Что из нижеперечисленного является формулой линейного выражения

Тема урока: «Линейные выражения, уравнения и функции»

Переменная — неизвестное число, как правило обозначаемое как x или y (но никто не мешает назвать переменную любой другой буквой).

Линейное выражение — математическое выражение, включающее лишь умножение, деление, вычитание и сложение. Но:

не содержащее степеней,

не содержащее деления на переменную и произведения переменных

не содержащее корня любой степени из выражения, содержащего переменную

2х+5, -x-113, 109 x, 8 — линейные выражения

X 2 , sin(x), ex, x 2 -2x — нелинейные выражения

Линейным уравнением с одной переменной x называется уравнение вида ax+b=0, где a и b – некоторые числа.

Решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что корней нет.

Функция аргумента х , имеющая вид у = ах + b, где а и b — некоторые заданные числа, называется линейной.

3. Надеюсь, что уже известный материал поможет нам раскрыть новые грани этих понятий. Для более плодотворной работы мы разбились на группы. Работая в группе необходимо сотрудничество и взаимопомощь. Вы одна команда.

4. Задание № 1. Линейные выражения

Какие из них линейные Примеры:

2х+5, -x-113, 109x, 8

X 2 , sin(x), x 3 -2x

5. Задание № 2. Линейные уравнения

Задание 1: при каких значениях а верно равенство:

Задание 2: какое число является корнем уравнения^

а) – х – 24 = -5х — 8

Задание 3: Рассмотрим уравнение 4(х — 2) – (х — 3) = — 14

Заменим его на равносильное: 4х – 8 – х + 3 = — 14; 3х – 5 = -14; 3х = — 9.

Дополнительный вопрос: какие уравнения называются равносильными?

Задание 4. Рассмотрим следующие 4 уравнения:

Являются ли они линейными? Найти корни этих уравнений.

Вывод: Линейное уравнение может иметь:…

Задание 5. Линейные уравнения могут быть заданы и не явно, мы говорим про параметр

При каких значениях параметра а уравнение х-5а=ах-5 имеет единственный корень, равный -5? (При любом)

6. Задание № 3. Линейные неравенства

Какие неравенства называются равносильными?

Решить неравеснтво:

8. Задание № 4. Линейная функция

Есть ли какая-то взаимомосвязь в решении?

— корень уравнения – точка пересечения графика с осью Ох

— часть графика, находящаяся выше — решение неравенства >0.

Дополнительные вопросы: при каком условии графики линейных функций пересекаются? Параллельны? Есть еще очень интересное условие коэффициентов двух функций.

Задание: постройте графики двух функций (каждой группе разные) y=3х и у= -1/3 х. являются ли они линейными? Можно ли сделать вывод?

9. Подведем итог: работа в группе это легче или сложнее? Думать вместе хорошо? Оцените степень участия каждого в группе по трехбалльной шкале 0-1-2. Наиболее активной группой была …. Из того, что выполняли на уроке, все ли было вам известно?

10. Большой интерес представляет еще одна взаимосвязь: квадратный трехчлен, квадратичная функция, квадратичное неравенство. Это разговор следующих уроков.

Что из нижеперечисленного является формулой неопределенного интеграла? — Ответ на вопрос №9563

Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!

Ответы на популярные вопросы
То есть уже всё готово?

Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.

А я могу что-то выложить?

Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.

А если в купленном файле ошибка?

Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!

Можно заказать выполнение работы на СтудИзбе?

Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.

Отзывы студентов

Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.

Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.

Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.

Отличный сайт
Лично меня всё устраивает — и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.

Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.

Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.

Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.

Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.

Отзыв о системе «Студизба»
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.

Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.

Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.

Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.

Решение рекуррентных соотношений

Для рекуррентного соотношения, которому удовлетворяет последовательность [math] \ < a_n \>[/math] мы часто хотим получить выражение для [math]a_n[/math] . Например, для рекуррентного соотношения, задающего числа Фибоначчи:

[math] F_0 = 0,\qquad F_1 = 1,\qquad F_ = F_ + F_, \quad n\geqslant 2, \quad n\in Z[/math]

[math]a_n[/math] член может быть записан следующим образом: [math]a_n=\dfrac>\left( \biggl( \dfrac> \biggr)^n — \biggl( \dfrac> \biggr)^n \right).[/math]

Для этого можно использовать метод производящих функций (англ. generating function method).

