Какое действие в примере выполняется первым

Порядок действий в математике

Какое действие выполнить в первую очередь: сложение или умножение? Простые для внимательного школьника примеры вида 2 + 2 × 2 не всякий взрослый решит правильно. Разберемся вместе, как без ошибок решать числовые выражения со скобками и без.

Решайте математические и логические задачи и примеры на ЛогикЛайк!
Выберите возраст для старта

Более 5500 увлекательных заданий для развития математических способностей и логического мышления — в онлайн‑курсе ЛогикЛайк.

Для чего нужен порядок действий?

Большинство действий, которые мы выполняем в жизни имеют свой порядок. Согласитесь, чтобы пойти в магазин вы сначала одеваетесь, а затем выходите на улицу, а не наоборот. Так же и в математике, у арифметических действий есть своя очередность, которую необходимо соблюдать.

Вы уже решали простые примеры на сложение, вычитание, умножение или деление. Более сложные примеры называют числовыми выражениями, они содержат два, три и даже больше действий.

60 — 24 : 8 + 2 × 4

Чтобы правильно решить подобные примеры, нужно знать какое действие выполняется раньше других.

Кто придумал порядок действий?

В 1560 году французский логик и математик Пьер де ла Раме в своей книге «Алгебра» впервые применил определенный способ выполнения последовательности действий.

Порядок действий в примерах и картинках

Вам задали решить длинный пример – не паникуйте, это проще простого, если знать порядок действий.

Какое действие в примере выполняется первым

На уроке вы узнаете о роли скобок в выражениях и о правилах, по которым выполняются действия. А также решите несколько интересных примеров.

Введение

В любом языке есть правила грамотной записи. Кроме самих слов, который несут основной смысл, мы используем знаки препинания. Они тоже крайне важны. Вспомним всем известное «казнить нельзя помиловать». От того, где поставить запятую, смысл выражения меняется на противоположный (см. рис. 1). Рис. 1. Как меняется смысл фразы от запятой В этом предложении есть слова, которые несут смысл, а есть знак препинания – запятая, который очень сильно на этот смысл влияет. В математическом языке тоже есть такой знак препинания, это скобки.

Пример 1

Если выполнять действия, как они записаны, то получаем 6: . Но если поставить скобки вокруг суммы , то сразу смысл выражения меняется: .

Роль скобок. Порядок операций

В математике есть простые правила, указывающие, какие действия в каком порядке надо совершать. Скобки нужны, если мы хотим влиять на этот порядок действий. Зная эти правила, ошибиться в порядке действий практически невозможно. Их мы сейчас и обсудим.

Сложение и вычитание равноправны

В этом примере у нас есть и сложение, и вычитание. Эти действия равноправны. Мы делаем их все подряд слева направо. Расставим последовательность действий.

Умножение и деление тоже равноправны

Если у нас только умножение и деление, то мы опять делаем все действия подряд слева направо:

Сначала умножение и деление, потом сложение и вычитание

Если у нас разные действия в одном примере, то сначала нужно сделать все умножения и деления, слева направо, а потом все сложения и вычитания, тоже слева направо.

Действия в скобках раньше всего

Действия в скобках делаются в первую очередь. Сначала вспомним еще раз нашу задачку, с которой начали урок. Умножение идет первым, поэтому сначала умножение, потом сложение. Но если поставить сложение в скобки, то начинаем мы с него, а умножение делаем вторым. Очень простая задача, но здесь видно, что последовательность действий важна, меняем последовательность, получаем разные ответы.

Пример 2

Сначала действия в скобках. Их две. Значит, расставляем последовательность действий над скобками слева направо. Потом идут умножение и деление слева направо, и последнее вычитание:

Порядок выполнения действий

• действия в скобках
• умножение и деление
• сложение и вычитание

Пример 3

Внутри скобок может оказаться несколько действий. Тогда они выполняются по обычным правилам: сначала действия в скобках – сначала умножение, потом вычитание. Остались снаружи от скобок деление и последнее сложение.

Пример 4

Внутри скобок могут оказаться еще скобки. Значит, смотрим на весь пример, сначала нужно сделать все действия внутри больших скобок, пользуясь правилом, то есть сначала действия в скобках, затем деление, затем сложение. Снаружи больших скобок сначала умножение, потом сложение.

Пример 5

Рассмотрим еще один прием вычислений, который иллюстрирует, как можно сократить количество действий.

Расставим последовательность действий.

Получилось восемь действий. Делая по одному действию, мы должны будем переписать этот пример восемь раз и только потом получим ответ. Это будет выглядеть так:

Запись можно сократить. Расставим последовательность действий. 1 и 2 действие не влияют на третье. Его можно сделать одновременно с первым. А то, что мы делаем в первых скобках, не влияет на то, что делаем во вторых. Действия в первых больших и последних скобках тоже можно делать одновременно.

