Ответ на Номер №9 из ГДЗ по Алгебре 9 класс: Мерзляк А.Г.
ГДЗ (готовое домашние задание из решебника) по Алгебре 9 класса авторов А.Г. Мерзляк. Вентана-Граф, 2014-2021г. на Номер №9.
Издание: Алгебра. 9 класс. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир. Вентана-Граф. 2014-2021г.
Условие
9. Докажите, что при любом значении переменной верно неравенство:
1) (p — 3)(р + 4) < р(р + 1);
2) (х + 1)^2 > х(х + 2);
3) (а — 5)(а + 2) > (а + 5)(а — 8);
4) у(у + 8) < (у + 4)^2;
5) (2а — 5)^2 < 6а^2 - 20а + 25;
6) а^2 + 4 >= 4а.
Решение №1
Подробное решение
- Белый фон переписывать в тетрадь
- Цветной фон теория и пояснения
Номер 8 — ГДЗ по Алгебре для 9 класса Учебник Мерзляк, Якир, Полонский
На странице представлены ответы на Номер 8 из учебника по алгебре для 9 класса Мерзляк
8. Докажите, что при любом значении переменной верно неравенство:
1) (а + 3)(а + 1) > а(а + 4);
2) 3(b — 4) + 2b с^2 — 20;
4) х(х + 6) — x^2 = 3у — 10;
6) 8m^2 — 6m + 1 = -1;
8) (b + 7)^2 > 14b + 40.
Упражнения
Проверь себя
Задание 1
Докажите что при любом значении переменной верно неравенство
of your page —>
Задача №315
Условие
315. Докажите, что при любом значении переменной верно неравенство: а) 7х2 — Юл: + 7 > 0; г) хг — 8х + 64 > 0; б) -Gy2 + 11 у — 10 0; е) -5л:2 + 8л: — 5 < 0.
Решение
Предыдущая задача №314
Следующая задача №316
316. Какое из данных выражений принимает положительное значение при любом значении у? 1. (у — 2)(у — 3) — 4 2. (5 — у)(1 — у) + 4 3. (5 — у)(1 — у) + 10 4. (у — 8)(у — 7) — 60
Источник: ГДЗ Алгебра 9 класс Макарычев 9 класс
28. Числовые неравенства
Мы можем сравнить любые числа а и b и результат сравнения записать в виде равенства или неравенства, используя знаки =, ≤, >. Для произвольных чисел а и b выполняется одно и только одно из соотношений: а = b, а ≤ b, а > b.
1. Сравним обыкновенные дроби 
и 
. Для этого приведём их к общему знаменателю:
Так как 35 > 32, то > .
2. Сравним десятичные дроби 3,6748 и 3,675. Цифры в разрядах единиц, десятых и сотых совпадают, а в разряде тысячных в первой дроби стоит цифра 4, а во второй — цифра 5. Так как 4 < 5, то 3,6748 < 3,675.
3. Сравним обыкновенную дробь и десятичную дробь 0,45.
Обратив дробь в десятичную, получим, что = 0,45.
4. Сравним отрицательные числа -15 и -23. Модуль первого числа меньше модуля второго. Значит, первое число больше второго, т. е. -15 > -23.
В зависимости от конкретного вида чисел мы использовали тот или иной способ сравнения. Однако удобно иметь такой способ сравнения чисел, который охватывает все случаи. Он заключается в том, что составляют разность чисел и выясняют, является ли она положительным числом, отрицательным числом или нулём. Этот способ сравнения чисел основан на следующем определении:
Заметим, что если разность а — b равна нулю, то числа а и b равны.
На координатной прямой большее число изображается точкой, лежащей правее, а меньшее — точкой, лежащей левее. Действительно, пусть а и b — некоторые числа. Обозначим разность а — b буквой с. Так как а — b = с, то а = b + с.
Если с — положительное число, то точка с координатой b + с лежит правее точки с координатой b, а если с — отрицательное число, то левее (рис. 22).
Значит, если а > b, то точка с координатой а лежит правее точки с координатой b, а если а < b — левее.
Покажем, как приведённое определение используется при решении задач.
Пример 1. Докажем, что при любых значениях переменной а верно неравенство
Решение: Составим разность левой и правой частей неравенства и преобразуем её:
(а — 3)(а — 5) — (а — 4) 2 =
= а 2 — За — 5а + 15 — а 2 + 8а — 16 = -1.
При любом а рассматриваемая разность отрицательна и, следовательно, верно неравенство
Пример 2. Пусть а и b — положительные числа. Как известно, а + b число 
называется средним арифметическим чисел а и b, число 
— средним геометрическим, число 
средним гармоническим. Докажем, что среднее арифметическое, среднее геометрическое и среднее гармоническое положительных чисел а и b связаны следующим соотношением:
Решение: Докажем сначала, что
Преобразуем разность левой и правой частей этого неравенства:
При a > 0 и b > 0 рассматриваемая разность неотрицательна и, следовательно, верно неравенство
Рассмотрим теперь разность —
При а > 0 и b > 0 составленная разность либо является отрицательным числом, либо равна нулю и, значит, верно неравенство
Итак, мы доказали, что если а > 0 и b > 0, то
Упражнения
- Сравните числа а и b, если:
За (а + 6) и (За + 6) (а + 4).
46(6 + 1) и (26 + 7) (26 — 8).
Докажите неравенство:
Верно ли при любом х неравенство:
Докажите неравенство:
(Для работы в парах.) Увеличится или уменьшится дробь 
, где а и b — натуральные числа, если к её числителю и знаменателю прибавить по 1?
1) Рассмотрите на примерах, как изменяется дробь . (Одному учащемуся рекомендуем взять дроби, у которых числитель меньше знаменателя, а другому — дроби, у которых числитель больше знаменателя.)
2) Обсудите друг с другом ваши наблюдения и выскажите гипотезу для каждого случая.
3) Проведите доказательство: один — для случая а < b, а другой — для случая а >b.
4) Проверьте друг у друга правильность рассуждений.
Докажите, что при а > 0 верно неравенство
Используя выделение квадрата двучлена, докажите неравенство:
Выберите из данных неравенств такое, которое не является верным при любом значении а.
(Для работы в парах.) Докажите, что если а и b — положительные числа и а 2 > b 2 , то а > b. Пользуясь этим свойством, сравните числа:
при х = — 
.
Решите уравнение: