Знак суммы как считать пример

Знак суммы как считать пример

Лестница «на сколько»

Сумма квадратов и кубов. Вычисление суммы кубов

Рассмотрим натуральный ряд чисел: 1, 2, 3, 4, . , взятых до некоторого значения п, например, до п = 500. Пусть каждое из этих чисел возведено в квадрат. Требуется найти сумму всех этих квадратов, т. е. сумму 1 2 + 2 2 + 3 2 + . + 499 2 + 500 2 .

Нас интересует не прямой подсчёт, а формула, дающая возможность легко и быстро найти такую сумму.

Рассматриваемую сумму квадратов кратко записывают так:

Знак Σ есть греческая буква «сигма». Этим знаком принято обозначать сумму сходных между собой слагаемых. Вместо буквы т надо подставлять последовательно числа ряда 1, 2, 3, . , до 500.

Если имеется п слагаемых, то сумма записывается так: или короче:

В этой книге мы будем записывать такую сумму совсем кратко: Σ ₂ : значок ₂ , должен напоминать, что суммируются вторые степени натуральных чисел.

Рассмотрим вторую задачу, отличающуюся от первой тем, что вместо квадратов суммируются кубы чисел натурального ряда. Для краткости эту сумму обозначим знаком Σ ₃ т.е. Σ ₃ = 1 3 + 2 3 + 3 3 + . + п 3 .

Получить эту сумму непосредственным вычислением при большом п ещё труднее, чем Σ _{2 .}

Из истории математики известно, что задачи этого типа в течение многих веков занимали учёных различных стран. Вначале XVII в. Фаульхаберу (1580—1635) удалось найти формулы для сумм степеней Σ ₂ , Σ ₃ , Σ ₄ , . , Σ ₁₁ . Ход егo решения не сохранился, но формулы оказались правильными. Великие математики . Ферма и Паскаль дали общий метод решения этой задачи. До них существовали лишь кустарные приёмы нахождения той или иной отдельной суммы Σ _k .

В этой главе мы остановимся именно на отдельных приёмах решения. Трудно установить, кому они принадлежат, так как передавались они из поколения в поколение. При этом начнём со второй задачи, т. е. нахождения суммы кубов Σ ₃ так как она решается проще.

Решим эту задачу с помощью так называемой таблицы умножения Пифагора, которая каждому знакома с детских лет (черт. 6).

Рассмотрим сумму чисел, находящихся на чертеже между двумя жирными линиями например, сумму

6 + 12 + 18 + 24 + 30 + 36 + 30 + 24 + 18 +12 + 6.

Все слагаемые этой суммы делятся на 6. Поэтому их сумму можно записать в виде:

6 • 1+6 • 2 + 6 • 3 + 6 • 4 + 6 • 5 + 6 • 6 + 6 • 5 + 6 • 4 + 6 • 3 + 6 • 2 + 6 • 1,

6 (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1).

Согласно формуле (4) , сумма, стоящая в скобках, равна 6 2 . Поэтому вся сумма чисел, лежащих в полосе между жирными линиями, равна 6 • 6 2 = 6 3 .

Сумма чисел, лежащих в полосе между следующими жирными линиями (7, 14. ,49, . , 14, 7) равна:

7 (1+2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2+1) = 7 • 7 2 = 7 3 .

Первая полоса или, лучше сказать, первый «угольник» таблицы Пифагора состоит из одного верхнего левого квадрата и даёт 1 3 ; вторая полоса даёт 2 3 ; третья даёт 3 3 и т. д.; последняя полоса даёт 10 3 . Значит, сумма всех чисел, стоящих в таблице Пифагора, даёт:

Но сумму всех чисел таблицы можно сосчитать иначе, а именно — по строкам. Сумма чисел первой строки равна:

обозначим её через S₁. Числа второй строки в 2 раза больше соответствующих чисел первой строки; поэтому и сумма их в 2 раза больше, т. е. равна 2S₁ . Числа третьей строки в 3 раза больше соответствующих чисел первой строки. Поэтому их сумма равна 3S₁; и так далее. Общая же сумма всех чисел таблицы, сложенных по строкам, равна:

Эту последнюю сумму можно представить в виде:

S( l + 2 + 3 +. + 9 +10).

