Квантиль уровня как найти в экселе

Основные статистики в excel.

События, характеризующие данные, могут носить случайный характер и появляться с разной вероятностью.

Вероятность события p есть отношение числа благоприятных исходов m к числу всех возможных исходов n этого события: p=m/n. Например, вероятность появления туза в наугад выбранной карте из колоды в 52 карты равна 4/52=0.0769, так как m=4, а n=52.

Если известно соответствие между появлениями (величинами) x₁, x₂, …, x_n случайного события (переменной) X и соответствующими вероятностями их реализации p₁, p₂, …, p_n, то говорят, что известен закон распределения случайной величины F(x). Большинство встречающихся на практике распределений вероятностей реализовано в Excel.

Распределения вероятностей имеют числовые характеристики.

Функции Excel для вычисления числовых характеристик распределения вероятностей. Они входят в группу Статистические. При вычислении функций в качестве случайных величин используйте следующие значения:

Математическое ожидание случайной величины (среднее арифметическое), характеризующее центр распределения вероятностей, вычисляется функцией СРЗНАЧ. СРЗНАЧ(A1:A7) = 9.

Дисперсия, характеризует разброс случайной величины относительно центра распределения вероятностей и вычисляется функцией ДИСПР. ДИСПР(A1:A7) = 4.857.

Среднеквадратичное отклонение есть квадратный корень из дисперсии, характеризует разброс случайной величины в единицах случайной величины и вычисляется функцией СТАНДОТКЛОНП. СТАНДОТКЛОНП(A1:A7) = 2.203893.

Квантиль случайной величины с законом распределения F(x) есть значение случайной величины x при заданной вероятности p., т.е. есть решение уравнения F(x)=p. Медиана есть квантиль с вероятностью p=0.5.

Excel, вместо квантилей содержит функции вычисления х для определенных уровней р: квартили (кварта – четверть), децили (дециль – десятая часть), персентили (персент – процент). Различают нижний квартиль с вероятностью p=0.25 и верхний квартиль с вероятностью p=0.75. Децили это квантили с вероятностью 0.1, 0.2, …, 0.9.

Функцию КВАРТИЛЬ используют, чтобы разбить данные на группы. В качестве второго аргумента указывают уровень (четверть), для которого нужно вернуть решение: 0 – минимальное значение распределения, 1 – первый, нижний квартиль, 2 – медиана, 3 – третий, верхний квартиль, 4 – максимальное значение. Например, КВАРТИЛЬ(A1:A7;3) = 10, т.е. 75% всех значений меньше 10, КВАРТИЛЬ(A1:A7;2) = 9.

Функция ПЕРСЕНТИЛЬ вычисляет квантиль указанного уровня вероятности и используется для определения порога приемлемости значений. В качестве второго аргумента указывают уровень 0.1, 0.2, …, 0.9. ПЕРСЕНТИЛЬ(A1:A7;0,9) = 11.8, т.е. 90% всех значений меньше 11.8.

Excel содержит инструмент Ранг и персентиль, который на основе набора данных формирует выходную таблицу, содержащую порядковый и процентный ранги для каждого значения в наборе данных. См. справку по F1. Ниже приведен пример установки надстройки Пактет анализа

Распределения вероятностей, реализованные в Excel.

Каждый закон распределения описывает процессы разной вероятностной природы и характеризуется специфическими параметрами:

