Какую точку называют критической точкой функции
Запрошуємо усіх хто любить цікаві задачі та головоломки відвідати групу! Зараз діє акція — підтримай студента! Знижки на роботи + безкоштовні консультації.
Математика, ЗНО, ГДЗ, ТІМС
Контакты
Администратор, решение задач
Роман
Tel. +380685083397
[email protected]
skype, facebook:
roman.yukhym
Решение задач
Андрей
facebook:
dniprovets25
Критические точки и точки экстремума функции. Алгебра и начала анализа. 11 класс
Цель урока:
10.4.1.28
— знать определения критических точек и точек
экстремума функции,
экстремума функции.
условие
существования
Критерии оценивания
Учащийся:
— Использует определение находит критические
(стационарные) точки, используя определение;
— применяет необходимое и достаточное условие для
определение точек экстремума функции.
3.
Рассмотрим график функции в окрестностях
выделенных точек
4.
5.
Рассмотрим график функции в
окрестностях точек
х1 2, х2 3, х3 5, х4 10
хmin
хmin
хmin
хmin
6.
Рассмотрим график функции в окрестностях
точек
х5 1, х6 8
хmax
хmax
хmax
7.
Точки экстремума
Точка минимума
-это точка х0 из области
определения функции, в
окрестностях которой
выполняется неравенство
f(x)
определения функции, в
окрестностях которой
выполняется неравенство
f(x)>f( х0)
экстремумы
Точка максимума
8.
Критические точки
Внутренние точки области определения функции, в
которых производная равна нулю или не существует,
называются критическими точками.
стационарные точки –
внутренние точки области
определения, в которых
f `(х0)=0.
критические точкивнутренние точки области
определения, в которых
производная не существует.
9.
Найти по графику функции точки, с определениями
которых вы только, что познакомились.
Х=4 ..
Х=7…
Х=10….
Х=12…
Х=17…
y
1
O
15
1
4
7
9
12
19
x
10.
Теорема Ферма
А верна ли обратная
теорема?
Если точка х0 является точкой экстремума функции f и в
этой точке существует производная
f `(x), то она либо
равна нулю, либо не существует:
f `(x) = 0 или f `(x)
.
Необходимое условие экстремума.
Не в каждой своей
критической точке
функция обязательно
имеет максимум или
минимум
11.
Достаточные условия существования
экстремума в точке
Признак максимума функции.
Если функция у= f(х) непрерывна
в точке х0, а f `(x) > 0 на
интервале (а; х0), и f `(x) < 0
на интервале (х0; b), то точка х0
является точкой максимума
функции f.
Признак миниму ма фу нкции.
Если функция у=f((х) непрерывна в точке х0, f `(x) < 0 на интервале (а; х0) и f `(x) >0 на интервале (х0; b), то точка х0 является точкой минимума функции f
12.
13.
14.
Вопросы для закрепления
1. Какие точки называются критическими?
2. Какую точку называют точкой минимума
(максимума)?
3. Что необходимо для того того, чтобы точка
была точкой экстремума?
4. Какие условия описывают данные рисунки?
15.
16.
Необходимое и достаточное условие
экстремума.
Для того , чтобы точка х0 была точкой экстремума функции f(х):
необходимо , чтобы х0 была критической точкой функции;
достаточно, чтобы при переходе через критическую точку х0
производная меняла свой знак на противоположный.
17.
18.
Найдите точку минимума
3
функции
2 2
y
3
x 2x 1
Найдите точку максимума
функции
х 2 289
289
y
х 2
х
х
D( y ) : x 0
D( y ) : x 0
1
2
у х 2 х 2
/
х 2 0
х 2
х 4
Ответ : хmin 4
2
1 289 х (17 х)(17 х)
у 1 289 2 2
2
х
х
х
(17 х)(17 х)
/
у 0,
0
2
х
х 17, х 0( 2)
/
Ответ : хmax 17
19.
Задания для самостоятельного решения
1А. (5б) Найдите критические точки функции.
