3. Тригонометрические функции на единичной окружности. Тангенс и котангенс
Чтобы считать значение тангенса угла поворота, через точку \((1;0)\) проводится касательная к единичной окружности.
Эта прямая называется осью тангенса.
Значения тангенса читаются с оси \(Oy\)
Чтобы считать значение котангенса угла поворота, через точку \((0;1)\) проводится касательная к единичной окружности.
Прямая называется осью котангенса.
Значения котангенса читаются с оси \(Ox\)
Чаще всего единичная окружность используется для определения знака тригонометрической функции, числовые значения находятся в таблицах или вычисляются с помощью калькулятора.
Знаки тангенса и котангенса в квадрантах определяются с использованием уже известных знаков синуса и косинуса и основных тригонометрических тождеств:
tg α = sin α cos α ; ctg α = cos α sin α .
Чтобы определить знак:
1. на единичной окружности отмечается данный угол поворота;
2. определяется знак синуса;
3. определяется знак косинуса;
4. определяется знак частного.
Свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса
В этой статье будут рассмотрены три основных свойства тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
Первое свойство — знак функции в зависимости от того, какой четверти единичной окружности приналдежит угол α . Второе свойство — периодичность. Согласно этому свойству, тигонометрическая функция не меняет значения при изменении угла на целое число оборотов. Третье свойсто определяет, как меняются значения функций sin, cos, tg, ctg при противоположных углах α и — α .
Знаки тригонометрических функций по четвертям
Часто в математическом тексте или в контексте задачи можно встретить фразу: «угол первой, второй, третьей или четвертой координатной четверти». Что это такое?
Обратимся к единичной окружности. Она разделена на четыре четверти. Отметим на окружности начальную точку A 0 ( 1 , 0 ) и, поворачивая ее вокруг точки O на угол α , попадем в точку A 1 ( x , y ) . В зависимости от того, в какой четверти будет лежать точка A 1 ( x , y ) , угол α будет называться углом первой, второй, третьей и четвертой четвети соответственно.
Для наглядности приведем иллюстрацию.
Угол α = 30 ° лежит в первой четверти. Угол — 210 ° является углом второй четверти. Угол 585 ° — угол третьей четверти. Угол — 45 ° — это угол четвертой четверти.
При этом углы ± 90 ° , ± 180 ° , ± 270 ° , ± 360 ° не принадлежат ни одной четверти, так как лежат на координатных осях.
Теперь рассмотрим знаки, которые принимают синус, косинус, тангенс и котангенс в зависимости от того, в какой четверти лежит угол.
Чтобы определить знаки синуса по четвертям, вспомним опредение. Синус — это ордината точки A 1 ( x , y ) . Из рисунка видно, что в первой и второй четвертях она положительна, а в третьей и четверной — отрицательна.
Косинус — это абсцисса точки A 1 ( x , y ) . В соответсии с этим, определяем знаки косинуса на окружности. Косинус положителен в первой и четвертой четвертях, а отрицателен во второй и третьей четверти.
Для определения знаков тангенса и котангенса по четвертям также вспоминаем определения этих тригонометрических функций. Тангенс — отношение ординаты точки к абсциссе. Значит, по правилу деления чисел с разными знаками, когда ордината и абсцисса имеют одинаковые знаки, знак тангенса на окружности будет положительным, а когда ордината и абсцисса имеют разные знаки — отрицательным. Аналогично определяются знаки котангенса по четвертям.
Согласно этому свойству, справедливы равенства
sin — 48 ° = — sin 48 ° , c t g π 9 = — c t g — π 9 , cos 18 ° = cos — 18 °
Рассмотренное свойство часто используется при решении практических задач в случаях, когда нужно избавиться от отрицательных знаков углов в агрументах тригонометрических функций.
Где косинус отрицательный на окружности
Рассмотрим единичную окружность, т.е. окружность с центром в начале координат и радиусом, равным 1.
Каждой точке на единичной окружности соответствует угол, координата х и координата y.
Точке А соответствует угол ?=30 0 , координата х=0,87, координата y=0,5. Рассмотрим треугольник ОАВ: ; . Таким образом, координата х точки А — косинус угла ?, а координата y точки А — синус угла ?.
Для любой точки на окружности, соответствующей любому углу, можно определить значения косинуса и синуса этого угла.
Табличные значения углов
Знаки функций
Тригонометрическую окружность разбивают на четверти.
В соответствующей четверти синус, косинус, тангенс, котангенс принимают положительное или отрицательное значения.
Значение угла на тригонометрической окружности
При прохождении окружности против часовой стрелки, начиная с точки С (1;0), угол положительный, при прохождении по часовой стрелки — отрицательный.
В точку А можно попасть при повороте ОС на угол или на угол, отличающийся от на любое целое число оборотов. Например, или , или и т.д. Поэтому для описания угла, соответствующего точке А на окружности, применяют общую запись
В точку В можно попасть при повороте ОС на угол или, в общем виде, . Если угол, соответствующий точке В, описывать, используя положительное направление отсчета, получим эквивалентную запись .
Таблица косинусов
Значения косинуса графически могут быть отображены в виде тригонометрической окружности, на которой угол α образует с осью прямоугольный треугольник. Из этого треугольника, спроецировав точку пересечения угла α с окружностью на ось синуса или косинуса, можно получить его приближенное значение.
Также тригонометрическая окружность показывает знак синуса и косинуса для каждого раскрытия угла α . Поскольку угол начинает раскрываться с правой стороны по оси косинусов, то значения косинуса угла α от 0° до 90° — положительны, так находятся правее нулевой точки отсчета. Угол α от 90° до 270° дает отрицательные значения косинусу, так как точка пересечения его с окружностью расположена левее оси синуса, то есть нуля. Косинус углов от 270° до 360° вновь становится положительным. Точные значения косинусов всех углов от 0° до 360° можно узнать из таблицы косинусов, приведенной ниже.