Подскажите пож по алгебре. Какая функция не является линейной? у = 100, у = х\5 — 1, у = 2\х — 1, у = -х + 2, у=х
У=100 это не функция, это — точка ))))
Функция — это зависимость одного аргумента от другого.
Ты можешь самостоятельно нарисовать графики и убедиться.
Похожие вопросы
Ваш браузер устарел
Мы постоянно добавляем новый функционал в основной интерфейс проекта. К сожалению, старые браузеры не в состоянии качественно работать с современными программными продуктами. Для корректной работы используйте последние версии браузеров Chrome, Mozilla Firefox, Opera, Microsoft Edge или установите браузер Atom.
Что не является линейной функцией
y = kx+b, где к и b – некоторые числа, называется линейной функцией.
Область определения все действительные числа.
Графиком функции является прямая линия.
Если b= 0, то она проходит через начало координат, в противном случае — нет
Если к>0, функция возрастающая, если к 0 функция не является ни чётной, ни нечётной.
График линейной функции получается сдвигом графика функции у=кх вдоль оси ординат на b единиц.
Сделано в Школе №57, г. Иркутск
e-mail: sch57_irk@mail.ru
Полные системы функций. Теорема Поста о полной системе функций
Американский математик Эмиль Пост сформулировал необходимое и достаточное условие полноты системы булевых функций. Для этого он ввел в рассмотрение следующие замкнутые классы булевых функций:
- функции, сохраняющие константу [math]T_0[/math] и [math]T_1[/math] ,
- самодвойственныые функции [math]S[/math] ,
- монотонные функции [math]M[/math] ,
- линейные функции [math]L[/math] .
Замкнутые классы булевых функций
Класс функций сохраняющих ноль [math]T_0[/math] .
| Определение: |
| Говорят, что функция сохраняет ноль, если [math]f(0, 0, \ldots, 0) = 0[/math] . |
Класс функций сохраняющих единицу [math]T_1[/math] .
| Определение: |
| Говорят, что функция сохраняет единицу, если [math]f(1, 1, \ldots, 1) = 1[/math] . |
Класс самодвойственных функций [math]S[/math] .
| Определение: |
| Говорят, что функция самодвойственна (англ. self-dual), если [math]f(\overline,\ldots,\overline)=\overline |
Класс монотонных функций [math]M[/math] .
| Определение: |
| Говорят, что функция монотонна (англ. monotonic function) , если [math]\forall i (a_i \leqslant b_i) \Rightarrow f(a_1,\ldots,a_n)\leqslant f(b_1,\ldots,b_n)[/math] . |
Класс линейных функций [math]L[/math] .
| Определение: |
| Говорят, что функция линейна (англ. linear function), если существуют такие [math]a_0, a_1, a_2, \ldots, a_n[/math] , где [math]a_i \in \, \forall i=\overline[/math] , что для любых [math]x_1, x_2, \ldots, x_n[/math] имеет место равенство: [math]f(x_1, x_2, \ldots, x_n) = a_0\oplus a_1\cdot x_1\oplus a_2\cdot x_2 \oplus\ldots\oplus a_n\cdot x_n[/math] . |
Количество линейных функций от [math]n[/math] переменных равно [math]~2^[/math] .
Функция является линейной тогда, и только тогда, когда в ее полиноме Жегалкина присутствуют слагаемые, каждое из которых зависит не более чем от одной переменной. Построить полином Жегалкина можно с помощью преобразования Мебиуса.
Формулировка и доказательство критерия Поста
Набор булевых функций [math]K[/math] является полным тогда и только тогда, когда он не содержится полностью ни в одном из классов [math] S,M,L,T_0,T_1 [/math] , иными словами, когда в нем имеется хотя бы одна функция, не сохраняющая ноль, хотя бы одна функция, не сохраняющая один, хотя бы одна несамодвойственная функция, хотя бы одна немонотонная функция и хотя бы одна нелинейная функция.
Необходимость.
Заметим, что необходимость этого утверждения очевидна, так как если бы все функции из набора [math]K[/math] входили в один из перечисленных классов, то и все суперпозиции, а, значит, и замыкание набора входило бы в этот класс, и набор [math]K[/math] не мог бы быть полным.
