2. Свойства параллельных прямых. Аксиома параллельных прямых
Признаки, которые мы рассматривали в первой части теории, и свойства, которые будем рассматривать в этой части, доказываем разными способами.
Признак — это некоторый факт, благодаря которому мы устанавливаем справедливость интересующего нас суждения о некотором объекте.
Если при пересечении двух прямых третьей секущей накрест лежащие углы равны, то эти две прямые параллельны.
Свойство — если мы уверены в справедливости суждения, мы формулируем свойство объекта.
Если две прямые параллельны, то при пересечении их с третьей секущей накрест лежащие углы равны.
Аксиома , в свою очередь — такая истина, которую не надо доказывать. В каждой науке есть свои аксиомы, на справедливости которых строят все дальнейшие суждения и их доказательства.
Аксиома параллельных прямых.
В одной плоскости с заданной прямой через точку, не лежащую на этой прямой, можно провести только одну прямую, параллельную заданной прямой.
Иногда эту аксиому называют как одно из свойств параллельных прямых, но на справедливости этой аксиомы строятся многие доказательства в геометрии.
Другие свойства параллельных прямых.
1. Если одна из пары параллельных прямых параллельна третьей прямой, то и другая прямая параллельна третьей прямой.
2. Если некая прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и вторую параллельную прямую.
Эти свойства в отличие от аксиомы нужно доказать.
Докажем 1. Свойство.
Даны две параллельные прямые \(a\) и \(b\). Верно ли, что если прямая \(c\) параллельна прямой \(a\), то она параллельна и прямой \(b\)?
Используем противоположное суждение.
Допустим, что возможна ситуация, когда прямая \(c\) параллельна одной из параллельных прямых — прямой \(a\) — пересекает другую прямую \(b\) в некоторой точке \(K\).
Получается противоречие с аксиомой параллельных прямых. Мы имеем ситуацию, когда через точку проходят две пересекающиеся прямые, которые параллельны одной и той же прямой \(a\). Такого не может быть, значит, прямые \(b\) и \(c\) пересекаться не могут.
Мы доказали, что верно: если одна из пары параллельных прямых параллельна третьей прямой, то и другая прямая параллельна третьей прямой.
Попробуй доказать самостоятельно 2. Свойство.
Если некая прямая \(c\) пересекает одну из двух параллельных прямых \(a\), то она пересекает и вторую параллельную прямую \(b\).
Таким же методом от противоположного суждения попробуй представить, что возможна ситуация, когда прямая пересекает одну из параллельных прямых, но не пересекает другую.
Перечислим свойства углов, которые образуются при пересечении двух параллельных прямых с третьей секущей.
Что может быть следствием аксиомы или теоремы
Главное меню
Соглашение
Регистрация
Английский язык
Астрономия
Белорусский язык
Информатика
Итальянский язык
Краеведение
Литература
Математика
Немецкий язык
Обществознание
Окружающий мир
Русский язык
Технология
Физкультура
Для учителей
Дошкольникам
VIP — доступ
Автор: Шестерикова Елена Владимировна | ID: 4079 | Дата: 10.2.2015
Помещать страницу в закладки могут только зарегистрированные пользователи
Зарегистрироваться
Получение сертификата
о прохождении теста
Что такое аксиома и теорема в математике
Математика играет важную роль в жизни каждого человека, даже если он не собирается заниматься ею всерьез. Это один из ключевых и базовых предметов в школе. Именно поэтому курсы по математике так востребованы и актуальны. Люди всеми способами стремятся повысить уровень собственных знаний и открыть для себя новые возможности. Такой путь оптимален и отличается высокой эффективностью.
Для того чтобы быстро решать различные задачи по алгебре и геометрии, необходимо прежде научиться рассуждать логически, выучить и понять теорию. Только после этого можно перейти к работе с задачами и доказательствами.
Что собой представляет аксиома
Аксиомой принято называть некоторое правило, которое априори верно и не нуждается в доказательствах. Это принятое положение, с которым нет никакого смысла спорить. В качестве синонима к слову «аксиома» выступает слово «гипотеза».
Гипотез и аксиом множество. Каждая из них несет важную мысль, которую нужно не просто прочитать, а понять и осознать. К примеру, через любые две точки может проходить лишь единственная прямая. Это очевидно.
Что собой представляет теорема
Теоремой принято считать логическое следствие аксиом. Говоря проще, речь идет о некотором утверждении, которое базируется на той или иной гипотезе, либо общепринятом и общеизвестном утверждении. В математике существуют теоремы, которые не применяются для поиска решения задач, а используются для составления доказательной базы других теорем.
Теоремы вспомогательного характера принято называть леммами. Давайте рассмотрим пример. Показательной может послужить следующая теорема: если одна из двух прямых, лежащих параллельно по отношению друг к другу пересекает некоторую плоскость, то другая прямая также пересекает таковую.
Следствием принято называть некоторое утверждение, которое формируется на базе теоремы и аксиомы. Оно также нуждается в доказательной базе. Пример: если две из параллельных прямых параллельны третьей, они также параллельны друг к другу.
Есть также доказательные теоремы. Речь идет о некотором процессе обоснования справедливости озвученного утверждения. Каждая теорема, которая уже доказана, выступает базой для доказательства другой теоремы, следующей. Именно ввиду этого изучать геометрию необходимо последовательно. В таком случае перескакивать с темы на тему нерационально.
Кроме того, теоремы могут быть прямыми или обратными, а также противоположными. Таковые дополняют одна другую и подтверждают истинность утверждения. Противоположными теоремами принято называть такое утверждение, в котором отрицание заключения формируется исходя из отрицания условия.