За один раз выполнены три действия. Далее одновременно можно сделать по одному действию в первых и вторых скобках: деление и вычитание.

Запись получилась короче.

Заключение

Этот прием одновременных вычислений требует тренировки. Навык сам появится, когда вы выполните достаточное количество примеров.

Список рекомендованной литературы

1. Математика. 5 класс. Зубарева И. И., Мордкович А. Г. 14-е изд., испр. и доп. — М.: 2013. – 270 с.
2. Математика. 5 класс. Виленкин Н. Я., Жохов В. И. и др. 24-е изд., испр. — М.: 2008. — 280 с.
3. Математика. 5 класс. Учебник в 2 ч. Дорофеев Г. В., Петерсон Л. Г. 2-е изд., перераб. — М.: 2011; Ч. 1 — 176 с, Ч. 2 — 240 с.

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «matematika-na.ru» (Источник)
2. Интернет-портал «school-assistant.ru» (Источник)
3. Интернет-портал «urokimatematiki.ru» (Источник)

Домашнее задание

Порядок выполнения действий, правила, примеры

Когда мы работаем с различными математическими выражениями, включающими в себя цифры, буквы и переменные, нам приходится выполнять большое количество арифметических действий: деление и умножение, сложение и вычитание степеней и др. Когда нужно сделать расчет и преобразование или вычитание значение, очень важно соблюдать правильную очередность или расстановку этих действий. Другими словами, действия в арифметике имеют свой особый порядок выполнения. Порядок действий в математике и для любого математика крайне важен.

В этой не слишком длинной и сложной статье мы расскажем, какие действия должны делаться математически в первую очередь, а какие после (к примеру, сначала идет деление или умножение). Для начала разберем несколько простых выражений, в которых есть только переменные или числовые значения или символы, а также знаки деления, умножения, вычитания и сложения (к примеру, пять плюс ноль равно пять). Потом возьмем примеры со скобками и рассмотрим, в каком порядке следует решать эти примеры по действиям. В третьей части мы приведем нужный порядок преобразований и вычислений в тех примерах по действиям, которые включают в себя знаки корней, степеней и других функций.

Порядок вычисления простых выражений

Решение примеров по действиям в выражениях со скобками

Скобки сами по себе являются знаком, который сообщает нам нужный порядок выполнения действий. В таком случае нужное правило можно записать так:

Если в выражении есть скобки, то первым делом выполняется действие в них, после чего мы умножаем и делим, а затем складываем и вычитаем по направлению слева направо.

Что касается самого выражения в скобках, его можно рассматривать в качестве составной части основного выражения. При подсчете значения выражения в скобках мы сохраняем все тот же известный нам порядок действий. Проиллюстрируем нашу мысль примером.

Пример или образец задачи 4

Условие: вычислите, сколько будет равно 5 + ( 7 − 2 · 3 ) · ( 6 − 4 ) : 2 .

Решение

В данном выражении есть скобки, поэтому начнем с них. Первым делом вычислим, сколько будет 7 − 2 · 3 . Здесь нам надо умножить 2 на 3 и вычесть результат из 7 :

7 − 2 · 3 = 7 − 6 = 1

Считаем результат во вторых скобках. Там у нас всего одно действие: 6 − 4 = 2 .

Теперь нам нужно подставить получившиеся значения в первоначальное выражение:

5 + ( 7 − 2 · 3 ) · ( 6 − 4 ) : 2 = 5 + 1 · 2 : 2

Начнем с умножения и деления, потом выполним вычитание и получим:

5 + 1 · 2 : 2 = 5 + 2 : 2 = 5 + 1 = 6

На этом вычисления можно закончить.

Ответ: 5 + ( 7 − 2 · 3 ) · ( 6 − 4 ) : 2 = 6 .

Не пугайтесь, если в условии у нас содержится выражение, в котором одни скобки заключают в себе другие. Нам надо только применять правило выше последовательно по отношению ко всем выражениям в скобках. Возьмем такое задание.

Условие: вычислите, сколько будет 4 + ( 3 + 1 + 4 · ( 2 + 3 ) ) .

Решение

У нас есть скобки в скобках. Начинаем с 3 + 1 + 4 · ( 2 + 3 ) , а именно с 2 + 3 . Это будет 5 . Значение надо будет подставить в выражение и подсчитать, что 3 + 1 + 4 · 5 . Мы помним, что сначала надо умножать, а потом слагать: 3 + 1 + 4 · 5 = 3 + 1 + 20 = 24 . Подставив найденные значения в исходное выражение, вычислим ответ: 4 + 24 = 28 .

Ответ: 4 + ( 3 + 1 + 4 · ( 2 + 3 ) ) = 28 .