равномерное распределение – n случайных чисел выпадает с одной и той же вероятностью p=1/n; характеризуется нижней и верхней границей; примером является появление чисел 1, 2, …, 6 при бросании игральной кости (p=1/6);
биномиальное распределение моделирует взаимосвязь числа успешных испытаний m и вероятностей успеха каждого испытания p при общем количестве испытаний n — функции БИНОМРАСП и КРИТБИНОМ;
нормальное (гауссово) распределение описывает процессы, в которых на результат воздействует большое число независимых случайных факторов, среди которых нет сильно выделяющихся – функции НОРМРАСП, НОРМСТРАСП, НОРМОБР, НОРМСТОБР и НОРМАЛИЗАЦИЯ;
распределение Пуассона, предсказывает число случайных событий на определенном отрезке времени или на определенном пространстве, позволяет аппроксимировать биномиальное распределение – функция ПУАССОН;
экспоненциальное (показательное) распределение, моделирует временные задержки между событиями, описывает процессы в задачах массового обслуживания и в задачах с «временем жизни» — ЭКСПРАСП;
распределение хи-квадрат, связано с нормальным, возвращает одностороннюю вероятность распределения и используется для сравнения предполагаемых и наблюдаемых значений – функция ХИ2РАСП;
распределение Стьюдента, связано с нормальным, возвращает вероятность для t-распределения Стьюдента и используется для проверки гипотез при малом объеме выборки – функция СТЬЮДРАСП;
F-распределение (Фишера), связано с нормальным и может быть использовано в F-тесте, который сравнивает степени разброса двух множеств данных – fраспобр;
гамма-распределение используется для изучения случайных величин, имеющих асимметричное распределение, в теории очередей – функция ГАММАРАСП;
а также другие распределения – функции БЕТАРАСП, ВЕЙБУЛЛ, ОТРБИНОМРАСП, ГИПЕРГЕОМЕТ, ЛОГНОРМРАСП и др.

Биномиальное распределение характеризуется числом успешных испытаний m, вероятностью успеха каждого испытания p и общим количеством испытаний n. Классическим примером использования биномиального распределения является выборочный контроль качества больших партий товара, изделий в торговле, на производстве, когда сплошная проверка невозможна. Из партии выбирают n образцов и регистрируют число бракованных m. Бракованными могут быть 1, 2, … , n образцов, но вероятности реального числа бракованных будут различными. Если контрольная вероятность брака ниже допустимой вероятности, то можно гарантировать достаточное качество всей партии. В Excel функция БИНОМРАСП вычисляет вероятность отдельного значения распределения по заданным m,n и р, а функция КРИТБИНОМ – случайное число по заданной вероятности. Обычно функция КРИТБИНОМ используется для определения наибольшего допустимого числа брака. В качестве примера построим график плотности вероятности биномиального распределения для n=10 (1, 2, …, 10) и p=0.2. Введите исходные данные, как показано на рисунке: Далее в ячейку В4 введите статистическую функцию БИНОМРАСП и заполните ее параметры как показано на рисунке: Здесь параметр Число_s есть число успешных испытаний m, Испытания – число независимых испытаний n, Вероятность_s – вероятность успеха каждого испытания p. Параметр Интегральный равен 0, если требуется получить плотность распределения (вероятность для значения m), и равен 1, если требуется получить вероятность с накоплением (вероятность того, что число успешных испытаний не меньше значения аргумента Число_s). Формулу из В4 размножьте в ячейки В5:В13. Ниже показан результат: В колонке В вычислены вероятности успешных испытаний m=1, 2, …, 10. Теперь по диапазону В4:В13 постройте график или гистограмму биномиальной функции плотности распределения – результат на рисунке. Поэкспериментируйте, изменяя значение вероятности в ячейке В1: 0.3, 0.4, 0.8, проследите за изменениями формы графика. Для иллюстрации функции КРИТБИНОМ используем предыдущий пример – необходимо найти число m, для которого вероятность интегрального распределения больше или равна 0.75. Вызовите функцию КРИТБИНОМ и заполните параметры. Вы должны получить значение 3. Это означает, что при вероятности интегрального распределения >= 0.75 будет не менее трех (m>=3) успешных испытаний. Нормальное распределение характеризуется средним арифметическим (математическим ожиданием) m и стандартным (среднеквадратичным) отклонением r. Дисперсия равна r2 . Краткое обозначение распределения N(m,r2). График нормального распределения симметричен относительно центра распределения (точки m), чем меньше r, тем больше вероятность появления случайной величины. В пределы [m—r,m+r] нормально распределенная случайная величина попадает с вероятностью 0,683 в пределы [m-2r,m+2r] — с вероятностью 0,955 и т.д. При m=0 и r=1 нормальное распределение называется стандартным или нормированным – N(0,1). Нормальное распределение имеет очень широкий круг приложений. В качестве примера построим график плотности вероятностей нормального распределения при m=15 и r=1,5 в диапазоне [m-3r,m+3r] c шагом 0,5. Результат показан на рисунке. Выполните следующие действия:

в ячейку А4 введите формулу =B1-3*B2, в ячейку А5 формулу =A4+B$3 и размножьте ее по ячейку А22;
в ячейку В4 введите функцию НОРМРАСП из группы Статистические – параметры заполните как на рисунке;
размножьте формулу из ячейки В4 по ячейку В22 и по диапазону В4:В22 постройте график; на 2-ом шаге мастера диаграмм в закладке Ряд введите подписи к оси х из диапазона А4:А22.

Инструменты Excel для построения интервальных оценок параметров распределений

Все, рассмотренные в этом разделе инструменты вычисляют значения квантилей как значения функций, обратных соответствующим функциям распределения. Все эти функции – библиотечные функции Excel из группы функций «Статистические»,.

Функция вычисления критических точек распределения Лапласа

Функция возвращает (вычисляет) значения квантили уровня, равного значению, введенному в поле «Вероятность» (понятно, что это число из промежутка (0б 1)) стандартного нормального распределения.

Функция вычисления критических точек распределения Стьюдента

Функция возвращает (вычисляет) значения квантили уровня, равного значению, введенному в поле «Вероятность» (понятно, что это число из промежутка (0б 1)) распределения Стьюдента с числом степеней свободы, равным значению, введенному в поле «Степени свободы» (понятно, что это натуральное число).

Важно знать, что функция Excel СТЬЮДРАСПОБР( p , k ) возвращает значение t , при котором P (| x | > t ) = p , x — значение случайной величины, имеющей распределение Стьюдента с k степенями свободы.

Поэтому решение уравнения в Excel возвращает функция СТЬЮДРАСПОБР( a , n – 1).

Функция вычисления критических точек распределения

Функция возвращает (вычисляет) значения квантили уровня, равного значению, введенному в поле «Вероятность» (понятно, что это число из промежутка (0б 1)) распределения с числом степеней свободы, равным значению, введенному в поле «Степени свободы» (понятно, что это натуральное число).

В Excel функция распределения случайной величины определена нестандартно: F _x ( x ) = P ( x > x ). Поэтому для вычисления квантиля вводим в качестве аргумента функции ХИ2ОБР значение вероятности, равное , а для вычисления – .

Квантили распределений EXCEL

Понятие Квантиля основано на определении Функции распределения . Поэтому, перед изучением Квантилей рекомендуем освежить в памяти понятия из статьи Функция распределения вероятности .

Сначала дадим формальное определение квантиля, затем приведем примеры их вычисления в MS EXCEL.

Определение

Пусть случайная величина X , имеет функцию распределения F ( x ). α-квантилем ( альфа- квантиль, x _a , квантиль порядка α, нижний α- квантиль ) называют решение уравнения x _a =F -1 (α), где α — вероятность, что случайная величина х примет значение меньшее или равное x _a , т.е. Р(х файл примера Лист Определение ):

Примечание : О построении графиков в MS EXCEL можно прочитать статью Основные типы диаграмм в MS EXCEL .

Например, с помощью графика вычислим 0,21-ю квантиль , т.е. такое значение случайной величины, что Р(X НОРМ.СТ.ОБР() , ЛОГНОРМ.ОБР() , ХИ2.ОБР(), ГАММА.ОБР() и т.д. Подробнее о распределениях, представленных в MS EXCEL, можно прочитать в статье Распределения случайной величины в MS EXCEL .

Точное значение квантиля в нашем случае можно найти с помощью формулы =НОРМ.СТ.ОБР(0,21)

СОВЕТ : Процедура вычисления квантилей имеет много общего с вычислением процентилей выборки (см. статью Процентили в MS EXCEL ).

