Основные формулы по физике — КВАНТОВАЯ ФИЗИКА
Начало развития квантовой физики связано с решением немецким ученым Максом Планком проблемы излучения абсолютно черного тела. Необходимо знать гипотезу Планка о квантовании энергии осцилляторов и уяснить, что на основании формулы Планка могут быть получены законы Стефана- Больцмана и Вина.
Развитие гипотезы Планка привело к созданию представлений о квантовых свойствах света. Кванты света называются фотонами. С позиций квантовой теории света объясняется такое явление как фотоэффект. Здесь следует знать формулу Эйнштейна для фотоэффекта.
Дальнейшее развитие квантовой физики связано с построением теории строения атома. О сложном строении атома говорят исследования спектров излучения разряженных газов.
Таблица сновных формул квантовой физики
Физические законы, формулы, переменные
Формулы квантовой физики
Закон Стефана-Больцмана:
где R — энергетическая светимость (излучательность) абсолютно черного тела, т.е. энергия, испускаемая в единицу времени с единицы площади:
σ — постоянная Стефана-Больцмана:
Энергетическая светимость (излучательность) серого тела:
где α — коэффициент черноты.
Закон смещения Вина:
где λm — длина волны, на которую приходится максимум энергии излучения;
b — постоянная Вина :
Импульс фотона:
где λ — длина волны;
h — постоянная Планка:
Энергия фотона:
где ν — частота;
с — скорость света в вакууме:
Формула Эйнштейна для фотоэффекта:
где hν — энергия фотона, падающего на поверхность металла;
А — работа выхода электрона из металла;
— максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона.
Красная граница фотоэффекта:
где λк — максимальная длина волны, при которой возможен фотоэффект;
νк — минимальная частота, при которой возможен фотоэффект.
| или |
Сериальные формулы спектра водородоподобного атома
где R — постоянная Ридберга R=1,097·10 7 м -1 ,
z — порядковый номер элемента;
Серия Лаймана m=1, n=2,3,4.
Серия Бальмера m=2, n=3,4,5.
Серия Пашена m=3, n=4,5,6.
Серия Брекета m=4, n=5,6,7. и т.д.
Длина волны де Бройля:
где р — импульс частицы.
В классическом приближении (при v< m — масса частицы; v — скорость частицы; с — скорость света в вакууме. В релятивистском случае (при Связь импульса с кинетической энергией Wк в релятивистском приближении: Плотность вероятности нахождения частицы в соответствующем месте пространства Волновая функция, описывающая состояние частицы в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме Энергия частицы в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме Электропроводность собственных полупроводников Постоянная Холла для полупроводников типа алмаза, германия, кремния Поделитесь ссылкой с друзьями: В глоссарий входят термины, выделенные курсивом. Абсолютно черное тело. Гипотетическое идеализированное тело, способное поглощать и испускать все падающее на него электромагнитное излучение. В лаборатории оно моделируется нагретым ящиком с крошечным отверстием в одной из его стенок. Альфа-распад. Процесс радиоактивного распада ядра атома, в результате которого происходит испускание α -частицы. Альфа-частица. Субатомная положительно заряженная частица, состоящая из двух связанных протонов и нейтронов. Испускается при альфа-распаде; идентична ядру атома гелия. Амплитуда. Максимальное смещение в волне или при колебательном движении, равное половине расстояния от верхней точки волны (или колебания) до самой нижней точки. В квантовой механике амплитуда процесса – это число, связанное с вероятностью осуществления данного процесса. Атом. Наименьшая, химически неделимая часть элемента, состоящая из положительно заряженного ядра, окруженного системой отрицательно заряженных электронов. Поскольку атом нейтрален, число положительно заряженных протонов в ядре равно числу электронов. Атомный номер (Z). Количество протонов в ядре атома. Атомный номер каждого элемента определен однозначно. Атомный номер водорода, ядро которого состоит из одного протона, вокруг которого вращается один электрон, равен 1. Уран с 92 протонами и 92 электронами имеет атомный номер 92. Бета-частица. Быстро двигающийся электрон, испускаемый ядром радиоактивного элемента в результате превращения нейтрона в ядре атома в протон. Хотя β-частицы двигаются быстрее и обладают большей проникающей способностью, чем α -частицы, тонкая металлическая фольга может их остановить. Броуновское движение. Хаотическое движение частичек пыльцы, взвешенных в жидкости. Впервые наблюдалось в 1827 году Робертом Броуном. В 1905 году Эйнштейн понял, что броуновское движение – результат случайных ударов частичек пыльцы молекулами жидкости. Вектор скорости. Скорость тела в заданном направлении. Вероятностная интерпретация. Предложенная Борном интерпретация волновой функции, согласно которой она позволяет вычислить только вероятность обнаружить частицу в данном месте. Это неотъемлемая часть положения, согласно которому квантовая механика может воспроизвести только относительные вероятности результатов измерения наблюдаемых величин и не может предсказать, каким будет результат данного эксперимента. Волновая механика. Версия квантовой механики, предложенная Эрвином Шредингером в 1926 году. Волновая функция (ψ). Математическая функция, описывающая волновые свойства системы частиц. Волновая функция определяет все, что можно знать о состоянии физической системы или частицы в квантовой механике. Например, с помощью волновой функции атома водорода можно вычислить вероятность обнаружить его электрон в определенной точке вблизи ядра. См. вероятностная интерпретация и уравнение Шредингера. Волновой пакет. Суперпозиция большого числа различных волн, гасящих друг друга везде кроме небольшой, ограниченной области пространства; можно использовать для отображения частицы. Волны материи. Когда поведение частицы демонстрирует волновой характер, ассоциирующаяся с нею волна называется волной материи или волной де Бройля. См. длина волны де Бройля. Вынужденная (вторичная) эмиссия. Процесс, при котором падающий фотон не поглощается возбужденным атомом, а “вынуждает” его испустить еще один фотон той же частоты. Гамма-лучи. Электромагнитное излучение очень малой длины волны. Самое проникающее из трех типов излучения, испускаемых радиоактивными веществами. Гармонический осциллятор. Вибрирующая или колеблющаяся система, частота вибраций или колебаний которой не зависит от амплитуды. Детерминизм. В классической механике: если в данный момент времени координаты и импульсы всех частиц во Вселенной известны, и известны также все силы, действующие между частицами, то можно, в принципе, определить состояние Вселенной в следующий момент времени. В квантовой механике в любой момент времени невозможно одновременно точно указать и координату, и импульс частицы. Такая теория приводит к недетерминистскому взгляду на процессы, происходящие во Вселенной: ее будущее, как и будущее отдельной частицы, не может быть в принципе определено. Джоуль (Дж). Единица энергии, используемая в классической физике. Лампочка мощностью сто ватт за секунду преобразует сто джоулей электрической энергии в тепло и свет. Динамические переменные. Координата, импульс, потенциальная энергия, кинетическая энергия и другие величины, которые используются для характеристики состояния частицы. Дифракция. Размывание волн при прохождении вблизи препятствия или через апертуру, такое как изменение структуры морских волн, попадающих в гавань через щель в ограждающей ее стене. Длина волны (А). Расстояние между двумя последовательными самыми высокими или самыми низкими точками волны. Длина волны электромагнитного излучения определяет, к какой части электромагнитного спектра принадлежит данная волна. Длина волны де Бройля. Длина волны частицы λ, связанная с ее импульсом p соотношением λ = h/p, где h – постоянная Планка. Закон распределения Вина. Формула, выведенная Вильгельмом Вином в 1896 году и описывавшая распределение излучения абсолютно черного тела в согласии с доступными тогда экспериментальными данными. Закон смещения Вина. В 1893 году Вильгельм Вин обнаружил, что при увеличении температуры абсолютно черного тела длина волны, соответствующая максимальной интенсивности излучения, сдвигается в область все более коротких длин волн. Закон сохранения. Закон, устанавливающий, что данная физическая величина, такая как, например, импульс или энергия, сохраняется во всех физических процессах. Излучение. Излучение энергии частицами. В качестве примеров можно указать электромагнитное излучение, тепловое излучение и радиоактивность. Излучение абсолютно черного тела. Электромагнитное излучение, испускаемое абсолютно черным телом. Изотопы. Различные формы одного и того же элемента. В ядрах атомов изотопов число протонов одинаково, они имеют один и тот же атомный номер, но число нейтронов различно. Например, имеется три изотопа водорода, в ядрах которых либо вообще нет нейтронов, либо есть один или два нейтрона. Химические свойства всех трех форм водорода одинаковы, но массы их атомов различны. Импульс (р). Физическое свойство тела, равное произведению его массы на скорость тела. Интерференция. Явление, описывающее взаимодействие двух распространяющихся волн. Там, где встречаются две впадины или два гребня волны, они объединяются, образуя новые, более глубокие впадины и более высокие гребни. Это называется конструктивной интерференцией. Однако там, где встречаются впадины и гребни, они гасят друг друга. Такой процесс называется деструктивной интерференцией. Инфракрасное излучение. Электромагнитное излучение с длиной волны большей, чем у видимого красного света. Квант. Термин введен Максом Планком в 1900 году для описания отдельных порций энергии, которые может испускать или поглощать осциллятор в модели, использованной Планком для вывода формулы, описывающей распределение излучения абсолютно черного тела. Энергия излучения из разного числа порций размера E = hν (квантов), где h – постоянная Планка, a ν – частота излучения. Слово “квант”, точнее квантованная величина, относится ко всем физическим свойствам микроскопических систем или тел, которые не являются непрерывными, но могут меняться только отдельными порциями. Квантованная величина. Любая физическая величина, которая может принимать только дискретные значения, называется квантованной. В атоме имеются только дискретные уровни энергии, поэтому его энергия квантована. Спин электрона квантован, поскольку он может принимать только значения +1/2 (спин вверх) и -1/2 (спин вниз). Квантовая механика. Физическая теория атомного и субатомного мира, заменившая ту искусственно придуманную мешанину из классической механики и квантовых представлений, которая появилась между 1900 и 1925 годами. Совсем не похожие друг на друга матричная механика Гейзенберга и волновая механика Шредингера являются математически эквивалентными теориями, представляющими собой квантовую механику. Квантовый прыжок (квантовый скачок). Переход электрона с одного энергетического уровня на другой внутри атома или молекулы благодаря испусканию или поглощению фотона. Квантовый спин. Фундаментальное свойство частиц, не имеющее прямого аналога в классической физике. Любая попытка сравнить для наглядности “вращение” электрона с вращением волчка обречена на неудачу и не позволяет уяснить это квантовое понятие. Квантовый спин нельзя представить себе, используя термины, описывающие классическое вращение, поскольку он может принимать только строго определенные значения, равные либо целому, либо полуцелому числу постоянных Планка h деленных на 2π (величину ħ = h/2π называют h перечеркнутое). Говорят, что квантовый спин направлен либо вверх (по часовой стрелке), либо вниз (против часовой стрелки) относительно направления, в котором он измеряется. Квантовое число. Числа, задающие квантованные физические величины, такие как энергия, квантовый спин или угловой