Что такое v в информатике

1. Скорость передачи информации и пропускная способность канала связи

Персональные компьютеры, ноутбуки, смартфоны и другие гаджеты обмениваются информацией, используя кабельные, оптоволоконные и другие каналы связи.

Передача информации в общем виде выглядит следующим образом.

канал связи.png

Рис. \(1\). Передача информации

Скорость передачи информации — это скорость, с которой передаются данные через канал связи, показывающая, какое количество бит информации передаётся за единицу времени.

Базовой единицей измерения скорости передачи информации является бит в секунду и обозначается бит/с .

Пропускная способность канала — одна из важных характеристик каналов передачи информации, которая показывает, какова максимальная скорость передачи информации по каналу связи в единицу времени.

С другой стороны, пропускная способность канала — это количество информации, передаваемое в единицу времени.

V = I t , где \(V\) — пропускная способность канала; \(I\) — объём переданной информации; \(t\) — время передачи информации.

Основные единицы измерения пропускной способности канала: бит/с; Кбит/с; Мбит/с.
Дополнительные единицы измерения: байт/с; Кбайт/с; Мбайт/с.

\(1\) байт/с	\(8\) бит/с
\(1\) Кбит/с	\(1024\) бит/с
\(1\) Мбит/с	\(1024\) Кбит/с
\(1\) Гбит/с	\(1024\) Мбит/с

При решении задач используется формула I = V · t , где \(V\) — пропускная способность канала; \(I\) — объём переданной информации; \(t\) — время передачи информации.

Если скорость передачи информации задана в бит/с, а размер файла — в мегабайтах, то следует привести все единицы в один формат и только после этого делать вычисления.

Формализованная дискретность в математике как основа обучения информатике Текст научной статьи по специальности «Философия, этика, религиоведение»

ФОРМАЛИЗАЦИЯ / FORMALIZATION / ДИСКРЕТНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ / DISCRETE SIMULATION / НЕПРЕРЫВНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ / CONTINUOUS SIMULATION / АЛГОРИТМ / ALGORITHM COMPLEXITY / СЛОЖНОСТЬ АЛГОРИТМА / FP-SPACE / МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ / ИНФОРМАТИКА / COMPUTER SCIENCE / MATHEMATICAL SUPPORT

Аннотация научной статьи по философии, этике, религиоведению, автор научной работы — Косовский Николай Кириллович

Затрагиваются революционные тенденции XX века в формализации математики. Уточняется влияние информатики на преподавание некоторых разделов формализованной математики студентам-информатикам. Предлагаются желательные изменения читаемых математических курсов для студентов-информатиков. Характеризуются специальность и направление «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем», разработанные и реализованные, прежде всего, преподавателями математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета. Перечисляются учебные пособия, излагающие опыт автора в преподавании некоторых разделов формализованной математики для студентов-информатиков.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Текст научной работы на тему «Формализованная дискретность в математике как основа обучения информатике»

новые метады обучения

Косовский Николай Кириллович

ФОРМАЛИЗОВАННАЯ ДИСКРЕТНОСТЬ В МАТЕМАТИКЕ КАК ОСНОВА ОБУЧЕНИЯ ИНФОРМАТИКЕ

Затрагиваются революционные тенденции XX века в формализации математики. Уточняется влияние информатики на преподавание некоторый разделов формализованной математики студентам-информатикам. Предлагаются желательные изменения читаемых математических курсов для студентов-информатиков. Характеризуются специальность и направление «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем», разработанные и реализованные, прежде всего, преподавателями ма-тематико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета. Перечисляются учебные пособия, излагающие опыт автора в преподавании некоторых разделов формализованной математики для студентов-информатиков.

Ключевые слова: формализация, дискретное моделирование, непрерывное моделирование, алгоритм, сложность алгоритма, ЕР-8РАСЕ, математическое обеспечение, информатика.

1. РЕВОЛЮЦИОННЫЕ ТЕНДЕНЦИИ

XX ВЕКА В ФОРМАЛИЗАЦИИ МАТЕМАТИКИ

XX век разработал формализацию математики. Г. Фреге изобрёл понятие квантора. Дж. Пеано предложил обозначения для них. Как следствие, те теоремы, которые раньше казались экзотическими, сейчас привлекают больше математического внимания. Например, первая теорема Гёделя (о неполноте формальной арифметики), которая состоит в том, что не существует полной системы для доказательства утверждений, использующих, кроме логических связок и кванторов, только полиномы над натуральными числами. Вторая теорема Гёделя (о неполноте формальной арифметики) говорит о том, что если непротиворечивость формальной ариф-

