Что делать если у логарифмов разные основания

Основные свойства логарифмов

Логарифмы, как и любые числа, можно складывать, вычитать и всячески преобразовывать. Но поскольку логарифмы — это не совсем обычные числа, здесь есть свои правила, которые называются основными свойствами.

Эти правила обязательно надо знать — без них не решается ни одна серьезная логарифмическая задача. К тому же, их совсем немного — все можно выучить за один день. Итак, приступим.

Сложение и вычитание логарифмов

Рассмотрим два логарифма с одинаковыми основаниями: log _a x и log _a y . Тогда их можно складывать и вычитать, причем:

Итак, сумма логарифмов равна логарифму произведения, а разность — логарифму частного. Обратите внимание: ключевой момент здесь — одинаковые основания. Если основания разные, эти правила не работают!

Эти формулы помогут вычислить логарифмическое выражение даже тогда, когда отдельные его части не считаются (см. урок «Что такое логарифм»). Взгляните на примеры — и убедитесь:

Поскольку основания у логарифмов одинаковые, используем формулу суммы:
log₆ 4 + log₆ 9 = log₆ (4 · 9) = log₆ 36 = 2.

Основания одинаковые, используем формулу разности:
log₂ 48 − log₂ 3 = log₂ (48 : 3) = log₂ 16 = 4.

Задача. Найдите значение выражения: log₃ 135 − log₃ 5.

Снова основания одинаковые, поэтому имеем:
log₃ 135 − log₃ 5 = log₃ (135 : 5) = log₃ 27 = 3.

Как видите, исходные выражения составлены из «плохих» логарифмов, которые отдельно не считаются. Но после преобразований получаются вполне нормальные числа. На этом факте построены многие контрольные работы. Да что контрольные — подобные выражения на полном серьезе (иногда — практически без изменений) предлагаются на ЕГЭ.

Вынесение показателя степени из логарифма

Теперь немного усложним задачу. Что, если в основании или аргументе логарифма стоит степень? Тогда показатель этой степени можно вынести за знак логарифма по следующим правилам:

log _a x n = n · log _a x ;

Несложно заметить, что последнее правило следует их первых двух. Но лучше его все-таки помнить — в некоторых случаях это значительно сократит объем вычислений.

Разумеется, все эти правила имеют смысл при соблюдении ОДЗ логарифма: a > 0, a ≠ 1, x > 0. И еще: учитесь применять все формулы не только слева направо, но и наоборот, т.е. можно вносить числа, стоящие перед знаком логарифма, в сам логарифм. Именно это чаще всего и требуется.

Задача. Найдите значение выражения: log₇ 49 6 .

Избавимся от степени в аргументе по первой формуле:
log₇ 49 6 = 6 · log₇ 49 = 6 · 2 = 12

Задача. Найдите значение выражения:

Заметим, что в знаменателе стоит логарифм, основание и аргумент которого являются точными степенями: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2 . Имеем:

Преобразование частного двух логарифмов

Думаю, к последнему примеру требуются пояснения. Куда исчезли логарифмы? До самого последнего момента мы работаем только со знаменателем. Представили основание и аргумент стоящего там логарифма в виде степеней и вынесли показатели — получили «трехэтажную» дробь.

Теперь посмотрим на основную дробь. В числителе и знаменателе стоит одно и то же число: log₂ 7. Поскольку log₂ 7 ≠ 0, можем сократить дробь — в знаменателе останется 2/4. По правилам арифметики, четверку можно перенести в числитель, что и было сделано. В результате получился ответ: 2.

Переход к новому основанию

Говоря о правилах сложения и вычитания логарифмов, я специально подчеркивал, что они работают только при одинаковых основаниях. А что, если основания разные? Что, если они не являются точными степенями одного и того же числа?

На помощь приходят формулы перехода к новому основанию. Сформулируем их в виде теоремы:

Пусть дан логарифм log _a x . Тогда для любого числа c такого, что c > 0 и c ≠ 1, верно равенство:

В частности, если положить c = x , получим:

Из второй формулы следует, что можно менять местами основание и аргумент логарифма, но при этом все выражение «переворачивается», т.е. логарифм оказывается в знаменателе.

Эти формулы редко встречается в обычных числовых выражениях. Оценить, насколько они удобны, можно только при решении логарифмических уравнений и неравенств.

Впрочем, существуют задачи, которые вообще не решаются иначе как переходом к новому основанию. Рассмотрим парочку таких:

Задача. Найдите значение выражения: log₅ 16 · log₂ 25.

Заметим, что в аргументах обоих логарифмов стоят точные степени. Вынесем показатели: log₅ 16 = log₅ 2 4 = 4log₅ 2; log₂ 25 = log₂ 5 2 = 2log₂ 5;

А теперь «перевернем» второй логарифм:

Поскольку от перестановки множителей произведение не меняется, мы спокойно перемножили четверку и двойку, а затем разобрались с логарифмами.

Задача. Найдите значение выражения: log₉ 100 · lg 3.

Основание и аргумент первого логарифма — точные степени. Запишем это и избавимся от показателей:

Теперь избавимся от десятичного логарифма, перейдя к новому основанию:

Основное логарифмическое тождество

Часто в процессе решения требуется представить число как логарифм по заданному основанию. В этом случае нам помогут формулы:

n = log _a a n

В первом случае число n становится показателем степени, стоящей в аргументе. Число n может быть абсолютно любым, ведь это просто значение логарифма.

Вторая формула — это фактически перефразированное определение. Она так и называется: .

В самом деле, что будет, если число b возвести в такую степень, что число b в этой степени дает число a ? Правильно: получится это самое число a . Внимательно прочитайте этот абзац еще раз — многие на нем «зависают».

Подобно формулам перехода к новому основанию, основное логарифмическое тождество иногда бывает единственно возможным решением.

Задача. Найдите значение выражения:

Заметим, что log₂₅ 64 = log₅ 8 — просто вынесли квадрат из основания и аргумента логарифма. Учитывая правила умножения степеней с одинаковым основанием, получаем:

Если кто-то не в курсе, это была настоящая задача из ЕГЭ 🙂

Логарифмическая единица и логарифмический ноль

В заключение приведу два тождества, которые сложно назвать свойствами — скорее, это следствия из определения логарифма. Они постоянно встречаются в задачах и, что удивительно, создают проблемы даже для «продвинутых» учеников.

log _a a = 1 — это . Запомните раз и навсегда: логарифм по любому основанию a от самого этого основания равен единице.
log _a 1 = 0 — это . Основание a может быть каким угодно, но если в аргументе стоит единица — логарифм равен нулю! Потому что a 0 = 1 — это прямое следствие из определения.