Выясните, какие из этих точек являются:
а) точками минимума; б) точками максимума.
а) у х 2 х 3
4
№
п/п
2
б ) у х 27
3
дескрипторы
балл
1.
2.
Находит правильно производную
Находит критические точки
1
1
3.
4.
Расставляет верно знаки производной
Определяет точки минимума
1
1
5.
Определяет точки максимума
1
20.
Задания для самостоятельного решения
2Б. (6б) Найдите экстремумы функции:
2
б) у
х2
х
№
п/п
дескрипторы
балл
1.
2.
Находит область определения
Находит правильно производную
1
1
3.
4.
Находит критические точки
Расставляет верно знаки производной
1
1
5.
Определяет точки экстремума
1
6.
Находит экстремумы функции
1
21.
Задания для самостоятельного решения
3С.(7б)Найдите промежутки возрастания и
убывания, точки экстремума функции:
6 х
2
а) f ( x)
б ) f ( x) 4 х х
х 6
№ п/п
дескрипторы
балл
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Находит область определения
Находит производную
Находит критические точки
Расставляет знаки производной
Исследует поведение функции
Находит промежутки монотонности
Определяет точки экстремума
1
1
1
1
1
1
1
22.
Дополнительные цифровые ресурсы
https://videouroki.net/video/4
5-primienieniie-proizvodnoidlia-otyskaniia-tochiek
ekstriemuma.html
https://infourok.ru/videour
oki/1215
23.
Ссылки на дополнительные ресурсы
для самообразования
bilimland.kz
https://bilimland.kz/ru/subjec
t/algebra/10-klass/kriticheskietochki-dostatochnoe-usloviesushestvovaniyaehkstremuma?mid=%info%
www.yaklass.ru
https://www.yaklass.ru/p/al
gebra/10-klass/proizvodnaia9147/primenenie-proizvodnoidlia-issledovaniia-funktcii-namonotonnost-i-ekstr_-11226
24.
Рефлексия содержания учебного
материала
Теперь я могу…
Было трудно…
Сегодня я узнал…
25.
Дорогие дети!
Вы получили самое основное
содержание по новой теме, другие
материалы вы получите от своего
учителя!
Если у вас есть вопросы, вы их
можете задать учителю!
Удачи в освоении нового материала,
наши юные друзья!
2. Отыскание точек экстремума
Теорема 3. Если функция \(y=f(x)\) имеет экстремум в точке x = x 0 , то в этой точке производная функции либо равна нулю, либо не существует.
Теорема 4 (достаточные условия экстремума). Пусть функция y = f ( x ) непрерывна на промежутке \(X\) и имеет внутри промежутка стационарную или критическую точку x = x 0 . Тогда:
а ) если у этой точки существует такая окрестность, в которой при x < x 0 выполняется неравенство f ′ ( x ) < 0 , а при x >x 0 — неравенство f ′ ( x ) > 0 , то x = x 0 — точка минимума функции y = f ( x ) );
б ) если у этой точки существует такая окрестность, в которой при x < x 0 выполняется неравенство f ′ ( x ) >0 , а при x > x 0 — неравенство f ′ ( x ) < 0 , то x = x 0 — точка максимума функции y = f ( x ) );
в) если у этой точки существует такая окрестность, что в ней и слева, и справа от точки x 0 знаки производной одинаковы, то в точке x 0 экстремума нет.
Обычно точки из области определения функции, в которых производная равна нулю, называются стационарными , а точки из области определения функции, в которых функция непрерывна, а производная равна нулю или не существует, называются критическими .
Итак, чтобы определить экстремумы (минимумы и максимумы) функции f ( x ) , сначала нужно найти критические точки, в которых f ′ ( x ) = 0 или же производная не существует (и которые принадлежат области определения функции). Тогда легко определить интервалы, в которых у производной неизменный знак. (Критические точки делят реальную числовую прямую на интервалы с неизменным знаком производной. Чтобы определить знак производной, достаточно вычислить значение производной функции в какой-либо точке соответственного интервала.)