Метод производящих функций

Алгоритм получения выражения для чисел [math]a_[/math] , удовлетворяющих рекуррентному соотношению, с помощью производящих функций cостоит из [math]4[/math] шагов.

1. Записать рекуррентное соотношение и начальные данные для него в следующем виде (если порядок соотношения равен [math]k[/math] ): [math]a_ = …, \\ a_ = …, \\ a_ = …, \\ … \\ a_ = …, n\geqslant k[/math]
2. Домножить каждую строчку на [math]z[/math] в соответствующей степени ( [math]z^ \cdot a_ = … \cdot z^[/math] ) и сложить все выражения, многоточие надо рассматривать как множество из выражений, где [math]n \in [k, +\infty)[/math] . В левой части получится сумма [math]\displaystyle\sum_^ <\infty>a_nz^n[/math] — это производящая функция, назовем ее [math]G(z)[/math] . Правую часть преобразовать так, чтобы она превратилась в выражение, включающее [math]G(z)[/math] .
3. Решить полученное уравнение, получив для [math]G(z)[/math] выражение в замкнутом виде.
4. Разложить [math]G(z)[/math] в степенной ряд, коэффициент при [math]z_n[/math] будет искомым выражением для [math]a_n[/math] .

Примеры

[math]1[/math] пример

Производящие функции позволяют решать рекуррентные соотношение механически по одному и тому же алгоритму. Рассмотрим общую схему на простом примере, который позволит продемонстрировать базовые приёмы работы.

Задано линейное однородное рекуррентное соотношение порядка [math]2[/math] с постоянными коэффициентами:
[math]\begin a_0&<>=<>&0,\\ a_1&<>=<>&1,\\ a_n&<>=<>&5a_-6a_, \quad n\geqslant2.\\ \end [/math]

Порядок соотношения — это его «глубина», то есть количество предшествующих элементов, требуемых для вычисления элемента с номером [math]n[/math] . В данном случае порядок равен [math]2[/math] , так как для вычисления [math]a_n[/math] требуется знать [math]a_[/math] и [math]a_[/math] .

Будем искать производящую функцию последовательности в виде
[math] G(z)=\displaystyle\sum_^ <\infty>a_nz^n = a_0+a_1z+a_2z^2+\cdots, [/math]

с этой целью умножим верхнюю строчку в записи рекуррентного соотношения на [math]z^0[/math] , следующую — на [math]z^1[/math] и последнюю — на [math]z^n[/math] :
[math]\begin 1\cdot a_0&<>=<>&0\cdot 1,\\ z\cdot a_1&<>=<>&1\cdot z,\\ z^n\cdot a_n&<>=<>&(5a_-6a_)\cdot z^n, \quad n\geqslant2.\\ \end [/math]

Теперь сложим все уравнения для всех значений [math]n[/math] :
[math] \underbrace^<\infty>a_nz^n>_ z+5\displaystyle\sum_^<\infty>a_z^n-6\displaystyle\sum_^<\infty>a_z^n. [/math]

Левая часть уравнения в точности равна [math]G(z)[/math] , а в правой части есть суммы, очень похожие на функцию [math]G(z)[/math] , но не равные ей. Эти суммы нужно привести к виду [math]G(z)[/math] . Начнём с первой:
[math] \displaystyle\sum_^<\infty>a_z^n \stackrelz\displaystyle\sum_^<\infty>a_z^ \stackrel z\displaystyle\sum_^<\infty>a_z^n \stackrel z\biggr( \underbrace< \displaystyle\sum_^<\infty>a_z^n+a_0>_ — a_0\biggr)=z(G(z)-a_0) \stackrel z G(z). [/math]

Равенство [math](1)[/math] получатся вынесением [math]z[/math] в первой степени за знак суммы, это необходимо, чтобы уровнять степень переменной [math]z[/math] и индекс переменной a внутри суммы. Действие [math](2)[/math] — изменение индекса суммирования, которое позволяет избавиться от [math]n-1[/math] . Равенство [math](3)[/math] получается, если прибавить и снова отнять значение [math]a_0[/math] , чтобы получить полную сумму от [math]n=0[/math] до [math]∞[/math] . Равенство [math](4)[/math] справедливо в силу того, что [math]a_0=0[/math] .