Вот и все свойства. Обязательно потренируйтесь применять их на практике! Скачайте шпаргалку в начале урока, распечатайте ее — и решайте задачи.

Смотрите также:

Тест к уроку «Что такое логарифм» (тяжелый)
Как решать простейшие логарифмические уравнения
Не пишите единицы измерения в задаче B12
Что такое логарифм
Сложные задачи на проценты
Задача B4: экономика

Вход для учеников
ЕГЭ-2024
Школьникам
1. Арифметика
Арифметика
Дроби
Модуль
Проценты
Корни
Степени
Прогрессии
Текстовые задачи
2. Алгебра
Уравнения
Системы уравнений
Неравенства
Системы неравенств
Рациональные дроби
Функции
Многочлены
Логарифмы
Экспонента
Задачи с параметром
Вероятность
4. Геометрия
Треугольники
Многоугольники
Окружность
Стереометрия
Векторы
3. Математический анализ
Тригонометрия
Предел
Производная
Интегралы
Студентам
Реклама
Обо мне

© 2010—2024 ИП Бердов Павел Николаевич
ИНН 760708479500; ОГРНИП 309760424500020
При использовании материалов ссылка на сайт обязательна
Телефон: +7 (963) 963-99-33; почта: pavel@berdov.com
Карта сайта

Деление логарифмов

В каких случаях можно выполнить деление логарифмов? Возможно ли деление логарифмов с разными основаниями?

I. Деление логарифмов с одинаковыми основаниями выполняется по формуле

$\[a > 0,b > 0,c > 0,a \ne 1,c \ne 1\]» width=»235″ height=»17″ /> <img loading=$

$3)\frac{{{{\log }_2}100}}{{{{\log }_2}10}} = \lg 100 = 2;$

$4)\frac{{\lg 49}}{{\lg 7}} = {\log _7}49 = 2;$

$5)\frac{{\ln 32}}{{\ln 8}} = {\log _8}32 = {\log _{{2^3}}}{2^5} = \frac{5}{3}.$

Деление логарифмов с разными основаниями возможно в некоторых случаях.

Например, если после вынесения показателей степеней за знак логарифма в числителе и знаменателе получим одинаковые логарифмы и дробь можно на них сократить.

$1)\frac{{{{\log }_{36}}9}}{{{{\log }_{216}}9}} = \frac{{{{\log }_{{6^2}}}9}}{{{{\log }_{{6^3}}}9}} =$

$= \frac{{\frac{1}{2}{{\log }_6}9}}{{\frac{1}{3}{{\log }_6}9}} = \frac{1}{2}:\frac{1}{3} = \frac{1}{2} \cdot 3 = 1,5.$

$2)\frac{{{{\log }_{64}}25}}{{{{\log }_{128}}125}} = \frac{{{{\log }_{{2^6}}}{5^2}}}{{{{\log }_{{2^7}}}{5^3}}} =$

$= \frac{{\frac{2}{6}{{\log }_2}5}}{{\frac{3}{7}{{\log }_2}5}} = \frac{1}{3}:\frac{3}{7} = \frac{1}{3} \cdot \frac{7}{3} = \frac{7}{9}.$

В виде формулы этот случай деления логарифмов с разными основаниями можно представить так:

$\frac{{{{\log }_{{a^n}}}{b^m}}}{{{{\log }_{{a^l}}}{b^k}}} = \frac{{\frac{m}{n}{{\log }_a}b}}{{\frac{k}{l}{{\log }_a}b}} = \frac{m}{n}:\frac{k}{l} = \frac{{ml}}{{nk}}$

$\[a > 0,b > 0,a \ne 1,b \ne 1,\]» width=»191″ height=»17″ /> В общем случае при делении логарифмов с разными основаниями нужно попытаться упростить выражение, используя различные свойства логарифмов. <h2>Действия с логарифмами. Набиваем руку!</h2> В данном уроке мы будем учиться работать с логарифмом на уже весьма и весьма приличном уровне. Поэтому для успешного решения примеров этого урока рекомендую погулять по ссылкам: Почитайте, пока не поздно.) Почитали? Всё понятно! Отлично! Тогда движемся дальше.) Теперь настал черёд завязывания более крепкой дружбы с логарифмами и, соответственно, решения серьёзных (в том числе сложных и нестандартных) примеров. Чтобы не скакать из темы в тему, прежде всего я ещё разочек выпишу все основные свойства и формулы логарифмов. Вот они: <img decoding=$

Это основной набор формул, необходимых для успешной работы с логарифмами практически на любом уровне сложности. Иногда в школе (и в некоторых продвинутых учебниках) дают больше формул, но в целом приведённого перечня для решения большей части примеров оказывается вполне достаточно. Эти формулы надо помнить! Но, ещё раз повторяю, не просто помнить, а уметь применять! Причём в обоих направлениях — как слева направо, так и справа налево. Вроде бы это всё и так понятно и очевидно, но… дальше всё поймёте.) Как надо помнить формулы, я вам вряд ли смогу подсказать, а вот как уметь применять — подробно расскажу и покажу в этом уроке.

Итак, продолжаем наши игры!

Все формулы. Все степени. Много дробей! Двоюродные и троюродные братья.

Ну что ж, теперь приступаем к работе со всеми формулами (кроме последней формулы перехода к новому основанию). Используем все свойства степеней и активно включаем в работу степени с отрицательными и дробными показателями. Поди сообрази, что, например,

Это уже не родные, а двоюродные и троюродные братья по степени получаются…)

Посему, если есть пробелы в степенях, то для начала милости прошу сюда:

Ну, а для тех, кто со степенями давно на «ты» — продолжаем.)

Пример 1

За что зацепиться? Хорошо, если сразу догадались, а если нет? Если нет, значит, перечитываем первый практический совет прошлого урока — переходим к обыкновенным дробям!