Достаточность.
Докажем, что если набор [math]K[/math] не содержится полностью ни в одном из данных классов, то он является полным.
- Рассмотрим функцию, не сохраняющую ноль — [math]f_0[/math] (то есть функцию, для которой [math]f_0(0) = 1[/math] ). Тогда [math] f_0(1)[/math] может принимать два значения:
- [math]f_0(1) = 1[/math] , тогда [math]f_0(x, x, x, \ldots, x) = 1[/math] .
- [math]f_0(1) = 0[/math] , тогда [math]f_0(x, x, x, \ldots, x) = \neg x[/math] .
- [math]f_1(0) = 0[/math] , тогда [math]f_1(x, x, x, \ldots, x) = 0[/math] .
- [math]f_1(0) = 1[/math] , тогда [math]f_1(x, x, x, \ldots, x) = \lnot x[/math] .
Таким образом, возможны четыре варианта:
- Мы получили функцию [math] \neg [/math] .
Используем несамодвойственную функцию [math]f_s[/math] . По определению, найдется такой вектор [math]x_0[/math] , что [math]f_s(x_0) = f_s(\lnot x_0)[/math] . Где [math]x_0 = (x_, x_, \ldots, x_)[/math] .
Рассмотрим [math]f_s(x^>, x^>, \ldots, x^>)[/math] , где либо [math]x^> = x[/math] , при [math]x_ = 1[/math] . Либо [math]x^> = \lnot x[/math] , при [math]x_ = 0 [/math] . Нетрудно заметить, что [math]f_s(0) = f_s(1) \Rightarrow f_s = \operatorname [/math] . Таким образом мы получили одну из констант.
- Мы получили [math] \neg [/math] и [math]0 \Rightarrow[/math] имеем константу, равную [math]1[/math] , поскольку [math]\lnot 0 = 1[/math] .
- Мы получили [math] \neg [/math] и [math]1 \Rightarrow[/math] имеем константу, равную [math]0[/math] , поскольку [math]\lnot 1 = 0[/math] .
- Мы получили [math]1[/math] и [math]0[/math] .
Рассмотрим немонотонную функцию [math]f_m[/math] . Существуют такие [math]x_1, x_2, \ldots, x_n[/math] , что [math]f_m(x_1, x_2, \ldots, x_, 0 , x_, \ldots, x_n) = 1[/math] , [math]f_m(x_1, x_2, \ldots, x_, 1 , x_, \ldots, x_n) = 0[/math] , зафиксируем все [math]x_1, x_2, \ldots, x_n[/math] , тогда [math]f_m(x_1, x_2, \ldots, x_, x, x_, \ldots, x_n)= \lnot x[/math] .
В итоге имеем три функции: [math] \neg [/math] , [math]0[/math] , [math]1[/math] .
Используем нелинейную функцию [math]f_l[/math] . Среди нелинейных членов [math]f_l[/math] (ее представления в виде полинома Жегалкина), выберем тот, в котором минимальное количество элементов. Все аргументы кроме двух в этом члене приравняем единице, оставшиеся два назовем [math]x_1[/math] и [math]x_2[/math] . Все элементы, не входящие в данный член, примем равными нулю. Тогда эта функция будет представима в виде [math]g_l = x_1 \land x_2 [ \oplus x_1] [\oplus x_2][ \oplus ~1][/math] , где в квадратных скобках указаны члены, которые могут и не присутствовать (остальные слагаемые будут равны нулю, поскольку в них есть как минимум один аргумент, не входящий в выбранный член, так как в выбранном члене минимальное число элементов).
Рассмотрим несколько вариантов:
- Присутствует член [math]\oplus ~1[/math] . Возьмем отрицание от [math]g_l[/math] и член [math]\oplus ~1[/math] исчезнет.
- Присутствуют три члена, без [math]\oplus ~1[/math] : [math]g_l= x_1 \land x_2 \oplus x_1 \oplus x_2[/math] . Составив таблицу истинности для этой функции нетрудно заметить, что она эквивалентна функции [math] \vee [/math] .