Но сумма, стоящая в скобках, также равна S₁ поэтому общая сумма равна

Таков результат подсчёта по строкам. Этот результат должен быть равен предыдущему, так как складывались те же числа таблицы, хотя и в другом порядке. Поэтому:

1 3 + 2 3 + 3 3 + . + 9 3 + 10 3 = ( l + 2 + 3 +. + 9 + 10) 2 .

Рассуждение нисколько не изменится, если вместо пифагоровой таблицы из 10 строк и 10 столбцов рассматривать пифагорову таблицу, имеющую п строк и п столбцов. Получим равенство:

1 3 + 2 3 + 3 3 + . + (п — 1) 3 + п 3 = (1 + 2 + 3 + . + п ) 2

Левую часть равенства мы выше условились обозначать через Σ ₃ . Сумму чисел натурального ряда 1 + 2 + 3 + . + п можно обозначить через Σ ₁ : значок ₁ показывает, что числа натурального ряда взяты в первой степени. Тогда полученная нами формула может быть в сжатой форме записана так:

Полученное соотношение (5) даёт практическую возможность быстро сосчитать сумму Σ ₃ до любого заданного значения п.

Выше мы хотели вычислить Σ ₃ при значении п =500.

Чтобы найти сумму 1 3 + 2 3 + 3 3 + . + 500 3 , надо вычислить сперва Σ ₁ по формуле (3):

Σ ₃ = ( Σ ₁ ) 2 = (125 250) 2 = 15 687 562 500.

Дадим ещё один вывод формулы (5) при помощи чертежа (черт. 7).

Начиная с точки О, откладываем вертикально вниз последовательно отрезки ОА = 1 ед.; АВ = 2 ед.; ВС = 3 ед.; CD = 4 ед.; DЕ=5 ед.; EF = 6 ед. и т. д.

Тогда отрезки ОA=1; ОВ = 3; ОС = 6; OD = 10; ОЕ = 15; OF = 21 и т. д.

Такие же отрезки откладываем от точки О горизонтально вправо. На этих отрезках строим сеть клеток, равных 1 кв. ед. На нашем чертеже имеется всего 21 х 21 = 441 клетка.

Посмотрим, сколько клеток заключается между двумя жирными линиями, границами квадратов.

Первый участок содержит всего 1 = 1 3 клеток;
во втором участке 3 2 — 1 2 = 8 = 2 3 клеток;
в третьем участке содержится 6 2 — 3 2 = 36 —9 = 27 = 3 3 клеток и т. д.

Таким образом оказывается, что между:

0-й и 1-й жирной ломаной . 1 = 1 3 клеток

1-й и 2 й » » . 8 = 2 3 »
2-й и 3-й » » . 27 = 3 3 »
3-й и 4-й » » . 64 = 4 3 »
4-й и 5-й » » . 125 = 5 3 »
5-й и 6-й » » . 216 = 6 3 »

Как видим, число клеток в каждом участке равно кубу нумера участка. Конечно, это не случайно, и можно доказать, что при продолжении таблицы всегда будут получаться последовательные «кубические» числа. Доказательство этого утверждения найдено ещё в сочинении одного арабского математика, жившего около 1000 года нашей эры.

Пусть мы хотим подсчитать число клеток в участке с нумером т. Больший квадрат, содержащий этот участок, имеет в себе:

[ l + 2 + 3 + . + (m — 1) + т] 2 клеток;

меньший квадрат, прилегающий к этому участку, содержит

[ l + 2 + 3 + . + (m — 1)] 2 клеток.

В участке, заключённом между ними, имеется

[ l + 2 + 3 + . + (m — 1) + т] 2 — [ l + 2 + 3 + . + (m — 1)] 2 клеток.

Полученное выражение представляет собой разность квадратов вида А 2 — В 2 ; её можно представить в виде произведения (А+В) (А— В).

В данном случае:

А + В = l + 2 + 3 + . + (m — 1) + т + l + 2 + 3 + . + (m — 1)

l + 2 + 3 + . + (m — 1) + т + (m — 1) + . +3 + 2 +1,

а это выражение, согласно формуле (4) равно т 2 .

Разность выражений, стоящих в скобках, равна т.