Аналогичные манипуляции со второй суммой дают нам выражение
[math] \displaystyle\sum_^<\infty>a_z^n = z^2\displaystyle\sum_^<\infty>a_z^ = z^2\displaystyle\sum_^<\infty>a_z^=z^2G(z). [/math]

Теперь наше исходное уравнение для производящей функции принимает вид:
[math] G(z) = z + 5zG(z) -6z^2G(z), [/math]

откуда получаем производящую функцию последовательности в замкнутом виде:
[math] G(z) = \dfrac. [/math]

Отыскав производящую функцию в замкнутом виде, её нужно снова разложить в ряд. Это можно сделать разными способами, но самый простой из них — разбить всю дробь на простые дроби и применить формулу для разложения [math]\dfrac[/math] . Итак, разложим знаменатель функции на множители:
[math] G(z) = \dfrac = \dfrac. [/math]

Теперь разобьём дробь на сумму простых дробей:
[math] \dfrac = \dfrac — \dfrac. [/math]

Из этого разложения следует, что
[math] \dfrac= \displaystyle\sum_^<\infty>(3z)^n \quad\mbox< и >\quad \dfrac= \displaystyle\sum_^<\infty>(2z)^n. [/math]

Таким образом,
[math] G(z) = \displaystyle\sum_^<\infty>3^nz^n — \displaystyle\sum_^<\infty>2^nz^n = \displaystyle\sum_^<\infty>(3^n-2^n)z^n. [/math]

С другой стороны, мы искали [math]G(z)[/math] в виде
[math] G(z)=\displaystyle\sum_^ <\infty>a_nz^n, [/math]
поэтому, в силу равенства рядов, [math]a_n=3^n-2^n[/math] (для [math]n\geqslant 0[/math] ).

[math]2[/math] пример: числа Фибоначчи

Рассмотрим рекуррентное соотношение для чисел Фибоначчи:
[math]\begin f_0&<>=<>&0,\\ f_1&<>=<>&1,\\ f_n&<>=<>&f_+f_, \quad n\geqslant2.\\ \end [/math]

Первый шаг алгоритма мы уже выполнили, записав рекуррентное соотношение. Выполним второй шаг:
[math]\begin 1\cdot f_0&<>=<>&0\cdot 1,\\ z\cdot f_1&<>=<>&1\cdot z,\\ z^n\cdot f_n&<>=<>&(f_+f_)\cdot z^n, \quad n\geqslant2.\\ \end [/math]

Складываем все строчки:
[math] f_0 + f_1 z + \displaystyle\sum_^<\infty>f_nz^n = z + \displaystyle\sum_^<\infty>f_z^n+\displaystyle\sum_^<\infty>f_z^n. [/math]

Третий шаг алгоритма требует привести все суммы к замкнутому виду:
[math]\begin G(z) &<>=<>& z + z\displaystyle\sum_^<\infty>f_z^+z^2\displaystyle\sum_^<\infty>f_z^, \\ G(z) &<>=<>& z + z\displaystyle\sum_^<\infty>f_z^n+z^2\displaystyle\sum_^<\infty>f_z^n, \\ G(z)&<>=<>& \displaystyle z + z(G(z)-f_0)+z^2G(z),\\ G(z)&<>=<>& \displaystyle z + zG(z)+z^2G(z),\\ \end [/math]

откуда получаем замкнутое выражение для производящей функции:
[math] G(z) = \dfrac. [/math]

Осталось разложить её в ряд (чего требует четвёртый шаг алгоритма). С этой целью нужно разложить знаменатель на множители. Найдем корни уравнения:
[math]\displaylines< 1-z-z^2 = 0 \cr z_1=-\dfrac>, z_2=-\dfrac>. > [/math]