Квантили специальных видов

Часто используются Квантили специальных видов:

В качестве примера вычислим медиану (0,5-квантиль) логнормального распределения LnN(0;1) (см. файл примера лист Медиана ).

Это можно сделать с помощью формулы =ЛОГНОРМ.ОБР(0,5; 0; 1)

Квантили стандартного нормального распределения

Необходимость в вычислении квантилей стандартного нормального распределения возникает при проверке статистических гипотез и при построении доверительных интервалов.

Примечание : Про проверку статистических гипотез см. статью Проверка статистических гипотез в MS EXCEL . Про построение доверительных интервалов см. статью Доверительные интервалы в MS EXCEL .

В данных задачах часто используется специальная терминология:

Нижний квантиль уровняальфа ( α percentage point) ;
Верхний квантиль уровня альфа (upper α percentage point) ;
Двусторонние квантили уровняальфа .

Нижний квантиль уровня альфа — это обычный α-квантиль. Чтобы пояснить название « нижний» квантиль , построим график плотности вероятности и функцию вероятности стандартного нормального распределения (см. файл примера лист Квантили ).

Выделенная площадь на рисунке соответствует вероятности, что случайная величина примет значение меньше α-квантиля . Из определения квантиля эта вероятность равна α . Из графика функции распределения становится понятно, откуда происходит название » нижний квантиль» — выделенная область расположена в нижней части графика.

Для α=0,05, нижний 0,05-квантиль стандартного нормального распределения равен -1,645. Вычисления в MS EXCEL можно сделать по формуле:

Однако, при проверке гипотез и построении доверительных интервалов чаще используется «верхний» α-квантиль. Покажем почему.

Верхним α — квантилем называют такое значение x _α , для которого вероятность, того что случайная величина X примет значение больше или равное x _α равна альфа: P(X>= x _α )= α . Из определения понятно, что верхний альфа — квантиль любого распределения равен нижнему (1- α) — квантилю. А для распределений, у которых функция плотности распределения является четной функцией, верхний α — квантиль равен нижнему α — квантилю со знаком минус . Это следует из свойства четной функции f(-x)=f(x), в силу симметричности ее относительно оси ординат.

Действительно, для α=0,05, верхний 0,05-квантиль стандартного нормального распределения равен 1,645. Т.к. функция плотности вероятности стандартного нормального распределения является четной функцией, то вычисления в MS EXCEL верхнего квантиля можно сделать по двум формулам:

Чтобы пояснить название « верхний» квантиль , построим график плотности вероятности и функцию вероятности стандартного нормального распределения для α=0,05.

Выделенная площадь на рисунке соответствует вероятности, что случайная величина примет значение больше верхнего 0,05-квантиля , т.е. больше значения 1,645. Эта вероятность равна 0,05.

На графике плотности вероятности площадь выделенной области равна 0,05 (5%) от общей площади под графиком (равна 1). Из графика функции распределения становится понятно, откуда происходит название «верхний» квантиль — выделенная область расположена в верхней части графика. Если Z ₀ больше верхнего квантиля , т.е. попадает в выделенную область, то нулевая гипотеза отклоняется.

Также при проверке двухсторонних гипотез и построении соответствующих доверительных интервалов иногда используется понятие «двусторонний» α-квантиль. В этом случае условие отклонения нулевой гипотезы звучит как |Z ₀ |>Z _{α /2} , где Z _{α /2} – верхний α/2-квантиль . Чтобы не писать верхний α/2-квантиль , для удобства используют «двусторонний» α-квантиль. Почему двусторонний? Как и в предыдущих случаях, построим график плотности вероятности стандартного нормального распределения и график функции распределения .

Невыделенная площадь на рисунке соответствует вероятности, что случайная величина примет значение между нижним квантилем уровня α /2 и верхним квантилем уровня α /2, т.е. будет между значениями -1,960 и 1,960 при α=0,05. Эта вероятность равна в нашем случае 1-(0,05/2+0,05/2)=0,95. Если Z ₀ попадает в одну из выделенных областей, то нулевая гипотеза отклоняется.