Алгоритм исследования непрерывной функции y = f ( x ) на монотонность и экстремумы
1. Найдём производную f ′ ( x ) .
2. Определим критические точки.
3. Нанесём критические точки на числовую прямую и определим знаки производной на каждом промежутке.
4. Опираясь на теоремы \(1\), \(2\) и \(4\), определим промежутки монотонности функции и точки экстремума функции.
1) если производная функции в критической точке меняет знак с отрицательного на положительный, то это точка локального минимума ;
2) если производная функции в критической точке меняет знак с положительного на отрицательный, то это точка локального максимума ;
3) если производная функции в критической точке не меняет знак, то в этой точке нет экстремума.
найти экстремумы функции f ( x ) = x 2 x − 1 .
Производная этой функции — f ′ ( x ) = x x − 2 ( x − 1 ) 2 , значит, критические точки функции — это \(x=0\) и \(x=2\). Точка \(x=1\) не принадлежит области определения функции.
Они делят реальную числовую прямую на четыре интервала: − ∞ ; 0 ∪ 0 ; 1 ∪ 1 ; 2 ∪ 2 ; + ∞ . Знак первого интервала положительный (например, f ′ \((-1)=0.75\)). Второго — отрицательный, третьего — отрицательный, четвёртого — положительный.
Значит, производная меняет знак только в точках \(x=0\) и \(x=2\).
В точке \(x=0\) она меняет знак с положительного на отрицательный, значит, это точка локального максимума со значением функции \(f(0)=0\).
В точке \(x=2\) она меняет знак с отрицательного на положительный, значит, это точка локального минимума со значением функции \(f(2)=4\).
12. Производная функции
Интервалы возрастания и убывания функции Если функция дифференцируема на интервале и ( ) для всех , то функция воз- растает (убывает) на интервале . Экстремумы функции Точка называется точкой максимума (минимума) функции , если существует такая окрестность точки , что для всех точек из этой окрестности выполняется неравенство ( ). Точки, в которых производная функции равна нулю или не существует, называются критическими. Точки экстремума функции находятся среди критических точек.
Достаточное условие экстремума. Пусть функция дифференцируема в некоторой окрестности критической точки , за исключением, быть может, самой этой точки. Тогда: 1) если при переходе через точку меняет знак с плюса на минус, то – точка максимума функции ; 2) если при переходе через точку меняет знак с минуса на плюс, то – точка минимума функции . Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции, непрерывной на некотором отрезке , нужно вычислить значения функции в критических точках, лежащих в интервале , и на концах отрезка, а затем из полученных таким
образом значений выбрать наибольшее и наименьшее.
Пример 1. Сколько существует точек на графике функции , в которых касательная параллельна прямой ? Решение. .
Угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой , равен . Прямая параллельна тем касательным, у которых угловой коэффициент равен . Поэтому: ; , откуда находим: , . Ответ: .
Пример 2. Найти площадь треугольника, образованного осями координат и касательной к графику функции в точке с абсциссой Решение. ; ; .
Уравнение касательной: , т.е. .
Эта прямая пересекает координатные оси в точках и . . Ответ: .
Пример 3. Найти середину интервала убывания функции Решение. Функция определена и имеет производную на всей числовой прямой. Она убывает в интервале, где .
Итак, функция убывает в интервале . Середина этого интервала: . Ответ: 1.
Пример 4. Найти наибольшее значение функции
на отрезке . Решение. Найдем производную функции :
Наибольшее значение функции на отрезке равно наибольшему из чисел , , . Имеем: ;
Пример 5. Найти число точек экстремума функции . Решение. =
. . Исследуя знак производной
при переходе через эти критические точки, получаем, что – точка максимума, – точка минимума, а не является точкой экстремума. Ответ: 2. Пример 6. Найти высоту цилиндра наибольшего объема, вписанного в шар радиуса .