Поэтому искомое число клеток равно т 2 • т = т 3 .

Таким образом, на нашей схеме в участке с нумером т заключается т 3 клеток. Так, девятый участок содержит 9 3 = 729 клеток; десятый участок содержит 10 3 = 1000 клеток.

Теперь уже нетрудно доказать формулу (5). Если квадратная схема имеет п участков, то сумма клеток во всех участках равна 1 3 + 2 3 + . + n 3 . Но сторона объемлющего квадрата равна (1 + 2 + 3 + . + п) ед., а потому квадрат содержит (1 + 2 + 3 + . + п) 2 клеток. Из сравнения обоих результатов получаем прежнюю формулу:

Предлагаем читателю, в виде упражнения, сравнить второй вывод формулы при помощи клеток с первым выводом и установить связь между ними.

Если вместо Σ ₁ подставить её значение, выраженное через п, то получим значение Σ ₃ также выраженное через число п.

Как легко понять знаки Σ и П с помощью программирования

Вот говорят, что если ты не закончил Физтех, ФПМ или Бауманку, тебе в программировании делать нечего. Почему так говорят? Потому что, дескать, ты не учил сложную математику, а в программировании без неё никуда.

Это всё чушь, конечно. Если вы плохо знаете математику, вы можете быть блестящим разработчиком. Вы вряд ли напишете драйверы для видеокарты, но вы запросто сделаете мобильное приложение или веб-сервис. А это — основные деньги в этой среде.

Но всё же, чтобы получить некоторое интеллектуальное превосходство, вот вам пара примеров из страшного мира математики. Пусть они покажут вам, что не все закорючки в математике — это ад и ужас. Вот две нестрашные закорючки.

Знак Σ — сумма

Когда математикам нужно сложить несколько чисел подряд, они иногда пишут так:

Σ (читается «сигма») — это знак алгебраической суммы, который означает, что нам нужно сложить все числа от нижнего до верхнего, а перед этим сделать с ними то, что написано после знака Σ.

На картинке выше написано следующее: «посчитать сумму всех чисел от 5 до 15, умноженных на два». То есть:

1. Взять все числа от 5 до 15 (снизу и сверху знака Σ).
2. С каждым из этих чисел сделать то, что написано справа от Σ, — то есть умножить на два.
3. Сложить результаты этих операций.

Давайте для закрепления ещё один пример. На картинке ниже будет сказано «Найди сумму квадратов чисел от 5 до 10». То есть «возьми все числа от 5 до 10, каждое из них возведи в квадрат, а результаты сложи».

Но мы с вами как программисты видим, что здесь есть повторяющиеся действия: мы много раз складываем числа, которые меняются по одному и тому же правилу. А раз мы знаем это правило и знаем, сколько раз надо его применить, то это легко превратить в цикл. Для наглядности мы показали, какие параметры в Σ за что отвечают в цикле:

Любите данные? Посмотрите вот это

Произведение П

С произведением в математике работает точно такое же правило, только мы не складываем все элементы, а перемножаем их друг на друга:

А если это перевести в цикл, то алгоритм получится почти такой же, что и в сложении:

Что дальше

Сумма и произведение — простые математические операции, пусть они и обозначаются страшными символами. Впереди нас ждут интегралы, дифференциалы, приращения и бесконечные ряды. С ними тоже всё не так сложно, как кажется на первый взгляд.

Как найти сумму ряда?

Рассмотрим небольшую задачу, которая обычно предлагается в самом начале практической работы по теме. И такая привилегия не случайна. Для решения типового примера на нахождение суммы ряда не требуется тяжёлый багаж признаков сравнения, признаков Даламбера, Коши и т.д. – достаточно самых минимальных знаний о числовых рядах. Необходимо понимать, что такое ряд , уметь расписывать его подробно и не округлять глаза после словосочетаний «ряд сходится», «ряд расходится», «сумма ряда». Поэтому, если ваше настроение совсем на нуле, пожалуйста, уделите 5-10 минут статье Ряды для чайников (буквально первые 2-3 страницы), а потом возвращайтесь сюда и смело начинайте решать примеры!