Чтобы обеспечить себе качественные знания, желательно записаться на специальные курсы и активно работать с опытными педагогами. Математика – сложная наука, поэтому без помощи извне зачастую не обойтись. Опытные педагоги объяснят формулы и теоремы на жизненных примерах, а также максимально доступно донесут информацию до абитуриентов.
Следствия из аксиомы параллельности
Для того, чтобы сделать формальный вывод о параллельности, в геометрии используется ряд доказательных инструментов.
Резонно предположить, что часть этих инструментов основана на выводах из аксиомы параллельности. Давайте выясним, что аксиома параллельности предлагает на уровне «из этого следует».
Следствие в геометрии
Помимо аксиом и теорем в геометрии существуют следствия. Это утверждения, которые заключаются из доказанных теорем или принятых аксиом. Необходимы они, дабы помогать приводить более полную трактовку содержания понятий.
Как своего рода пояснение. Только несмотря на то, что следствие в геометрии напрямую выводится из уже некоего существующего базиса, для него все равно требуется отдельное доказательство.
Зачем?
Мы не зря подчеркнули важность доказательства следствия. Доказательство необходимо для проверки отсутствия противоречия между выводимым суждением и аксиомой-основой или теоремой-основой. Если возникает противоречие, это говорит о том, что следствие ошибочно.
Из аксиомы параллельности обычно выводятся два значимых следствия, которые вкупе с теоремами о секущих будут формировать так называемые признаки параллельности прямых. Подробнее о признаках — далее, в следующем уроке.
На время ограничимся определением того, что такое следствие в геометрии и тем, какие следствия предполагает аксиома параллельности:
Следствия — утверждения, выводимые из определений, аксиом и теорем.
Следствия из аксиомы параллельности: первое следствие
Первое следствие из аксиомы параллельности. Две прямые, параллельные третьей, параллельны друг другу.
Проведем две прямые $a$ и $b$ таким образом, чтобы каждая была параллельна третьей прямой $c$. Докажем, что $a$ и $b$ параллельны между собой, то есть что если $a\parallel$ и вместе с тем $b\parallel,$ то $a\parallel$.
Доказательство
Пойдем от противного и предположим, что $a$ и $b$ не параллельны. Тогда они должны пересекаться в некоторой точке.
Если бы это действительно было так, то через точку пересечения можно было бы провести две прямые, параллельные $c,$ — напомним, по условию $a\parallel$ и $b\parallel$. Это противоречит аксиоме параллельности, ведь через одну точку невозможно провести две параллельные прямые. Значит, $a\parallel$.
Следствие доказано.
Алгоритм доказательства следующий: вначале вводится утверждение от противного, чтобы после привести его к противоречию с аксиомой, теоремой или определением. Если в ходе доказательства противоречия не обнаруживается — следствие ошибочно. Это стандартная процедура «обратного» доказательства, она ранее известна нам как доказательство от противного.
Доказательство от противного: импликация
Мы вновь возвращаемся к импликациям — они же следствия, они же связка «если одно, то другое». Здесь законы логики просты: из «если»-правды нельзя вывести «то»-ложь и получить истину.
Иными словами, можно сказать, что раз некоторое суждение $A$ истинно, то никак из него нельзя вывести противоречивое, ложное суждение $B$. С толку сбивает, пожалуй, отрицание $A$, но в этом и заключается суть метода: пытаться доказывать не истинность $A$, а истинность $\bar$.
В логике частица «не» — отрицание — обозначается как черточка ($\bar$) или также с помощью инверсионного символа ($\neg$).
Доказательство от противного: задача на логику
Задача. У маляра есть банки только с желтой и фиолетовой красками. Банки с желтой краской всегда большие. Есть маленькая банка с краской. Докажите, что краска в ней фиолетовая.
Давайте покажем формальную схему, как устроено доказательство от противного, на примере простой логической задачи.
О противоречиях
Внимательный читатель мог заметить странность, связанную с противоречиями. Изначально, когда речь шла про следствия, мы подчеркнули важность их доказательства, дабы исключить противоречие с аксиомой-основой или теоремой-основой. Следствие не может противоречить аксиоме, из которой оно выводится, и это факт.
Однако при этом мы указывали, что если в ходе доказательства следствия не обнаруживается противоречия, то следствие является ошибочным. Противоречия нет, а следствие ошибочное?
Не забывайте, что речь идет не просто о доказательстве, а о доказательстве от противного. За основу принимается отрицание следствия. При отрицании истинного следствия отсутствие противоречия недопустимо.
�� Истинное следствие не должно противоречить аксиоме-основе.
�� Отрицание истинного следствия должно противоречить аксиоме-основе.
Следствия из аксиомы параллельности: второе следствие
Второе следствие из аксиомы параллельности. Прямая, пересекающая другую прямую, пересечет и параллельную другой прямую.
Пусть имеются прямые $a,$ $b$ и $c$ так, что прямая $c$ пересекает прямую $a$ в точке $F$. Докажем, что прямая $c$ при продолжении также пересечет и прямую $b$ в некоторой точке.
Еще раз внимание на доказательный алгоритм!
Доказательство
Предположим, что прямая $c$ не пересекает прямую $b$.
Тогда прямая $c$ является параллельной к прямой $b$, ведь не пересекаться прямые могут только при условии параллельности. Таким образом через точку $F$ проходят две параллельные к $b$ прямые, что противоречит аксиоме параллельности. Следовательно $c$, пересекая $a$, пересечет и $b$.
Следствие доказано.