac.jp/~dima/PAPERS/ 2009uniabel.pdf

9. Kouznetsov D. // Mathematics of Computation. 2009. 78. P. 1647.

10. Belitskii G., Lubish Yu. // Studia Mathematica. 1999. 134, N 2. P. 135.

11. Abel N.H. // Crelle’s J. 1827. N 2. P. 389.

12. http ://en.citizendium.org/wiki/Abel_function

13. Sui Sun Cheng, Wenrong Li. Analytic solutions of functional equations. World Scientific, 2008.

14. Schröder E. Über iterierte Funktionen III 11 Math. Ann. 1870. 3. P. 296.

15. Kuczma M., Choczewski B., Ger R. Iterative functional equations. Cambridge, 1990.

16. Écalle /. Théorie des invariants holomorphes. Publications d’mathématiques d’Orsay n° 67-74 09, 1970, Université Paris XI, U.E.R. Mathématique, 91405 Orsay, France, http ://portail.mathdoc.fr/PMO/PDF/ E_ECÂLLE_67_7 4_09.pdf

17. Milrior J. Dynamics in one complex variable. Princeton, 2006.

18. Mueller M. Old projects.

http ://www.math.tu-berlin.de/ ~mueller/ projects.html

19. Kouznetsov D. Ackermann functions of complex argument. Preprint ILS UEC, 2008;

20. Кузнецов Д. Владикавказский матем. жури. В печати. Препринт:

21. http: / /eil. citizendium.org/wiki/ TetrationDerivativesReal.jpg/code

22. Kouznetsov D., Trappmann H. Preprint ILS UEC, 2009. http://www.ils.uec.ac.jp/~dima/PAPERS/ 2009fractae.pdf

24. Robbins A. Solving for the Analytic Piecewice Extension of Tetration and the Super-logarithm. Preprint of «Virtual Composer», 2000.

Superfunctions and square root of factorial D. Yu. Kouznetsov1,0 , H. Trappmann2b

1 Institute for Laser Science, University of Electro-Communications, 1-5-1 Chofugaoka, Chofushi, Tokyo, 1828585, Japan.

2 Kameruner Str. 9, 13351 Berlin, Germany.

E-mail: a dima@ils.uec.ac.jp, b henryk@pool.math.tu-berlin.de.

The holomorphic function h is constructed such that hhz = z\ ; this function is interpreted as square root of factorial.

Keywords: square root of factorial, superfunction, superfactorial, inverse problem. PACS: 02.30.Ks, 02.30.Zz, 02.30.Gp, 02.30.Sa. Received 13 August 2009.

English version: Moscow University Physics Bulletin 1(2010).

Сведения об авторах

1. Кузнецов Дмитрий Юрьевич — канд. физ.-мат. наук, исследователь; тел.: 81-424-43-5708, e-mail: dima@ils.uec.ac.jp.

2. Траппманн Генрик (Trappmann Henryk) — профессор; e-mail: henryk@pool.math.tu-berlin.de.