Следует отметить, что в большинстве случаев найти сумму ряда непросто, и этот вопрос обычно решается через функциональные ряды (доживём-доживём:)). Так, например, сумма популярного артиста выводится через ряды Фурье. В этой связи на практике почти всегда требуется установить сам факт сходимости, но не найти конкретное число (многие, думаю, уже успели это заметить). Однако среди великого множества числовых рядов есть немногочисленные представители, которые позволяют без особых проблем прикоснуться к святая святых даже полному чайнику. И на вводном уроке я приводил пример бесконечно убывающей геометрической прогрессии , сумма которой легко рассчитывается по известной школьной формуле.

В данной статье мы продолжим рассматривать похожие примеры, кроме того, узнаем строгое определение суммы и попутно познакомимся с некоторыми свойствами рядов. Разомнёмся… да прямо на прогрессиях и разомнёмся:

Найти сумму ряда

Решение: представим наш ряд в виде суммы двух рядов:

Почему в данном случае так можно сделать? Выполненные действия основаны на двух простейших утверждениях:

1) Если сходятся ряды , то будут сходиться и ряды, составленные из сумм или разностей соответствующих членов: . При этом существенно то обстоятельство, что речь идёт о сходящихся рядах. В нашём примере мы заранее знаем, что обе геометрические прогрессии сойдутся, а значит, без всяких сомнений раскладываем исходный ряд в два ряда.

2) Второе свойство ещё очевиднее. Константу можно вынести за пределы ряда: , и это не повлияет на его сходимость или расходимость и итоговую сумму. Зачем выносить константу? Да просто чтобы она «не мешалась под ногами». Но иногда бывает выгодно этого и не делать

Чистовое оформление примера выглядит примерно так:

Дважды используем формулу для нахождения суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: , где – первый член прогрессии, – основание прогрессии.

Ответ: сумма ряда

Начало решения можно оформить несколько в другом стиле – расписать ряд напрямую и перегруппировать его члены:

Дальше по накатанной.

Найти сумму ряда

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.

Каких-либо особых изысков здесь нет, но однажды мне попался необычный ряд , который может застать врасплох неискушенного человека. Это… тоже бесконечно убывающая геометрическая прогрессия! Действительно, , и сумма рассчитывается буквально за пару мгновений: .

А сейчас живительный глоток математического анализа, необходимый для решения дальнейших задач:

Что такое сумма ряда?

Строгое определение сходимости/расходимости и суммы ряда в теории даётся через так называемые частичные суммы ряда. Частичные – значит неполные. Распишем частичные суммы числового ряда :

И особую роль играет частичная сумма «эн» членов ряда:

Если предел частичных сумм числового ряда равен конечному числу: , то такой ряд называют сходящимся, а само число – суммой ряда. Если же предел бесконечен либо его не существует, то ряд называют расходящимся.

Вернёмся к демонстрационному ряду и распишем его частичные суммы:

Предел частичных сумм – есть в точности бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, сумма которой равна: . Похожий предел мы рассматривали на уроке о числовых последовательностях. Собственно, и сама формула – это прямое следствие вышеизложенных теоретических выкладок (см. 2-ой том матана).

Таким образом, прорисовывается общий алгоритм решения нашей задачи: необходимо составить энную частичную сумму ряда и найти предел . Посмотрим, как это осуществляется на практике:

Вычислить сумму ряда

Решение: на первом шаге нужно разложить общий член ряда в сумму дробей. Используем метод неопределённых коэффициентов:

Сразу же полезно провести обратное действие, выполнив тем самым проверку:

Получен общий член ряда в исходном виде, следовательно, разложение в сумму дробей проведено успешно.

Теперь составим частичную сумму ряда . Вообще это делается устно, но один раз я максимально подробно распишу, что откуда взялось:

Как записать совершенно понятно, но чему равен предыдущий член ? В общий член ряда ВМЕСТО «эн» подставляем :

Почти все слагаемые частичной суммы благополучно взаимоуничтожаются:

Прямо такие пометки и делаем карандашом в тетради. Чертовски удобно.

Осталось вычислить элементарный предел и узнать сумму ряда:

Ответ:

Аналогичный ряд для самостоятельного решения:

Вычислить сумму ряда

Примерный образец чистового оформления решения в конце урока.