- Присутствуют два члена, без [math]\oplus ~1[/math] . Построив две таблицы истинности для двух различных вариантов, заметим, что в обоих случаях функция истинна только в одной точке, следовательно, СДНФ функции [math]g_l[/math] будет состоять только из одного члена. Если это так, то не составляет труда выразить [math] \wedge [/math] через [math] \neg [/math] и [math]g_l[/math] . Например, если функция [math]g_l(x_1, x_2, \ldots, x_n)[/math] принимает истинное значение, когда аргументы c номерами [math]i_1, i_2, \ldots, i_m[/math] ложны, а все остальные истины, то функцию [math] \wedge [/math] можно выразить как [math]g_l([\lnot]x_1, [\lnot]x_2, \ldots, [\lnot]x_n)[/math] , где [math]\lnot[/math] ставится перед аргументами с номерами [math]i_1, i_2, \ldots, i_m[/math] .
- Присутствует один член. Выразим [math] \wedge [/math] через [math] \neg [/math] и [math]g_l[/math] аналогично пункту 3.
В итоге получим функцию [math] \neg [/math] , а также либо функцию [math] \wedge [/math] , либо функцию [math] \vee [/math] . Поскольку функцию [math] \wedge [/math] можно выразить через [math] \vee [/math] и [math] \neg [/math] , а функцию [math] \vee [/math] через [math] \wedge [/math] и [math] \neg [/math] , то мы получили базис [math] \wedge [/math] , [math] \vee [/math] , [math] \neg [/math] . Любую булеву функцию, не равную тождественному нулю, можно представить в форме СДНФ, то есть выразить в данном базисе. Если же функция равна тождественному нулю, то ее можно представить в виде [math]x \land \lnot x[/math] .
Примеры
Согласно критерию Поста система булевых функций полна тогда и только тогда, когда она не содержится целиком ни в одном из классов [math]T_0[/math] , [math]T_1[/math] , [math]S[/math] , [math]M[/math] , [math]L[/math] .
В частности, если функция не входит ни в один из классов Поста, она сама по себе формирует полную систему. В качестве примера можно назвать штрих Шеффера или стрелку Пирса.
Широко известны такие полные системы булевых функций:
- [math]\left\<\land,\lor,\neg\right\>[/math] (конъюнкция, дизъюнкция, отрицание);
- [math]\left\<\land,\oplus,1\right\>[/math] (конъюнкция, сложение по модулю два, константа один).
Первая система используется, например, для представления функций в виде дизъюнктивных и конъюнктивных нормальных форм, вторая — для представления в виде полиномов Жегалкина.
Первая из упоминавшихся выше полных систем безызбыточной не является, поскольку согласно законам де Моргана либо дизъюнкцию, либо конъюнкцию можно исключить из системы и восстановить с помощью остальных двух функций. Вторая система является безызбыточной — все три её элемента необходимы для полноты системы.
Теорема о максимальном числе функций в базисе: максимально возможное число булевых функций в базисе — четыре.
Иногда говорят о системе функций, полной в некотором замкнутом классе, и, соответственно, о базисе этого класса. Например, систему [math]\left\<\oplus,1\right\>[/math] можно назвать базисом класса линейных функций.
См. также
- Булевы функции
- Суперпозиции
- Полином Жегалкина
Источники информации
- Википедия — Критерий Поста
- Википедия — Замкнутые классы булевых функций
- Образовательный сайт MiniSoft
- Post’s lattice
- Лекции по дискретной математике
О линейных функциях и связанных с ними противоречиях Текст научной статьи по специальности «Математика»
ФУНКЦИЯ / ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЛИНИЯ / ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ / ФУНКЦИОНАЛ / ЛИНЕЙНОСТЬ / ОБУЧЕНИЕ МАТЕМАТИКЕ / ПРОЕКТНЫЙ МЕТОД / FUNCTION / FUNCTIONAL LINE / LINEAR FUNCTION / FUNCTIONAL / LINEARITY / TEACHING MATHEMATICS / METHOD OF PROJECTS
Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Бабенко Алёна Сергеевна, Смирнова Елена Сафаровна, Троскина Алёна Евгеньевна, Ширяев Кирилл Евгеньевич
В данной статье поднимается вопрос о таком понятии школьного математического образования, как линейная функция , а также раскрываются некоторые смысловые противоречия, возникающие в связи с определением этого понятия. Указаны различные подходы к определению понятия функции в границах основного общего и высшего образования. В ходе исследования методики изучения понятия линейной функции в школьном математическом образовании выявлено противоречие между строгим математическим понятием свойства линейности и определением линейной функции . Авторы указывают на наиболее предпочтительные подходы к изучению линейной функции в школе, описывают некоторые методические приемы, способствующие формированию представления обучаемых о свойствах линейности .