метики можно доказать средствами самой формальной арифметики, то формальная арифметика противоречива. Из других интересных математических теорем можно вспомнить теорему о независимости континуум-гипотезы от аксиом теории множеств Цермело-Френкеля, теорему Гёделя о полноте исчисления предикатов, предложенного Д. Гильбертом. После математической формализации понятия алгоритма стало ясно, что исчисление предикатов слишком богато, и удалось доказать, что нет и не может быть алгоритма проверки выводимости формул в исчислении предикатов. Не может быггь аналогичного алгоритма проверки выводимости формул для любой математической теории, которая формализована на основе исчисления предикатов и содержит формальную арифметику. Всё это было установлено до 60-х годов XX века.

Следующим этапом (60-70-е годы) широко исследовался вопрос о существовании алгоритмов для решения различных задач. Например, Ю.В. Матиясевич доказал невозможность существования алгоритма проверки наличия целых неотрицательных корней у полиномов с целыми коэффициентами, решив тем самым Десятую проблему Гильберта.

Начиная с 70-х годов XX века выяснилось, что этого недостаточно. Выяснилось, что для решения некоторых дискретных задач есть решающие их алгоритмы, но они затрачивают слишком большое число шагов, чтобы с их помощью можно было проводить вычисления на современных компьютерах или компьютерах ближайших поколений. Возникла такая область исследований, как теория сложности алгоритмов, в которой нас интересует не просто существование алгоритма, но существование алгоритма с заданной верхней границей его сложности (например, с числом выполненных шагов, ограниченным сверху полиномом от длины записи исходных данных). Впрочем, удобнее и проще доказывать, что объём памяти, используемой в процессе работы алгоритма, не превосходит полинома заданной степени от длины записи исходных данных.

Проблема в том, что не все алгоритмы, которые принципиально решают ту или иную задачу, могут быть полиномиально масштабированы относительно времени и, тем более, относительно памяти. Язык формальной дискретно-конечной математики более удобен для описаний, которые может преобразовывать компьютер в тех или иных (даже достаточно больших) объёмах исходных данных. Например, целочисленные арифметические операции сложения, вычитания и умножения выполняются в 1ВМ-со-вместимых компьютерах по модулю 216 для целых чисел из отрезка [-215, 215 — 1]. Вместо рациональных чисел полезно использовать двоично-рациональные числа, то есть имеющие знаменатель, представляющий собой неотрицательную степень двойки. Такие числа являются математическим аналогом компьютерного понятия двоичного числа с фиксированной точкой.

Как говорил Гаусс, «Математика — это язык». А раз это язык, то какие средства используются в языке формальной дискретно-конечной математики? Если мы планируем использовать компьютер, то желателен язык программирования, который тесно связан со сферой искусственного интеллекта, которая постоянно развивается. Языки рефал и пролог из некоторых относительно последних версий полезны и удобны при реализации алгоритмов решения задач искусственного интеллекта.

На мой взгляд, в дальнейшем многие математические вопросы, многие вопросы физических и инженерных приложений будут решаться с применением пакетов компьютерной алгебры. Но при этом людей ждут некоторые сложности. Например, возникает вопрос: как дифференцировать условные выражения? В точке ветвления нужно дополнительно обращать внимание на гладкость и другие особенности поведения функции. Но пакеты компьютерной алгебры это иногда не учитывают и в результате разные пакеты по-разному дифференцируют одну и ту же кусочно заданную функцию. Это один из примеров того, с чем приходится сталкиваться человеку, который вроде бы решил задачу с помощью компьютера, но выясняется, что математический язык человека и язык программного обеспечения компьютера не являются согласованными. Поэтому на современном этапе использования компьютерной техники язык непрерывной математики следует преобразовать. Дискретность приобретает в математике большую важность, и, как следствие, должно быть больше исследований в этом направлении. Алгоритмов в непрерывной математике практически нет, поскольку традиционные точные математические понятия алгоритма использует только дискретные данные.

К тому же бывают разные взгляды на ценность теорем в различных математических школах. Есть существенная разница в том, в каких странах каким разделам математики уделяют больше внимания. Есть много разных других сложностей. Приведу пример из математической логики. Конечнознач-ная логика лучше соответствует описаниям

в условиях неопределённости, когда наша точка зрения очень часто меняется. Поэтому «чёрно/белую» логику (да/нет), конечно, должна сменить конечнозначная логика. Например, возможные варианты ответа в социологическом опросе: да, нет, не знаю. Здесь полезно применение трёхзначной логики.