Иначе говоря, при вычислении значения выражения, включающего скобки в скобках, мы начинаем с внутренних скобок и продвигаемся к внешним.

Допустим, нам надо найти, сколько будет ( 4 + ( 4 + ( 4 − 6 : 2 ) ) − 1 ) − 1 . Начинаем с выражения во внутренних скобках. Поскольку 4 − 6 : 2 = 4 − 3 = 1 , исходное выражение можно записать как ( 4 + ( 4 + 1 ) − 1 ) − 1 . Снова обращаемся к внутренним скобкам: 4 + 1 = 5 . Мы пришли к выражению ( 4 + 5 − 1 ) − 1 . Считаем 4 + 5 − 1 = 8 и в итоге получаем разность 8 — 1 , результатом которой будет 7 .

Порядок вычисления в выражениях со степенями, корнями, логарифмами и иными функциями

Если у нас в условии стоит выражение со степенью, корнем, логарифмом или тригонометрической функцией (синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом) или иными функциями, то первым делом мы вычисляем значение функции. После этого мы действуем по правилам, указанным в предыдущих пунктах. Иначе говоря, функции по степени важности приравниваются к выражению, заключенному в скобки.

Разберем пример такого вычисления.

Условие: найдите, сколько будет ( 3 + 1 ) · 2 + 6 2 : 3 − 7 .

Решение

У нас есть выражение со степенью, значение которого надо найти в первую очередь. Считаем: 6 2 = 36 . Теперь подставим результат в выражение, после чего оно примет вид ( 3 + 1 ) · 2 + 36 : 3 − 7 .

Дальше действуем по знакомому алгоритму: считаем, сколько у нас получится в скобках, потом в оставшемся выражении выполняем умножение и деление, а следом – сложение и вычитание (слагаемое и вычитаемое).

( 3 + 1 ) · 2 + 36 : 3 − 7 = 4 · 2 + 36 : 3 − 7 = 8 + 12 − 7 = 13

Ответ: ( 3 + 1 ) · 2 + 6 2 : 3 − 7 = 13 .

В отдельной статье, посвященной вычислению значений выражений, мы приводим и другие, более сложные примеры подсчетов в случае выражений с корнями, степенью и др. Рекомендуем вам с ней ознакомиться.

Порядок выполнения действий, правила, примеры

Арифметика — это часть математики, которая занимается работой с числами.

Практически все умеют вычислять значения простых арифметических выражений, включающих сложение, вычитание, умножение или деление. Но при вычислении более сложных выражений, где есть два, три или более действия, многие испытывают затруднения в порядке выполнения в математике.

При работе с формулами и примерами, которые содержат цифры, переменные или буквы, необходимо выполнять правильный алгоритм.

Чтобы получить верный результат, необходимо выполнять действия в математике в определенной последовательности, то есть соблюдая правильный порядок.

Алгоритм выполнения действий первой и второй ступени

Во многих справочниках порядок арифметических действий делится на первоочередные и второстепенные. Чтобы понять это, необходимо сформулировать правило более точно.

К первоочередным относят сложение и вычитание, ко второй ступени относят деление и умножение.

Точнее записать это правило можно следующим образом:

1. сначала выполнить умножение и деление в порядке слева направо;
2. далее выполняем сложение и вычитание в том же порядке.

Рассмотрим несколько простых примеров на умножение и деление, сложение и вычитание с числовыми или переменными значениями. Также подробно рассмотрим формулы со скобками, содержащие степени, корни и пр.

Основной порядок выполнение действий для простых выражений

Для простых примеров, не имеющих скобок, существует единый порядок выполнения:

1. вычисления выполняются слева направо;
2. сначала делаем умножение и деление;
3. затем выполняем сложение или вычитание.

Рассмотрим простейшие примеры математического порядка в выражениях с простыми вычислениями, которые легко можно сделать в уме, то есть без использования записи.

Поскольку в данном примере нет скобок, отсутствуют умножение и деление, поэтому выполнение действия производим по единому правилу.

1. из 7 вычитаем 3 (7 — 3 = 4);
2. прибавляем 6 (4 + 6 = 10).

В итоге получается следующее выражение: 7 — 3 + 6 = 4 + 6 = 10

Ответ: 7 − 3 + 6 = 10

Условие: необходимо вычислить выражение 6 : 2 ⋅ 8 : 3.

Порядок выполнения заключается в применении правил для примеров без скобок. Используется стандартный порядок вычисления, то есть слева направо.

1. делим 6 на 2 (6 : 2 = 3);
2. умножаем результат на 8 (3 ⋅ 8 = 24);
3. результат делим на 3 (24 : 3 = 8).

Получаем следующее: 6 : 2 ⋅ 8 : 3 = 3 ⋅ 8 : 3 = 24 : 3 = 8

Ответ: 6 : 2 ⋅ 8 : 3 = 8

Условие: необходимо вычислить, сколько будет 17 − 5 ⋅ 6 : 3 − 2 + 4 : 2.

