1.6.4. Задачи на теоремы сложения и умножения
Этот тандем почти 100% встретится в вашей самостоятельной и отчётной работе. Хит хитов и самая настоящая классика теории вероятностей:
Задача 41
Два стрелка сделали по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания для первого стрелка равна 0,8, для второго – 0,6. Найти вероятность того, что:
а) только один стрелок попадёт в мишень;
б) хотя бы один из стрелков попадёт в мишень.
Решение: вероятность попадания / промаха одного стрелка, очевидно, не зависит от результативности другого стрелка. Рассмотрим следующие независимые события:
– 1-й стрелок попадёт в мишень;
– 2-й стрелок попадёт в мишень.
Найдём вероятности противоположных событий – того, что соответствующие стрелки промахнутся:
а) Рассмотрим событие: – только один стрелок попадёт в мишень. Данное событие состоит в двух несовместных исходах:
1-й стрелок попадёт и 2-й промахнётся или
1-й промахнётся и 2-й попадёт.
На языке алгебры событий этот факт запишется следующей формулой:
– вероятность того, что будет только одно попадание
б) Рассмотрим событие: – хотя бы один из стрелков попадёт в мишень.
Способ первый: событие состоит в двух несовместных исходах:
попадёт кто-то один (событие ) или
попадут оба стрелка, обозначим последнее событие буквой .
По теореме умножения вероятностей независимых событий:
– вероятность того, что 1-й стрелок попадёт и 2-й стрелок попадёт,
и по теореме сложения вероятностей несовместных событий:
– вероятность хотя бы одного попадания по мишени.
Кроме того, существует альтернативный, третий путь решения, основанный на умолчанной выше теореме сложения совместных событий:
Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:
И посему способ третий: события совместны, а значит, их сумма выражает событие «хотя бы один стрелок попадёт в мишень» (см. алгебру событий). По теореме сложения вероятностей совместных событий и теореме умножения вероятностей независимых событий:
Какой способ лучше? С моей точки зрения, наиболее рационален 2-й способ, и 3-м способом я не пользуюсь вообще (т.к. нет необходимости, да и путаница с ним бывает). Впрочем, у вас может сложиться своё мнение или пристрастие на этот счёт.
Выполним проверку: события и (0, 1 и 2 попадания соответственно) образуют полную группу, поэтому сумма их вероятностей должна равняться единице:
, что и требовалось проверить.
Ответ:
На практике часто используют «быстрый» стиль оформления и решение принимает примерно такой вид:
по условию: , – вероятность попадания соответствующих стрелков. Тогда вероятности их промаха:
а) По теоремам сложения вероятностей несовместных и умножения вероятностей независимых событий:
– вероятность того, что только один стрелок попадёт в мишень.
б) По теореме умножения вероятностей независимых событий:
– вероятность того, что оба стрелка промахнутся.
Тогда: – вероятность того, что хотя бы один из стрелков попадёт в мишень.
Ответ:
Однако не нужно забывать и первый вариант оформления (с росписью событий) – он хоть и длиннее, но зато содержательнее, в нём понятнее, что, почему и зачем складывается и умножается. В ряде случаев уместен гибридный стиль, когда прописными буквами удобно обозначить лишь некоторые события.
Контрольная задача для самостоятельного решения:
Задача 42
Для сигнализации о возгорании установлены два независимо работающих датчика. Вероятности того, что при возгорании датчик сработает, для первого и второго датчиков соответственно равны 0,5 и 0,7. Найти вероятность того, что при пожаре:
а) оба датчика откажут, б) оба датчика сработают.
+ бонус-задание: пользуясь теоремой сложения вероятностей событий, образующих полную группу, найти вероятность того, что при пожаре сработает только один датчик. Проверить результат прямым вычислением этой вероятности (с помощью теорем сложения и умножения).
Здесь независимость работы устройств непосредственно прописана в условии, что, кстати, является важным уточнением. Образец решения оформлен в академичном стиле.
