Матрицы: определение и основные понятия.
Матрицей размера n×m называется прямоугольная таблица специального вида, состоящая из n строк и m столбцов, заполненная числами.
Количество строк и столбцов задают размеры матрицы.
Обозначение
Матрица — это таблица данных, которая берется в круглые скобки:
| 4 | 1 | -7 |
| -1 | 0 | 2 |
Матрица обычно обозначаются заглавными буквами латинского алфавитв. Матрица содержащая n строк и m столбцов, называется матрицей размера n×m . При необходимости размер матрицы записывается следующим образом: A n×m .
Элементы матрицы
Элементы матрицы A обозначаются aij , где i — номер строки, в которой находится элемент, j — номер столбца.
Элементы матрицы A4×4:
| 4 | 1 | -7 | 2 |
| -1 | 0 | 2 | 44 |
| 4 | 6 | 7 | 9 |
| 11 | 3 | 1 | 5 |
Определение.
Строка матрицы называется нулевой, если все ее элементы равны нулю.
Определение.
Если хотя бы один из элементов строки матрицы не равен нулю, то строка называется ненулевой.
Демонстрация нулевых и ненулевых строк матрицы:
< не нулевая строка
< нулевая строка
< не нулевая строка
Определение.
Столбец матрицы называется нулевым, если все его элементы равны нулю.
Определение.
Если хотя бы один из элементов столбца матрицы не равен нулю, то столбец называется ненулевым.
Демонстрация нулевых и ненулевых столбцов матрицы:
не не нулевой столбец
Диагонали матрицы
Определение.
Главной диагональю матрицы называется диагональ, проведённая из левого верхнего угла матрицы в правый нижний угол.
Определение.
Побочной диагональю матрицы называется диагональ, проведённая из левого нижнего угла матрицы в правый верхний угол.
Демонстрация главной и побочной диагонали матрицы:
| 0 | 1 | -7 | — главная побочная диагональ |
| 0 | 0 | 2 |
| 0 | 1 | -7 | — главная побочная диагональ |
| 0 | 0 | 2 | |
| 8 | 2 | 9 |
Определение.
Следом матрицы называется сумма диагональных элементов матрицы.
Обозначение.
След матрицы обозначается trA = a 11 + a 22 + . + ann .
Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!
Присоединяйтесь
© 2011-2024 Довжик Михаил
Копирование материалов запрещено.
Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.
Если Вы хотите связаться со мной, имеете вопросы, предложения или хотите помочь развивать сайт OnlineMSchool пишите мне support@onlinemschool.com
Размер и размерность матрицы в чем разница
Матрица представляет собой прямоугольную таблицу элементов, в качестве которых могут выступать числа, функции, символы, слова и так далее — при условии, что заданы определенные правила математических действий с этими элементами.
Примеры матриц:
, 
.
Матричный элемент, расположенный на пересечении i-ой строки и j-го столбца, записывается в виде ai j , а выражение A = || ai j || означает, что матрица A составлена из элементов ai j :
.
Матричная алгебра имеет обширные применения в различных отраслях знания – в математике, физике, информатике, экономике. Например, матрицы используется для решения систем алгебраических и дифференциальных уравнений, нахождения значений физических величин в квантовой теории, шифрования сообщений в Интернете.
Матрица обозначается одной из заглавных букв латинского алфавита, а набор ее элементов помещается в круглые скобки:
 |
(1) |
Представленная формулой (1) матрица A имеет m строк и n столбцов и называется m×n матрицей (“эм на эн матрицей”) или матрицей размера m×n. Строки матрицы нумеруются сверху вниз, а столбцы – слева направо.
Рис. 1. Порядок нумерации строк и столбцов матрицы.
Матричный элемент, расположенный на пересечении i-ой строки и j-го столбца, называется i,j-м элементом и записывается в виде ai j , а выражение A = || ai j || означает, что матрица A составлена из элементов ai j .
Матрица размера 1×n называется строчной или вектор-строкой.
Матрица размера n×1 называется столбцевой или вектор-столбцом. Для краткости вектор-строку и вектор-столбец обычно называют просто векторами.