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Бабенко Алёна Сергеевна, Смирнова Елена Сафаровна, Троскина Алёна Евгеньевна, Ширяев Кирилл Евгеньевич
Применение метода проектов при изучении вероятностно-статистической линии в школе
Концепция развития математического образования и итоговая государственная аттестация
К вопросу о соотношении общего и специального при обучении математике: диофантовы уравнения
О пропедевтике некоторых свойств функций в контексте фундаментализации математического образованияИспользование кейс-технологии на уроках математики и информатики с целью формирования метапредметных образовательных результатов обучающихся
i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.About linear functions and connected contradictions
This article raises the question of such a concept of school mathematical education as a linear function , and also reveals some semantic contradictions arising in connection with the definition of this concept. Different approaches to the definition of the concept of function within the boundaries of basic general and higher education are indicated. In the course of studying the technique of introducing the concept of a linear function in school mathematical education, a contradiction between the strict mathematical concept of the linearity property and the definition of a linear function was revealed. The authors point to the most preferable approaches to the management of the concept of linear function in school, while describing some methodological approaches that contribute to the formation of the trainee’s view on the properties of linearity .
Текст научной работы на тему «О линейных функциях и связанных с ними противоречиях»
ТЕОРИЯ И МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ
Бабенко Алена Сергеевна
кандидат педагогических наук
Смирнова Елена Сафаровна
кандидат педагогических наук
Троскина Алена Евгеньевна Ширяев Кирилл Евгеньевич
кандидат физико-математических наук, доцент Костромской государственный университет alenbabenko@yandex.ru, stakinaes@yandex.ru, troskina96@mail.ru, Shiryaev4@yandex.ru
О ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИЯХ И СВЯЗАННЫХ С НИМИ ПРОТИВОРЕЧИЯХ
В данной статье поднимается вопрос о таком понятии школьного математического образования, как линейная функция, а также раскрываются некоторые смысловые противоречия, возникающие в связи с определением этого понятия. Указаны различные подходы к определению понятия функции в границах основного общего и высшего образования. В ходе исследования методики изучения понятия линейной функции в школьном математическом образовании выявлено противоречие между строгим математическим понятием свойства линейности и определением линейной функции. Авторы указывают на наиболее предпочтительные подходы к изучению линейной функции в школе, описывают некоторые методические приемы, способствующие формированию представления обучаемых о свойствах линейности.
Ключевые слова: функция, функциональная линия, линейная функция, функционал, линейность, обучение математике, проектный метод.
В данной статье поднимается вопрос о таком понятии школьного математического образования, как функция и, в частности, линейная функция.
Актуальность изучения понятий функции, отображения и зависимости обусловлена тем, что понятие функции является одним из основных в науке, имеет мировоззренческое и общекультурное значение и, кроме того, является базовым для функциональной линии, именно поэтому умение работать с функциональными зависимостями немаловажно при подготовке школьника к единому государственному экзамену (см. [4; 6; 7]). Благодаря функциям можно изучать физические величины в их взаимосвязи, а с помощью свойств функций решать математические задачи.
Несомненно, осмысление понятия функции очень важно при изучении школьной математики. Многие педагоги считают это понятие фундаментальным и смыслообразующим, поэтому невозможно себе представить преподавание математического анализа, а также отдельных тем алгебры и геометрии без понимания того, что такое функция.
