Доказать основное тригонометрическое тождество
Основным тригонометрическим тождеством является следующее равенство:
sin2 α + cos2 α = 1
Это значит, что в прямоугольном треугольнике сумма квадратов синуса и косинуса одного и того же острого угла равна единице.
Докажем это тригонометрическое тождество. Пусть дан прямоугольный треугольник ABC (∠C = 90º). Проведем в нем высоту CH к гипотенузе.
Выразим катеты треугольника ABC по косинусам углов. Так как cos A = AC/AB, то
Так как cos B = BC/AB, то
Теперь рассмотрим треугольник ACH. Он прямоугольный, т. к. CH ⊥ AB. АС в этом треугольнике является гипотенузой. Тогда cos A = AH/AC. Выразим отсюда отрезок AH:
Подставим вместо отрезка AC его значение, выраженное ранее через косинус угла A треугольника ABC. Получим:
AH = (AB · cos A) · cos A = AB · cos 2 A
Теперь рассмотрим треугольник BCH. В нем cos B = BH/BC. Выразим BH и заменим BC его значением, найденным в треугольнике ABC:
BH = AB · cos 2 B
Отрезок AB является суммой отрезков AH и BH:
Заменим AH и BH на их выражения через косинусы углов:
AB · cos 2 A + AB · cos 2 B = AB
AB · (cos 2 A + cos 2 B) = AB
cos 2 A + cos 2 B = 1
Как известно, синус одного острого угла прямоугольного треугольника равен косинусу другого острого угла этого же треугольника. В данном случае:
Следовательно, в тождестве cos 2 A + cos 2 B = 1 мы можем косинус угла B заменить на синус угла A. Таким образом получим:
cos 2 A + cos 2 B = 1
cos 2 A + (cos B · cos B) = 1
cos 2 A + (sin A · sin A) = 1
cos 2 A + sin 2 A = 1
Таким образом, сумма квадрата косинуса угла и квадрата синуса этого угла равна единицы, что и требовалось доказать.
Основное тригонометрическое тождество
Основным тригонометрическом тождеством называют соотношение, связывающее синус и косинус одного и того же угла: квадрат синуса угла плюс квадрат косинуса угла равен единице, или математически:
Косинус в квадрате и синус в квадрате
Разбираемся с простыми понятиями: синус и косинус и вычисление косинуса в квадрате и синуса в квадрате.
Синус и косинус изучаются в тригонометрии (науке о треугольниках с прямым углом).
Поэтому для начала вспомним основные понятия прямоугольного треугольника:
Гипотенуза — сторона, которая всегда лежит напротив прямого угла (угла в 90 градусов). Гипотенуза — это самая длинная сторона треугольника с прямым углом.
Оставшиеся две стороны в прямоугольном треугольнике называются катетами.
Также следует помнить, что три угла в треугольнике всегда имеют сумму в 180°.
Теперь переходим к косинусу и синусу угла альфа (∠α) (так можно назвать любой непрямой угол в треугольнике или использовать в качестве обозначение икс — «x», что не меняет сути).
Синус угла альфа (sin ∠α) — это отношение противолежащего катета (сторона, лежащая напротив соответствующего угла) к гипотенузе. Если смотреть по рисунку, то sin ∠ABC = AC / BC
Косинус угла альфа (cos ∠α) — отношение прилежащего к углу катета к гипотенузе. Если снова смотреть по рисунку выше, то cos ∠ABC = AB / BC
И просто для напоминания: косинус и синус никогда не будут больше единицы, так как любой катит короче гипотенузы (а гипотенуза — это самая длинная сторона любого треугольника, ведь самая длинная сторона расположена напротив самого большого угла в треугольнике).
Косинус в квадрате, синус в квадрате
Теперь переходим к основным тригонометрическим формулам: вычисление косинуса в квадрате и синуса в квадрате.
Для их вычисления следует запомнить основное тригонометрическое тождество:
sin 2 α + cos 2 α = 1 (синус квадрат плюс косинус квадрат одного угла всегда равняются единице).
Из тригонометрического тождества делаем выводы о синусе:
sin 2 α = 1 — cos 2 α
или более сложный вариант формулы: синус квадрат альфа равен единице минус косинус двойного угла альфа и всё это делить на два.
sin 2 α = (1 – cos(2α)) / 2
Из тригонометрического тождества делаем выводы о косинусе:
cos 2 α = 1 — sin 2 α
или более сложный вариант формулы: косинус квадрат альфа равен единице плюс косинус двойного угла альфа и также делим всё на два.
cos 2 α = (1 + cos(2α)) / 2
Эти две более сложные формулы синуса в квадрате и косинуса в квадрате называют еще «понижение степени для квадратов тригонометрических функций». Т.е. была вторая степень, понизили до первой и вычисления стали удобнее.
Редактировать этот урок и/или добавить задание Добавить свой урок и/или задание
Добавить интересную новость
доказать тождество косинус квадрат альфа плюс синус равно 1
Доказать основное тригонометрическое тождество
Основным тригонометрическим тождеством является следующее равенство:
sin2 α + cos2 α = 1
Это значит, что в прямоугольном треугольнике сумма квадратов синуса и косинуса одного и того же острого угла равна единице.
Докажем это тригонометрическое тождество. Пусть дан прямоугольный треугольник ABC (∠C = 90º). Проведем в нем высоту CH к гипотенузе.
Косинусы углов
Выразим катеты треугольника ABC по косинусам углов. Так как cos A = AC/AB, то
Так как cos B = BC/AB, то
Теперь рассмотрим треугольник ACH. Он прямоугольный, т. к. CH ⊥ AB. АС в этом треугольнике является гипотенузой. Тогда cos A = AH/AC. Выразим отсюда отрезок AH:
Подставим вместо отрезка AC его значение, выраженное ранее через косинус угла A треугольника ABC. Получим:
AH = (AB · cos A) · cos A = AB · cos2 A
Теперь рассмотрим треугольник BCH. В нем cos B = BH/BC. Выразим BH и заменим BC его значением, найденным в треугольнике ABC:
Отрезок AB является суммой отрезков AH и BH:
Заменим AH и BH на их выражения через косинусы углов:
AB · cos2 A + AB · cos2 B = AB
AB · (cos2 A + cos2 B) = AB
cos2 A + cos2 B = 1
Как известно, синус одного острого угла прямоугольного треугольника равен косинусу другого острого угла этого же треугольника. В данном случае:
Следовательно, в тождестве cos2 A + cos2 B = 1 мы можем косинус угла B заменить на синус угла A. Таким образом получим:
cos2 A + cos2 B = 1
cos2 A + (cos B · cos B) = 1
cos2 A + (sin A · sin A) = 1
cos2 A + sin2 A = 1
Таким образом, сумма квадрата косинуса угла и квадрата синуса этого угла равна единицы, что и требовалось доказать.