Особую роль играют матрицы, у которых число строк совпадает с числом столбцов, то есть матрицы размера n×n. Такие матрицы называются квадратными При ссылке на квадратную матрицу достаточно указать ее порядок. Например, матрица третьего порядка имеет размер 3×3.
Квадратная матрица порядка 1 отождествляется с единственным ее элементом.
Размер и размерность матрицы в чем разница
Предположим, что нам нужно умножить матрицу A на матрицу B.
Чтобы свести эту проблему к уже известной («Умножение строки на столбец»), матрицу A будем рассматривать как набор строк, тогда как матрицу B — как набор столбцов.
Тогда все, что нам предстоит проделать — это умножить каждую строку матрицы A на каждый столбец матрицы B. При этом номера перемножаемых строк и столбцов сохраняют свою силу — в том смысле, что результат умножения, например, пятой строки на третий столбец записывается в пятую строку на третий столбец.
Пример:
Тогда произведением AB называется матрица 
размера m×n , элементы 
которой вычисляются по правилу
Правило умножения строки на столбец:
умножения i-ой строки матрицы A на j-ый столбец матрицы B:
Если обозначить строки матрицы A символами 
, а столбцы матрицы B – символами 
, то правило (1) матричного умножения можно представить в следующем блочном виде:
Таким образом, если матрица A содержит m строк, а матрица B содержит n-столбцов, то произведение AB представляет собой матрицу С размера m × n. Элемент , стоящий в i-ой строке и j-ом столбце матрицы AB, вычисляется по правилу умножения строки на столбец: i-ая строка матрицы A умножается на j-ый столбец матрицы B.
- Произведение AB определено, если число столбцов матрицы A совпадает с числом строк матрицы B. (Другими словами, число элементов в строке матрицы A должно совпадать с числом элементов в столбце матрицы B.)
- Произведение BA определено, если число столбцов матрицы B совпадает с числом строк матрицы A.
- Существование одного из произведений (AB или BA) не влечет за собой существование другого.
- Если определено каждое из таких произведений, то размеры матриц AB и BA не обязательно совпадают друг с другом. Например, результатом умножения матрицы A размера 1×n на матрицу B размера n×1 является число (то есть матрица размера 1×1), тогда как произведение BA представляет собой квадратную матрицу n-го порядка.
- Если матрицы A и B являются квадратными маирицами n-го, то и их произведения AB и BA являются матрицами такого же порядка. Однако даже для таких матриц их произведения в одном и другом порядках равны только в некоторых частных случаях.
- Произведение нескольких матриц, расположенных в определенном порядке, однозначно определено, если число столбцов каждой матрицы равно числу строк соседней матрицы справа. В этом случае для нахождения произведения матриц можно использоать произвольный порядок расстановки скобок (см Свойства матричных операций).
Символическая запись 
означает произведение двух одинаковых квадратных матриц: 
Аналогичным образом определяются другие целые положительные степени квадратной матрицы:
Правило (1) матричного умножения сохраняет свой вид и в том случае, когда элементами матриц A и B являются другие матрицы. Пусть, например, матрицы A и B представлены в виде
 |
(4) |
где A i j и B i j – некоторые матрицы, размеры которых таковы, что соответствующие матричные произведения определены.
Тогда
 |
(5) |
Матрицы. Виды матриц. Основные термины.
В данной теме рассмотрим понятие матрицы, а также виды матриц. Так как в данной теме немало терминов, то я добавлю краткое содержание, чтобы ориентироваться в материале было проще.
Определение матрицы и её элемента. Обозначения.
– это таблица из \(m\) строк и \(n\) столбцов. Элементами матрицы могут быть объекты совершенно разнообразной природы: числа, переменные или, к примеру, иные матрицы. Например, матрица \(\left(\begin 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end \right)\) содержит 3 строки и 2 столбца; элементами её являются целые числа. Матрица \(\left(\begin a & a^9+2 & 9 & \sin x \\ -9 & 3t^2-4 & u-t & 8\end \right)\) содержит 2 строки и 4 столбца.