Очевидно, что нахождение суммы ряда – это само по себе доказательство его сходимости (помимо признаков сравнения, Даламбера, Коши и др.), о чём, в частности, намекает формулировка следующего задания:

Найти сумму ряда или установить его расходимость

По внешнему виду общего члена можно сразу сказать, как ведёт себя этот товарищ. Без комплексов. С помощью предельного признака сравнения легко выяснить (причём даже устно), что данный ряд будет сходиться вместе с рядом . Но перед нами редкий случай, когда без особых хлопот рассчитывается ещё и сумма.

Решение: разложим знаменатель дроби в произведение. Для этого нужно решить квадратное уравнение:

Множители лучше расположить в порядке возрастания: .

Выполним промежуточную проверку:

Таким образом, общий член ряда:

Коэффициенты получились целые и это радует:

На всякий случай выполним ещё одну промежуточную проверку:

Поэтапные проверки – королевы зачётов 😉

Составим энную частичную сумму и уничтожим всё, что можно уничтожить:

Как видите, в этот раз противоположные числа не расположены рядышком. Поэтому на практике всегда лучше перестраховаться и записать побольше членов ряда – чтобы наверняка понять, какие слагаемые исчезнут, а какие – нет. По той же причине крайне желательно выполнять пометки карандашом.

Опыт показывает, что чаще всего студенты испытывают затруднения с хвостом суммы. В этой связи ещё раз повторим принцип, по которому записаны члены . Отчего ж не повторить?

В общий член ряда :
– ВМЕСТО «эн» подставляем : ;
– ВМЕСТО «эн» подставляем : ;
– ВМЕСТО «эн» подставляем : .

На завершающем этапе находим сумму ряда:

Ответ:

Изящный ряд для самостоятельного решения:

Найти сумму ряда или установить его расходимость

Решение и ответ в конце урока.

Вероятно, на этом рубеже у многих посетителей возникла уверенность в своих навыках и желание раствориться на просторах Интернета. Рекомендую немного задержаться, поскольку ниже по течению среди, казалось бы, такого однообразия приветливо моргают глазами большие крокодилы.

Усложняем задание и набиваем руку:

Вычислить сумму ряда

Решение: со знаменателем тут никаких проблем:

Множители, как я уже отмечал, целесообразно расположить в порядке возрастания.

Здесь на последних шагах проведено почленное сложение двух уравнений системы.

Что и требовалось проверить.

Запишем частичную сумму «эн» членов ряда, при этом обращаем внимание на тот факт, что «счётчик» ряда «начинает работать» с номера . Как и в предыдущих примерах, надёжнее растянуть кобру на приличную длину:

Однако если мы запишем в одну-две строчки, то всё равно будет довольно трудно сориентироваться в слагаемых (их таки 3 в каждом члене). И здесь нам на помощь придёт… геометрия. Заставим плясать змею под свою дудочку:

Да, прямо так и пишем в тетради один член под другим и прямо так их вычёркиваем. Кстати, собственное изобретение. Как понимаете, не от самого лёгкого задания в этой жизни =)

В результате зачистки получаем:

И, наконец, сумма ряда:

Ответ:

Вычислить сумму ряда

Это пример для самостоятельного решения.

Рассматриваемая задача, конечно, не радует нас разнообразием – на практике встречается либо бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, либо ряд с дробно-рациональным общим членом и разложимым многочленом в знаменателе (к слову, далеко не каждый такой многочлен даёт возможность найти сумму ряда). Но, тем не менее, иногда попадаются необычные экземпляры, и по сложившейся доброй традиции я завершаю урок какой-нибудь любопытной задачей:

Вычислить сумму ряда, если она существует

Решение: формулировка уже интригует. Интересен тот факт, что все члены данного ряда отрицательны. Почему? На интервале логарифм меньше нуля, а за счёт аргумента при любом натуральном «эн» (начиная с ) мы каждый раз и попадаем в этот интервал.