момент. Например, квантованные уровни энергии атома водорода обозначаются набором чисел, начинающимися от n = 1 для основного состояния, где n — главное квантовое число. Квант света. Название, впервые использованное Эйнштейном в 1905 году для обозначения частицы света, позднее получившей название фотон. Кинетическая энергия. Энергия, связанная с движением тела. У покоящегося тела, планеты или частицы кинетической энергии нет. Классическая механика. Название области физики (другое название – ньютоновская механика), восходящей к трем законам движения Ньютона), где такие свойства частицы, как координата и импульс, в принципе могут быть измерены одновременно и сколь угодно точно. Классическая физика. Словосочетание, используемое в применении к любой неквантовой физике, такой как электромагнетизм и термодинамика. Хотя общую теорию относительности Эйнштейна физики считают “новой” физикой XX столетия, это, тем не менее, “классическая” теория. Коллапс волновой функции. Согласно копенгагенской интерпретации, до тех пор, пока над микроскопическим объектом, например электроном, не выполнено наблюдение, он не существует нигде. Между двумя последовательными измерениями объект существует только как абстрактные возможности, описываемые волновой функцией. При наблюдении или измерении одно из “возможных” состояний электрона становится его “реальным” состоянием, а вероятности всех других состояний становятся равными нулю. Это неожиданное скачкообразное изменение волновой функции в результате акта измерения называется “коллапсом волновой функции”. Коммутативность. Говорят, что переменные А и В коммутируют, если А × В = В × А. Например, если А и B – числа 5 и 4, то 5 × 4 = 4 × 5. Перемножение чисел коммутативно, поскольку порядок, в котором они перемножаются, не имеет значения. Если же А и В – матрицы, то A × В не обязательно равно В × А. Когда такое происходит, говорят, что A и B не коммутируют. Комплексное число. Число вида а + ib, где а и b — обычные, известные из арифметики, числа. Буква i обозначает квадратный корень из -1. Величина b называется мнимой частью комплексного числа. Комптона эффект. Рассеяние фотонов электронами атомов, открытое американским физиком Артуром X. Комптоном в 1923 году. Конденсационная камера (камера Вильсона). Прибор, изобретенный Ч.Т.Р. Вильсоном около 1911 года. Позволяет регистрировать частицы, наблюдая трек, оставленный ими в камере, заполненной перенасыщенным паром. Копенгагенская интерпретация. Интерпретация квантовой механики, формулировка которой принадлежит главным образом жившему в Копенгагене Нильсу Бору. Противоречия между Бором и другими известными сторонниками копенгагенской интерпретации, например Вернером Гейзенбергом, сохранялись многие годы. Однако все соглашались с ее основными постулатами: принципом соответствия Бора, принципом неопределенности Гейзенберга, вероятностной интерпретацией волновой функции Борна, принципом дополнительности Бора и коллапсом волновой функции. Нет квантовой реальности кроме той, которая открывается нам при акте измерения или наблюдения. Поэтому бессмысленно говорить, что, например, электрон где-то существует, независимо от реального наблюдения. Бор и его сторонники утверждали, что квантовая механика – полная теория. Эйнштейн подвергал это утверждение сомнению. Корпускулярно-волновой дуализм. В зависимости от эксперимента электроны и фотоны, материя и излучение могут вести себя как волны либо как частицы. Кот Шредингера. Мысленный эксперимент, придуманный Эрвином Шредингером, суть которого состоит в том, что если справедливы положения квантовой механики, кот, до того как на него посмотрят, существует в суперпозиции состояний “мертвый” и “живой”. Локальность. Требование, чтобы причина и вызванное ею следствие были привязаны к одному и тому же месту. Не допускается мгновенное действие на расстоянии. Если событие А является причиной события В, между этими двумя событиями должно пройти достаточно времени для того, чтобы сигнал от А, двигающийся со скоростью света, мог достичь В. Любая теория, в которой выполняется требование локальности, называется локальной. См. нелокальное^. Матрицы. Таблицы чисел (или других элементов, таких как переменные), с которыми следует оперировать по особым алгебраическим правилам. Матрицы очень удобны для записи информации о физической системе. Квадратная матрица n × n имеет n столбцов и n рядов. Матричная механика. Вариант квантовой механики, сформулированный Гейзенбергом в 1925 году, а затем развитый совместно с Максом Борном и Паскуалем Йорданом. Мысленный эксперимент. Идеализированный, воображаемый эксперимент, цель которого – проверить непротиворечивость или границы применимости физической теории или концепции. Наблюдаемая величина. Относящаяся к системе или телу динамическая переменная, которая в принципе может быть измерена. Так, координата, импульс и кинетическая энергия электрона — это наблюдаемые величины. Нанометр (нм). Один нанометр равен одной миллиардной метра. Нейтрон. Незаряженная частица, масса которой порядка массы протона. Нелокальность. Возможность мгновенной передачи влияния от одной системы или частицы другой со скоростью, превосходящей предельное значение, равное скорости света. Это подразумевает, что причина может вызвать немедленное следствие в другом, находящемся на некотором расстоянии, месте. Любая теория, допускающая нелокальность, называется нелокальной. См. локальность. Неравенство Белла. Математическое условие, выведенное Джоном Беллом в 1964 году и накладывающее ограничение на степень корреляции квантовых спинов перепутанных частиц. Это неравенство должно удовлетворяться в рамках любой теории с локальными скрытыми параметрами. Общая теория относительности. Теория гравитации Эйнштейна, объясняющая гравитационные эффекты деформацией пространства-времени. Основное состояние. Самое низкое энергетическое состояние атома. Все другие состояния атома называются возбужденными. В атоме водорода, находящемся в самом низком энергетическом состоянии, электрон занимает самый низкий энергетический уровень. Если электрон занимает любой другой энергетический уровень, атом водорода находится в возбужденном состоянии. Период. Время, необходимое на то, чтобы одна длина волны прошла через фиксированную точку; или время, которое требуется, чтобы завершить один цикл колебаний или вибраций. Период обратно пропорционален частоте волны, колебаний или вибраций. Периодическая таблица. Таблица, в которой химические элементы расположены по порядку в соответствии с их атомным номером. Демонстрирует периодичность химических свойств элементов. Перепутывание. Квантовое явление, при котором две или более частиц оказываются неразрывно связанными независимо оттого, как далеко они разнесены. Постоянная Планка (h). Фундаментальная физическая постоянная, равная 6,626 × 10 -34 Дж, умноженных на секунду. Постоянная Планка лежит в основе квантовой физики. Именно потому, что постоянная Планка отлична от нуля, в атомном мире происходит разделение на кванты, квантование энергии и других физических величин. Потенциальная энергия. Энергия, которой тело или система обладает в силу своего положения в пространстве или состояния. Так, высота тела над землей определяет его потенциальную энергию гравитационного притяжения. Принцип дополнительности. Принцип, сформулированный и отстаиваемый Нильсом Бором, согласно которому корпускулярные и волновые свойства являются дополнительными, но взаимоисключающими. Дуальная природа света и материи похожа на две стороны одной монеты, которая может упасть на какую-то одну из сторон, но не обе одновременно. Например, можно поставить эксперимент, чтобы обнаружить волновые свойства либо корпускулярную природу объекта, но не их проявление одновременно. Принцип запрета. Никакие два электрона не могут находиться в одном и том же квантовом состоянии, иначе говоря, иметь одинаковые наборы из четырех квантовых чисел. Принцип неопределенности. Принцип, открытый Вернером Гейзенбергом в 1927 году, согласно которому невозможно одновременно измерить некоторые пары наблюдаемых величин, таких как координата и импульс или энергия и время, с точностью, превышающей предельное значение, выраженное через постоянную Планка h. Принцип соответствия. Основополагающий принцип, сформулированный Бором: законы и уравнения квантовой физики переходят в законы и уравнения классической физики в тех случаях, когда можно не учитывать постоянную Планка. Причинность. Каждое причина вызывает следствие. Протон. Положительно заряженная частица, входящая в состав ядра атома. Его заряд равен по величине, но противоположен по знаку заряду электрона, а масса примерно в две тысячи раз больше массы электрона. Радиоактивность. Явление, при котором нестабильные атомные ядра спонтанно делятся, переходя в более стабильное состояние. Деление сопровождается испусканием альфа-, бета- или гамма-излучения. Этот процесс называется радиоактивностью (радиоактивным распадом). Рассеяние. Изменение направления движения одной частицы другой частицей. Реализм. Философское учение, постулирующее существование реальности независимо от познающего ее субъекта. Так, для реалиста Луна существует и тогда, когда на нее никто не смотрит. Рентгеновские лучи (Х-лучи). Излучение, открытое в 1895 году Вильгельмом Рентгеном. За это открытие ему в 1901 году была присуждена первая Нобелевская премия. Позднее было показано, что рентгеновские лучи – электромагнитные волны с очень короткой длиной волны, испускаемые при бомбардировке мишени быстрыми электронами. Свет. Человеческий глаз воспринимает только малую часть всех электромагнитных волн. Это видимые длины волн электромагнитного спектра, находящиеся между 400 нм (фиолетовый) и 700 нм (красный). Белый свет – смесь красного, оранжевого, желтого, зеленого, голубого, синего и фиолетового. Когда пучок белого света проходит через стеклянную призму, он разделяется на разноцветные полосы, образуя след в виде радуги, называемый континуумом или непрерывным спектром. Серии Бальмера. Набор линий испускания и поглощения в спектре водорода, связанных с перескоками электрона между вторым и более высокими энергетическими уровнями. Скрытые параметры. Интерпретация квантовой механики, основанная на уверенности, что эта теория не является полной и что существует лежащий глубже уровень реальности, содержащий дополнительную, скрытую информацию о квантовом мире. Эта дополнительная информация существует в виде скрытых параметров, не наблюдаемых, но реальных физических величин. Определение скрытых параметров должно привести к точному, а не только к вероятностному, предсказанию результатов каждого измерения. Приверженцы этой теории верят, что она поможет вернуться к реальности, существующей независимо от наблюдателя, что отрицается копенгагенской интерпретацией. Сопряженные переменные. Пара динамических переменных, таких как координата и импульс или энергия и время, для которых выполняются соотношения неопределенностей, называются сопряженными переменными или сопряженными парами. Сохранение энергии. Закон, гласящий, что энергия не может быть ни произведена, ни уничтожена, а может только переходить из одной формы в другую. Например, когда яблоко падает с дерева, его потенциальная энергия преобразуется в кинетическую энергию. Спектральное распределение энергии излучения абсолютно черного тела. При любой заданной температуре определяет интенсивность электромагнитного излучения, испускаемого абсолютно черным телом для каждой длины волны (частоты). Иногда просто говорят: спектр абсолютно черного тела. Спектральные линии. Система разноцветных линий на черном фоне называется эмиссионным спектром. Серия темных линий на разноцветном фоне называется спектром поглощения. Каждый элемент имеет собственный уникальный набор спектральных линий излучения и поглощения, образованных