Разные способы записи матриц
Матрица может быть записана не только в круглых, но и в квадратных или двойных прямых скобках. Ниже указана одна и та же матрица в различных формах записи:
Произведение \(m\times\) называют . Например, если матрица содержит 5 строк и 3 столбца, то говорят о матрице размера \(5\times\). Матрица \(\left(\begin 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end\right)\) имеет размер \(3 \times\).
Обычно матрицы обозначаются большими буквами латинского алфавита: \(A\), \(B\), \(C\) и так далее. Например, \(B=\left( \begin 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end \right)\). Нумерация строк идёт сверху вниз; столбцов – слева направо. Например, первая строка матрицы \(B\) содержит элементы 5 и 3, а второй столбец содержит элементы 3, -87, 0.
Элементы матриц обычно обозначаются маленькими буквами. Например, элементы матрицы \(A\) обозначаются \(a_\). Двойной индекс \(ij\) содержит информацию о положении элемента в матрице. Число \(i\) – это номер строки, а число \(j\) – номер столбца, на пересечении которых находится элемент \(a_\). Например, на пересечении второй строки и пятого столбца матрицы
\[ A=\left( \begin
расположен элемент \(a_=59\) :
Точно так же на пересечении первой строки и первого столбца имеем элемент \(a_=51\) ; на пересечении третьей строки и второго столбца – элемент \(a_=-15\) и так далее. Замечу, что запись \(a_\) читается как «а три два», но не «а тридцать два».
Для сокращённого обозначения матрицы \(A\), размер которой равен \(m\times\), используется запись \(A_
Здесь \((a_)\) указывает на обозначение элементов матрицы \(A\), т.е. говорит о том, что элементы матрицы \(A\) обозначаются как \(a_\). В развёрнутом виде матрицу \(A_>=(a_)\) можно записать так:
\[ A_=\left(\begin a_ & a_ & \ldots & a_ \\ a_ & a_ & \ldots & a_ \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_ & a_ & \ldots & a_ \end \right) \]
Введём еще один термин – равные матрицы.
Две матрицы одинакового размера \(A_=(a_)\) и \(B_=(b_)\) называются , если их соответствующие элементы равны, т.е. \(a_=b_\) для всех \(i=\overline\) и \(j=\overline\).
Пояснение к записи \(i=\overline<1,m>\)
Запись » \(i=\overline\) » означает, что параметр \(i\) изменяется от 1 до m. Например, запись \(i=\overline\) говорит о том, что параметр \(i\) принимает значения 1, 2, 3, 4, 5.
Итак, для равенства матриц требуется выполнение двух условий: совпадение размеров и равенство соответствующих элементов. Например, матрица \(A=\left(\begin 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end\right)\) не равна матрице \(B=\left(\begin 8 & -9\\0 & -87 \end\right)\), поскольку матрица \(A\) имеет размер \(3\times 2\), а размер матрицы \(B\) составляет \(2\times\). Также матрица \(A\) не равна матрице \(C=\left(\begin 5 & 3\\98 & -87\\8 & 0\end\right)\), поскольку \(a_\neq c_\) (т.е. \(0\neq 98\)) . А вот для матрицы \(F=\left(\begin 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end\right)\) можно смело записать \(A=F\) поскольку и размеры, и соответствующие элементы матриц \(A\) и \(F\) совпадают.
Задача №1
Условие
Определить размер матрицы \(A=\left(\begin -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \\ -6 & 8 & 23 \\ 11 & -12 & -5 \\ 4 & 0 & -10 \\ \end \right)\). Указать, чему равны элементы \(a_\), \(a_\), \(a_\).
Решение
Данная матрица содержит 5 строк и 3 столбца, поэтому размер её \(5\times\). Для этой матрицы можно использовать также обозначение \(A_<5\times>\).
Элемент \(a_\) находится на пересечении первой строки и второго столбца, поэтому \(a_=-2\). Элемент \(a_\) находится на пересечении третьей строки и третьего столбца, поэтому \(a_=23\). Элемент \(a_\) находится на пересечении четвертой строки и третьего столбца, поэтому \(a_=-5\).