Вычислить двусторонний 0,05 — квантиль это можно с помощью формул MS EXCEL: =НОРМ.СТ.ОБР(1-0,05/2) или =-НОРМ.СТ.ОБР(0,05/2)

Другими словами, двусторонние α-квантили задают интервал, в который рассматриваемая случайная величина попадает с заданной вероятностью α.

Квантили распределения Стьюдента

Аналогичным образом квантили вычисляются и для распределения Стьюдента . Например, вычислять верхний α/2- квантиль распределения Стьюдента с n -1 степенью свободы требуется, если проводится проверка двухсторонней гипотезы о среднем значении распределения при неизвестной дисперсии ( см. эту статью ).

Для верхних квантилей распределения Стьюдента часто используется запись t _α/2,n-1 . Если такая запись встретилась в статье про проверку гипотез или про построение доверительного интервала , то это именно верхний квантиль .

Примечание : Функция плотности вероятности распределения Стьюдента , как и стандартного нормального распределения , является четной функцией.

Чтобы вычислить в MS EXCEL верхний 0,05/2 — квантиль для t-распределения с 10 степенями свободы (или тоже самое двусторонний 0,05-квантиль ), необходимо записать формулу =СТЬЮДЕНТ.ОБР.2Х(0,05; 10) или =СТЬЮДРАСПОБР(0,05; 10) или =СТЬЮДЕНТ.ОБР(1-0,05/2; 10) или =-СТЬЮДЕНТ.ОБР(0,05/2; 10)

.2X означает 2 хвоста, т.е. двусторонний квантиль .

Квантили распределения ХИ-квадрат

Вычислять квантили распределения ХИ-квадрат с n -1 степенью свободы требуется, если проводится проверка гипотезы о дисперсии нормального распределения (см. статью Проверка статистических гипотез в MS EXCEL о дисперсии нормального распределения ).

При проверке таких гипотез также используются верхние квантили. Например, при двухсторонней гипотезе требуется вычислить 2 верхних квантиля распределения ХИ 2 : χ 2 _α/2,n-1 и χ 2 _1- _α/2,n-1 . Почему требуется вычислить два квантиля , не один, как при проверке гипотез о среднем , где используется стандартное нормальное распределение или t-распределение ?

Дело в том, что в отличие от стандартного нормального распределения и распределения Стьюдента , плотность распределения ХИ 2 не является четной (симметричной относительно оси х). У него все квантили больше 0, поэтому верхний альфа-квантиль не равен нижнему (1-альфа)-квантилю или по-другому: верхний альфа-квантиль не равен нижнему альфа-квантилю со знаком минус.

Чтобы вычислить верхний 0,05/2 — квантиль для ХИ 2 -распределения с числом степеней свободы 10, т.е. χ 2 _0,05/2,n-1 , необходимо в MS EXCEL записать формулу =ХИ2.ОБР.ПХ(0,05/2; 10) или =ХИ2.ОБР(1-0,05/2; 10)

Результат равен 20,48. .ПХ означает правый хвост распределения, т.е. тот который расположен вверху на графике функции распределения .

Чтобы вычислить верхний (1-0,05/2)- квантиль при том же числе степеней свободы , т.е. χ 2 _1-0,05/2,n-1 и необходимо записать формулу =ХИ2.ОБР.ПХ(1-0,05/2; 10) или =ХИ2.ОБР(0,05/2; 10)

Результат равен 3,25.

Квантили F-распределения

Вычислять квантили распределения Фишера с n ₁ -1 и n ₂ -1 степенями свободы требуется, если проводится проверка гипотезы о равенстве дисперсий двух нормальных распределений (см. статью Двухвыборочный тест для дисперсии: F-тест в MS EXCEL ).

При проверке таких гипотез используются, как правило, верхние квантили. Например, при двухсторонней гипотезе требуется вычислить 2 верхних квантиля F -распределения: F _{α/2,n1-1, n 2 -1} и F _{1-α/2,n1-1, n 2 -1} . Почему требуется вычислить два квантиля , не один, как при проверке гипотез о среднем ? Причина та же, что и для распределения ХИ 2 – плотность F-распределения не является четной . Эти квантили нельзя выразить один через другой как для стандартного нормального распределения . Верхний альфа-квантиль F -распределения не равен нижнему альфа-квантилю со знаком минус.