соответственно при испускании или поглощении фотона, когда электроны внутри атома данного элемента перепрыгивают с одного энергетического уровня на другой. Спектроскопия. Область физики, связанная с анализом и изучением спектров поглощения и излучения. Специальная теория относительности. Теория, построенная Эйнштейном в 1905 году, где исследуются пространственно-временные отношения, при которых скорость света остается постоянной для любого наблюдателя, как бы быстро он ни двигался. “Специальная” она потому, что не рассматривает ускоряющиеся тела и гравитацию. Спонтанная эмиссия. Самопроизвольное испускание фотона при переходе атома из возбужденного состояния в состояние с меньшей энергией. Степени свободы. Говорят, что у системы имеется n степеней свободы, если для описания всех состояний системы необходимо n координат. Каждая степень свободы соответствует независимому направлению, в котором тело может двигаться, или система может изменяться. В нашем мире материальная точка обладает тремя степенями свободы. Они соответствуют трем направлениям, в которых она может двигаться: вверх и вниз, туда и сюда, из одной стороны в другую. Суперпозиция. Квантовое состояние, составленное из двух или большего числа других состояний. С определенной вероятностью в таком состоянии могут проявляться свойства тех состояний, из которых оно составлено. См. Кот Шредингера. Теорема Белла. Математически доказанное Джоном Беллом в 1964 году утверждение, согласно которому любая теория со скрытыми параметрами, предсказания которой согласуются с квантовой механикой, должна быть нелокальной. См. нелокальность. Термодинамика. Обычно так называют область физики, в которой изучается превращение тепла в какую-либо другую форму энергии, или обратный процесс превращения энергии в тепло. Термодинамики первый закон. Внутренняя энергия изолированной системы остается постоянной. Или: энергию нельзя ни создать, ни уничтожить (закон сохранения энергии). Термодинамики второй закон. Тепло самопроизвольно не переходит от холодных к горячим телам. Существуют разные формулировки этого закона. Одна из них такова: энтропия замкнутой системы не может уменьшаться. Тонкая структура. Расщепление энергетического уровня или спектральной линии на несколько отдельных уровней или линий. Угловой момент. Свойство вращающегося тела, сходное с импульсом двигающегося по прямой тела. Угловой момент тела зависит от его массы, размера и скорости вращения. Тело, совершающее орбитальное движение, тоже обладает угловым моментом, зависящим от его массы, радиуса орбиты и скорости. В мире атомов угловой момент квантуется. Он может меняться только на величину, равную целому числу постоянных Планка, деленному на 2π. Ультрафиолетовая катастрофа. В классической физике по мере увеличения частоты бесконечно возрастает спектральная плотность излучения абсолютно черного тела. На самом деле в природе ультрафиолетовой катастрофы, предсказанной классической теорией, не может быть. Ультрафиолетовый свет. Электромагнитное излучение с длиной волны меньшей, чем у видимого фиолетового света. Уравнения Максвелла. Выведенный Джеймсом Клерком Максвеллом в 1864 году набор из четырех уравнений, описывающий и объединяющий такие разные явления, как электричество и магнетизм, в электромагнетизм. Уравнение Шредингера. Основное уравнение волновой механики, выражающее собой одну из формулировок квантовой механики. Это уравнение управляет движением частицы или эволюцией физической системы, определяя зависимость волновой функции от времени. Имеется и другая форма этого уравнения, дающая как бы моментальный снимок происходящего. Его называют уравнением Шредингера, не содержащим времени. Фотон. Квант электромагнитного излучения (в узком смысле – света), характеризующийся энергией Е = hν и импульсом р = h/λ, где ν – частота, а λ – длина волны излучения. Название введено американским химиком Гильбертом Льюисом в 1926 году. См. квант света. Фотоэлектрический эффект. Испускание электронов с поверхности металла под действием электромагнитного излучения, частота которого превышает некоторое (для каждого металла – собственное) минимальное значение (длина волны меньше максимального значения), при котором фотоэлектрический эффект еще возможен. Частота (ν). Число полных циклов, совершаемых при вибрации или колебании системы за секунду. Частота волны – число полных длин волн, проходящих через фиксированную точку за одну секунду. Единица измерения частоты – герц (Hz, Гц). При частоте 1 герц за одну секунду совершается один цикл колебаний или через данную точку проходит одна длина волны. Щелочные металлы. Входящие в первую группу периодической таблицы элементы, такие как литий, натрий и калий, обладающие сходными химическими свойствами. Электромагнетизм. До второй половины XIX столетия считалось, что электричество и магнетизм – два разных явления, каждое из которых описывается своей системой уравнений. Эксперименты Майкла Фарадея позволили Джеймсу Клерку Максвеллу построить теорию, объединившую электричество и магнетизм в электромагнетизм, и описать поведение электрического и магнитного полей системой из четырех уравнений. Электромагнитные волны. Генерируются колеблющимися электрическими зарядами. Различаются длиной волны (или, что то же самое, частотой). В пустом пространстве все электромагнитные волны распространяются с одинаковой скоростью, равной скорости света (приблизительно триста тысяч километров в секунду). Это является экспериментальным подтверждением того, что свет – электромагнитная волна. Электромагнитное излучение. Электромагнитные волны, переносящие разное количество энергии, называются электромагнитным излучением. Низкочастотные волны, такие как радиоволны, испускают меньше электромагнитного излучения, чем высокочастотные волны, такие как гамма-лучи. Электромагнитные волны и электромагнитное излучение – взаимозаменяемые понятия. См. электромагнитные волны и излучение. Электромагнитный спектр. Весь диапазон электромагнитных волн: радиоволны, инфракрасное излучение, видимый свет, ультрафиолетовое излучение, рентгеновские лучи и гамма-лучи. Электрон. Отрицательно заряженная элементарная частица, которая, в отличие от протона и нейтрона, не состоит из других элементарных составляющих. Электронвольт (эВ). Единица энергии, которая используется в атомной и ядерной физике, в физике элементарных частиц. Один электронвольт – порядка одной десятой миллиард миллиардной джоуля (1,6 × 10 -19 Дж). Энергетические уровни. Набор дискретных разрешенных внутренних энергетических состояний атома, соответствующий его различным квантовым энергетическим состояниям. Энергия. Физическая величина, которая может существовать в разных формах: кинетическая энергия, потенциальная энергия, химическая энергия, тепловая энергия и энергия излучения. Энтропия. В XIX веке Рудольф Клаузиус определил изменение энтропии как количество тепла, получаемого или отдаваемого телом или системой, поделенное на температуру, при которой происходит передача тепла. Энтропия – мера беспорядка в системе: чем больше энтропия, тем больше беспорядок. В природе не могут происходить физические процессы, приводящие к понижению энтропии. Эфир. Гипотетическая невидимая среда. Считалось, что эфир заполняет все пространство и является той средой, в которой распространяется свет и все другие электромагнитные волны. Эффект Зеемана. Расщепление спектральных линий атома, помещенного в магнитное поле. Эффект Штарка. Расщепление спектральных линий атома, помещенного в электрическое поле. Ядро. Положительно заряженная масса в центре атома. Первоначально предполагалось, что ядро состоит только из протонов, но затем стало ясно, что в состав ядер входят и нейтроны. В ядре сосредоточена практически вся масса атома, но занимает оно только крошечную часть его объема. Ядра были открыты в 1911 году Эрнестом Резерфордом и его сотрудниками из Манчестерского университета. ИЗУЧЕНИЕ ОСНОВ КВАНТОВОЙ ФИЗИКИ В.Н. Марков, Липецкий государственный педагогический университет Статья посвящена некоторым новым методическим решениям проблемы постижения основополагающих принципов квантовой физики. История и методология этих проблем аргументировано освещена в [1]. Онтологическим и теоретическим базисом квантовой физики является принцип корпускулярно-волнового дуализма. В методическим плане этот принцип обстоятельно обсуждался в [2] и [3]. Суть принципа корпускулярно-волнового дуализма, воспринимаемого в рамках ныне действующей квантово-релятивистской парадигмы [4], выражается в следующем. Любой микрообъект, распространяющийся в реальном физическом вакууме как своеобразной «среде», обладающей квантово-релятивистскими свойствами, взаимодействует с ней специфическим образом, участвуя в сложном квантовом стохастическом процессе, который развертывается на уровне микроявлений. Как следствие этого взаимодействия с вакуумом у любого микрообъекта или квантовой динамической системы появляются характерные вероятностно-статистические проявления и свойства. Специфической особенностью квантово-физических вероятностей, генерируемых вакуумным хаосом, является то, что вероятности соответствующих событий в квантовой физике определяются по правилу: где у (q) — функция состояния системы или волновая ее функция. Соотношение (а), собственно, и определяет онтологическую сущность принципа корпускулярно-волнового дуализма. Помимо этого физического фактора, представляемого соотношением (а), в квантовой физике проявляется еще один конструктивный принцип, получивший название принципа линейной суперпозиции независимых квантовых альтернатив. Под независимой альтернативой в квантовой физике понимают такое состояние системы, находясь в котором, она имеет четко определенное измеряемое значение физической величины A . Набор таких измеряемых значений физической величины A называется спектром собственных значений этой величины и обозначается символом Spec A = < ai >. Каждое собственное значение ai из Spec A фиксирует некоторую независимую альтернативу , которая представляется и описывается собственной функцией состояния уi (q) . Принцип линейной суперпозиции независимых квантовых альтернатив <| a^j>, сформулированный и определенный на языке собственных функций уi (q) , утверждает, что в любой квантово-физической системе, обладающей набором независимых альтернатив <| a^j>, произвольное состояние этой системы описывается волновой функцией вида: у (q) = ci уМ)+С2 •^2(q) + —+c,•у, (q) +—, (в где ci — коэффициенты линейного разложения функции y(q) по системе собственных функций , i = 1, 2, 3, •••. Наличие в квантовой физике особой квантово-физической стохастичности, представляемой соотношениями (а) и (в, приводит к существованию еще одного характерного квантового фактора, названного принципом неопределенностей. Количественной мерой воплощения этого принципа являются так называемые соотношения неопределенностей Квантово-физические принципы, выражаемые соотношениями (а), (в и (Y, составляют концептуально-теоретический базис всей квантовой физики, и с ними надо должным образом знакомить учащихся на всех этапах ее изучения. И тем не менее, при постижении квантовой физики, особенно в школе, основной упор надо делать не на детальной объективации данных принципов, а на рассмотрении их общефизического следствия, которое условно можно назвать «спектральным принципом» и обсуждению которого посвящена эта статья. Квантово-физические вероятности и связанные с ними неопределенности в поведении микрообъектов и квантовых динамических систем носят принципиальный характер — без них невозможна квантовая физика. Однако стохастическая неоднозначность и неопределенность в их поведении составляет лишь одну сторону квантовой истины. Оказывается, что в силу существования и действия в квантовой физике специфической формы движения, в ней имеются и действуют (в диалектической