В данном выражении присутствуют различные виды арифметических действий, включая умножение, деление, деление, вычитание.

Поэтому порядок в математике в данном примере будет следующий:

1. выполняем деление и умножение в порядке слева направо;
2. выполняем сложение и вычитание в обычном порядке.

• 5 умножаем на 6 (5 ⋅ 6 = 30);
• делим 30 на 3 (30 : 3 =10);
• делим 4 на 2 (4 : 2 = 2);
• подставляем полученные цифры в исходное выражение (17 — 10 — 2 + 2 = 7).

В итоге расширенное решение данного примера выглядит следующим образом:

17 − 5 ⋅ 6 : 3 − 2 + 4 : 2 = 17 — 30 : 3 — 2 + 4 : 2 = 17 — 10 — 2 + 2 = 17 — 10 — 2 + 2 = 7 — 2 + 2 = 5 + 2 = 7

Ответ: 17 − 5 ⋅ 6 : 3 − 2 + 4 : 2 = 7

Если учеником порядок выполнения еще не усвоен, допускается использовать сверху цифры, полученные в результате промежуточных вычислений.

Правила выполнения действий для примеров с буквенными составляющими

Когда в выражении присутствуют буквы, применяется аналогичный порядок вычисления:

1. делаем умножение и деление;
2. выполняем сложение и вычитание.

Условие: необходимо обсчитать выражение 5х + 3х — 1х.

1. выполняем сложение;
2. делаем вычитание.

• складываем 5х и 3х (5х + 3х = 8х);
• вычитаем 1х (8х — 1х = 7х).

В целом решение выглядит следующим образом: 5х + 3х — 1 = 8х — 1х = 7х

Ответ: 5х + 3х — 1х = 7х

Варианты записи процесса вычисления выражений

Процесс вычисления можно записывать несколькими способами.

• Каждое действие записывается отдельно под своим номером по примеру.
• После выполнения последнего шага ответ обязательно сохраняется в исходном примере.

Примеры 5 — 6

Условие: необходимо вычислить выражение 50 — 23 + 2 ⋅ 4 — 30 : 6.

Ответ: 50 — 23 + 2 ⋅ 4 — 30 : 6 = 30

При подсчете результатов операций с использованием двузначных и трехзначных чисел обязательно указывайте свои расчеты в соответствующей графе.

Условие: вычислите значение выражения 324 — 42 + 20 : 4 — 42

Ответ: 324 — 42 + 20 : 4 — 42 = 245

Второй способ называется строковой записью, когда все расчеты выполняются точно в таком же порядке, но результаты записываются сразу после знака равенства.

Порядок действий в математике со скобками

Необходимо запомнить, если выражение содержит круглые скобки, порядок действий в скобках в математике немного изменяется:

• Действия внутри круглых скобок выполняются в первую очередь.
• Внутри скобок последовательность операций такая же, как и в примерах без скобок.

Действия в скобках делаем также в соответствии с порядком для простых примеров, то есть слева направо.

Условие: необходимо вычислить значение следующего выражения 25 — 3 + (6 ⋅ 3 — 12) — 7.

Используем порядок действий в математике со скобками:

1. сначала выполняем работу в скобках;
2. далее идем последовательно слева направо.

• выполняем умножение в скобках, а затем вычитание (6 ⋅ 3 — 12 = 18 — 12 = 6);
• делаем последовательную работу за скобками (25 — 3 + 6 — 7 = 22 + 6 — 7 = 28 — 7 = 21).

В итоге решение данного выражения выглядит следующим образом:

25 — 3 + (6 ⋅ 3 — 12) — 7 = 25 — 3 + (18 — 12) — 7 = 25 — 3 + 6 — 7 = 22 + 6 — 7 = 28 — 7 = 21.

Ответ: 25 — 3 + (6 ⋅ 3 — 12) — 7 = 21

Если внутри круглых скобок есть еще несколько скобок, действия сначала выполняются внутри вложенных (внутренних) скобок. Для этого достаточно последовательно использовать основной принцип выполнения в выражениях со скобками.

Условие: вычислите значение выражения 60 — 2 ⋅ (30 — (7 + 3 ⋅ 4)) + 15.

60 — 2 ⋅ (30 — (7 + 3 ⋅ 4)) + 15 = 60 — 2 ⋅ (30 — (7 + 12)) + 15 = 60 — 2 ⋅ (30 — 19) + 15 = 60 — 2 ⋅ 11 + 15 = 60 — 22 + 15 = 38 + 15 = 53

Ответ: 60 — 2 ⋅ (30 — (7 + 3 ⋅ 4)) + 15 = 53

Нет времени решать самому?