Виды матриц в зависимости от их размера. Главная и побочная диагонали. След матрицы.
Пусть задана некая матрица \(A_>\). Если \(m=1\) (матрица состоит из одной строки), то заданную матрицу называют . Если же \(n=1\) (матрица состоит из одного столбца), то такую матрицу называют . Например, \(\left( \begin -1 & -2 & 0 & -9 & 8 \end \right)\) – матрица-строка, а \(\left( \begin -1 \\ 5 \\ 6 \end \right)\) – матрица-столбец.
Если для матрицы \(A_>\) верно условие \(m\neq\) (т.е. количество строк не равно количеству столбцов), то часто говорят, что \(A\) – . Например, матрица \(\left(\begin -1 & -2 & 0 & 9 \\ 5 & 9 & 5 & 1 \end \right)\) имеет размер \(2\times\), т.е. содержит 2 строки и 4 столбца. Так как количество строк не равно количеству столбцов, то эта матрица является прямоугольной.
Если для матрицы \(A_>\) верно условие \(m=n\) (т.е. количество строк равно количеству столбцов), то говорят, что \(A\) – порядка \(n\). Например, \(\left( \begin -1 & -2 \\ 5 & 9 \end \right)\) – квадратная матрица второго порядка; \(\left( \begin -1 & -2 & 9 \\ 5 & 9 & 8 \\ 1 & 0 & 4 \end \right)\) – квадратная матрица третьего порядка. В общем виде квадратную матрицу \(A_>\) можно записать так:
\[ A_=\left(\begin a_ & a_ & \ldots & a_ \\ a_ & a_ & \ldots & a_ \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_ & a_ & \ldots & a_ \end \right) \]
Говорят, что элементы \(a_\), \(a_\), \(\ldots\), \(a_\) находятся на матрицы \(A_>\). Эти элементы называются (или просто диагональными элементами). Элементы \(a_\), \(a_\), \(\ldots\), \(a_\) находятся на ; их называют . Например, для матрицы \(C=\left(\begin2 & — 2 & 9 & 1\\5 & 9 & 8 & 0\\1 & 0 & 4 & -7 \\ -4 & -9 & 5 & 6\end\right)\) имеем:
Элементы \(c_=2\), \(c_=9\), \(c_=4\), \(c_=6\) являются главными диагональными элементами; элементы \(c_=1\), \(c_=8\), \(c_=0\), \(c_=-4\) – побочные диагональные элементы.
Сумма главных диагональных элементов называется и обозначается \(\Tr A\) (или \(\Sp A\)) :
\[ \Tr A=a_<11>+a_+\ldots+a_ \]
Например, для матрицы \(C=\left(\begin 2 & -2 & 9 & 1\\5 & 9 & 8 & 0\\1 & 0 & 4 & -7\\-4 & -9 & 5 & 6 \end\right)\) имеем:
\[ \Tr C=2+9+4+6=21. \]
Понятие диагональных элементов используется также и для неквадратных матриц. Например, для матрицы \(B=\left( \begin 2 & -2 & 9 & 1 & 7 \\ 5 & -9 & 8 & 0 & -6 \\ 1 & 0 & 4 & -7 & -6 \end \right)\) главными диагональными элементами будут \(b_=2\), \(b_=-9\), \(b_=4\).
Виды матриц в зависимости от значений их элементов.
Если все элементы матрицы \(A_>\) равны нулю, то такая матрица называется и обозначается обычно буквой \(O\). Например, \(\left( \begin 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end \right)\), \(\left( \begin 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end \right)\) – нулевые матрицы.
Рассмотрим некоторую ненулевую строку матрицы \(A\), т.е. такую строку, в которой есть хоть один элемент, отличный от нуля. ненулевой строки назовём её первый (считая слева направо) ненулевой элемент. Для примера рассмотрим такую матрицу:
\[ W=\left(\begin
Во второй строке ведущим будет четвёртый элемент, т.е. \(w_=12\), а в третьей строке ведущим будет второй элемент, т.е. \(w_=-9\).