У нас в одну кучу намешаны десятичная дробь и смешанное число. Вот и перейдём к единообразию — к обычным дробям. А там, глядишь, и забрезжит свет в конце тоннеля…

Так, уже кое-чего проясняется: 49 с семёркой родня, а 100 — с десяткой:

Стало быть, по свойствам степеней можно записать:

Ну, вот и спасительный лучик света! Выносим двойку за логарифм и получаем:

Уже всё стало выглядеть гораздо симпатичнее. Всё бы ничего, только основание 7/10 и аргумент 10/7 у нас записаны кверху ногами. Что делать? Да свойства степеней вспомнить! На этот раз — с отрицательным показателем:

И снова выносим показатель степени (минус единицу) за знак логарифма, переворачиваем аргумент и получаем:

Готово дело.) Теперь пробуем самостоятельно:

А теперь вовлекаем в наш увлекательный процесс корни. То есть, не что иное, как… степени с дробными показателями. Да-да!

Пример 2

Надеюсь, вы не забыли, что lg — это просто логарифм по основанию 10? Или десятичный логарифм? Пример достаточно простой, без заморочек. Надо всего лишь вспомнить, что корень кубический из 7000 — это 7000 1/3 . С семёркой — аналогично. А дальше по формуле разности логарифмов да по формуле деления степеней. Получим:

Вот так вот. Здесь мы снова перешли к обычным дробям. Но не от десятичных дробей или смешанных чисел, а от корней. В этом безобидном примере вполне можно было бы и без дробей обойтись, работать напрямую с корнями, но в более сложных примерах корни могут вконец запутать. Как, например, вот в таком примерчике:

Пример 3

С чего начать? И тройка есть, и девятка. Правда, три в квадрате — это и будет девятка… Но в примере ещё и корни разных степеней смешались в кучу — квадратный и кубический! Ужас… Но паниковать и сдаваться рано. Перейдём-ка от корней к степеням с дробными показателями! Распишем девятку как 3 2 . А там, того гляди, всё и наладится.)

Верные мысли! Итак, по свойствам степеней для основания и для аргумента мы можем записать:

Вот всё и прояснилось.) Оба числа — и основание, и аргумент — оказались… родственниками! По тройке.) Только совсем уж дальними. Даже не троюродными, а десятиюродными братьями: основание — это три в степени 3/2, а аргумент — та же тройка, но в степени 7/3… Тем не менее факт остаётся фактом — родство по степени (хоть и очень дальнее) установлено. Вот и все формулы и свойства заработали! Выносим наши дробные показатели из за знак логарифма и аккуратно считаем:

Вот так. Здесь уже, конечно, немножко повозиться со степенями пришлось. А что делать… Так что не стесняемся переходить от корней к дробям! И всё получится. Обязательно.)

Вот вам и очередные практические советы:

При наличии дробей в примере, переходим от дробей к степеням с отрицательными показателями.

При наличии корней переходим от корней к степеням с дробными показателями.

Что ж, пришла пора разгрызть и какой-нибудь особо крепкий орешек. Как, например, вот такой примерчик:

Пример 4

Опять же, с чего начинать? Если имеете хоть малейшее представление — флаг вам в руки. Вперёд и с песнями, как говорится.) Если понятия не имеете — подключаем зелёные практические советы и размышляем синим цветом. Примерно так:

«Ух, наворотили… Кошмар! Напролом явно не решается, надо сначала как-то преобразовывать пример. Но — как? Будем вспоминать практические советы.

1. Если в одном примере смешались в кучу разные типы дробей, то переходим к обыкновенным дробям.

Где здесь дроби? Дробей не видно. Ладно, этот пункт пока пропустим. Что там у нас ещё есть? Вот это:

2. Степени популярных чисел надо знать. В лицо! При наличии в примере разных чисел пытаемся найти «братьев по степени».

Так, кое-какая зацепочка уже появилась… 121 — это 11 в квадрате. Ещё можно расписать 125 как 5 в кубе и 9 как 3 в квадрате, но 5 и 3 — никакие не братья и не сёстры по степени. Пригодится или нет — пока непонятно, но к сведению примем. Поехали дальше.)

3. Любую степень можно записать множителем перед логарифмом. И наоборот — любой числовой коэффициент можно спрятать внутрь логарифма. Если он мешает, конечно.

Коэффициентов в нашем примере нет, логарифмы и так чистые. Отметаем этот совет. Что у нас там ещё припасено?

4. Всегда прикидываем, нельзя исходное выражение преобразовать под какую-нибудь готовую формулу?

Вот и прикидываем: на что похож внешний вид нашего примера? Ну же? Ну, конечно! На самую первую формулу — основное логарифмическое тождество! Единственная формула, где логарифм тусуется в показателе степени.

С ним мы пока что ни разу не работали. Что ж, поработаем! Попробуем преобразовать наш пример под эту формулу: других вариантов как-то выкрутиться у нас просто нет!

Но в формуле в показателе стоит один логарифм! А у нас — сумма. Что нам мешает сложить логарифмы по соответствующей формуле суммы? Основания мешают! Они… они — разные! Ну-ка, может, ещё не все практические советы у нас использованы? Вспоминаем:

5. При наличии дробей в примере, переходим от дробей к степеням с отрицательными показателями. При наличии корней переходим от корней к степеням с дробными показателями.

Так, ну дробей в нашем примере нету, это видно. А вот корень в основании — преобразуем. Вот так:

А во втором логарифме в основании тоже стоит 11, только в квадрате… Уже кое-какие проблески! Выпишу-ка я показатель отдельно, дабы не запутаться… С учётом наших размышлений.)

Уже лучше. Теперь выносим показатели степеней из оснований перед логарифмами (не забыть бы перевернуть…):

Великолепно! Основания логарифмов выровнялись! Только вот новая беда… Коэффициенты появились… Хотелось бы сложить логарифмы, ан нет, не канает… Так стоп! Чего же я туплю-то! Можно же их по другой формуле спрятать вовнутрь!

Ну вот. Уже идеально для формулы сложения! Только внутри логарифмов что-то несусветное стало твориться. Не беда, перейдём к маленьким числам: зря, что ли, мы 125 и 9 в виде степеней пятёрки и тройки расписывали?

Пока всё чин-чинарём. Теперь, по правилам действий со степенями, можно записать:

Вот, практически, и всё. Досчитываем наш показатель по формуле сложения логарифмов:

Пример становится всё лучше и лучше! Возвращаемся к нашему исходному примеру, вставляем в него наш преобразованный показатель и получаем ответ!