Таким образом, если ряд сходится, то будет отрицательна и его сумма. Только вот есть мааааленькая проблемка – найти это значение, если оно существует =)

Алгоритм такой же, главное, догадаться, с какой стороны подступиться к решению. Предыдущий опыт подсказывает, что нужно попытаться представить общий член ряда в виде суммы двух или бОльшего количества слагаемых. Из этих соображений преобразуем выражение в скобках и используем свойства логарифма:

Ну что же, выглядит вполне перспективно, давайте разберёмся с частичной суммой ряда:

В целях устранения неопределённости вновь используем свойство логарифма:

Получено конечное число, а значит, ряд сходится. Как и ожидалось, сумма получилась отрицательной.

Ответ:

Поздравляю со знаменательным событием! Коль скоро вы читаете эти строки, то сегодня на вашу долю выпал редкий и счастливый случай – когда в частичной сумме ряда удалось массово ликвидировать слагаемые. Удалось же? =)

Не каждый день бывает! Но то ли ещё будет 😉

Решения и ответы:

Пример 2: Решение:

Дважды используем формулу для нахождения суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: .
Для первого ряда: , для второго ряда: .

Ответ: сумма ряда

Пример 4: Решение: Методом неопределенных коэффициентов разложим общий член ряда в сумму дробей:

Таким образом:

Найдём частичную сумму ряда:

Вычислим сумму ряда:

Ответ:

Пример 6: Решение: разложим знаменатель общего члена в произведение и методом неопределённых коэффициентов получим сумму дробей:

Таким образом:
Составим частичную сумму и проведём упрощения:

Вычислим сумму ряда:

Ответ:

Пример 8: Решение: представим общий член ряда в виде:

Методом неопределённых коэффициентов разложим его в сумму дробей:

Таким образом:
Запишем частичную сумму:

Вычислим сумму ряда:

Ответ:

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам,

cкидкa 15% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-hihi5

© Copyright mathprofi.ru, Александр Емелин, 2010-2024. Копирование материалов сайта запрещено

Символ суммирования

В математике для записи сумм, содержащих много слагаемых, или в случае, когда число слагаемых обозначено буквой, применяется следующая запись:

которая расшифровывается так

(14.1)

где — функция целочисленного аргумента. Здесь символ (большая греческая буква «сигма») означает суммирование. Запись внизу символа суммирования показывает, что переменная, которая меняет свои значения от слагаемого к слагаемому, обозначена буквой и что начальное значение этой переменной равно . Запись вверху обозначает последнее значение, которое принимает переменная .

Пример 14.2 Вычислим несколько сумм:

1) .

2) . Так как в правой части стоит сумма геометрической прогрессии с первым членом равным и знаменателем прогрессии равным , то эту сумму легко найти

3) .

4) .

5) .

В курсе линейной алгебры чаще всего будут встречаться суммы вида . Здесь переменная с индексом рассматривается как функция от своего индекса. Поэтому

С помощью знака суммы формулу (10.1) скалярного произведения векторов можно записать так:

(14.2)

где для трехмерного пространства , для плоскости .

Для единообразия будем считать, что

и говорить, что это сумма, содержащая одно слагаемое.

Замечание 14.1 Буква, стоящая внизу под знаком суммы (индекс суммирования), не влияет на результат суммирования. Важно лишь, как от этого индекса зависит суммируемая величина. Например,

в правой части никакой буквы нет, значит, и результат от не зависит.

Предложение 14.1 Множитель, не зависящий от индекса суммирования, может быть вынесен за знак суммы:

Доказательство этого предложения предоставляется читателю.

Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:

Студопедия рекомендует:

Определение, предмет, объект изучения, задачи клинической психологии Клиническая психология – отрасль психологии, изучающая психологические особенности людей, страдающих различными заболеваниями.
Расчет страхового возмещения Величина, условия и метод страхового возмещения зависят от системы страховой ответственности.
Организация работы физиотерапевтического отделения (кабинета) Физиотерапевтическое отделение (кабинет) является структурным подразделением госпиталя и предназначено для рационального применения.
ОСНОВНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ В ИСКУССТВЕ 19 ВЕКА (РОМАНТИЗМ, РЕАЛИЗМ, СИМВОЛИЗМ, ИМПРЕССИОНИЗМ, НАТУРАЛИЗМ) 1. Романтизм (Romanticism), идейное и художественное направление, возникшее в европейской и американской культуре конца 18 века -.
Атомизм Демокрита. В натурфилософский период развития античной философии создаются первые атомистические учения Демокрита и Левкиппа.