Однако изучение функциональных понятий в школе таит свои особенности. Речь идет о такой простой и изученной разновидности функций, как линейная. На первый взгляд кажется, что о линейной функции известно все, и никаких «сюрпризов» это математическое понятие преподнести не может, тем более в школе. Однако, некоторые авторы (например, И.А. Хованская, доцент кафедры высшей математики НИУ ВШЭ [16]) указывают на противоречие вузовского и школьного курса математики, связанное именно с понятием линейной функции. В подобных работах речь идет о том, что
линейная функция вовсе не обладает строгим математическим свойством линейности, и поэтому «не оправдывает» свое название.
В большинстве учебников для вузов понятие линейной функции не приводится. Например, авторы учебника [11] выделяют следующие функции: 1) многочлен; 2) рациональная; 3) алгебраическая; 4) трансцендентная. Однако во всех вузовских учебниках рассматривается понятие функционала, как обобщение понятия функции, и, в частности, функционала линейного.
Определение 1. Отображения, аргументами ко -торых служат элементы линейного пространства, а значениями — вещественные числа, называются функционалами [10]. В частном случае, когда аргументом будут также вещественные числа (а пространство их — числовая прямая — является линейным), функционалами будут и всем привычные классические «школьные» функции.
Определение 2. Функционал 1(х), определенный в линейном пространстве, называется линейным, если для любых элементов х и г линейного пространства и любых действительных чисел а и в справедливо равенство: 1(ах + /х) = а1(х) + /АХ) (линейное свойство функционала) [10].
Таким образом, любой функционал, обладающий определенными свойствами, является линейным. Эти свойства называются свойствами линейности. Но тогда линейная функция, как частный случай линейного функционала, у = Лх) будет линейной, если она будет обладать аналогичным свойством, то есть /(ах + /х) = оДх) + /Л2). Однако, если рассматривать введенное в некоторых школьных учебниках определение, линейная функция (несмотря на название) не обладает свойством линейности!
© Бабенко А.С., Смирнова Е.С., Троскина А.Е., Ширяев К.Е., 2018
Педагогика. Психология. Социокинетика ^ ]4 2
Рассмотрим функцию y = kx + b, которая называется линейной функцией в школьных учебниках.
Возьмем произвольные действительные числа а и в, и любые элементы х и z из области определения функции. При ненулевом b
f(ax + Pz) = k(ax + fîz) +b = = akx + Pkz +b Ф afx) + fz).
Таким образом, функция y = kx + b не обладает указанным свойством.
Но, разумеется, в частном случае, если b равно нулю, то функция y = kx, которая в школьных учебниках называется прямой пропорциональностью, является линейной функцией.
Возьмем произвольные действительные числа а и в, и любые элементы х и z из области определения функции. При ненулевом b
fax + Pz) = k(ax + Pz) = akx + pkz = afx) + fz).
Таким образом, функция y = kx обладает свойством линейности.
В методической литературе для студентов педагогических вузов, также поднимается вопрос о понятии линейной функции. Автор учебного пособия «Основные понятия школьной математики» В. А. Любецкий, дает следующее аксиоматическое определение линейной функции:
Определение 3. Линейной функцией называется любой непрерывный гомоморфизм группы R+ в себя, т.е. любая функция f из множества R в себя, обладающая свойствами:
1)f(x + y) = fx) + fy) для всех x, y g R;
2) f непрерывна [12].
Определение 4. Линейной функцией с коэффициентом а, где a g R, называется любая линейная функция, обладающая дополнительным свойством:
На основании данных определения он доказывает свойства линейной функции:
6) fA x) = A fx) для всех A, x, g R [12].
В завершении В. А. Любецкий утверждает, что определение линейной функции, данное в школьных учебниках, не удовлетворяет аксиоматическому определению 4.
Вероятно, неким оправданием неточности термина линейной функции может служить традиция его применения в отечественном математическом образовании.