Йес. Ничего себе, примерчик, однако ж…»

Вот такой пример. Запутанный, да, я не спорю. И зачем я так детально его разобрал? С практическими советами, мыслями… Мог бы и в пару строк уложиться… Дело в том, что разбор одного конкретного примера — занятие бесполезное. Не попадётся он. А вот разъяснить на конкретном примере, как именно надо выкручиваться в любом (да-да, любом!) задании — совсем другое дело!

Главное в этом разборе — подход. Мы применяем весь наш арсенал инструментов к конкретному примеру. Пробуем поочерёдно все инструменты, как ключики к замку. Что-то срабатывает, а что-то нет. Это не страшно и не смертельно. Не подошло — пробуем что-то другое! Что-то обязательно подойдёт! Сложные и запутанные задания именно так и решаются. И никак иначе.)

Конечно, с опытом всё будет делаться гораздо короче и какие-то шаги будут в уме делаться и вообще пропускаться. За ненадобностью. Тут практика рулит. Тренироваться и решать надо. Используя изложенный здесь подход. И тогда всё получится. Обязательно!

Формула перехода к новому основанию. Немного приколов… И немного формул сокращённого умножения.

Поднимаемся ещё на ступень повыше. Запускаем теперь в дело самую последнюю формулу из нашего списка — это формула перехода к новому основанию. Вот она:

В чём суть этой формулы, когда она применяется и как именно она работает? Объясняю по пунктам.

Формула эта применяется, когда основания логарифмов — разные. Но не просто разные, а ещё и не родственные по степени! Которые друг в друга через простую степень не превращаются. Скажем, 2 и 3. Или 5 и 7. Заметьте, что нам уже встречались разные основания у логарифмов в одном и том же примере, но там или всё и так славненько срасталось, или переход был через степени. Например, если основания логарифмов 1/125 и 25, то можно догадаться, что это родня! По пятёрке. Ибо 1/125 = 5 -3 , а 25 = 5 2 . Не так очевидно, конечно, но и мы уже всё-таки на серьёзном уровне с вами. А дальше дело техники: выносим показатели за логарифмы и — вперёд.

Но если основания не родственные, а без выравнивания оснований в примере никак, то выход только один — работать по этой формуле.

Запомнить её очень легко. По шагам:

1) Слева пишем логарифм, основание которого нам не нравится. Справа рисуем черту дроби.

2) В числитель пишем логарифм числа b, но уже по новому основанию k. Какому именно основанию? А какому угодно! В том-то весь и фокус! Естественно, тому, которое нам удобнее. Кроме единицы, разумеется.)

3) В знаменатель пишем логарифм старого основания a по тому же новому основанию k.

Обратите внимание на саму структуру формулы: слева в основании буквы k вообще нет! В этом-то и вся фишка! Это означает, что новому логарифму мы можем выбрать какое угодно основание. Обычно выбирают то, которое нам удобно в конкретном примере. Если, скажем, в примере куча логарифмов по основанию 3 и затесался один по основанию 7, то его и менять будем. На тройку.

А в знаменатель пишем логарифм старого основания. Так уже математика требует. В результате логарифм со старым основанием исчезает из примера. Вот и всё. Вот и вся суть формулы перехода. Ну что, посмотрим на формулу перехода в действии?

Пример 5

Что тут можно увидеть? Ну, во-первых, разные основания. Причём не родственные: из четвёрки пятёрку простым возведением в степень никак не получить. Во-вторых, наблюдаем произведение логарифмов. Такой формулы в наших свойствах нету. Не путаем с логарифмом произведения! Или с суммой логарифмов… Что же делать? Первым делом перейдём к одному основанию. Что-то же делать всё равно надо! К какому основанию пойдём? Ну, ясное дело, что не к 30 или 1,234. У нас на выбор два варианта — либо к четвёрке, либо к пятёрке. В данном примере абсолютно без разницы, к чему переходить. Давайте к четвёрке пойдём: всё-таки число поменьше.) Итак, первый логарифм не трогаем (у него и так основание четыре), а вот второй логарифм превращаем по формуле перехода в дробь:

Всё. Логарифм по основанию 5 из примера благополучно исчез, и в основаниях остались только четвёрки. Вставляем полученную дробь в наш пример, упрощаем и считаем:

Вот так. Откуда же я узнал, что надо переходить к другому основанию? Ведь я мог и что-то ещё замутить. Скажем, log₅16 расписать как

и дальше как-то ещё выкручиваться. Да. Можно. Но с богатым опытом приходит уже так называемое математическое чутьё на формулы и преобразования.) Когда в уме наперёд уже умеешь просчитывать, к чему может привести тот или иной манёвр и не идёшь по заведомо негодному пути.

Вот вам очередной практический совет на данную тему.

Если перед вами сложное логарифмическое выражение, в котором основания логарифмов разные, то первым делом пробуем сделать их одинаковыми. Или через степени или по формуле перехода. Очень часто этот манёвр срабатывает проясняет дальнейшую ситуацию.

А теперь рассмотрим один фокус на формулу перехода, который частенько любят проделывать составители примеров. По-другому эту фишку даже и не назовёшь. Настолько элементарна, а в тупик может поставить даже отличника!

Пример 6

Основания уже одинаковые, но формулы деления логарифмов не существует, да… Можно, конечно, сообразить, что 125 = 5 3 и старым добрым способом, но что делать, если внутри логарифмов сидит что-нибудь более навороченное? Вот и впадают в ступор…

Здесь же достаточно всего лишь разглядеть формулу перехода к новому основанию. Вернее, не просто формулу, а её правую часть! И, если запустить эту формулу справа налево, то сразу получим:

И все дела! Да-да! Это ответ.)

Частенько эту фишку применяют с какими-нибудь совершенно дикими основаниями. На испуг берут, типа.) Как, например, вот такое задание:

Пример 7

В основании число «пи», как тут не испугаться… Однако, если догадаться, что наша ужасная дробь — всего лишь правая часть формулы перехода к новому основанию и сработать справа налево, то получим всего-навсего:

Вот и всё. И нету больше никакого «пи».) А уж сложить парочку логарифмов с одинаковыми основаниями — пустяшное дело. Не пример, а одно удовольствие:

Вот такой вот приёмчик. Теперь, надеюсь, не растеряетесь, в случае чего.)

Рассмотрим ещё одну распространённую фишку с формулой перехода. Вернее, её частный случай.

Что произойдёт, если за новое основание мы возьмём аргумент логарифма? Давайте посмотрим!