Решение. Пусть – радиус основания цилиндра, – высо-та цилиндра. Проведем осевое сечение цилиндра.
. Из прямоугольного треугольника , т.е. .
Объем цилиндра: . Нужно найти значение , при котором функция принимает наибольшее значение. . . При переходе через точку производная меня- ет знак с плюса на минус, поэтому – точка максимума
функции . Так как функция в промежутке имеет единственную точку экстремума и это – точка максимума, то при функция принимает наибольшее значение в промежутке . Ответ: 20.
Пример 7. Найти все значения параметра , при которых наименьшее значение функции на отрезке отрицательно. Решение. Так как , то .
Обозначим . Тогда искомыми значениями параметра будут те, при которых наименьшее значение функции на отрезке отрицательно.
График функции – парабола, ветви которой направлены вверх; абсцисса вершины параболы: (рис.1). (В данной задаче знак дискриминанта не имеет значения.)
Наименьшее значение функции на отрезке в случаях а), б), в) достигается соответственно в точках
. Поэтому условию задачи удовлетворяют те значения параметра , которые являются решением совокупности следующих трех систем:
Имеем: ; ; . Следовательно, . Ответ: .
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
1. Найти производную функции в точке : а) , ; (Ответ: )
д) , . (Ответ: – 24)
2. Угловой коэффициент касательной к графику функции равен значению функции в точке касания.
Найти сумму абсцисс точек касания. (Ответ: 10)
3. Прямая касается параболы в точке
с абсциссой . Найти сумму . (Ответ: 2)
4. Материальная точка движется по оси по закону
( – координата в метрах, – время в
секундах). Через сколько секунд после начала движения
точка остановится? (Ответ: 5)
5. Найти длину отрезка, отсекаемого осями координат на ка-
сательной к кривой , проведенной в точке с
абсциссой . (Ответ: 25)
6. Найти площадь треугольника, образованного координат-
ными осями и касательной к кривой в точке
7. К графику функции в точке
проведена касательная. Найти расстояние от начала коор-
динат до этой касательной. (Ответ: 0,6)
8. Найдите точки максимума функции . (Ответ: 2)
9. Сколько точек экстремума имеет функция ? (Ответ: 2)
10. Найти длину интервала, на котором функция
убывает. (Ответ: 1,5)
11. Найти количество целых чисел, принадлежащих проме-
жутку убывания функции . (Ответ: 4)
12. При каком значении максимум функции равен 2? (Ответ: – 1)
13. Найти модуль разности экстремумов функции . (Ответ: 13,5) 14. Найти значение функции в точке ее
минимума. (Ответ: 5)
15. Найти наименьшее значение функции на
отрезке . (Ответ: – 1)
16. Найти наибольшее значение функции
на отрезке . (Ответ: 3)
17. Найти наименьшее значение функции на отрезке . (Ответ: 1)
18. Найти наибольшее значение функции ,
если график этой функции проходит через точку .
19. Найти сумму наибольшего и наименьшего целых значений
а) ; (Ответ: 10)
б) . (Ответ: 51)
20. Найти максимально возможную площадь прямоугольника
с периметром, равным 72. (Ответ: 324) 21. Найти высоту конуса наибольшего объема, образующая
которого имеет длину . (Ответ: 1) 22. Какую наименьшую площадь может иметь прямоугольный треугольник, на гипотенузе которого лежит точка , а катетами служат отрезки координатных осей? (Ответ: 4)
23.Из трех досок одинаковой ширины сколачивается желоб
для подачи воды. При каком угле наклона боковых сте- нок к днищу желоба площадь поперечного сечения желоба будет наибольшей? (Ответ: )
24. Найти все значения параметра , при которых функция имеет отрицательную точку минимума. В ответе указать наименьшее целое зна-
чение параметра . (Ответ: 2)
25. Функция определена на отрезке .
Найти все значения параметра , при которых наиболь-
шее значение функции на отрезке меньше,