В учебнике С.С. Державина «Элементарная алгебра» 1926 года выпуска рассматривается функция вида y = kx + b, при этом данная функция не имеет никакого особого названия. Изложение этого вопроса начинается с рассмотрения прямо пропорциональных зависимостей и графического изображения закона прямой пропорциональности, при этом рассматриваются различные графики функций, вида y = kx. Дальнейшее изложение материала в учебнике
связано с построением графика функции у = кх + Ь, особое внимание при этом уделяется различным вариантам значения параметра к. Термин «линейная функция» в тексте учебника отсутствует [9].
В учебнике «Алгебра» А.Н. Барсукова для 6-8 классов 1966 года выпуска понятие линейной функции уже присутствует. Сначала в изложении учебника представлено понятие линейной зависимости между величинами: «Зависимость между двумя величинами х и у, выражающаяся формулой у = кх + Ь, где к и Ь — числа, называется линейной зависимостью». Далее, рассматривается график линейной зависимости, а также графики прямой и обратной пропорциональностей, и в дальнейшем, при переходе к изучению вопроса о функциях, автор приводит определение уже линейной функции: «Многочлен первой степени относительно аргумента называется линейной функцией этого аргумента». Таким образом, А.Н. Барсуков определяет функцию, как линейную именно с позиции перехода к ней от понятия линейной зависимости между величинами [8].
Обратимся еще к одному учебнику математики советской эпохи — учебнику алгебры 6 класса под редакцией Ю.Н. Макарычева. В этом издании 1974 года выпуска также представлено определение линейной функции: «Функция, которую можно задать формулой вида у = кх + Ь, где х и у — переменные, а к и Ь — числа, называется линейной». Перед введением этого понятия рассмотрена задача о железном стержне, длина которого изменяется в зависимости от изменения температуры. Дальнейшее изложение учебника посвящено изучению графика линейной функции и особенностям расположения графика в зависимости от значения углового коэффициента. Почему линейная функция получила такое название, в тексте учебника не было никак оговорено, в результате чего появился некий разрыв или некое противоречие школьной и высшей математики в плане терминологии в изучении именно функциональных зависимостей [13].
У современных авторов изложение данного вопроса в учебной математической литературе также продолжает традицию.
В учебнике Алгебры 7 класса авторского коллектива А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир (учебное издание с грифом ФГОС 2015 года выпуска) также представлено определение линейной функции: «Функцию, которую можно задать формулой у = кх + Ь, где к и Ь — некоторые числа, х — независимая переменная, называют линейной». Перед введением этого понятия авторы описывают два примера, моделирующие реальные ситуации, в ходе решения которых осуществляется переход к представлению функциональных зависимостей. Отметим, что в тексте учебника нет никакого пояснения о том, почему функция, вида у = кх + Ь, получила такое название, как линейная [14].
Вестник КГУ 2018
Обратимся еще к одному научному коллективу, а именно Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева, Н.Е. Федорова, М.И. Шабунин, под чьим авторством был издан учебник Алгебра 7 класс (учебное издание с грифом ФГОС 2012 года выпуска). В данном издании представлено определение линейной функции следующим образом: «Линейной функцией называется функция, вида у = кх + Ь, где к и Ь -заданные числа. Можно показать, что графиком линейной функции у = кх + Ь является прямая. Так как прямая определяется двумя ее точками, то для построения графика функции у = кх + Ь достаточно построить две точки этого графика». Достаточно «обширное» определение, на наш взгляд, указывающие также и на алгоритм построения графика. Дальнейшее изложение учебника посвящено изучению графиков линейных функции, при различных значениях, входящих в нее коэффициентов. Указания на то, почему функция у = кх + Ь получила такое название, как линейная, также нет [3].
В современном учебнике Ю.Н. Макарычева и др. (учебное издание с грифом ФГОС 2013 года выпуска) приводится следующее определение линейной функции: «Линейной функцией называется функция, которую можно задать формулой, вида у = кх + Ь, где х — независимая переменная, а к и Ь — некоторые числа». Перед формулировкой определения в тексте учебника представлены два примера задач, приводящих к понятию линейной функции. Далее изложение посвящено рассмотрению графиков линейных функций и особенностям их взаимного расположения. Сведений о том, почему данная функция получила название линейной, в тексте учебника не представлено [1].