Во как! Оказывается, если поменять местами a и b, то наш новый логарифм станет всего лишь обратным к старому! Весьма и весьма полезная формулка. Имеет смысл запомнить.) Решим примерчик и на эту тему:

Пример 8

Что делать будем? Скобки раскрывать? Можно, конечно, но пример явно намекает на более элегантное преобразование. Перейдём в логарифме по основанию 40 к основанию 2. Двойка чем-то привлекательнее, чем сорок, не находите?) Поскольку в аргументе логарифма стоит также двойка, то при переходе к основанию 2 достаточно просто перевернуть этот логарифм. И все дела.)

И что дальше? Куда пристегнуть тройку? А дальше новый фокус! Дело всё в том, что мы не можем напрямую сложить логарифм и число. Но зато логарифмы между собой — запросто! Как выкрутимся? А сделаем-ка из тройки… логарифм! Да-да! Для этого сначала выберем ему основание. Вариантов выбора много, но я предлагаю выбрать 2. Думаю, возражений не будет?)

А дальше пишем вот такое простое равенство:

Всё легко и просто: тройка уходит показателем в степень нашего выбранного основания. Сама цепочка превращений выглядит вот так:

1) Вместо тройки пишем степень с выбранным основанием 2 и показателем, равным этой самой тройке.

2) Берём логарифм от этой степени по тому же самому основанию 2.

Конечно, можно было бы и сразу тройку на логарифм заменить, благо здесь числа совсем простые, но лучше запомнить эту простую цепочку. А то придётся где-нибудь, к примеру, превращать в логарифм по основанию 11 число 1/7… А по цепочке всё совсем элементарно:

Просекли фишку? Тогда возвращаемся к нашим баранам и дорешиваем:

Да… Кто бы мог подумать.)

Конечно, в числовых выражениях этот приёмчик с превращением числа в логарифм достаточно экзотичен. Но вот в логарифмических уравнениях и неравенствах он применяется на полную катушку! Имейте его в виду.)

Заметьте, что обычно мы стараемся поступать наоборот — упрощать всякие ужасы типа дробей, корней, синусов да логарифмов. Доводить их, по возможности, до конечного числа. А тут — наоборот, из числа делаем логарифм. Что хотим, то и творим! Так что математика — на самом деле весьма и весьма творческая наука! Во многом даже искусство.)

При необходимости любое число можно превратить в логарифм по любому основанию (кроме единицы, конечно).

Осталось разобраться с совсем уж хардкорными примерами. Где и так пробуешь и сяк, но не упрощается он никак! На такие примеры есть своё особое секретное оружие.) Срабатывает безотказно. Если уметь грамотно им пользоваться, конечно. Как вам такой примерчик!

Пример 9

За что зацепиться? Все основания уже одинаковые (семёрка), но это особо не спасает. Кстати, обращаю ваше внимание на весьма и весьма частый косяк. В числителе стоят квадраты логарифмов. Именно самих логарифмов, а не их аргументов! Это означает, что вынести двойки из логарифмов наружу мы не имеем права! Не там двойки стоят… Стало быть, уже привычных нам логарифмических формул, готовых к употреблению, нету. Что же делать?

Спокойно! Без паники! Никто и никогда не может гарантировать, что сразу влёт всё решится.) К сожалению…

Чтобы расправиться с этим злым примером, забудем на минутку про логарифмы и плавненько переместимся в седьмой класс. Формулы сокращённого умножения не забыли, надеюсь? А теперь внимательно присматриваемся к нашему примеру. Что ещё, кроме логарифмов, в нём можно увидеть? Разность… Разность ква… Ну, конечно! Разность квадратов! Такая родная и до боли знакомая формула:

Правда, в применении к логарифмам. Ну и что из этого? Ведь в формуле под буковками a и b может скрываться всё что угодно — и логарифмы, и синусы, и степени — любые выражения! Формула всё равно сработает!

Итак, заменяем наш числитель на произведение скобок по формуле разности квадратов:

Вот и всё встало на свои места! И все формулы заработали! Решать пример стало одно удовольствие.)

В первых скобках (разность) получается:

Во вторых скобках (сумма) будет:

Вставляем в пример наши промежуточные результаты, сокращаем и получаем:

Простенько и со вкусом.) Здесь-то всё ясно. Но в тревожной боевой обстановке ЕГЭ подобный пример может и в ступор вогнать. Дело всё в том, что большинство учеников подсознательно пытаются решить пример в том формате, в котором он задан. Например, если задан пример на логарифмы, то мы с головой погружены в логарифмы и варимся только в них, а вынырнуть на поверхность да оглядеться вокруг — не можем. С тригонометрией аналогично — решаем пример только в рамках тригонометрии. И, в случае чего, не можем напрячься и выскочить из этих жёстких рамок… А надо уметь! Хотя бы иногда.)

Посему очередной по счёту практический совет:

Замороченные примеры проверяем на алгебру седьмого класса — разложение на множители, формулы сокращённого умножения и т.п.

Ещё из той же оперы для самостоятельного решения:

Ну что, поздравляю! Вот мы и набрались достаточного количества знаний для уверенной работы с логарифмами практически на любом уровне сложности! Дальше путь только один — решать примеры! Как можно больше.) И особо рекомендую не пренебрегать зелёными советами. Они не зря даются в материале.) Их надо помнить и им надо следовать.) И тогда не логарифмы будут командовать вами, а вы — логарифмами.)

Свойства логарифмов и примеры их решений

Я уже говорил, что математики СУПЕРленивые люди? Это правда.

Вот представь себе, им лень умножать и они придумали логарифмы, которые позволяют заменить умножение сложением!

Им еще больше лень возводить в степень и они используют логарифмы, чтобы заменить возведение в степень умножением или делением!

То есть они используют логарифмы, чтобы быстро проделывать громоздкие вычисления.

Логарифм и его свойства. Вебинар (1 час 48 минут)

В этом видео я разобрал свойства логарифмов на примере решения 35 задач.

Начиная от самых простых логарифмов и заканчивая сложными.

Если вам понравилось видео, подписывайтесь на канал, ставьте лайки — мне будет приятно и я буду делать больше таких видео.

То есть логарифм – это степень, в которую нужно возвести основание, чтобы получить аргумент.

Если ты посчитаешь на калькуляторе, то получишь $2,321928\ldots $ и т.д. Это число иррациональное. Оно мало того, что не подбирается, оно еще и не кончается…

Ну и как с такими числами работать? Как их запоминать? Как их записывать?