Чтобы вычислить верхний 0,05/2-квантиль для F -распределения с числом степеней свободы 10 и 12, необходимо записать формулу =F.ОБР.ПХ(0,05/2;10;12) =FРАСПОБР(0,05/2;10;12) =F.ОБР(1-0,05/2;10;12)

Результат равен 3,37. .ПХ означает правый хвост распределения, т.е. тот который расположен вверху на графике функции распределения .

Квантили распределения Вейбулла

Иногда обратная функция распределения может быть представлена в явном виде с помощью элементарных функций, например как для распределения Вейбулла . Напомним, что функция этого распределения задается следующей формулой:

После логарифмирования обеих частей выражения, выразим x через соответствующее ему значение F(x) равное P:

Примечание : Вместо обозначения α-квантиль может использоваться p — квантиль. Суть от этого не меняется.

Это и есть обратная функция, которая позволяет вычислить P — квантиль ( p — quantile ). Для его вычисления в формуле нужно подставить известное значение вероятности P и вычислить значение х _p (вероятность того, что случайная величина Х примет значение меньше или равное х _p равна P).

Квантили экспоненциального распределения

Задача : Случайная величина имеет экспоненциальное распределение :

Требуется выразить p -квантиль x _p через параметр распределения λ и заданную вероятность p .

Примечание : Вместо обозначения α-квантиль может использоваться p-квантиль . Суть от этого не меняется.

Решение : Вспоминаем, что p -квантиль – это такое значение x _p случайной величины X, для которого P(X

КВАРТИЛЬ.ВКЛ (функция КВАРТИЛЬ.ВКЛ)

Excel для Microsoft 365 Excel для Microsoft 365 для Mac Excel для Интернета Excel 2021 Excel 2021 для Mac Excel 2019 Excel 2019 для Mac Excel 2016 Excel 2016 для Mac Excel 2013 Excel 2010 Excel для Mac 2011 Excel Starter 2010 Еще. Меньше

Возвращает квартиль набора данных на основе значений процентили от 0 до 1 (включительно).

Квартиль часто используются при анализе данных продаж и опросов для разбиения генеральной совокупности на группы. Например, можно воспользоваться функцией КВАРТИЛЬ.ВКЛ, чтобы найти среди всех предприятий 25 процентов наиболее доходных.

Синтаксис

Аргументы функции КВАРТИЛЬ.ВКЛ описаны ниже.

Массив Обязательный. Массив или диапазон ячеек с числовыми значениями, для которых определяется значение квартиля.
Часть Обязательный. Значение, которое требуется вернуть.

Параметры

Если часть равна

КВАРТИЛЬ.ВКЛ возвращает

Первую квартиль (25-ю персентиль)

Значение медианы (50-ю персентиль)

Третью квартиль (75-ю персентиль)

Замечания

Если массив пуст, кВАРТИЛЬ. Inc возвращает #NUM! значение ошибки #ЗНАЧ!.
Если значение аргумента «часть» не является целым числом, то оно усекается.
Если кварт < 0 или >4, кВАРТИЛЬ. Inc возвращает #NUM! значение ошибки #ЗНАЧ!.
Функции МИН, МЕДИАНА и МАКС возвращают то же значение, что и функция КВАРТИЛЬ.ВКЛ, если аргумент «часть» равен соответственно 0, 2 или 4.

Пример

Скопируйте образец данных из следующей таблицы и вставьте их в ячейку A1 нового листа Excel. Чтобы отобразить результаты формул, выделите их и нажмите клавишу F2, а затем — клавишу ВВОД. При необходимости измените ширину столбцов, чтобы видеть все данные.

Описание (результат)

Первая квартиль (25-я процентиль) для приведенных выше данных (3,5)

Электронная почта