Несколько другой подход к методике введения понятия линейной функции представлен в учебнике алгебры 7 класса под редакцией А.Г. Мордко-вича (учебное издание с грифом ФГОС 2013 года выпуска). В тексте учебника, в преддверии введения понятия линейной функции, автор обращается к понятию линейного уравнения. Для этого рассматривает некоторую реальную ситуацию, описанную в виде текстовой задачи и, в процессе ее решения, переходит к математической модели, представленной в виде уравнения. Далее автор дает пояснение: «Уравнение ах + Ьу + с = 0, где а, Ь, с -числа (коэффициенты), — это линейное уравнение с двумя переменными х и у». После изучения особенностей построения линейных уравнений, автор переходит к введению понятия линейной функции. С этой целью, в тексте учебника показано, что линейное уравнение, вида ах + Ьу + с = 0 с двумя переменными х и у в случае, когда Ь Ф 0, можно преобразовать к виду у = кх + т, где к, т — числа (коэффициенты). Автор пишет так: «Это частный вид линейного уравнения. Зная, чему равен х, по правилу у = кх + т всегда можно найти, чему равен у. Будем называть уравнение у = кх + т, где к,
т — числа (коэффициенты) линейной функцией». Данный подход, по нашему мнению, отличается от других подходов к введению понятия линейной функции среди авторов современных учебников математики. А.Г. Мордкович также приводит следующее пояснение: «В русском языке часто один и тот же объект называют по-разному, например «дом», «здание», «сооружение». В математическом языке ситуация примерно та же. Скажем, равенство с двумя переменными у = кх + т, где к, т — конкретные числа, можно назвать линейной функцией, можно назвать линейным уравнением с двумя переменными х и у (или с двумя неизвестными х и у), можно назвать формулой, можно назвать соотношением, связывающим х и у, можно, наконец, назвать зависимостью между х и у. Это неважно, главное понимать, что во всех случаях речь идет о математической модели у = кх + т» [2].
На основе анализа современных учебных изданий, можно сделать вывод, что методика введения понятия линейной функции наиболее подробно представлена в изложении учебника Алгебры 7 класса А.Г. Мордковича. Само понятие «линейной функции» в тексте учебника плавно вытекает из понятия линейного уравнения, которое рассматривается предварительно. Тем не менее, обращаясь к области строгой математики, отметим, что противоречивость понятий линейной функции, представленной в школьных учебниках, и линейного функционала, частным случаем которого является линейная функция, все же остается. В любом случае при определении линейной функции стоит объяснить школьникам о разных точках зрения на этот термин. Это вопрос дискуссионный и может быть поставлен в качестве проблемы исследовательского проекта для обучающихся 10-11 классов (см. пример [5, 15]) или вынесен на рассмотрение в элективном курсе.
В заключение авторы все-таки приведут строгие «нешкольные» определения линейности и некоторые примеры линейных операций. Важность этого объясняется тем, что школьные определения в ВУЗе «по инерции» ведут к принципиальному непониманию таких важных понятий, как дифференциал функции (линейная часть приращения), а это, в свою очередь влечет неумение интегрировать методом подстановки. Более того, возникла непонятная тенденция называть скалярное и векторное произведения в курсе ВУЗовской геометрии нелинейными операциями над векторами (в отличие от линейных — умножения на число и сложения). И вот тут уже не может быть никаких неясностей -называть скалярное произведение нелинейным попросту неверно, а для преподавателя еще и непрофессионально.
Определение 5. Операция (функция, функционал, отображение и т. д.) называется линейным, если образ суммы равен сумме образов, а образ
Педагогика. Психология. Социокинетика ^ ]4 2
произведения на скаляр — произведению этого скаляра на образ.
Утверждение 1. Операция скалярного произведения линейна по каждому из аргументов.
Доказательство. Операция скалярного произведения удовлетворяет по определению аксиомам:
1. Строгой неотрицательности
(а, а) > 0,(а, а) = 0 = 0.
(аа+¡3 Ь, с) = а (а, с) + ¡3 (Ь, с).