В нашем случае решение уравнения можно записать как $2,321928\ldots $ или как $\displaystyle <<\log >_>5$.

Согласись второе выражение гораздо удобнее, чем первое. И оно, кстати, абсолютно точное. Словами это произносится как:

Решением уравнения два в степени икс равно пяти является логарифм пяти по основанию два, или логарифм по основанию два от пяти.

Кстати, а ты заметил что и у степени числа и у логарифма основание всегда находится «ВНИЗУ». Легко запомнить правда? А вот «вверху», у степени находится ее показатель, а у логарифма – аргумент.

Выражение $\displaystyle ^>=8$ можно также записать в виде $\displaystyle <<\log >_>8=3$. Читается так:

«Логарифм восьми по основанию два равен трем»

«Логарифм по основанию два от восьми равен трем»

Теперь более общая запись:

«Чтобы получить число $b$, нужно число $a$ возвести в степень $c$»:

8 примеров вычисления логарифмов

Пример 1

Чему равен $\displaystyle <<\log >_>4$?

$\displaystyle <<\log >_>4=2$, так как число $2$ нужно возвести во вторую степень, чтобы получить $4$.

Пример 2

Чему равен $\displaystyle <<\log >_>\frac$?

Заметим, что $\displaystyle 8=^>$, тогда $\displaystyle \frac=\frac<^>>=^>$, то есть $2$ нужно возвести в степень $-3$, чтобы получить $\displaystyle \frac$.

Пример 3

А чему равен $\displaystyle <<\log >_>0,25$?

Обращать внимание нужно, в первую очередь, на основание. Возможно ли представить $0,25$ как $2$ в какой-то степени? Да, возможно: запишем это число в виде обычной дроби: $\displaystyle 0,25=\frac=\frac^>>=<^>$.

Пример 4

Чему равен $\displaystyle <<\log >_>1$?

В какую степень надо возвести $7$, чтобы получить $1$? Вспоминаем, что любое число в нулевой степени равно $1$ (подробнее читай в разделе «Степень и ее свойства»).

Значит, $\displaystyle <<\log >_>1=0$. Более того, логарифм с любым основанием от единицы равен $0$.

Пример 5

$\displaystyle <<\log >_>2$. В этом случае аргумент $2$ равен корню основания: $\displaystyle 2=\sqrt$.

Но мы помним, что корень тоже можно представить в виде степени (с дробным показателем): $\displaystyle 2=\sqrt=<^>>\text< >\Rightarrow \text< ><<\log >_>2=\frac$.

Попробуй найти следующие 4 логарифма самостоятельно

$\displaystyle <<\log >_>5;\text< >$
$\displaystyle <<\log >_>3;$
$\displaystyle <<\log >_>>16;$
$\displaystyle <<\log >_>1.$

$\displaystyle <<\log >_>5=1;$
$\displaystyle lo_>3=\frac;$
$\displaystyle <<\log >_<\frac>>16=-2;$
$\displaystyle <<\log >_>1=0$

Десятичные логарифмы

Логарифм по основанию $\displaystyle 10$ называется десятичным логарифмом и записывается упрощенно: $\displaystyle \lg $ вместо $\displaystyle <<\log >_>$

$\displaystyle \lg 100=2$;
$\displaystyle \lg 1000=3$;
$\displaystyle \lg ^>=15$;
$\displaystyle \lg 0,1=-1$;
$\displaystyle \lg 0,01=-2$.

Когда нужная степень не подбирается

Как я уже говорил, далеко не всегда удается подобрать такую степень. Но это не значит, что такого числа не существует, просто его можно вычислить только на калькуляторе.

Например, $\displaystyle <<\log >_>5=2,321928…$.

Видим, что это число расположено между $\displaystyle 2$ и $\displaystyle 3$, и это понятно: ведь это значит, чтобы получить $5$, нужно $2$ возводить в степень больше $2$, но меньше $3$.

На ЕГЭ пользоваться калькулятором нельзя, но даже если бы было можно, нельзя записывать приближенные вычисления.

Поэтому, если перед нами задача первой части, ответ обязательно должен получиться «хороший», и его можно посчитать в уме.

В письменной части могут попасться и «плохие» числа; в этом случае пугаться не нужно, в ответе можно просто написать логарифм.

Например, ответ вполне может выглядеть так:

$\displaystyle <<\log >_>10$, или даже так: $\displaystyle \frac<2+<<\log >_>7>$.

Получается, что теперь мы можем мгновенно записать решение любого элементарного показательного уравнения:

Но увлекаться и халтурить тоже не стоит – если в ответе оставить $\displaystyle x=<<\log >_>81$, высший балл за задачу не поставят.

То есть, если ответ возможно упростить и представить в виде рационального числа, это обязательно нужно будет сделать.

Потренируйся на следующих простых примерах:

6 примеров для самостоятельной работы

Ответы:

$\displaystyle 81=^>=<<\left( ^> \right)>^>=^>\text< >\Rightarrow \text< >x=4$;
$\displaystyle 20=4\cdot 5$, но $\displaystyle \text$ никак не представить в виде степени четверки. Поэтому все просто: $\displaystyle x=<<\log >_>20$;
$\displaystyle 0,2=\frac\text<<\text>^>\text< >\Rightarrow \text< >x=-1$;
$\displaystyle 80=16\cdot 5=<^>\cdot 5$. Как и в примере 2, здесь придумать степень не получится, поэтому $\displaystyle x=<<\log >_>80$;
$\displaystyle \frac=\frac<^>><<^>>=<<\left( \frac\right)>^>=\frac<<<\left( \frac\right)>^>>=<<\left( \frac\right)>^>\text< >\Rightarrow \text< >x=-3$;
$\displaystyle 4,5=\frac,\text< а >18=9\cdot 2$. Очевидно, и здесь степень придумать не удастся: $\displaystyle x=<<\log >_>18$.

Чтобы открыть все задачи учебника, закрытые голубыми баннерами (как этот), зарегистрируйтесь один раз:

Регистрация

Область допустимых значений (ОДЗ)логарифма

Мы помним, что, например, квадратный корень нельзя извлекать из отрицательных чисел; или если у нас дробь, то знаменатель не может быть равен нулю. Подобные ограничения есть и у логарифмов:

ОДЗ Логарифма

То есть и аргумент, и основание должны быть больше нуля, а основание еще и не может равняться $ 1$.

Начнем с простого: допустим, что $ a=1$. Тогда, например, число не существует, так как в какую бы степень мы не возводили $ 1$, всегда получается $ 1$.

Более того, $ \displaystyle <<\log >_>b$ не существует ни для какого $ \displaystyle b\ne 1$.

Но при этом $ \displaystyle <<\log >_>1$ может равняться чему угодно (по той же причине – $ 1$ в любой степени равно $ 1$).

Поэтому объект не представляет никакого интереса, и его просто выбросили из математики.

Похожая проблема у нас и в случае $ a=0$: $ 0$ в любой положительной степени – это $ 0$, а в отрицательную его вообще нельзя возводить, так как получится деление на ноль (напомню, что $ \displaystyle >=\frac>>$).

При $ a>>=\sqrt[n]>>$.

Например, $ \displaystyle <<\log >_>2=\frac$ (то есть $ \displaystyle <^<\frac>>=\sqrt=2$), а вот $ \displaystyle <<\log >_>2$ не существует.

Поэтому и отрицательные основания проще выбросить, чем возиться с ними.

Ну а поскольку основание a у нас бывает только положительное, то в какую бы степень мы его ни возводили, всегда получим число строго положительное.

Значит, аргумент должен быть положительным.

Например, $ \displaystyle <<\log >_>\left( -4 \right)$ не существует, так как $ 2$ ни в какой степени не будет отрицательным числом (и даже нулем, поэтому $ \displaystyle <<\log >_>0$ тоже не существует).

В задачах с логарифмами первым делом нужно записать ОДЗ.

Решим уравнение $ \displaystyle <<\log >_>\left( x+2 \right)=2$.

Вспомним определение: логарифм $ \displaystyle <<\log >_>\left( x+2 \right)$ – это степень, в которую надо возвести основание $ x$, чтобы получить аргумент $ \displaystyle \left( x+2 \right)$.

И по условию, эта степень равна $ 2$: $ \displaystyle ^>=x+2$.

Получаем обычное квадратное уравнение: $ \displaystyle ^>-x-2=0$.

Решим его с помощью теоремы Виета: сумма корней равна $ 1$, а произведение $ -2$. Легко подобрать, это числа $ 2$ и $ -1$.

Но если сразу взять и записать оба этих числа в ответе, можно получить 0 баллов за задачу на ЕГЭ.

Давайте подумаем, что будет, если подставить эти корни в начальное уравнение?

$ \displaystyle x=2\text<<\log >_>\left( 2+2 \right)=<<\log >_>4=2$ – верно.

$ \displaystyle x=-1\text<<\log >_>\left( -1+2 \right)=2$ – это явно неверно, так как основание не может быть отрицательным, то есть корень $ x=-1$ – «сторонний».

Чтобы избежать таких неприятных подвохов, нужно записать ОДЗ еще до начала решения уравнения:

Тогда, получив корни $ x=2$ и $ x=-1$, сразу отбросим корень $ -1$, и напишем правильный ответ.

Пример 1 (попробуй решить самостоятельно)

Найдите корень уравнения $ \displaystyle <<\log >_>\left( 2x+5 \right)=2$. Если корней несколько, в ответе укажите меньший из них.

Решение:

$ \displaystyle <<\log >_>\left( 2x+5 \right)=2$.

Чтобы открыть все задачи учебника, закрытые голубыми баннерами (как этот), зарегистрируйтесь один раз:

Регистрация

Основное логарифмическое тождество

Вспомним определение логарифма в общем виде:

$ \displaystyle <<\log >_>b=c\text< >\Leftrightarrow \text< >>=b$

Подставим во второе равенство вместо $ \displaystyle c$ логарифм:

Это равенство называется основным логарифмическим тождеством. Хотя по сути это равенство – просто по-другому записанное определение логарифма:

Реши еще следующие примеры:

Пример 2

Найдите значение выражения $ \displaystyle ^<<<\log >_>3>>$.

Пример 3

Решения примеров 2 и 3:

Чтобы открыть все задачи учебника, закрытые голубыми баннерами (как этот), зарегистрируйтесь один раз:

Регистрация

Свойства логарифмов

К сожалению, задачи не всегда такие простые – зачастую сперва нужно упростить выражение, привести его к привычному виду, и только потом будет возможно посчитать значение.

Это проще всего сделать, зная свойства логарифмов.

Так что давай выучим основные свойства логарифмов. Каждое из них я буду доказывать, ведь любое правило проще запомнить, если знать, откуда оно берется.

Все эти свойства нужно обязательно запомнить, без них большинство задач с логарифмами решить не получится.

А теперь обо всех свойствах логарифмов подробнее.

Свойство 1 – степень аргумента

$ \displaystyle <<\log >_>>=x$

Доказательство:

Свойство 2 – сумма логарифмов

Сумма логарифмов с одинаковыми основаниями равна логарифму произведения: $ \displaystyle <<\log >_>b+<<\log >_>c=<<\log >_>\left( b\cdot c \right)$.

Доказательство:

Пример

Найдите значение выражения: $ \displaystyle <<\log >_>5+<<\log >_>0,6$.

Решение:

Чтобы открыть все задачи учебника, закрытые голубыми баннерами (как этот), зарегистрируйтесь один раз:

Регистрация

А вот обещанное упрощение:

Зачем это нужно? Ну например: чему равно $ \displaystyle lo_>250-<<\log >_>2$?

Теперь упрости сам:

$ \displaystyle <<\log >_>324-<<\log >_>4$
$ \displaystyle <<\log >_>0,0625$
$ \displaystyle <<\log >_>0,125+<<\log >_>0,5$
$ \displaystyle <<\log >_>50-<<\log >_>2$

Ответы:

Чтобы открыть все задачи учебника, закрытые голубыми баннерами (как этот), зарегистрируйтесь один раз:

Регистрация

Свойство 3 – разность логарифмов

Разность логарифмов с одинаковыми основаниями равна логарифму частного:$ \displaystyle lo_>b-<<\log >_>c=<<\log >_>\frac$.

Доказательство:

Все точно так же, как и в пункте 2:

Пример из прошлого пункта теперь становится еще проще:

Пример посложнее: $ \displaystyle \log _^2\sqrt-\log _^\sqrt-<<\log >_>3$.

Догадаешься сам, как решить?