Как быть, если в похожей задаче даны одинаковые вероятности, например, 0,9 и 0,9? Решать нужно точно так же! (что, собственно, уже продемонстрировано в примере с двумя монетами). Следующий, более интересный пример тоже самостоятельно:
Задача 43
Вероятность поражения цели первым стрелком при одном выстреле равна 0,8. Вероятность того, что цель не поражена после выполнения первым и вторым стрелками по одному выстрелу равна 0,08. Какова вероятность поражения цели вторым стрелком при одном выстреле?
Условие можно переформулировать более лаконично, но переделывать оригинал не буду – на практике приходится вникать и в более витиеватые измышления. Образец решения оформлен «коротким» способом.
А теперь знакомьтесь – тот самый, который настрогал для вас немереное количество деталей :=)
Задача 44
Рабочий обслуживает три станка. Вероятность того, что в течение смены первый станок потребует настройки, равна 0,3, второй – 0,75, третий – 0,4. Найти вероятность того, что в течение смены:
а) все станки потребуют настройки;
б) только один станок потребует настройки;
в) хотя бы один станок потребует настройки.
Решение: коль скоро в условии ничего не сказано о едином технологическом процессе, то работу каждого станка следует считать независимой от работы других станков.
По аналогии с Задачей 41 здесь можно ввести в рассмотрение события , состоящие в том, что соответствующие станки потребуют настройки в течение смены, записать вероятности , найти вероятности противоположных событий и т.д. Но с тремя объектами так оформлять задачу уже не очень хочется – получится долго и нудно. Поэтому здесь заметно выгоднее использовать «быстрый» стиль:
По условию: – вероятности того, что в течение смены соответствующие станки потребуют настройки. Тогда вероятности того, что они не потребуют внимания:
а) По теореме умножения вероятностей независимых событий:
– вероятность того, что в течение смены все три станка потребуют настройки.
б) Событие «В течение смены только один станок потребует настройки» состоит в трёх несовместных исходах:
1) 1-й станок потребует внимания и 2-й станок не потребует и 3-й станок не потребует
или:
2) 1-й станок не потребует внимания и 2-й станок потребует и 3-й станок не потребует
или:
3) 1-й станок не потребует внимания и 2-й станок не потребует и 3-й станок потребует.
По теоремам сложения вероятностей несовместных и умножения вероятностей независимых событий:
– вероятность того, что в течение смены только один станок потребует настройки.
Думаю, сейчас вам должно быть понятно, откуда взялось выражение
в) Вычислим вероятность того, что станки не потребуют настройки, и затем – вероятность противоположного события:
– того, что хотя бы один станок потребует настройки.
Ответ:
Пункт «вэ» можно решить и через сумму , где – вероятность того, что в течение смены только два станка потребуют настройки. Это событие в свою очередь включает в себя 3 несовместных исхода, которые расписываются по аналогии с пунктом «бэ». Постарайтесь самостоятельно найти вероятность , чтобы проверить всю задачу с помощью равенства .
Самостоятельно:
Задача 45
Из трех орудий произвели залп по цели. Вероятность попадания при одном выстреле только из первого орудия равна 0,7, из второго – 0,6, из третьего – 0,8. Найти вероятность того, что: 1) хотя бы один снаряд попадет в цель; 2) только два снаряда попадут в цель; 3) цель будет поражена не менее двух раз.
При основательном изучении теории вероятностей вам встретятся десятки задач милитаристского содержания, и, что характерно, после этого никого не захочется пристрелить =) – задачи почти подарочные.
И снова о совпадениях: в том случае, если по условию два или даже все значения исходных вероятностей совпадают (например, 0,7; 0,7 и 0,7), то следует придерживаться точно такого же алгоритма решения.
Вернёмся к распространённой головоломке:
Задача 46
Стрелок попадает в цель с одной и той же вероятностью при каждом выстреле. Какова эта вероятность, если вероятность хотя бы одного попадания при трех выстрелах равна 0,973.