Матрица \(A_>=\left(a_\right)\) называется , если она удовлетворяет двум условиям:
- Нулевые строки, если они есть, расположены ниже всех ненулевых строк.
- Номера ведущих элементов ненулевых строк образуют строго возрастающую последовательность, т.е. если \(a_\), \(a_\), . \(a_\) – ведущие элементы ненулевых строк матрицы \(A\), то \(k_1\lt\lt\ldots\lt\).
Примеры ступенчатых матриц:
Для сравнения: матрица \(Q=\left(\begin 2 & -2 & 0 & 1 & 9\\0 & 0 & 0 & 7 & 9\\0 & -5 & 0 & 10 & 6\end\right)\) не является ступенчатой, так как нарушено второе условие в определении ступенчатой матрицы. Ведущие элементы во второй и третьей строках \(q_=7\) и \(q_=10\) имеют номера \(k_2=4\) и \(k_3=2\). Для ступенчатой матрицы должно быть выполнено условие \(k_2\lt\), которое в данном случае нарушено. Отмечу, что если поменять местами вторую и третью строки, то получим ступенчатую матрицу: \(\left(\begin 2 & -2 & 0 & 1 & 9\\0 & -5 & 0 & 10 & 6 \\0 & 0 & 0 & 7 & 9\end\right)\).
Ступенчатую матрицу называют или , если для ведущих элементов \(a_\), \(a_\), . \(a_\) выполнены условия \(k_1=1\), \(k_2=2\), . \(k_r=r\), т.е. ведущими являются диагональные элементы. В общем виде трапециевидную матрицу можно записать так:
\[ A_> =\left(\begin a_ & a_ & \ldots & a_ & \ldots & a_\\ 0 & a_ & \ldots & a_ & \ldots & a_\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ 0 & 0 & \ldots & a_ & \ldots & a_\\ 0 & 0 & \ldots & 0 & \ldots & 0\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ 0 & 0 & \ldots & 0 & \ldots & 0 \end\right) \]
Примеры трапециевидных матриц:
Дадим ещё несколько определений для квадратных матриц. Если все элементы квадратной матрицы, расположенные под главной диагональю, равны нулю, то такую матрицу называют . Например, \(\left( \begin 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \end \right)\) – верхняя треугольная матрица. Заметьте, что в определении верхней треугольной матрицы ничего не сказано про значения элементов, расположенных над главной диагональю или на главной диагонали. Они могут быть нулевыми или нет, – это несущественно. Например, \(\left( \begin 0 & 0 & 9 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end \right)\) – тоже верхняя треугольная матрица.
Если все элементы квадратной матрицы, расположенные над главной диагональю, равны нулю, то такую матрицу называют . Например, \(\left( \begin 3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 1 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 6 \end \right)\) – нижняя треугольная матрица. Заметьте, что в определении нижней треугольной матрицы ничего не сказано про значения элементов, расположенных под или на главной диагонали. Они могут быть нулевыми или нет, – это неважно. Например, \(\left( \begin -5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 9 \end \right)\) и \(\left( \begin 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end \right)\) – тоже нижние треугольные матрицы.
Квадратная матрица называется , если все элементы этой матрицы, не лежащие на главной диагонали, равны нулю. Пример: \(\left( \begin 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \end \right)\). Элементы на главной диагонали могут быть любыми (равными нулю или нет), – это несущественно.
Диагональная матрица называется , если все элементы этой матрицы, расположенные на главной диагонали, равны 1. Например, \(\left(\begin 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end\right)\) – единичная матрица четвёртого порядка; \(\left(\begin 1 & 0 \\ 0 & 1 \end\right)\) – единичная матрица второго порядка.
Вернуться к списку тем
Задать вопрос на форуме
Записаться на занятия
Заметили ошибку, опечатку, или некорректно отобразилась формула? Отпишите, пожалуйста, в этой теме на форуме.
Если у вас есть некие предложения, отзывы или замечания относительно размещаемых материалов, можете написать об этом в данной теме. Регистрация не требуется.