Здесь нужно заметить, что у нас нету ни одной формулы про логарифмы в квадрате. Это что-то сродни выражению $ \displaystyle ^^>>>$ – такое сразу не упростить.

Поэтому отвлечемся от формул про логарифмы, и подумаем, какие вообще формулы мы используем в математике чаще всего? Еще начиная с 7 класса!

Это – формулы сокращенного умножения. Нужно привыкнуть к тому, что они везде! И в показательных, и в тригонометрических, и в иррациональных задачах они встречаются. Поэтому их нужно обязательно помнить.

Нажми на ссылку «Формулы сокращенного умножения», и внимательно на них посмотри. Какую из них можно применить здесь?

Если присмотреться к первым двум слагаемым, становится ясно, что это разность квадратов:

Дальше все просто – применяем только что выученные правила 2 и 3. Что получилось?

Ответ для проверки:

Упрости сам:

Ответы:

Чтобы открыть все задачи учебника, закрытые голубыми баннерами (как этот), зарегистрируйтесь один раз:

Регистрация

Свойство 4 – вынесение показателя степени из аргумента логарифма

Если в аргументе логарифма стоит степень, показатель этой степени можно вынести за знак логарифма: $ \displaystyle <<\log >_>^>=n\cdot <<\log >_>b$

Доказательство:

Можно понять это правило так:

То есть степень аргумента выносится вперед логарифма, как коэффициент.

Пример: Найдите значение выражения $ \displaystyle \frac<<<\log >_>25><<<\log >_>5>$.

Реши сам:

$ \displaystyle \frac<<<\log >_>81><<<\log >_>3>$
$ \displaystyle \frac<<<\log >_>125><<<\log >_>625>$
$ \displaystyle \frac<\log _^25\sqrt-\log _^\sqrt><<<\log >_>250>$

Ответы:

Чтобы открыть все задачи учебника, закрытые голубыми баннерами (как этот), зарегистрируйтесь один раз:

Регистрация

Свойство 5 – вынесение показателя степени из основания логарифма

Если в основании логарифма стоит степень, показатель этой степени можно вынести за знак логарифма: $ \displaystyle <<\log >_>>>b=\frac\cdot <<\log >_>b$.

Доказательство:

Запоминаем: из основания степень выносится как обратное число, в отличии от предыдущего случая!

Свойство 6 – вынесение показателя степени из основания и аргумента логарифма

Если в основании и аргументе логарифма стоят степени, показатели этих степеней можно вынести за знак логарифма: $ \displaystyle <<\log >_>>>^>=\frac\cdot <<\log >_>b$.

Свойство 7 – переход к новому основанию

Если основания логарифмов разные, то для того чтобы дальше работать с логарифмами нужно перейти к логарифмам с одним основанием: $ \displaystyle <<\log >_>b=\frac<<<\log >_>b><<<\log >_>a>\text< >\left( c>0;\text< >\ne \text \right)$.

Доказательство:

Свойство 8 – замена местами основания и аргумента логарифма

Можно менять местами основание и аргумент логарифма, но при этом все выражение «переворачивается», т.е. логарифм оказывается в знаменателе: $ \displaystyle <<\log >_>b=\frac<<<\log >_>a>,\text< >\left( b\ne 1 \right)$.

Доказательство:

Рассмотрим еще несколько примеров.

Пример 1. Найдите значение выражения $ \displaystyle <<\log >_>75+<<\log >_>\frac$.

Пример 2. Найдите значение выражения $ \displaystyle <<\log >_>36-2<<\log >_>2$.

Пример 3. Найдите значение выражения $ \displaystyle <<\log >_>>\left( 32\sqrt[5] \right)$.

Пример 4. Найдите значение выражения $ \displaystyle \frac<\log _^25\sqrt-\log _^\sqrt><<<\log >_>250>.$.

Чтобы открыть все задачи учебника, закрытые голубыми баннерами (как этот), зарегистрируйтесь один раз:

Регистрация

Подготовка к ЕГЭ на 90+ в мини-группах

Сдай ЕГЭ на 90+ с автором этого учебника

Алексей Шевчук — учитель с 20-летним стажем

математика, информатика, физика

Запишитесь на занятия:

сотни моих учеников поступили в лучшие ВУЗы страны
автор самого понятного учебника по математике YouClever, по которому учатся десятки тысяч школьников и учителей;
закончил МФТИ, преподавал на малом физтехе;
профессиональный репетитор c 2003 года;
преподаю как на русском, так и на английском языках, готовлю к международным экзаменам;
в 2021 году сдал ЕГЭ на 100 баллов;

Добавить комментарий Отменить ответ

23 комментария

бубыше :

Здравствуйте, в статье нет ответов для проверки к заданию после разъяснения 3 свойства, или так задумано, не понимаю. А так всё прекрасно! Спасибо за материал

Алексей Шевчук :
Спасибо за комментарий!:)
Ответы для проверки после примера 3 на месте (после пояснений к решению)
Александра :

Здравствуйте , огромное спасибо за такую прекрасную информацию, у меня возник один вопрос как можно решить lg(x^2*0.062)=-0.852 ; x^2*0.062=10^-в какой степени? Вообще не могу понять как же найти х, заранее спасибо

Марина :
Отличный материал! Спасибо!
Александр Кель :
Спасибо, Марина!
Александр Кель :
Спасибо, Саид. В каком вы классе?

Вы — это просто чу-до, и этот учебник тоже! Если бы я знала о вас в сентябре, я бы выбрала вашу онлайн школу

Александр Кель :
Спасибо большое, Бася! Очень приятно слышать. Желаем вам сдать ЕГЭ на 100 баллов! )
Как лайк поставить?
Александр Кель :
Будем считать этот коммент лайком. Спасибо!
НАДЕЖДА :

хотела зарегистрироваться на вебинар 14 февраля, но не смогла: «сайт не может обеспечить безопасное соединение» может есть еще вариант?

Александр Кель :

Надежда, я зарегистрировал вас и отправил на почту доступы. Скажите, пожалуйста, где вы столкнулись с такой надписью? Можете написать или отправить ссылку?

Света Макарова :
Александр Кель :
Большое спасибо, все изложено четко и красиво!
Александр Кель :
Инна, очень рады, что понравилось! Заходите к нам еще! )
С удовольствием!

Это лучшее объяснение, что я встречала! Хорошая методика: простой язык, примеры и практика! Я благодарна Клеверу!