Нам известно разложение следующей рациональной функции:
[math] \dfrac = \displaystyle\sum_^<\infty>z^n = 1 + z + z^2 + z^3 + \cdots. [/math]

Рассмотрим первую дробь и поделим в ней числитель и знаменатель на [math]z_1[/math] :
[math] \dfrac = \dfrac1\dfrac> = \dfrac1\displaystyle\sum_^<\infty>\dfrac. [/math]

Аналогично (но с делением на [math]z_2[/math] ) поступим со второй дробью:
[math] \dfrac = \dfrac1\dfrac1> = \dfrac1\displaystyle\sum_^<\infty>\dfrac. [/math]

Данное выражение можно упростить, если обратить внимание на то, что [math]1/z_1=-z_2[/math] , [math]1/z_2=-z_1[/math] и [math]z_1-z_2=√5[/math] . Подставим [math]z_1[/math] и [math]z_2[/math] в предыдущее выражение:
[math] f_n=\dfrac>\left( \biggl( \dfrac> \biggr)^n — \biggl( \dfrac> \biggr)^n \right). [/math]

[math]3[/math] пример

Найдём производящую функцию для последовательности квадратов чисел Фибоначчи: $1, 1, 4, 9, 25, \ldots, f_k^2,\ldots$.

По определению последовательности Фибоначчи выполняется:
[math] \left\< \begin f_ = f_ + f_n \\ f_ = f_ - f_n \end \right. [/math]
Возведя в квадрат и сложив, получим:
[math] \begin f_^2 + f_^2 = 2f_^2 + 2f_n^2, \\ f_^2 = 2f_^2 + 2f_n^2 — f_^2, \\ f_^2 = 2f_^2 + 2f_^2 — f_^2.\\ \end [/math]
Обозначим рассматриваемую последовательность [math]A[/math] , а её члены [math]a_n[/math] , тогда:
[math]a_n = 2a_ + 2a_ — a_[/math]

Рекуррентное соотношение:
[math] \begin a_0 = f_0^2 = 1 \\ a_1 = f_1^2 = 1 \\ a_2 = f_2^2 = 4 \\ a_n = 2a_ + 2a_ — a_, \quad n\geqslant3.\\ \end [/math]

Приведём суммы к замкнутому виду:
[math] \begin A(z) = \displaystyle\sum_^<\infty>a_nz^n = 1 + z + 4z^2 + \displaystyle\sum_^<\infty>(2a_ + 2a_ — a_)z^n, \\ A(z) = 1 + z + 4z^2 + 2\displaystyle\sum_^<\infty>a_z^n + 2\displaystyle\sum_^<\infty>a_z^n — \displaystyle\sum_^<\infty>a_z^n, \\ A(z) = 1 + z + 4z^2 + 2z\displaystyle\sum_^<\infty>a_nz^n + 2z^2\displaystyle\sum_^<\infty>a_nz^n — z^3\displaystyle\sum_^<\infty>a_nz^n, \\ A(z) = 1 + z + 4z^2 + 2z(A(z) — 1 — z) + 2z^2(A(z) — 1) — z^3A(z), \\ A(z) = 1 + z + 4z^2 + 2zA(z) — 2z — 2z^2 + 2z^2A(z) — 2z^2 — z^3A(z), \\ A(z)(1 — 2z — 2z^2 + z^3) = 1 + z + 4z^2 — 2z — 2z^2 — 2z^2 = 1 — z, \\ \end [/math]
откуда получаем замкнутое выражение для производящей функции:
[math]G(z) = \dfrac.[/math]

[math]4[/math] пример

Рассмотрим следующее рекуррентное соотношение:
[math]\begin a_0&<>=<>&1,\\ a_1&<>=<>&2,\\ a_n&<>=<>&6a_-8a_+n, \quad n\geqslant2.\\ \end [/math]

