Найти точку пересечения графиков линейных функций
Если даны две линейные функции вида y = kx + m , то их графики (прямые) могут вообще не пересекаться, если параллельны друг другу. Во всех остальных случаях они будут пересекаться в одной точке.
Графики двух линейных функций параллельны друг другу, если имеют одинаковый угловой коэффициент ( k ) и различное значение m (если и m будет одно и то же, то это будет одна и та же функция). Действительно, ведь k определяет угол между осью x и прямой, а значит у графиков линейных функций, отличающихся лишь значением m , угол с осью абсцисс один и тот же, и, следовательно, графики будут параллельны. Пример: графики функций y = 2x – 3 и y = 2x + 1 параллельны и, следовательно, не пересекаются.
Если две линейные функции имеют различные k , но одинаковые m , то они пересекаются в точке (0; m ). Действительно, если x = 0, то независимо от того, чему равен k , y становится равен m . Пример: y = –1.3 x + 8 и y = 2.1 x + 8.
Если две линейные функции имеют различные и k и m , то они пересекаются в какой-то точке, которую можно найти графическим способом. Сначала на координатной плоскости чертится одна прямая, затем вторая, далее находится их точка пересечения. Для того, чтобы начертить прямую линейной функции, надо найти две точки, которые принадлежат прямой. Для этого берут два различных x и вычисляют y . Это нужно сделать для каждой из двух функция. При этом не обязательно брать одинаковые x . Следует брать те, вычислять с которыми удобнее, или их будет проще нанести на координатную плоскость.
Также можно решить уравнение. Ведь точка пересечения — это та точка, где у обоих функций одинаковы x и y . Если y одинаковы, то правая часть одного уравнения равна правой части другой. То есть их можно приравнять и найти значение x , при котором это равенство верно. А далее, имея x , можно вычислить y , через любую из функций. Пример:
Даны y = 4x – 5 и y = –2x + 1
4x – 5 = –2x + 1
4x + 2x = 1 + 5
6x = 6
x = 1
y = 4 * 1 – 5 = –1 или y = –2 * 1 + 1 = –1
Таким образом точка пересечения (1; –1).
Кусочные функции. Как построить график кусочной функции
Другими словами, на различных участках числовой прямой функция ведет себя по разным законам.
То есть, графики кусочных функций выглядят как «франкенштейны» — разные части берут у разных функций и «слепляют» вместе.
Как построить графики кусочных функций?
Очень просто. Нужно каждый кусочек функции построить на выделенном для него участке, не залезая на соседние. При этом неважно каким именно способом строятся эти кусочки – можно с помощью элементарных преобразований , можно по точкам .
Пример. Построить график кусочной функции \(y=\begin-\frac, & x≤-1\\x^2-4x,& x>-1\end\)
1) Построим первую функцию на области \(x∈(-∞;-1]\). Для этого найдем несколько точек из этого участка, одна из которых — граничная точка с \(x=-1\).
Отметим их на координатной плоскости:
\(y=-\) \(\frac\) — гипербола, с учетом этого соединим полученные точки. Главное не перечертить график за граничную точку \((-1;5)\).
2) Построим вторую функцию на области \(x∈(-1;∞)\).
Для начала проверим «состыкуются» ли графики, для этого найдем значение функции \(y=x^2-4x\) в точке \(-1\):
\(y(-1)=(-1)^2-4\cdot(-1)=1+4=5\) – значение такое же, как в первой функции, значит графики состыкуются.
\(y=x^2-4x\) – квадратичная функция , график этой функции — парабола с ветвями вверх. Чтобы её построить найдем координаты вершины парабола:
Отметим эту точку на графике и проведем через неё ось симметрии параболы.
Найдем значение в точке \(1\) и \(0\):
\(y(1)=1^2-4\cdot 1=1-4=-3\)
\(y(0)=0^2-4\cdot 0=0\)
Отметим точки \((1;-3)\), \((0;0)\) и симметричные им на координатной плоскости.
Соединим первый график и получившиеся точки в одну плавную линию.
Готово. График кусочной функции построен.
Как не должна выглядеть кусочная функция:
Здесь парабола заехала на территорию гиперболы, а гипербола заехала на территорию параболы, так быть не должно! У каждого кусочка – своя территория.
Кусочная функция с разрывом
В рассмотренном выше примере функция не имела разрыва в граничной точке (то есть, значения при \(x=-1\) были одинаковы и слева, и справа). Но так бывает не всегда.
Например, у функции \(y=\beginx+1,& при & x<0\\-x^2+2x+3, & при & x≥0\end\) есть разрыв в точке \(0\), потому что значение кусочков этой функции в граничной точке \(0\) не совпадает:
при \(x=0\) в первом кусочке, \(y(0)=0+1=1\);
при \(x=0\) во втором кусочке \(y(0)=-0^2+2\cdot 0+3=3\).
На графике это выглядит так:
Заметьте, что \(x=0\) включен во вторую часть функции (ведь ее область «икс больше или равен нулю), но не включен в первую (так как там «строго меньше нуля»). Поэтому граничную точку параболы мы закрашиваем, а линейной — выкалываем.
Взаимное расположение графиков квадратных трёхчленов
В §28 данного справочника мы показали, что квадратный трёхчлен можно представить в виде:
$$ ax^2+bx+c = a(x+ \frac)^2-\frac, D = b^2-4ac $$
- ось симметрии $x = -\frac$
- вершину параболы на оси симметрии $(–\frac; -\frac)$
- точку пересечения (0;c) с осью OY
Любая парабола $y = ax^2+bx+c, a ≠ 0$ пересекается с осью OY в единственной точке (0;c) .
Количество точек пересечения параболы $y = ax^2+bx+c$ с осью OX зависит от знака дискриминанта.
Если $D \gt 0$ , парабола имеет две точки пересечения с $x_1,2 = \frac>$ на оси OX.
Если D = 0 , парабола имеет одну точку пересечения $x_0 = -\frac$, которая лежит на оси OX и является вершиной параболы.
Если $D \lt 0$ у параболы нет ни одной точки пересечения с осью OX.
Точки пересечения параболы с осью OX
Точки пересечения двух парабол
На практике часто возникает задача «перехвата» одного тела другим, т.е. поиска точек пересечения двух траекторий; а тела в поле тяготения Земли нередко движутся по параболе.
Поэтому исследовать возможные точки пересечения двух парабол – важная прикладная задача. Пусть уравнения парабол:
$$ y = a_1 x^2+b_1 x+c_1, \quad y = a_2 x^2+b_2 x+c_2 $$
В точках пересечения выполняется равенство:
$$ a_1 x^2+b_1 x+c_1 = a_2 x^2+b_2 x+c_2 $$
$$ (a_1-a_2 ) x^2+(b_1-b_2 )x+(c_1-c_2 ) = 0 $$
Если ввести обозначения $A = a_1-a_2, B = b_1-b_2, C = c_1-c_2$, получаем уравнение:
Количество решений этого уравнения в зависимости от нулевых и ненулевых значений параметров равно 11 и описывается схемой общего алгоритма решений квадратного уравнения (см.§25 данного справочника).
$ a_1 = a_2, b_1 = b_2, $
Две параболы совпадают
Бесконечное множество общих точек, $x \in \Bbb R$
$A = B = 0, C \neq 0$
$ a_1 = a_2, b_1 = b_2, $
Параболы имеют вид
У них общая ось симметрии
$ x = -\frac$, одна парабола находится над другой.
Ветки сходятся только на бесконечности.
Точек пересечения нет
$A = 0, B \neq 0, C = 0$
$ a_1 = a_2, b_1 \neq b_2 $
Параболы имеют вид
Обе проходят через точку (0;c).
Это – единственная точка пересечения.
Одна точка пересечения
$A = 0, B \neq 0, C \neq 0$
$ a_1 = a_2, b_1 \neq b_2 $
Параболы имеют вид
Абсцисса точки пересечения
Одна точка пересечения (касание)
$A \neq 0, B = 0, C = 0$
$ a_1 \neq a_2, b_1 = b_2 $
Параболы имеют вид
Пересекаются при x=0 (точка касания)
Одна точка пересечения (касание) (0;c)
$A \neq 0, B = 0, C \neq 0$
$ a_1 \neq a_2, b_1 = b_2 $
Параболы имеют вид
Не пересекаются, если
Две точки пересечения
Пересекаются в двух точках
Две точки пересечения
$A \neq 0, B \neq 0, C = 0$
$ a_1 \neq a_2, b_1 \neq b_2 $
Параболы имеют вид
$$ y = a_1 x^2+b_1 x+c $$
$$ y = a_2 x^2+b_2 x+c $$
Две точки пересечения
Две точки пересечения,
одна из которых (0;c)
$A \neq 0, B \neq 0, C \neq 0$
$ a_1 \neq a_2, b_1 \neq b_2 $
Все параметры парабол разные
Две точки пересечения
Две точки пересечения
Одна точка пересечения (касание)
Одна точка пересечения
Точек пересечения нет
Точек пересечения нет
Если две параболы не совпадают, то они могут иметь 1) две точки пересечения; 2) одну точку пересечения; 3) ни одной точки пересечения.