противоположности принципу неопределенностей) чрезвычайно жесткие и однозначно определенные физические начала. Приведем по этому поводу мнение одного из выдающихся и авторитетных физиков двадцатого столетия Виктора Вайскопфа: «Принцип неопределенности, на который обычно ссылаются как на основу квантовой теории, и который, казалось, погружает квантовую физику в туман вероятности, совершенно не является основным, хотя его, конечно, необходимо учитывать, чтобы избежать логических противоречий. Вместо того, чтобы делать мир более неопределенным, квантовая физика делает его более определенным . » [5, с. 17]. Здесь В. Вайскопф имеет в виду то, что квантово-физическая форма движения или квантовый хаос наряду со стохастично-стью квантовых процессов генерирует жестко и однозначно определенную структуру спектров наблюдаемых и измеряемых физических величин. Именно с ними, в первую очередь, сталкивается человек, исследуя с помощью макроскопических средств наблюдения те квантовые явления и эффекты, которые в виде устойчивых и стабильных структур выносит «на гора» сложный стохастический квантовый мир. С наличием таких спектров собственно и связана идентичность (тождественность) тех или иных квантовых динамических систем. Именно это обстоятельство и возводят в ранг особого квантово-физического принципа. Таким образом, квантово-физический хаос не только вносит в мир квантовой физики элементы специфического (через амплитуды вероятностей) вероятно-стохастического описания, но и он же формирует жесткие, строго определенные «фигуры» физической реальности, которые мы воспринимаем как некоторые корпускулярные проявления. Другими словами, для раскрытия структуры квантовой физики весьма важно раскрытие диалектики взаимопроникновения жесткого (однозначность) и пластичного (неопределенность, неоднозначность) начал, что придает гибкость и действенность физическому мышлению. На уровне школьного курса физики сформулировать и понять теоретические правила, которые определяют формирование наблюдаемых спектров невозможно. Поэтому для преодоления подобного препятствия мы предлагаем использовать метод теоретических обобщений [3] эмпирического базисного материала, в котором действие спектрального принципа проявляется наиболее просто и ясно. В квантовой физике существуют две простые эталонные задачи — это динамические системы, называемые гармоническим (G) и отражательным (R) осцилляторами. Последним является микрочастица, запертая в одномерной бесконечно глубокой потенциальной яме с вертикальными стенками. Элементарными математическими средствами (доступными учащимся средней школы) можно показать, что в этом случае «спектры» собственных функций и значений энергии R-осциллятора будут представляться следующими соотношениями: Wn (x) =Лп • sin \шХ\; En = E • n2, E ; n = 1,2,3, -, (1) где m — масса микрообъекта, X — пространственная координата, определяющая место его локализации, L — «размер» потенциальной ямы, h — постоянная Планка. Рассматривая ряд подобных примеров, с неизбежностью приходят к выводу: В любой замкнутой квантово-физической системе существуют жестко фиксируемые и измеряемые спектры наблюдаемых физических величин. Собственные значения этих величин индексируют устойчивые и стабильные состояния таких систем, которые представляются и описываются наборами собственных функций y/i (q) . Далее можно показать, как таким образом понимаемый и методически адаптированный «спектральный принцип» развертывается в школьном курсе физики. Размеры статьи не позволяют это продемонстрировать в полной мере. Однако существует объект, на котором обозначенный выше принцип можно эффективно объективировать. Таковым является атом водорода. Впервые спектры электромагнитного излучения стали изучать в физической химии. Характеристические спектры различных химических элементов химики использовали для их идентификации. Вначале это научное направление носило сугубо феноменологический характер. Несколько позднее спектроскописты, собрав богатый эмпирический материал, попытались в нем обнаружить (выявить) теоретические правила, которые регулируют образование соответствующих спектральных структур. Первым в этом сложном деле отличился Иоганн Бальмер, школьный учитель из Базеля. Ему удалось установить закономерность, которой подчиняется структура одной из спектральных серий атома водорода. Эта спектральная серия атома приведена на рисунке 1. На этой диаграмме целые числа n = 3, 4, 5, 6, 7, 8, • • • — «числа Бальмера», которые индексируют линии эмпирически полученного спектра. Спектроскопическими символами обозначены спектральные линии данной серии, которые наблюдаются в оптическом диапазоне. Интерполяционная формула, которую Бальмеру удалось разгадать в представленном ему спектроскопическом материале, имеет вид: где В = Нх = 3646 А, П = 3, 4, 5, 6, 7, 8, • • •. Эта формула показывает зависимость длины волны соответствующей спектральной линии с «номером» П от целочисленного значения этого номера. Оказалось, что таким образом полученная формула (2) согласуется с экспериментальными результатами с поразительно высокой точностью, лучшей, чем 0,002% (!). Этот факт доказывал, что Бальмер «попал в десятку». Формулу (2) удобно записать для частот тех же спектральных линий. Поскольку х = —, то соответственно у(ЛП ) = где С — скорость света в вакууме. Для частот У2п эта формула принимает вид где, т = 2, а П > т, и П = 3, 4, 5, ••• , Я.Н = 4с / В — постоянная, позднее названная постоянной Ридберга, которая определяется некоторыми характерными свойствами атома водорода. Сам вид зависимости частоты У2п от целочисленного параметра П указывал на то, что в этом случае речь идет не о случайном совпадении, а о какой-то существенной закономерности, природа которой на феноменологическом уровне не может быть объяснена. Идея, схваченная и сформулированная в (3), была поддержана двумя спектроскопистами Ю. Ридбергом и В. Ритцем. Ритц, анализируя спектры различных атомов, пришел к формулировке феноменологического правила, получившего название комбинационного принципа Ритца. Суть его заключается в том, что для каждого конкретного атома можно определить некоторый набор особых величин, называемых спектральными термами , которые являются функциями некоторого целочис- ленного параметра П = 1, 2, 3, • • •. Используя эти базовые «термы», частоту любой спектральной линии этого атома можно представить как разность соответствующих термов Обобщая идеи Бальмера и Ритца, Ридберг предположил, что спектральные термы T (п) для атома водорода имеют вид: T(п) = -нг, П = 1,2,3, ••• (5) Объединяя (4) и (5), мы получаем обобщенную формулу Бальмера, которая определяет частоты спектральных линий для всех характеристических спектральных линий атома водорода: Vmn = Rh Р2 — ^ ] (6) Другим факторным компонентом теории Бора было представление о существовании особых стационарных квантовых состояний атома водорода. Естественно, что в 1913 году природу и причину существования таких состояний Бор знать не мог, но он понимал, что факт стабильности атомов с необходимостью требует существования таких состояний. Теоретическое обоснование существования стационарных состояний атома водорода в дальнейшем было получено из корпускулярно-волновой теории де Бройля — Шредингера. Поэтому теперь при обсуждении квантово-физических свойств стационарных состояний атома водорода мы имеем право исходить не из эвристических предположений Н. Бора, а из утверждений и требований спектрального принципа, сформулированного нами ранее. Для подкрепления уверенности в этом квантово-физическом феномене можно наряду с теоретическими аргументами использовать и экспериментальные факты известных опытов Франка и Герца. Применительно к атому водорода спектральный принцип требует, чтобы электрон, находящийся в связанном состоянии в атоме водорода и совершающий движение в ограниченной компактной области пространства вблизи протона, пребывал в особых стационарных состояниях | E^j, в которых он имеет строго определенные значения энергии En = f (n), где П = 1, 2, 3, ••• — целочисленный параметр, нумерующий элементы множества Spec E = . Заметим, что поскольку в стационарных состояниях | Enj электрон «привязан» к протону, то энергия электрона (в системе покоя протона) должна быть отрицательной, т.е. для связанных состояний En < 0 для всех п = 1, 2, 3, —. Естественно, что в этой области Spec E является дискретным множеством. Отметим также, что нумерация целочисленным индексом П элементов Spec E идет в порядке возрастания параметра E . Рассмотрим два различных стационарных состояния атома H с энергиями и Em (где П > m). Очевидно, что при квантовом переходе | En^ ^ | Em^ (рис. 2) атомная система теряет часть своей энергии, которую уносит порожденный в этом процессе фотон с частотой Vmn и которая в силу соотношения Планка — Эйнштейна должна быть равна AE( ) =(E — E ) = hv , (7) где П > m, и En > Em . С другой стороны, в силу эмпирически определенного проявления действия спектрального принципа, представленного обобщенной формулой Бальмера, соответствующие частоты должны совпадать с частотами спектральных линий излучения атома водорода у = К [ ——— |. Умножим последнее равенство на И и в соответствии с (7) приравняем его разности Отсюда следует, что энергетический спектр стационарных состояний атома водорода определяется формулой где П = 1, 2, 3, • • •, а hRH =| E\ = R’H = 13,605 эВ (8а) является ионизационным потенциалом этого атома или, что то же самое, приведенной постоянной Ридберга, выраженной в энергетических единицах. Если Spec E = известен, то спектральные термы T (n) такого атома вследствие правомочности соотношений Планка — Эйнштейна AE,) = h Vmn должны определяться по правилу T (n) =—— . Заслугой Бора и Шредингера является то, что им почти точно удалось теоретически определить ионизационный потенциал атома водорода, а именно, и по теории Бора, и по теории Шредингера получается i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. Ei =—2ТТ, а E = RH = 13,6 эВ, (9) 11 теор g 2 h ¿I11 экс H где e — заряд электрона, me — его масса, h — постоянная Планка, S0 — диэлектрическая проницаемость физического вакуума. Численные значения всех этих констант определены в системе СИ. Соответствующие значения и I 1 I теор I 11 экс совпадают с очень высокой экспериментальной точностью. Именно это обстоятельство в свое время весомо повлияло на признание как теории Бора, так и теории Шредингера. Теоретические решения квантово-физической задачи об атоме водорода, полученные Бором и Шредингером, сыграли огромную роль в развитии квантовой физики. Однако мы считаем, что при изучении квантовой физики на школьном уровне не следует пытаться повторять теоретические аргументы Бора или Шредингера в их конструктивно-вычислительном варианте. Дело в том, что буквальное следование эвристической боровской аргументации означает, что для обоснования серьезных и глубоких физических положений мы используем несуществующие физические фантомы. Круговые боровские орбиты в реальной физической действительности просто не существуют! Шредингеровская теоретизация с использованием стационарного уравнения (в вычислительном плане) недоступна учащимся начального этапа обучения. Нам представляется, что этого, собственно, и не требуется делать. На этом этапе изучения квантовой физики главное -понять и объективировать то, что в ней (в квантовой физике) действует характерный физический фактор, называемый спектральным принципом. Здесь важно не умение вычислять спектры (это должны делать профессиональные физики), а понимание того, что такие спектры существуют, и какими причинами определяется их структура. Качественной и количественной мотивацией и аргументацией существования и действия этого принципа являются стандартные эталонные примеры с R -осциллятором и атомом водорода. Этих примеров вполне достаточно, чтобы отталкиваясь от