1. Знаки ⩽ и ⩾
«Для сдачи норматива по физической культуре необходимо подтянуться \(a\) раз, \(a\) больше или равно \(10\)».
То есть нужно подтянуться \(10\), \(11\), \(12\) и более раз.
Данное высказывание записывается в виде неравенства \(a\) ≥ \(10\) (читаем: «\(a\) больше или равно \(10\)»).
Оно состоит из двух условий: \(a=10\) и \(a>10\).
Если выполняется хотя бы одно из этих двух условий, то неравенство \(a\) ≥ \(10\) верно.
Схема неравенства \(a\) ≥ \(m\)
(Обрати внимание: точка \(m\) закрашена!)
Сравни со схемой неравенства \(a>m\) (точка \(m\) не закрашена):
Рассмотрим другое высказывание.
«Ирине можно съесть \(b\) конфет, \(b\) меньше или равно \(3\)».
То есть можно съесть \(3\), \(2\) и менее конфет.
Данное высказывание записывается в виде неравенства \(b\) ≤ \(3\) (читаем: «\(b\) меньше или равно \(3\)»).
Оно состоит из двух условий: \(b=3\) и \(b<3\). Если выполняется хотя бы одно из этих двух условий, то неравенство \(b\) ≤ \(3\) верно. Общая схема неравенства \(a\) ≤ \(m\) (Обрати внимание: точка \(m\) закрашена!)
Сравни со схемой неравенства \(aточка \(m\) не закрашена):
Если в записи неравенства стоит знак « ≤ » или « ≥ », тогда это высказывание называется нестрогим неравенством .
Таким образом, строгое неравенство содержит знак «\(\)», а нестрогое неравенство содержит знак « ≤ » или « ≥ ».
Теория: Решение квадратичных неравенств методом интервалов
Чтобы решить неравенство методом интервалов, преобразуем неравенство так, чтобы с одной стороны был ноль:
Далее найдем все корни квадратного уравнения \(\displaystyle x^2+2x-15=0\)
\(\displaystyle x_1=-5\) и \(\displaystyle x_2=3\) корни уравнения \(\displaystyle x^2+2x-15=0\)
Решим квадратное уравнение
Найдем корни уравнения:
Значит, \(\displaystyle x_1=-5 \) и \(\displaystyle x_2=3 \) – корни квадратного уравнения \(\displaystyle x^2+2x-15=0 \)
Отметим найденные корни на числовой прямой, выкалывая их (так как знак неравенства строгий):
Получаем три интервала:
Определим знак функции \(\displaystyle f(x)=x^2+2x-15\) в каждом из данных интервалов.
Для интервала \(\displaystyle (-\infty;-5)\) выберем \(\displaystyle x=-6 \in (-\infty;-5)\) Определим знак значения функции в точке \(\displaystyle x=-6< \small :>\)
Пишем знак плюс в интервале \(\displaystyle (-\infty;-5)\)
Для интервала \(\displaystyle (-5;3)\) выберем \(\displaystyle x=-4 \in (-5;3)\) Определим знак значения функции в точке \(\displaystyle x=-4 < \small :>\)
Пишем знак минус в интервале \(\displaystyle (-5;3)\)
Для интервала \(\displaystyle (3;+\infty)\) выберем \(\displaystyle x=4 \in (3;+\infty)\) Определим знак значения функции в точке \(\displaystyle x=4 < \small :>\)
Пишем знак плюс в интервале \(\displaystyle (3;+\infty)\)
Так как решения неравенства \(\displaystyle x^2+2x-15>0\) соответствуют промежуткам, где функция \(\displaystyle f(x)=x^2+2x-15\) положительна, то
\(\displaystyle (-\infty;-5) \cup(3;+\infty)\) – искомое решение.
Ответ: \(\displaystyle x \in (-\infty;-5) \cup(3;+\infty)\)
при решении дробного неравенства методом интервалов, как определить цвет точек, и какие при этом скобки
Квадратная скобка — значит включая это значение. На сколько помню, она ставится если точка закрашенная .
Круглая — если выколотая
sokalskiy dokУченик (211) 7 лет назад
большое спасибо)
Смотри если ≤ или ≥ то [ и ] точки запрещенные, а если > или < то ( и ) точки не закрашенные
Похожие вопросы
Ваш браузер устарел
Мы постоянно добавляем новый функционал в основной интерфейс проекта. К сожалению, старые браузеры не в состоянии качественно работать с современными программными продуктами. Для корректной работы используйте последние версии браузеров Chrome, Mozilla Firefox, Opera, Microsoft Edge или установите браузер Atom.
Решение неравенств методом интервалов
Метод интервалов — наиболее удобный метод решения любых неравенств. Таким методом решаются неравенства высших степеней, начиная с квадратных неравенств, кубических неравенств и т.д. Линейные неравенства (в которых переменная (x) находится в первой степени) и без метода интервалов решаются просто.
Чтобы не ошибиться при решении неравенств, нужно себя проверять. Многие рекомендуют сайт для проверки правильности решения неравенств: решение неравенств.
Рассмотрим несколько примеров:
x 3 — 2x 2 + 5x > 10
Приведем неравенство к стандартному виду f(x)>0
x 3 — 2x 2 + 5x — 10 > 0
Область определения у f(x) = x 3 — 2x 2 + 5x — 10 любое число, т.е. D(f) = ( -∞; +∞);
Найдем нули этой функции: для этого разложим выражение x 3 — 2x 2 + 5x — 10 на множители
x 2 — 2x 2 + 5x — 10 = x 2 (x — 2) + 5(x — 2) = (x-2)(x 2 +5).
Отсюда видно, что у f(x) только 1 нуль функции: x = 2
Тогда наша числовая прямая будет выглядеть так:
Точка 2 выколота, т.к. знак неравенства > строгий, и ее в ответ мы включать не будем.
Для проверки знаков на промежутках подставляем в функцию, например, 0 и 3. Получаем, что f(0)0.
Т.к. у нас неравенство вида f(x)>0, то нам нужны все промежутки со знаком «+». Такой промежуток всего один: (2; +∞). Он и будет ответом.
Ответ: (2; +∞)
2) решить неравенство методом интервалов:
x 4 — 4x 2 + 5x 3 ⩽ 20x
Приведем неравенство к стандартному виду f(x)⩽0
x 4 + 5x 3 — 4x 2 — 20x ⩽ 0
Область определения у f(x) = x 4 + 5x 3 — 4x 2 — 20x любое число, т.е. D(f) = ( -∞; +∞);
Найдем нули этой функции: для этого разложим выражение x 4 + 5x 3 — 4x 2 — 20x на множители
x 4 + 5x 3 — 4x 2 — 20x = x(x 3 +5x 2 -4x-20) = x(x 2 (x+5) — 4(x+5)) = x(x+5)(x 2 -4) = x(x-2)(x+2)(x+5)
Отсюда видно, что у f(x) 4 нуля функции: x = 0, x = -5, x = -2, x = 2
Тогда наша числовая прямая будет выглядеть так:
Все крайние точки включаются (они не выколотые), т.к. знак неравенства ⩽ нестрогий, и их в ответ мы включим.
Для проверки знаков на промежутках подставляем в функцию, например, -6, -3, -1, 1, 3. Получаем, что f(-6)>0, f(-3)0, f(1)0.
Т.к. у нас неравенство вида f(x)⩽0, то нам нужны все промежутки со знаком «-«. Таких промежутков 2: [-5; -2] и [0; 2]. Их объединение и будет ответом.
Ответ: [-5; -2] ∪ [0; 2]