Иметь ровно 3, 4, 5 и т.д. точек пересечения две параболы не могут!
Примеры
Пример 1. Найдите точки пересечения параболы с осями координат:
Пересечение с осью OY: $<\left\< \begin x = 0 \\ y = -1\end \right.>$
Пересечение с осью OX:
$$ 3x^2+2x-1 = 0 \Rightarrow (3x-1)(x+1) = 0 \Rightarrow $$
$ \Rightarrow \left[ \begin <\left\< \begin x = \frac \\ y = 0 \end \right.> \\ <\left\< \begin x = -1 \\ y = 0 \end \right.> \end \right.$ — две точки пересечения
Пересечение с осью OY: $<\left\< \begin x = 0 \\ y = 1\end \right.>$
Пересечение с осью OX:
$$ -4x^2-3x+1 = 0 \Rightarrow 4x^2+3x-1 = 0 $$
$$ (4x-1)(x+1) = 0 \Rightarrow$$
$ \Rightarrow \left[ \begin <\left\< \begin x = \frac \\ y = 0 \end \right.> \\ <\left\< \begin x = -1 \\ y = 0 \end \right.> \end \right.$ — две точки пересечения
Пересечение с осью OY: $<\left\< \begin x = 0 \\ y = 1\end \right.>$
Пересечение с осью OX:
$$ D = 2^2-4 \cdot 5 \cdot 1 = 4-20 = -16 \lt 0 $$
Парабола не пересекает ось OX
Пересечение с осью OY: $<\left\< \begin x = 0 \\ y = -4\end \right.>$
Пересечение с осью OX:
$$ -x^2+4x-4 = 0 \Rightarrow x^2-4x+4 = 0 \Rightarrow $$
$$ \Rightarrow (x-2)^2 = 0 \Rightarrow <\left\< \begin x = 2 \\ y = 0 \end \right.>$$ — одна точка пересечения
Пример 2*. Даны две параболы
$$ y = 2x^2+5x+1 и y = x^2+3x+k $$
Найдите такое значение параметра k, чтобы параболы
1) имели две точки пересечения; 2) имели одну точку пересечения; 3) не пересекались.
$$ a_1 = 2, b_1 = 5, c_1 = 1, a_2 = 1, b_2 = 3, c_2 = k $$
$$ a_1 \neq a_2, b_1 \neq b_2 $$
A = 2-1 = 1, B = 5-3 = 2, C = 1-k
Нам необходимо рассмотреть 4 последних случая из представленных выше, в таблице §29.
1) Параболы имеют две точки пересечения в двух случаях:
1 случай: $c_2 = c_1$, k = 1
2 случай: $c_2 ≠ c_1, D \gt 0$
$$ D = B^2-4AC = 2^2-4 \cdot 1 \cdot (1-k) = 4k \gt 0 \Rightarrow k \gt 0 $$
Оба случая можем объединить требованием $k \gt 0$.
2) Параболы имеют одну точку пересечения, если:
$$ D = 4k = 0 \Rightarrow k = 0 $$
3) Параболы не имеют общих точек, если:
$$ D = 4k \lt 0 \Rightarrow k \lt 0 $$
Ответ: 1) $k \gt 0$; 2) k = 0; 3) $k \lt 0$
Пример 3. Две параболы с общей вершиной
Найдите соотношение параметров двух парабол, при котором они будут пересекаться в одной точке – вершине парабол.
Пусть уравнения парабол:
$$ y = a_1 x^2+b_1 x+c_1, y = a_2 x^2+b_2 x+c_2 $$
Получаем две пропорции, которым параметры уравнений должны удовлетворять одновременно.