них, понять и осмыслить характер и структуру действия этого принципа в любой квантовой системе. Объективировав (на основе простых и точно решаемых динамических задачах) факт существования и действия спектрального принципа квантовой физики, это общефизическое положение можно соответствующим образом обобщить и применять в других разделах квантовой физики. Сейчас точно известно, что каждый химический элемент обладает собственным характеристическим спектром. Эта замечательная особенность не ограничивается областью только атомных спектров, а распространяется на молекулы, ядра, элементарные частицы, и так далее вниз по «квантовой лестнице»1. На каждой «ступеньке» этой лестницы структурных элементов материального мира имеются свои характерные спектры, отражающие лицо квантового «подмира» этой ступени. В других диапазонах энергий и пространственных масштабов спектры верифицируются излучением и поглощением не только фотонов (квантов электромагнитного поля), но путем образования и исчезновения множества и других «фигурантов» физики микромира. Различные превращения квантово-физических систем как раз и совершаются путем перехода этих систем из одних стационарных состояний в другие путем обмена (с окружающей эту систему физической средой) квантами тех или иных полей. Рождение и гибель элементарных частиц осуществляется по той же схеме и с «руководящим» действием все тех же общефизических квантовых принципов. В последнем случае целостной квантовой системой становится сам физический вакуум, а его «спектральными линиями» (в обобщенном смысле) становятся сами элементарные частицы (стабильные и не очень). Таким образом, мир элементарных частиц — это своеобразный «спектральный портрет» самого физического вакуума. Правда, до сих пор пока никому не удалось сформулировать тот принцип (некий глобальный аналог стационарного уравнения Шредингера), используя который можно было бы «чисто» теоретически вычислить (рассчитать) спектр масс всех фундаментальных элементарных образований. Итак, спектральный принцип — это правила, по которым квантовая физика из вакуумного квантового хаоса формирует устойчивые стабильные структуры, которые и организуют стабильный облик реального Мира. Это придает исключительно важную мировоззренчески-обобщающую роль этому общефизическому принципу в раскрытии содержательных основ квантовой физики. 1. Джерммер М. Эволюция понятий квантовой механики. — М.: Наука, 1985. 2. Пухов Н.М., Марков В.Н. Новые аспекты изучения основ современной физики в школе // Проблемы физики и технологии ее преподавания. Вып. 2. — Липецк: ЛГПИ, 1997. 3. Марков В.Н., Пухов Н.М. Новые методические идеи изучения основ релятивистской и квантовой физики. Ч. 3. Квантовая физика // Наука и школа. — 2006. — № 5. 4. Крижниц Д.А., Линде А.Д. Фазовые превращения физического вакуума в физике элементарных частиц и космологии // Наука и человечество. — М.: Знание, 1982. 5. Вайскопф В. Физика в двадцатом столетии. — М.: Атомиздат, 1977. 1 Термином «квантовая лестница» здесь обозначена структурная организация материи. Молекулы, атомы, ядра атомов, элементарные частицы, кварки — это структурные ступеньки «квантовой лестницы», ведущей в глубь материи. Уменьшение пространственных размеров объектов ведет к соответствующему увеличению энергетических масштабов и появлению на каждой ступени совершенно специфических явлений, представляющих собой отдельные области физики. Ква́нтовая меха́ника, раздел теоретичеcкой физики, представляющий собой систему понятий и математический аппарат, необходимые для описания физических явлений, обусловленных существованием в природе наименьшего кванта действия h h h ( постоянной Планка ). Численное значение h = 6 , 62607 ⋅ 1 0 – 34 h=6,62607·10^ h = 6 , 62607 ⋅ 1 0 –34 Дж·с (и другое, часто используемое значение ℏ = h / 2 π = 1 , 05457 ⋅ 1 0 – 34 \hbar=h/2\pi=1,05457·10 ^ ℏ = h /2 π = 1 , 05457 ⋅ 1 0 –34 Дж·с) чрезвычайно мало, но тот факт, что оно конечно, принципиально отличает квантовые явления от всех других и определяет их основные особенности. К квантовым явлениям относятся процессы излучения, явления атомной и ядерной физики, физики конденсированных сред , химическая связь и др. Исторически первым явлением, для объяснения которого в 1900 г. было введено понятие кванта действия h h h , был спектр излучения абсолютно чёрного тела , т. е. зависимость интенсивности теплового излучения от его частоты ν \nu ν и температуры T T T нагретого тела. Первоначально связь этого явления с процессами, происходящими в атоме, не была ясна; в то время не была общепризнанной и сама идея атома, хотя уже тогда были известны наблюдения, которые указывали на сложную внутриатомную структуру. В 1802 г. У. Волластон обнаружил в спектре излучения Солнца узкие спектральные линии, которые в 1814 г. подробно описал Й. Фраунгофер . В 1859 г. Г. Кирхгоф и Р. В. Бунзен установили, что каждому химическому элементу присущ индивидуальный набор спектральных линий, а швейцарский учёный И. Я. Бальмер (1885), шведский физик Й. Ридберг (1890) и немецкий учёный В. Ритц (1908) обнаружили в их расположении определённые закономерности. В 1896 г. П. Зееман наблюдал расщепление спектральных линий в магнитном поле ( эффект Зеемана ), которое Х. А. Лоренц в следующем году объяснил движением электрона в атоме. Существование электрона экспериментально доказал в 1897 г. Дж. Дж. Томсон . Существующие физические теории оказались недостаточными для объяснения законов фотоэффекта: оказалось, что энергия электронов, вылетающих из вещества при облучении его светом, зависит только от частоты света v v v , а не от его интенсивности ( А. Г. Столетов , 1889; Ф. фон Ленард , 1904). Этот факт полностью противоречил общепринятой в то время волновой природе света, но естественно объяснялся в предположении, что свет распространяется в виде квантов энергии E = h ν E=h \nu E = h ν ( А. Эйнштейн , 1905), названных впоследствии фотонами ( Г. Льюис , 1926). В течение 10 лет после открытия электрона было предложено несколько моделей атома, не подкреплённых, однако, экспериментами. В 1909–1911 гг. Э. Резерфорд , изучая рассеяние альфа-частиц на атомах, установил существование компактного положительно заряженного ядра, в котором сосредоточена практически вся масса атома. Эти эксперименты стали основой планетарной модели атома : положительно заряженное ядро, вокруг которого вращаются отрицательно заряженные электроны. Такая модель, однако, противоречила факту стабильности атома, поскольку из классической электродинамики следовало, что через время порядка 10 –9 с вращающийся электрон упадёт на ядро, потеряв энергию на излучение. В 1913 г. Н. Бор предположил, что стабильность планетарного атома объясняется конечностью кванта действия h h h . Он постулировал, что в атоме существуют стационарные орбиты, на которых электрон не излучает (первый постулат Бора), и выделил эти орбиты из всех возможных условием квантования: 2 π m v r = n h 2 \pi mvr=n h 2 πm v r = nh , где m m m – масса электрона, v v v – его орбитальная скорость, r r r – расстояние до ядра, n = 1 , 2 , 3 , … n=1,2,3,\dots n = 1 , 2 , 3 , … – целые числа. Из этого условия Бор определил энергии E n = − m e 4 / 2 ℏ 2 n 2 E_n=-me^4/2 \hbar^2n^2 E n = − m e 4 /2 ℏ 2 n 2 (e – электрический заряд электрона) стационарных состояний, а также диаметр атома водорода (порядка 10 –8 cм) – в полном соответствии с выводами кинетической теории материи. Второй постулат Бора утверждал, что излучение происходит только при переходах электронов с одной стационарной орбиты на другую, причём частота излучения ν n k \nu_ ν nk переходов из состояния E n E_n E n в состояние E k E_k E k равна ν n k = ( E k − E n ) / h \nu_=(E_k-E_n)/h ν nk = ( E k − E n ) / h (см. Атомная физика ). Теория Бора естественным образом объясняла закономерности в спектрах атомов, однако её постулаты находились в очевидном противоречии с классической механикой и теорией электромагнитного поля. В 1922 г. А. Комптон , изучая рассеяние рентгеновских лучей на электронах, установил, что падающий и рассеянный рентгеновские кванты энергии ведут себя как частицы. В 1923 г. Ч. Т. Р. Вильсон и Д. В. Скобельцын наблюдали электрон отдачи в этой реакции и тем самым подтвердили корпускулярную природу рентгеновских лучей (ядерного γ \gamma γ -излучения). Это, однако, противоречило опытам М. фон Лауэ , который ещё в 1912 г. наблюдал дифракцию рентгеновских лучей и тем самым доказал их волновую природу. В 1921 г. немецкий физик К. Рамзауэр обнаружил, что при определённой энергии электроны проходят сквозь газы, практически не рассеиваясь, подобно световым волнам в прозрачной среде. Это было первое экспериментальное свидетельство о волновых свойствах электрона, реальность которых в 1927 г. была подтверждена прямыми опытами К. Дж. Дэвиссона , Л. Джермера и Дж. П. Томсона . В 1923 г. Л. де Бройль ввёл понятие волн материи: каждой частице с массой m m m и скоростью v v v можно сопоставить волну с длиной λ = h / m v \lambda=h/mv λ = h / m v , точно так же, как каждой волне с частотой ν = c / λ \nu=c/\lambda ν = c / λ можно сопоставить частицу с энергией E = h ν E=h \nu E = h ν . Обобщение этой гипотезы, известное как корпускулярно-волновой дуализм , стало фундаментом и универсальным принципом квантовой физики. Основным уравнением квантовой механики является волновое уравнение Шрёдингера, роль которого подобна роли уравнений Ньютона в классической механике и уравнениям Максвелла в электродинамике. В пространстве переменных x x x (координата) и t t t (время) оно имеет вид i ℏ ∂ ψ ∂ t = H ^ ψ i\hbar \frac<\partial \psi><\partial t>=\hat \psi i ℏ ∂ t ∂ ψ = H ^ ψ , где H ^ \hat H H ^ – оператор Гамильтона ; его вид совпадает с оператором Гамильтона классической механики, в котором координата x x x и импульс p p p заменены на операторы x ^ \hat x x ^ и p ^ \hat p p ^ этих переменных, т. е. H ^ = p ^ 2 2 m + V ( x ) , x ^ = x , p ^ = − i ℏ ∂ ∂ x \hat H=\frac<\hat p^2>+V(x), \hat x=x, \hat p=-i \hbar \frac<\partial> <\partial x>H ^ = 2 m p ^ 2 + V ( x ) , x ^ = x , p ^ = − i ℏ ∂ x ∂ , где V(x) – потенциальная энергия системы. В отличие от уравнения Ньютона, из которого находится наблюдаемая траектория x ( t ) x(t) x ( t ) материальной точки, движущейся в поле сил потенциала V ( x ) V(\boldsymbol x) V ( x ) , из уравнения Шрёдингера находят ненаблюдаемую волновую функцию ψ ( x ) \psi(\boldsymbol x) ψ ( x ) квантовой системы, с помощью которой, однако, можно вычислить значения всех измеримых величин. Сразу же после открытия уравнения Шрёдингера М. Борн объяснил смысл волновой функции: ∣ ψ ( x ) ∣ 2 |\psi(x)|^2 ∣ ψ ( x ) ∣ 2 – это плотность вероятности , а ∣ ψ ( x ) ∣ 2 ⋅ Δ x |\psi(x)|^2\cdot \Delta x ∣ ψ ( x ) ∣ 2 ⋅ Δ x – вероятность обнаружить квантовую систему в интервале Δ x \Delta x Δ x значений координаты x x x . Каждой физической величине (динамической переменной классической механики) в квантовой механике сопоставляется наблюдаемая a a a и соответствующий ей эрмитов оператор A ^ \hat A A ^ , который в выбранном базисе комплексных функций ∣ i ⟩ = f i ( x ) |i\rangle=f_i(x) ∣ i ⟩ = f i ( x ) представляется матрицей A i j = ⟨ i ∣ A ^ ∣ j ⟩ = ∫ f i ∗ ( x ) A ^ f j ( x ) d x A_=\langle i|\hat A|j\rangle=\int f_i^*(x)\hat Af_j(x)dx A ij = ⟨ i ∣ A ^ ∣ j ⟩ = ∫ f i ∗ ( x ) A ^ f j ( x ) d x , где f ∗ ( x ) f^*(x) f ∗ ( x ) – функция, комплексно сопряжённая к функции f ( x ) f(x) f ( x ) . Ортогональным базисом в этом пространстве является набор собственных функций ∣ n ⟩ = ∣ f n ( x ) ⟩ |n\rangle=|f_n(x)\rangle ∣ n ⟩ = ∣ f n ( x )⟩ , n = 1 , 2 , 3 , … n=1,2,3,\dots n = 1 , 2 , 3 , … , для которых действие оператора A ^ \hat A A ^ сводится к умножению на число ( собственное значение a n a_n a n оператора A ^ \hat A A ^ ): A ^ ∣ n ⟩ = a n ∣ n ⟩ \hat A|n\rangle=a_n| n\rangle A ^ ∣ n ⟩ = a n ∣ n ⟩ . Базис функций ∣ n ⟩ |n\rangle ∣ n ⟩ нормирован условием ⟨ n ∣ n ′ ⟩ = δ n n ′ = < 1 при n = n ′ 0 при n ≠ n ′ \langle n|n'\rangle=\delta_= \begin 1 & \quad \text n=n'\\ 0 & \quad \text n \neq n'\\ \end ⟨ n ∣ n ′ ⟩ = δ n n ′ = < 1 0 при n = n ′ при n = n ′ , а число базисных функций (в отличие от базисных векторов трёхмерного пространства классической физики) бесконечно, причём индекс n n n может изменяться как дискретно, так и непрерывно. Все возможные значения наблюдаемой a a a содержатся в наборе < a n >\ < a n >собственных значений соответствующего ей оператора A ^ \hat A A ^ , и только эти значения могут стать результатами измерений. Основным объектом квантовой механики является вектор состояния ∣ Ψ ⟩ |\Psi\rangle ∣Ψ ⟩ , который может быть разложен по собственным функциям ∣ n ⟩ |n\rangle ∣ n ⟩ выбранного оператора A ^ \hat A A ^ : ∣ Ψ ⟩ = ∑ n ψ n ∣ n ⟩ |\Psi\rangle=\sum_n \psi_n|n\rangle ∣Ψ ⟩ = ∑ n ψ n ∣ n ⟩ , где ψ n \psi_n ψ n – амплитуда вероятности (волновая функция) состояния ∣ n ⟩ |n\rangle ∣ n ⟩ , а ∣ ψ n ∣ 2 |\psi_n|^2 ∣ ψ n ∣ 2 равно весу состояния n n n в разложении ∣ Ψ ⟩ |\Psi\rangle ∣Ψ ⟩ , причём ⟨ Ψ ∣ Ψ ⟩ = ∑ n ∣ ψ n ∣ 2 = 1 \langle\Psi|\Psi\rangle=\sum_n|\psi_n|^2=1 ⟨ Ψ∣Ψ ⟩ = ∑ n ∣ ψ n ∣ 2 = 1 , т. е. полная вероятность найти систему в одном из квантовых состояний n n n равна единице. В квантовой механике Гейзенберга операторы A ^ \hat A A ^ и соответствующие им матрицы подчиняются уравнению i ℏ ∂ A ^ ∂ t = [ A ^ , H ^ ] i\hbar \frac<\partial \hat A><\partial t>=[\hat A,\hat H] i ℏ ∂ t ∂ A ^ = [ A ^ , H ^ ] , где ∣ A ^ , H ^ ∣ = A ^ H ^ − H ^ A ^ |\hat A, \hat H|=\hat A\hat H-\hat H\hat A ∣ A ^ , H ^ ∣ = A ^ H ^ − H ^ A ^ – коммутатор операторов A ^ \hat A A ^ и H ^ \hat H H ^ . В отличие от схемы Шрёдингера, где от времени зависит волновая функция ψ \psi ψ , в схеме Гейзенберга временнáя зависимость отнесена к оператору A ^ \hat A A ^ . Оба эти подхода математически эквивалентны, однако в многочисленных приложениях квантовой механики подход Шрёдингера оказался предпочтительнее. Собственное значение оператора Гамильтона H ^ \hat H H ^ есть полная энергия системы E E E , не зависящая от времени, которая находится как решение стационарного уравнения Шрёдингера H ^ ψ = E ψ \hat H\psi=E\psi H ^ ψ = E ψ . Его решения подразделяются на два типа в зависимости от вида граничных условий. Для локализованного состояния волновая функция удовлетворяет естественному граничному условию ψ ( ∞ ) = 0 \psi(\infty)=0 ψ ( ∞ ) = 0 . В этом случае уравнение Шрёдингера имеет решение только для дискретного набора энергий E n , n = 1 , 2 , 3 , … E_n, n=1,2,3,\dots E n , n = 1 , 2 , 3 , … , которым соответствуют волновые функции ψ n ( r ) \psi_n(\boldsymbol r) ψ n ( r ) : H ^ ψ n = E n ψ n \hat H\psi_n=E_n\psi_n H ^ ψ n = E n ψ n . Примером локализованного состояния является атом водорода. Его гамильтониан H ^ \hat H H ^ имеет вид H ^ = − ℏ 2 2 m Δ − e 2 r \hat H=-\frac<\hbar^2>\Delta-\frac H ^ = − 2 m ℏ 2 Δ − r e 2 , где Δ = ∂ 2 / ∂ x 2 + ∂ 2 / ∂ y 2 + ∂ 2 / ∂ z 2 \Delta=\partial^2/\partial x^2+\partial^2/\partial y^2+\partial^2/\partial z^2 Δ = ∂ 2 / ∂ x 2 + ∂ 2 / ∂ y 2 + ∂ 2 / ∂ z 2 – оператор Лапласа , e 2 / r e^2/r e 2 / r – потенциал взаимодействия электрона и ядра, r r r – расстояние от ядра до электрона, а собственные значения энергии E n E_n E n , вычисленные из уравнения Шрёдингера, совпадают с уровнями энергии атома Бора. Простейший пример нелокализованного состояния – свободное одномерное движение электрона с импульсом p p p . Ему соответствует уравнение Шрёдингера p ^ ψ p = − i ℏ ∂ ∂ x ψ p = p ψ p \hat p\psi_p=-i\hbar \frac<\partial><\partial x>\psi_p=p\psi_p p ^ ψ p = − i ℏ ∂ x ∂ ψ p = p ψ p , решением которого является плоская волна ψ p ( x ) = C exp < i p x ℏ >= C exp < i k x >\psi_p(x)=C \exp \< <\hbar>> \> =C\exp\ ψ p ( x ) = C exp < i ℏ p x >= C exp < ik x >, где в общем случае C = ∣ C ∣ exp < i ϕ >C=|C|\exp\ Квантовая механика имеет глубокие корни как в классической, так и в статистической механике. Уже в своей первой работе Н. Бор сформулировал принцип соответствия, согласно которому квантовые соотношения должны переходить в классические при больших квантовых числах n n n . П. Эренфест в 1927 г. показал, что с учётом уравнений квантовой механики среднее значение A ˉ \bar A A ˉ оператора A ^ \hat A A ^ удовлетворяет уравнению движения классической механики. Теорема Эренфеста есть частный случай общего принципа соответствия: в пределе h → 0 h \to 0 h → 0 уравнения квантовой механики переходят в уравнения классической механики. В частности, волновое уравнение Шрёдингера в пределе h → 0 h \to 0 h → 0 переходит в уравнение геометрической оптики для траектории светового луча (и любого излучения) без учёта его волновых свойств. Представив решение ψ ( x ) \psi(x) ψ ( x ) уравнения Шрёдингера в виде ψ ( x ) = exp < i S / ℏ >\psi(x)=\exp\ ψ ( x ) = exp < i S /ℏ >, где S = ∫ p ( x ) d x S=\int p(x)dx S = ∫ p ( x ) d x – аналог классического интеграла действия, можно убедиться, что в пределе ℏ → 0 \hbar \to 0 ℏ → 0 функция S S S удовлетворяет классическому уравнению Гамильтона – Якоби . Кроме того, в пределе h → 0 h \to 0 h → 0 операторы x ^ \hat x x ^ и p ^ \hat p p ^ коммутируют и соответствующие им значения координаты и импульса могут быть определены одновременно, как это и предполагается в классической механике. Наиболее существенные аналогии между соотношениями классической и квантовой механик для периодических движений прослеживаются на фазовой плоскости канонически сопряжённых переменных, например координаты x x x и импульса p p p системы. Интегралы типа ∮ p ( x ) d x \oint p(x)dx ∮ p ( x ) d x , взятые по замкнутой траектории (интегральные инварианты Пуанкаре), известны в предыстории квантовой механики как адиабатические инварианты Эренфеста. А. Зоммерфельд использовал их для описания квантовых закономерностей на языке классической механики, в частности для пространственного квантования атома и введения квантовых чисел l l l и m m m (именно он ввёл этот термин в 1915). Размерность фазового интеграла ∮ p d x \oint pdx ∮ p d x совпадает с размерностью постоянной Планка h h h , и в 1911 г. А. Пуанкаре и М. Планк предложили рассматривать квант действия h h h как минимальный объём фазового пространства, число n n n ячеек которого кратно h h h : n = ∮ p d x / h n=\oint pdx/h n = ∮ p d x / h . В частности, при движении электрона по круговой траектории с постоянным импульсом p p p из соотношения n = ∮ p ( x ) d x / ℏ = p ⋅ 2 π r / h n=\oint p(x)dx/\hbar=p \cdot 2\pi r/h n = ∮ p ( x ) d x /ℏ = p ⋅ 2 π r / h сразу следует условие квантования Бора: m v r = n h mvr=n h m v r = nh ( П. Дебай , 1913). Однако в случае одномерного движения в потенциале V ( x ) = m ω 0 2 x 2 / 2 V(x)=m\omega_0^2x^2/2 V ( x ) = m ω 0 2 x 2 /2 ( гармонический осциллятор с собственной частотой ω 0 \omega_0 ω 0 ) из условия квантования ∮ p ( x ) d x = n h \oint p(x)dx=n h ∮ p ( x ) d x = nh следует ряд значений энергии E n = ℏ ω 0 n E_n=\hbar \omega_0n E n = ℏ ω 0 n , в то время как точное решение квантовых уравнений для осциллятора приводит к последовательности E n = ℏ ω 0 ( n + 1 / 2 ) E_n=\hbar \omega_0(n+1/2) E n = ℏ ω 0 ( n + 1/2 ) . Этот результат квантовой механики, впервые полученный В. Гейзенбергом, принципиально отличается от приближённого наличием нулевой энергии колебаний E 0 = ℏ ω 0 / 2 E_0=\hbar \omega_0/2 E 0 = ℏ ω 0 /2 , которая имеет чисто квантовую природу: состояние покоя ( x = 0 , p = 0 x=0, p=0 x = 0 , p = 0 ) в квантовой механике запрещено, поскольку оно противоречит соотношению неопределённостей Δ x ⋅ Δ p ≥ ℏ / 2 \Delta x\cdot\Delta p \geq \hbar/2 Δ x ⋅ Δ p ≥ ℏ/2 . Основное и наглядное противоречие между корпускулярной и волновой картинами квантовых явлений удалось устранить в 1926 г., после того как М. Борн предложил интерпретировать комплексную волновую функцию ψ n ( x ) = ∣ ψ n ( x ) ∣ ⋅ exp ( i ϕ n ) \psi_n(x)=|\psi_n(x)|\cdot \exp(i \phi_n) ψ n ( x ) = ∣ ψ n ( x ) ∣ ⋅ exp ( i ϕ n ) как амплитуду вероятности состояния n n n , а квадрат её модуля ∣ ψ n ( x ) ∣ 2 |\psi_n(x)|^2 ∣ ψ n ( x ) ∣ 2 – как плотность вероятности обнаружить состояние n n n в точке x x x . Квантовая система может находиться в различных, в том числе альтернативных, состояниях, а её амплитуда вероятности равна линейной комбинации амплитуд вероятности этих состояний: ψ = ψ 1 + ψ 2 + … \psi=\psi_1+\psi_2+\dots ψ = ψ 1 + ψ 2 + … Плотность вероятности результирующего состояния равна квадрату суммы амплитуд вероятности, а не сумме квадратов амплитуд, как это имеет место в статистической физике : ∣ ψ ∣ 2 = ∣ ψ 1 + ψ 2 + … ∣ 2 ≠ ∣ ψ 1 ∣ 2 + ∣ ψ 2 ∣ 2 + … |\psi|^2=|\psi_1+\psi_2+\dots|^2 \neq |\psi_1|^2+|\psi_2|^2+\dots ∣ ψ ∣ 2 = ∣ ψ 1 + ψ 2 + … ∣ 2 = ∣ ψ 1 ∣ 2 + ∣ ψ 2 ∣ 2 + … Рис. 2. Рассеяние электронов на двух щелях: вместо изображения двух щелей на фотографии видна система интерференционных полос. Рис. 2. Рассеяние электронов на двух щелях: вместо изображения двух щелей на фотографии видна система интерференционных полос. Этот постулат – принцип суперпозиции состояний – один из важнейших в системе понятий квантовой механики; он имеет много наблюдаемых следствий. Одно из них, а именно прохождение электрона через две близко расположенные щели, обсуждается чаще других (рис. 2). Пучок электронов падает слева, проходит сквозь щели в перегородке и затем регистрируется на экране (или фотопластинке) справа. Если поочерёдно закрывать каждую из щелей, то на экране справа мы увидим изображение открытой щели. Но если открыть обе щели одновременно, то вместо двух щелей мы увидим систему интерференционных полос, интенсивность которых описывается выражением: ∣ ψ ∣ 2 = ∣ ψ 1 + ψ 2 ∣ 2 = ( ψ 1 ∗ + ψ 2 ∗ ) ( ψ 1 + ψ 2 ) = ∣ ψ 1 ∣ 2 + ∣ ψ 2 ∣ 2 + ( ψ 1 ∗ ψ 2 + ψ 1 ψ 2 ∗ ) = ∣ ψ 1 ∣ 2 + ∣ ψ 2 ∣ 2 + 2 ∣ ψ 1 ∣ ∣ ψ 2 ∣ cos ( ϕ 1 − ϕ 2 ) |\psi|^2=|\psi_1+\psi_2|^2=(\psi_1^*+\psi_2^*)(\psi_1+\psi_2)=|\psi_1|^2+|\psi_2|^2+(\psi_1^*\psi_2+\psi_1\psi_2^*)=|\psi_1|^2+|\psi_2|^2+2|\psi_1||\psi_2|\cos(\phi_1-\phi_2) ∣ ψ ∣ 2 = ∣ ψ 1 + ψ 2 ∣ 2 = ( ψ 1 ∗ + ψ 2 ∗ ) ( ψ 1 + ψ 2 ) = ∣ ψ 1 ∣ 2 + ∣ ψ 2 ∣ 2 + ( ψ 1 ∗ ψ 2 + ψ 1 ψ 2 ∗ ) = ∣ ψ 1 ∣ 2 + ∣ ψ 2 ∣ 2 + 2∣ ψ 1 ∣∣ ψ 2 ∣ cos ( ϕ 1 − ϕ 2 ) . Последний член в этой сумме представляет интерференцию двух волн вероятности, пришедших в данную точку экрана из разных щелей в перегородке, и зависит от разности фаз волновых функций Δ ϕ = ϕ 1 − ϕ 2 \Delta\phi=\phi_1-\phi_2 Δ ϕ = ϕ 1 − ϕ 2 . В случае равных амплитуд ∣ ψ 1 ∣ = ∣ ψ 2 ∣ |\psi_1|=|\psi_2| ∣ ψ 1 ∣ = ∣ ψ 2 ∣ : ∣ ψ ∣ 2 = 4 ∣ ψ 1 ∣ 2 sin 2 Δ ϕ 2 |\psi|^2=4|\psi_1|^2\sin^2 \frac ∣ ψ ∣ 2 = 4∣ ψ 1 ∣ 2 sin 2 2 Δ ϕ , т. е. интенсивность изображения щелей в разных точках экрана меняется от 0 до 4 ∣ ψ 1 ∣ 2 4|\psi_1|^2 4∣ ψ 1 ∣ 2 – в соответствии с изменением разности фаз Δ ϕ \Delta \phi Δ ϕ от 0 до π / 2 \pi/2 π /2 . В частности, при этом может оказаться, что при двух открытых щелях на месте изображения одиночной щели мы не обнаружим никакого сигнала, что с корпускулярной точки зрения абсурдно. Существенно, что эта картина явления не зависит от интенсивности пучка электронов, т. е. это не результат их взаимодействия между собой. Интерференционная картина возникает даже в пределе, когда электроны проходят через щели в перегородке поодиночке, т. е. каждый электрон интерферирует сам с собой. Такое невозможно для частицы, но вполне естественно для волны, например при её отражении или дифракции на препятствии, размеры которого сравнимы с её длиной. В этом опыте дуализм волна – частица проявляется в том, что один и тот же электрон регистрируется как частица, но распространяется как волна особой природы: это волна вероятности обнаружить электрон в какой-либо точке пространства. В такой картине процесса рассеяния вопрос «Через какую из щелей прошёл электрон-частица?» теряет смысл, поскольку соответствующая ему волна вероятности проходит через обе щели сразу. Другой пример, иллюстрирующий вероятностный характер явлений квантовой механики, – прохождение света через полупрозрачную пластинку. По определению, коэффициент отражения света равен отношению числа фотонов, отражённых от пластинки, к числу падающих. Однако это есть не результат усреднения большого числа событий, а характеристика, изначально присущая каждому фотону. Принцип суперпозиции и концепция вероятности позволили осуществить непротиворечивый синтез понятий «волна» и «частица»: каждое из квантовых событий и его регистрация дискретны, но их распределение диктуется законом распространения непрерывных волн вероятности. Туннельный эффект – едва ли не самое известное явление квантовой физики. Он обусловлен волновыми свойствами квантовых объектов и только в рамках квантовой механики получил адекватное объяснение. Пример туннельного эффекта – распад ядра радия на ядро радона и α \alpha α -частицу: R a − > R n + α Rn + \alpha> R a − > R n + α . На рисунке 3 приведена схема потенциала α \alpha α -распада V ( r ) V(r) V ( r ) : α \alpha α -частица колеблется с частотой v v v в «потенциальной яме» ядра с зарядом Z 0 Z_0 Z 0 , а покинув её, движется в отталкивающем кулоновском потенциале 2 Z e 2 / r 2Ze^2/r 2 Z e 2 / r , где Z = Z 0 − 2 Z=Z_0-2 Z = Z 0 − 2 . Рис. 3. Схема туннельного эффекта при альфа-распаде ядра с зарядом ��₀. Рис. 3. Схема туннельного эффекта при альфа-распаде ядра с зарядом ��₀. В классической механике частица не может покинуть потенциальную яму, если её энергия E E E меньше, чем высота потенциального барьера V макс V_ V макс . В квантовой механике вследствие соотношения неопределённостей частица с конечной вероятностью W W W проникает в подбарьерную область r 0 < r < r 1 r_0 \lt r \lt r_1 r 0 < r < r 1 и может «просочиться» из области r < r 0 r \lt r_0 r < r 0 в область r >r 1 r \gt r_1 r > r 1 аналогично тому, как свет проникает в область геометрической тени на расстояния, сравнимые с длиной световой волны. Используя уравнение Шрёдингера, можно вычислить коэффициент D D D прохождения α \alpha α -частицы через барьер, который в квазиклассическом приближении равен: D ≈ exp < − ∫ r 0 r 1 2 m ( V ( r ) − E ) d r >≈ exp < − 4 π Z e 2 ℏ v >D \approx \exp \left\<-\displaystyle\int^ Понятие «спин» утвердилось в физике трудами В. Паули, нидерландского физика Р. Кронига , С. Гаудсмита и Дж. Уленбека (1924–27), хотя экспериментальные свидетельства о его существовании были получены задолго до создания квантовой механики в опытах А. Эйнштейна и В. Й. де Хааза (1915), а также О. Штерна и немецкого физика В. Герлаха (1922). Спин (собственный механический момент частицы) для электрона равен S = ℏ / 2 S=\hbar/2 S = ℏ/2 . Это такая же важная характеристика квантовой частицы, как и заряд и масса, которая, однако, не имеет классических аналогов. Оператор спина S ^ = ℏ σ ^ / 2 \hat S=\hbar \hat\sigma/2 S ^ = ℏ σ ^ /2 , где σ ^ = ( σ ^ x , σ ^ y , σ ^ z ) \hat\sigma=(\hat\sigma_x, \hat\sigma_y,\hat\sigma_z) σ ^ = ( σ ^ x , σ ^ y , σ ^ z ) – двумерные матрицы Паули, определён в пространстве двухкомпонентных собственных функций u = ( u + , u − ) u=(u_+, u_-) u = ( u + , u − ) оператора S ^ z \hat S_z S ^ z проекции спина на ось z z z : σ ^ z u = σ u , σ = ± 1 / 2 \hat\sigma_zu=\sigma u, \sigma=\pm 1/2 σ ^ z u = σ u , σ = ± 1/2 . Собственный магнитный момент μ \boldsymbol \mu μ частицы с массой m m m и спином S S S равен μ = 2 μ 0 S \boldsymbol \mu=2 \mu_0 \boldsymbol S μ = 2 μ 0 S , где μ 0 = e ℏ / 2 m c \mu_0=e \hbar/2mc μ 0 = e ℏ/2 m c – магнетон Бора . Операторы S ^ 2 \hat S^2 S ^ 2 и S ^ z \hat S_z S ^ z коммутируют с набором H ^ 0 \hat H_0 H ^ 0 , L ^ 2 \hat L^2 L ^ 2 и L ^ z \hat L_z L ^ z операторов атома водорода, и вместе они формируют гамильтониан уравнения Паули (1927), решения которого нумеруются набором i = ( n l m σ ) i=(nlm\sigma) i = ( n l mσ ) квантовых чисел собственных значений совокупности коммутирующих операторов H ^ 0 \hat H_0 H ^ 0 , L ^ 2 \hat L^2 L ^ 2 , L ^ z \hat L_z L ^ z , S ^ 2 \hat S^2 S ^ 2 , S ^ z \hat S_z S ^ z . Эти решения описывают самые тонкие особенности наблюдаемых спектров атомов, в частности расщепление спектральных линий в магнитном поле (нормальный и аномальный эффект Зеемана ), а также их мультиплетную структуру в результате взаимодействия спина электрона с орбитальным моментом атома (тонкая структура) и спином ядра (сверхтонкая структура). В 1924 г., ещё до создания квантовой механики, В. Паули сформулировал принцип запрета: в атоме не может быть двух электронов с одним и тем же набором квантовых чисел i = ( n l m σ ) i=(nlm\sigma) i = ( n l mσ ) . Этот принцип позволил понять структуру периодической системы химических элементов и объяснить периодичность изменения их химических свойств при монотонном увеличении заряда их ядер. Принцип запрета есть частный случай более общего принципа, который устанавливает связь между спином частицы и симметрией её волновой функции. В зависимости от значения спина все элементарные частицы разделяются на два класса: фермионы – частицы с полуцелым спином (электрон, протон, μ \mu μ -мезон и т. д.) и бозоны – частицы с нулевым или целым спином (фотон, π \pi π -мезон, K K K -мезон и т. д.). В 1940 г. Паули доказал общую теорему о связи спина со статистикой, из которой следует, что волновые функции любой системы фермионов обладают отрицательной чётностью (меняют знак при их попарной перестановке), а чётность волновой функции системы бозонов всегда положительна. В соответствии с этим существуют два типа распределений частиц по энергиям: распределение Ферми – Дирака и распределение Бозе – Эйнштейна, частным случаем которого является распределение Планка для системы фотонов. Одно из следствий принципа Паули – существование т. н. обменного взаимодействия , которое проявляется уже в системе двух электронов. В частности, именно это взаимодействие обеспечивает ковалентную химическую связь атомов в молекулах Н2, N2, О2 и т. п. Обменное взаимодействие – исключительно квантовый эффект, аналога такого взаимодействия в классической физике нет. Его специфика объясняется тем, что плотность вероятности волновой функции системы двух электронов ∣ ψ ( r 1 , r 2 ) 2 ∣ |\psi(r_1,r_2)^2| ∣ ψ ( r 1 , r 2 ) 2 ∣ содержит не только члены ∣ ψ n ( r 1 ) ∣ 2 ∣ ψ m ( r 2 ) ∣ 2 |\psi_n(r_1)|^2|\psi_m(r_2)|^2 ∣ ψ n ( r 1 ) ∣ 2 ∣ ψ m ( r 2 ) ∣ 2 , где n n n и m m m – квантовые состояния электронов обоих атомов, но также «обменные члены» ψ n ∗ ( r 1 ) ψ m ∗ ( r 1 ) ψ n ( r 2 ) ψ m ( r 2 ) \psi_n^*(r_1)\psi_m^*(r_1)\psi_n(r_2)\psi_m(r_2) ψ n ∗ ( r 1 ) ψ m ∗ ( r 1 ) ψ n ( r 2 ) ψ m ( r 2 ) , возникающие как следствие принципа суперпозиции, который позволяет каждому электрону находиться одновременно в различных квантовых состояниях n n n и m m m обоих атомов. Кроме того, в силу принципа Паули, спиновая часть волновой функции молекулы должна быть антисимметричной по отношению к перестановке электронов, т. е. химическая связь атомов в молекуле осуществляется парой электронов с противоположно направленными спинами. Волновая функция сложных молекул может быть представлена как суперпозиция волновых функций, соответствующих различным возможным конфигурациям молекулы ( теория резонанса , Л. Полинг , 1931–1933). Развитые в квантовой механике методы расчёта (метод Хартри – Фока, метод молекулярных орбиталей и др.) позволяют вычислить на современных компьютерах все характеристики устойчивых конфигураций сложных молекул: порядок заполнения электронных оболочек в атоме, равновесные расстояния между атомами в молекулах, энергию и направление химических связей, расположение атомов в пространстве, а также построить потенциальные поверхности, которые определяют направление химических реакций. Такой подход позволяет также вычислить потенциалы межатомных и межмолекулярных взаимодействий, в частности силы Ван дер Ваальса , оценить прочность водородных связей и др. Тем самым проблема химической связи сводится к задаче расчёта квантовых характеристик системы частиц с кулоновским взаимодействием, и с этой точки зрения структурную химию можно рассматривать как один из разделов квантовой механики. Обменное взаимодействие существенно зависит от вида потенциального взаимодействия между частицами. В частности, в некоторых металлах именно благодаря ему более устойчивым является состояние пар электронов с параллельными спинами, что объясняет явление ферромагнетизма . Квантовая механика – теоретический базис квантовой физики. Она позволила понять строение электронных оболочек атомов и закономерности в их спектрах излучения, структуру ядер и законы их радиоактивного распада , происхождение химических элементов и эволюцию звёзд , включая взрывы новых и сверхновых звёзд, а также источник энергии Солнца. Квантовая механика объяснила смысл периодической системы элементов, природу химической связи и строение кристаллов, теплоёмкость и магнитные свойства веществ, явления сверхпроводимости и сверхтекучести и др. Квантовая механика – физическая основа многочисленных технических приложений: спектрального анализа , лазера , транзистора и компьютера , ядерного реактора и атомной бомбы и т. д. Свойства металлов , диэлектриков , полупроводников и других веществ в рамках квантовой механики также получают естественное объяснение. В кристаллах атомы совершают около положений равновесия малые колебания с частотой ω \omega ω , которым сопоставляются кванты колебаний кристаллической решётки и соответствующие им квазичастицы – фононы с энергией E = ℏ ω E=\hbar \omega E = ℏ ω . Теплоёмкость кристалла в значительной степени определяется теплоёмкостью газа его фононов, а его теплопроводность можно трактовать как теплопроводность фононного газа. В металлах электроны проводимости представляют собой газ фермионов, а их рассеяние на фононах является основной причиной электрического сопротивления проводников, а также объясняет подобие тепловых и электрических свойств металлов (см. Закон Видемана – Франца ). В магнитоупорядоченных структурах возникают квазичастицы – магноны , которым соответствуют спиновые волны , в квантовых жидкостях возникают кванты вращательного возбуждения – ротоны , а магнитные свойства веществ определяются спинами электронов и ядер (см. Магнетизм ). Взаимодействие спинов электронов и ядер с магнитным полем – основа практических приложений явлений электронного парамагнитного и ядерного магнитного резонансов, в частности в медицинских томографах . Упорядоченная структура кристаллов порождает дополнительную симметрию гамильтониана по отношению к сдвигу x → x + a x \to x+a x → x + a , где a a a – период кристаллической решётки. Учёт периодической структуры квантовой системы приводит к расщеплению её энергетического спектра на разрешённые и запрещённые зоны. Такая структура уровней энергии лежит в основе работы транзисторов и всей базирующейся на них электроники (телевизор, компьютер, сотовый телефон и др.). В начале 21 в. достигнуты существенные успехи в создании кристаллов с заданными свойствами и структурой энергетических зон ( сверхрешётки , фотонные кристаллы и гетероструктуры : квантовые точки , квантовые нити , нанотрубки и др.). При понижении температуры некоторые вещества переходят в состояние квантовой жидкости , энергия которой при температуре T → 0 T \to 0 T → 0 приближается к энергии нулевых колебаний системы. В некоторых металлах при низких температурах образуются куперовские пары – системы из двух электронов с противоположными спинами и импульсами. При этом электронный газ фермионов трансформируется в газ бозонов, что влечёт за собой бозе-конденсацию , которая объясняет явление сверхпроводимости . При низких температурах длина волны де Бройля тепловых движений атомов становится сравнимой с межатомными расстояниями и возникает корреляция фаз волновых функций множества частиц, что приводит к макроскопическим квантовым эффектам ( эффект Джозефсона , квантование магнитного потока , дробный квантовый эффект Холла , андреевское отражение ). На основе квантовых явлений созданы наиболее точные квантовые эталоны различных физических величин: частоты (гелий – неоновый лазер), электрического напряжения (эффект Джозефсона), сопротивления (квантовый эффект Холла) и т. д., а также приборы для различных прецизионных измерений: сквиды , квантовые часы , квантовый гироскоп и т. д. Квантовая механика возникла как теория для объяснения специфических явлений атомной физики (её вначале так и называли: атомная динамика), но постепенно стало ясно, что квантовая механика образует также основу всей субатомной физики и все её основные понятия применимы для описания явлений физики ядра и элементарных частиц. Первоначальная квантовая механика была нерелятивистской, т. е. описывала движение систем со скоростями много меньшими скорости света. Взаимодействие частиц в этой теории по-прежнему описывалось в классических терминах. В 1928 г. П. Дирак нашёл релятивистское уравнение квантовой механики (уравнение Дирака), которое при сохранении всех её понятий учитывало требования теории относительности . Кроме того, был развит формализм вторичного квантования , который описывает рождение и уничтожение частиц, в частности рождение и поглощение фотонов в процессах излучения. На этой основе возникла квантовая электродинамика , которая позволила с большой точностью рассчитывать все свойства систем с электромагнитным взаимодействием. В дальнейшем она развилась в квантовую теорию поля , объединяющую в едином формализме частицы и поля, посредством которых они взаимодействуют. Для описания элементарных частиц и их взаимодействий используются все основные понятия квантовой механики: остаётся справедливым дуализм волна – частица, сохраняется язык операторов и квантовых чисел, вероятностная трактовка наблюдаемых явлений и т. д. В частности, для объяснения взаимопревращения трёх типов нейтрино : ν e \nu_e ν e , ν μ \nu_\mu ν μ и ν τ \nu_\tau ν τ ( осцилляции нейтрино ), а также нейтральных K K K -мезонов используется принцип суперпозиции состояний. Справедливость уравнений и заключений квантовой механики многократно подтверждена многочисленными опытами. Система её понятий, созданная трудами Н. Бора, его учеников и последователей, известная как «копенгагенская интерпретация», является ныне общепринятой, хотя ряд создателей квантовой механики (М. Планк, А. Эйнштейн, Э. Шрёдингер и др.) до конца жизни остались в убеждении, что квантовая механика – незавершённая теория. Специфическая трудность восприятия квантовой механики обусловлена, в частности, тем обстоятельством, что бóльшая часть её основных понятий (волна, частица, наблюдение и т. д.) взяты из классической физики. В квантовой механике их смысл и область применимости ограничены в силу конечности кванта действия h h h , а это, в свою очередь, потребовало ревизии устоявшихся положений философии познания . Прежде всего в квантовой механике изменился смысл понятия «наблюдение» . В классической физике предполагали, что возмущения изучаемой системы, вызванные процессом измерения, могут быть корректно учтены, после чего можно восстановить исходное состояние системы, независимое от средств наблюдения. В квантовой механике соотношение неопределённостей ставит на этом пути принципиальный предел, который никак не связан с искусством экспериментатора и тонкостью используемых методов наблюдения. Квант действия h h h определяет границы квантовой механики, подобно скорости света в теории электромагнитных явлений или абсолютному нулю температур в термодинамике . Причину неприятия соотношения неопределённостей и способ преодоления трудностей восприятия его логических следствий предложил Н. Бор в концепции дополнительности . Согласно Бору, для полного и адекватного описания квантовых явлений необходима пара дополнительных понятий и соответствующая им пара наблюдаемых. Для измерения этих наблюдаемых необходимы два разных типа приборов с несовместимыми свойствами. Например, для точного измерения координаты нужен стабильный, массивный прибор, а для измерения импульса, наоборот, лёгкий и чувствительный. Оба эти прибора несовместимы, но они дополнительны в том смысле, что обе величины, измеряемые ими, равно необходимы для полной характеристики квантового объекта или явления. Бор объяснил, что «явление» и «наблюдение» – дополнительные понятия и не могут быть определены порознь: процесс наблюдения уже есть некое явление, а без наблюдения явление есть «вещь в себе» . В действительности мы всегда имеем дело не с явлением самим по себе, а с результатом наблюдения явления, и результат этот зависит в том числе от выбора типа прибора, используемого для измерения характеристик квантового объекта. Результаты таких наблюдений квантовая механика объясняет и предсказывает без всякого произвола. Важное отличие квантовых уравнений от классических состоит также в том, что волновая функция квантовой системы сама не наблюдаема, а все величины, вычисленные с её помощью, имеют вероятностный смысл. Кроме того, понятие вероятности в квантовой механике в корне отличается от привычного понимания вероятности как меры нашего незнания деталей процессов. Вероятность в квантовой механике – это внутреннее свойство индивидуального квантового явления, присущее ему изначально и независимо от измерений, а не способ представления результатов измерений. В соответствии с этим принцип суперпозиции в квантовой механике относится не к вероятностям, а к амплитудам вероятности. Кроме того, в силу вероятностного характера событий суперпозиция квантовых состояний может включать в себя состояния, несовместимые с классической точки зрения, например состояния отражённого и прошедшего фотонов на границе полупрозрачного экрана или альтернативные состояния электрона, проходящего через любую из щелей в знаменитом интерференционном опыте. Неприятие вероятностной трактовки квантовой механики породило массу попыток модифицировать основные положения квантовой механики. Одна из таких попыток – введение в квантовую механику скрытых параметров , которые изменяются в соответствии со строгими законами причинности, а вероятностный характер описания в квантовой механике возникает как результат усреднения по этим параметрам. Доказательство невозможности введения в квантовую механику скрытых параметров без нарушения системы её постулатов было дано Дж. фон Нейманом ещё в 1929 г. Более детальный анализ системы постулатов квантовой механики был предпринят Дж. Беллом в 1965 г. Экспериментальная проверка т. н. неравенств Белла (1972) ещё раз подтвердила общепринятую схему квантовой механики. Ныне квантовая механика представляет собой законченную теорию, которая всегда даёт правильные предсказания в границах её применимости. Все известные попытки её модификации (их известно около 10) не изменили её структуры, но положили начало новым отраслям наук о квантовых явлениях: квантовой электродинамике , квантовой теории поля , теории электрослабого взаимодействия , квантовой хромодинамике , квантовой теории гравитации , теории суперструн и др. Квантовая механика стоит в ряду таких достижений науки, как классическая механика , учение об электричестве , теория относительности и кинетическая теория . Ни одна физическая теория не объяснила такого широкого круга физических явлений природы: из 94 Нобелевских премий по физике, присуждённых в 20 в., только 12 не связаны напрямую с квантовой физикой. Значение квантовой механики во всей системе знаний об окружающей природе выходит далеко за рамки учения о квантовых явлениях: она создала язык общения в современной физике, химии и даже биологии, привела к пересмотру философии науки и теории познания , а её технологические следствия до сих пор определяют направление развития современной цивилизации. Пономарёв Леонид Иванович Опубликовано 4 августа 2023 г. в 11:27 (GMT+3). Последнее обновление 23 ноября 2023 г. в 17:55 (GMT+3). Связаться с редакцией
):
где E0 — энергия покоя частицы:
где l — ширина ямы,
х — координата частицы в яме (0 ≤ x ≤ l),
n — квантовое число (n=1,2,3. ).
где m — масса частицы.
где е — заряд электрона,
n — концентрация носителей заряда,
uр — подвижность электронов,
un — подвижность дырок.Что такое c в квантовой физике
Изучение основ квантовой физики Текст научной статьи по специальности «Физика»
Текст научной работы на тему «Изучение основ квантовой физики»
Квантовая механика
История создания квантовой механики
Рис. 1. Интерференция рентгеновского излучения. 1963. Фото: Стратер Арнотт. Королевский колледж Лондона. Адаптация: БРЭ. Рис. 1. Интерференция рентгеновского излучения. 1963. Фото: Стратер Арнотт. Королевский колледж Лондона. Адаптация: БРЭ. Суть его состоит в том, что одни и те же объекты исследования проявляют себя двояко: либо как частица, либо как волна – в зависимости от условий их наблюдения. Соотношения между характеристиками волны и частицы были установлены ещё до создания квантовой механики: E = h ν E=h \nu E = h ν (1900) и λ = h / m v = h / p \lambda=h/mv=h/p λ = h / m v = h / p (1923), где частота ν \nu ν и длина волны λ \lambda λ – характеристики волны, а энергия E E E и масса m m m , скорость v v v и импульс p = m v p=mv p = m v – характеристики частицы; связь между этими двумя типами характеристик осуществляется через постоянную Планка h h h . Наиболее отчётливо соотношения дуальности выражаются через круговую частоту ω = 2 π ν \omega=2 \pi \nu ω = 2 π ν и волновой вектор k = 2 π / λ \boldsymbol k=2\pi/\lambda k = 2 π / λ : E = ℏ ω , p = ℏ k E=\hbar \omega, \boldsymbol p =\hbar \boldsymbol k E = ℏ ω , p = ℏ k . Наглядная иллюстрация дуализма волна – частица представлена на рисунке 1: дифракционные кольца, наблюдаемые при рассеянии электронов и рентгеновских лучей, практически идентичны. Квантовая механика – теоретичеcкий базис всей квантовой физики – была создана за неполных три года. В 1925 г. В. Гейзенберг , опираясь на идеи Бора, предложил матричную механику, которая к концу того же года приобрела вид законченной теории в трудах М. Борна , немецкого физика П. Йордана и П. Дирака . Основными объектами этой теории стали матрицы специального вида, которые в квантовой механике представляют физические величины классической механики. В 1926 г. Э. Шрёдингер , исходя из представлений Л. де Бройля о волнах материи, предложил волновую механику, где основную роль играет волновая функцияквантового состояния , которая подчиняется дифференциальному уравнению 2-го порядка с заданными граничными условиями . Обе теории одинаково хорошо объясняли устойчивость планетарного атома и позволяли вычислить его основные характеристики. В том же году М. Борн предложил статистическую интерпретацию волновой функции, Шрёдингер (а также независимо В. Паули и др.) доказал математическую эквивалентность матричной и волновой механик, а Борн совместно с Н. Винером ввёл понятие оператора физической величины. В 1927 г. В. Гейзенберг открыл соотношение неопределённостей , а Н. Бор сформулировал принцип дополнительности . Открытие спина электрона ( Дж. Уленбек и С. Гаудсмит , 1925) и вывод уравнения Паули , учитывающего спин электрона (1927), завершили логическую и расчётную схемы нерелятивистской квантовой механики, а П. Дирак и Дж. фон Нейман изложили квантовую механику как законченную концептуально независимую теорию на базе ограниченного набора понятий и постулатов, таких как оператор, вектор состояния, амплитуда вероятности, суперпозиция состояний и др.Основные понятия и формализм квантовой механики
Принцип соответствия
Принцип суперпозиции состояний и вероятностная интерпретация
Туннельный эффект и резонансное рассеяние
Спин, тождественность частиц и обменное взаимодействие
Приложения квантовой механики
Интерпретация квантовой механики