Решение: обозначим через – вероятность попадания в мишень при каждом выстреле и через – вероятность промаха при каждом выстреле.
Здесь будет удобно расписать события:
– при 3 выстрелах стрелок попадёт в мишень хотя бы один раз;
– стрелок 3 раза промахнётся.
По условию , тогда вероятность противоположного события:
С другой стороны, по теореме умножения вероятностей независимых событий:
– вероятность промаха при каждом выстреле.
В результате:
– вероятность попадания при каждом выстреле.
Ответ: 0,7
Просто и изящно.
В рассмотренной задаче можно поставить дополнительные вопросы о вероятности только одного попадания, только двух попаданий и вероятности трёх попаданий по мишени. Схема решения будет точно такой же, как и в двух предыдущих примерах:
Однако принципиальное содержательное отличие состоит в том, что здесь имеют место повторные независимые испытания, которые выполняются последовательно, независимо друг от друга и с одинаковой вероятностью исходов.
К повторным независимым испытаниям мы вернёмся чуть позже, после того, как разберём зависимые события:
Полную и свежую версию этой книги в pdf-формате ,
а также курсы по другим темам можно найти после Оглавления.
Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!
С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин
© mathprofi.ru — mathter.pro, 2010-2024, сделано в Блокноте.
Найдите вероятность того что в помещении
Задание 10. Гигрометр измеряет влажность в помещении картинной галереи. Вероятность того, что влажность окажется выше 40%, равна 0,82. Вероятность того, что влажность окажется ниже 56 %, равна 0,74. Найдите вероятность того, что влажность находится в пределах от 40 % до 56 %.
Введем два события:
А: «влажность окажется не выше 40%»
В: «влажность окажется в пределах от 40% до 56 %»
Тогда, сумма этих двух событий C=A+B будет означать «влажность окажется ниже 56 %». Вероятность события A, равна P(A)=1-0,82 = 0,18, а вероятность события P(C)=0,74. Учитывая несовместность событий A и B, имеем:
Ответ: 0,56.
Задание 4. Вариант 29. Сборник Ященко 36 вариантов ФИПИ школе ЕГЭ 2020.
Гигрометр измеряет влажность в помещении картинной галереи. Вероятность того, что влажность окажется выше 40%, равна 0,82. Вероятность того, что влажность окажется ниже 56%, равна 0,74. Найдите вероятность того, что влажность находится в пределах от 40% до 56%.
Введем два события:
А: «влажность окажется не выше 40%»
В: «влажность окажется в пределах от 40% до 56%»
Тогда, сумма этих двух событий $$C=A+B\ $$будет означать «влажность окажется ниже 56%». Вероятность события A, равна $$P(A)=1-0,82\ =\ 0,18$$, а вероятность события $$P(C)=0,74$$. Учитывая несовместность событий A и B, имеем:
Решение задачи о сигнализаторах и аварии
Задача 2: Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сигнализатор сработает, равна 0,95 для первого сигнализатора и 0,9 для второго. Найти вероятность того, что при аварии сработает только один сигнализатор.
Решение: Введем независимые события:
$А1$ = (при аварии сработает первый сигнализатор);
$А2$ = (при аварии сработает второй сигнализатор);
по условию задачи $P(A1)=0,95, P(A2)=0,9$.
Введем событие $Х$ = (при аварии сработает только один сигнализатор). Это событие произойдет, если при аварии сработает первый сигнализатор и не сработает второй, или если при аварии сработает второй сигнализатор и не сработает первый, то есть $X=A1\cdot \overline+\overline\cdot A2.$
Тогда вероятность события $Х$ по теоремам сложения и умножения вероятностей равна
$$P(X)=P(A1)\cdot P(\overline)+P(\overline)\cdot P(A2)=0,95\cdot 0,1 + 0,05\cdot 0,9 =0,14.$$