Пример 4. Используя результаты примера 3, найдите две параболы, у которых такая же вершина, как у $y = \frac-3x+1$.
$$ x_0 = — \frac = — \frac> = 3, D = b^2-4ac = 3^2-4 \cdot \frac \cdot 1 = 7 $$
Уравнение искомой параболы: $y = ax^2+bx+c$
Пропорции для параметров (см. пример 3):
Пусть для искомых двух парабол a=1 и a=-0,2 (можно взять любые другие значения). Получаем:
$$ <\left\< \begin a = 1 \\ b = -6a = -6 \\ D = 14a = 14 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin a = 1 \\ b = -6 \\ b^2-4ac = 14 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin a = 1 \\ b = -6 \\ 36-4c = 14 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin a = 1 \\ b = -6 \\ c = \frac = 5,5 \end \right.>$$
$$ <\left\< \begin a = -0,2 \\ b = -6a = 1,2 \\ D = 14a = -2,8 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin a = -0,2 \\ b = 1,2 \\ 1,2^2-4 \cdot (-0,2)c = -2,8 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin a = -0,2 \\ b = 1,2 \\ c = - \frac = -5,3 \end \right.> $$
$$ y = \frac-3x+1, y = x^2-6x+5,5, y = -0,2x^2+1,2x-5,3 $$
имеют общую вершину (3;-3,5)
Пример 5. Комета движется по параболической траектории, которая в выбранной системе координат описывается уравнением $y = \frac-2x+5$.
Космический аппарат запускается из начала координат и также движется по параболической траектории. Рассчитайте уравнение этой траектории так, чтобы её вершина совпала с вершиной траектории кометы.
Координаты вершины траектории кометы:
$$ x_0 = -\frac = -\frac> = 3, D = b^2-4ac = 2^2-4 \cdot \frac \cdot 5 = — \frac $$
Уравнение траектории космического аппарата: $y = ax^2+bx+c$.
Аппарат запускается из начала координат, т.е. его траектория пересекается с осью OY в точке (0;0). Значит, в уравнении параболы c = 0.
Пропорции для параметров (см. пример 3) с учетом c = 0:
Уравнение траектории космического аппарата с «перехватом» кометы в вершине:
Как вычислять координаты точек пересечения парабол
Параболы на плоскости могут пересекаться в одной или двух точках, либо вообще не иметь точек пересечения. Поиск таковых точек — типичная задача алгебры, входящая в программу школьного курса.
Статьи по теме:
- Как вычислять координаты точек пересечения парабол
- Как найти координаты вершины параболы
- Как построить квадратичную функцию
Инструкция
Убедитесь в том, что по условиям задачи вам известны уравнения обеих парабол. Парабола — это кривая на плоскости, задаваемая уравнением следующего вида y = ax² + bx + c (формула 1), где a, b и c — некоторые произвольные коэффициенты, причем коэффициент a ≠ 0. Таким образом, две параболы будут заданы посредством формул y = ax² + bx + c и y = dx² + ex + f. Пример — заданы параболы с формулами y = 2x² — x — 3 и y = x² -x + 1.
Теперь вычтите из одного из уравнений параболы другое. Произведите, таким образом, расчет следующего вида: ax² + bx + c — (dx² + ex + f) = (a-d)x² + (b-e)x + (c-f). Получился полином второй степени, коэффициенты которого вы легко можете вычислить. Чтобы найти координаты точек пересечения парабол, достаточно поставить знак равенства нулю и найти корни получившегося квадратного уравнения (a-d)x² + (b-e)x + (c-f) = 0 (формула 2). Для приведенного выше примера получим y = (2-1)x² -x + x + (-3 — 1) = x² — 4 = 0.
Корни квадратного уравнения (формула 2) ищем по соответствующей формуле, которая есть в любом учебнике алгебры. Для приведенного примера существует два корня x = 2 и x = -2. Кроме того, в формуле 2 значение коэффициента при квадратичном члене (a-d) может быть равным нулю. В этом случае уравнение окажется не квадратным, а линейным и всегда будет иметь один корень. Заметьте, в общем случае квадратное уравнение (формула 2) может иметь два корня, один корень, либо вовсе не иметь ни одного — в последнем случае параболы не пересекаются и задача не имеет решения.
Если, все же, найден один или два корня, их значения нужно подставить в формулу 1. В нашем примере подставляем вначале x = 2, получаем y = 3, затем подставляем x = -2, получаем y = 7. Две получившиеся точки на плоскости (2;3) и (-2;7) и являются координатами пересечения парабол. Других точек пересечения у этих парабол нет.