Следующие действия аналогичны тем, которые мы делали для чисел Фибоначчи:
[math]\begin \displaystyle a_0 + a_1 z + \displaystyle\sum_^<\infty> &<>=<>& 1+2z+6\displaystyle\sum_^<\infty>>-8\displaystyle\sum_^<\infty>>+\displaystyle\sum_^<\infty>nz^n, \\ G(z) &<>=<>& 1+2z+6z\displaystyle\sum_^<\infty>>>-8z^2\displaystyle\sum_^<\infty>>>+\displaystyle\sum_^<\infty>nz^n, \\ G(z) &<>=<>& 1+2z+6z\displaystyle\sum_^<\infty>>>-8z^2\displaystyle\sum_^<\infty>>>+\displaystyle\sum_^<\infty>nz^n, \\ G(z) &<>=<> & 1+ 2z + 6z(G(z)-a_0)-8z^2G(z) + \displaystyle\sum_^<\infty>nz^n.\\ G(z) &<>=<> & 1 — 4z + 6zG(z)-8z^2G(z) + \displaystyle\sum_^<\infty>nz^n.\\ \end [/math]

Вспомним, что
[math] (z^n)’ = nz^, [/math]

поэтому
[math] \displaystyle\sum_^<\infty>nz^n=z\displaystyle\sum_^<\infty>nz^=z\displaystyle\sum_^<\infty>(z^n)’=z\biggl(\displaystyle\sum_^<\infty>z^n\biggr)’. [/math]

Последняя сумма может быть свёрнута:
[math] \displaystyle\sum_^<\infty>z^n=\displaystyle\sum_^<\infty>z^n-1-z=\dfrac-1-z=\dfrac. [/math]

Подставив свёрнутое выражение обратно, имеем,
[math] z\biggl(\displaystyle\sum_^<\infty>z^n\biggr)’ = z \biggl(\dfrac\biggr)’=\dfrac. [/math]

Таким образом, наше последнее уравнение примет вид
[math] G(z) = 1 -4z + 6zG(z)-8z^2G(z) + \dfrac.\\ [/math]

Это уравнение для производящей функции. Из него выражаем [math]G(z)[/math] :
[math] G(z) = \dfrac. [/math]

Дальше мы знаем что делать со всеми этими дробями, кроме, разве лишь, первой. Рассмотрим её (без множителя) подробнее:
[math] \dfrac =(1-z)^ =\displaystyle\sum_^<\infty>\binom(-z)^n=\displaystyle\sum_^<\infty>(-1)^n\binom(-z)^n =\displaystyle\sum_^<\infty>(n+1)z^n. [/math]

См. также

• Производящая функция
• Арифметические действия с формальными степенными рядами

Источники информации

1. Линейное уравнение с двумя переменными и его график

Уравнение вида ax + by + c = 0 , где \(a, b, c\) — числа (коэффициенты), называется линейным уравнением с двумя переменными \(x\) и \(y\).

Решением уравнения ax + by + c = 0 является пара чисел (\(x\); \(y\)), обращающая данное уравнение в верное равенство.

изобрази решения линейного уравнения − x + y − 2 = 0 точками в координатной плоскости \(xOy\).

Несложно подобрать несколько решений: \((3; 5), (2; 4), (1; 3), (0; 2), (-2; 0)\). Построим эти точки в координатной плоскости и убедимся, что они лежат на одной прямой \(t\).

Прямая \(t\) является графиком уравнения − x + y − 2 = 0 , или
прямая \(t\) является геометрической моделью этого уравнения.

Итак, если пара чисел (\(x\); \(y\)) удовлетворяет уравнению ax + by + c = 0 , то точка \(М\)(\(x\); \(y\)) принадлежит прямой \(t\).

И обратно, если точка \(М\)(\(x\); \(y\)) принадлежит прямой \(t\), то пара чисел (\(x\); \(y\)) удовлетворяет уравнению ax + by + c = 0 .

Графиком уравнения ax + by + c = 0 является прямая, если коэффициенты \(a, b\) не равны нулю одновременно.

Алгоритм построения графика уравнения ax + by + c = 0 , где a ≠ 0, b ≠ 0 .

1. Выбрать любое удобное значение переменной x = x 1 и из уравнения a x 1 + by + c = 0 вычислить значение y = y 1 .

2. Выбрать другое значение переменной x = x 2 и из уравнения a x 2 + by + c = 0 вычислить значение y = y 2 .