Пока эти тенденции ещё не полностью захватили многие приложения, поэтому мне кажется, что в XXI веке сделают много от-крыгтий и найдут оттенки, о которыгх мы сейчас и не догадываемся. Например, как должна быть написана программа для мобильного телефона, чтобы свести к минимуму потребление энергии? Это пример практической задачи, для которой теоретические вопросы раньше не разрабатывались. Есть много моментов, связанных со сложностью алгоритмов, и я думаю, что у нас появится ещё много неожиданного.

Последняя треть XX века — победное развитие математических конструкций, используемых в информатике.

Я наблюдал три революции использования вычислительной техники. Первая связана с появлением компьютеров, когда маститые математики говорили: «Что программист может сделать? Только запрограммировать алгоритм, которыш я для него придумал». Потом математики всё-таки осознали, что работа с компьютером требует значительных интеллектуальных усилий. Затем появились персональные компьютеры. После этого уже маститые программисты говорили: «Я уже реализовал этот алгоритм. А что принципиально нового сделал программист на персональном компьютере?». Дело в том, что многие разработчики программного обеспечения для персональных компьютеров не могли толково объяснить маститым программистам, работающим на больших мощных компьютерах, как и какие трудности они преодолели при решении поставленной задачи. Третья революция — появление встроенных приложений мобильных устройств. Выяснилось, что их функционирование должно укладываться в узкие временные рамки.

Я думаю, что общее впечатление по поводу тенденций формальной дискретной математики второй половины XX века я изложил. Основная идея в том, что язык описания задачи должен быть дискретно-конечным. Для практического решения задач на компьютере все решаемые задачи должны находиться в классе РР-8РАСЕ, то есть в классе функций, вычислимых на машине Тьюринга, использующей ленту с числом ячеек, не превосходящим некоторого полинома от длины записи исходных данных. Более того, современным гарантом отсутствия полиномиальной масштабируемости (по числу шагов решения) задачи является доказательство МР-полноты этой задачи.

2. ВЛИЯНИЕ ИНФОРМАТИКИ НА ПРЕПОДАВАНИЕ НЕКОТОРЫ1Х РАЗДЕЛОВ ФОРМАЛИЗОВАННОЙ МАТЕМАТИКИ СТУДЕНТАМ-ИНФОРМАТИКАМ

Многие тенденции в преподавании формализованной математики можно наблюдать уже сейчас. Ещё 30 лет назад курсы дискретной математики и математической логики не читались для студентов инженерных специальностей. Сейчас эти курсы читаются студентам практически всех специальностей и направлений, тесно связанных с использованием вычислительной техники.

Есть некоторые общематематические утверждения, недоказуемые в формальной арифметике, и примеры таких утверждений можно демонстрировать при обучении студентов. Кроме того, можно ввести ограничение — какими средствами при доказательстве разрешено пользоваться. Например, широко известно, что трисекция угла невозможна с помощью циркуля и линейки. В то же время её можно осуществить другими простыши дополнительными средствами.

Д. Гильберт предполагал, что всю математику можно формализовать в виде большой игры, аналогичной игре в шахматы, где играют по заранее оговорённым правилам. Но первая теорема Гёделя о неполноте формальной арифметики показала, что это невозможно. При этом её можно доказать всем

студентам и даже школьникам, хорошо знакомым с компьютером.

Для практических целей часто достаточна формальная арифметика для целых чисел, представимых в компьютере средствами одинарной или двойной точности. Возможно, что использование очень больших чисел — это язык, который позволяет уйти в некоторые почти бесконечности, и, как следствие, получаются очень долго работающие алгоритмы или алгоритмы вообще не возможны. На мой взгляд, многие условия можно описать на языке формальной арифметики конечных чисел компьютерного типа integer (особенно для целых чисел из отрезка [-215, 215 — 1]). Тождественная истинность формул такой формальной арифметики может быть проверена алгоритмом, принадлежащим классу FP-SPACE. Более того, задача такой проверки является P-SPACE-пол-ной.

Понятие числа абстрактное, но школьники его запросто воспринимают. Здесь дело не в абстрактности, дело в привычке. Если школьника обучают только численным алгоритмам, то, конечно, теорему Гёделя ему сложно осилить. Но если ему рассказывают о компиляторах и интерпретаторах, о возможности рассматривать и обрабатывать программу как строку, то он поймёт гораздо больше. Если школьник в состоянии понять, что существует однозначное соответствие между записями алгоритмов и числами, то доказательство теоремы Гёделя проводится довольно наглядно. Важно, что формализованные математические доказательства также построены на средствах математической логики.

Язык математической логики сложился к 1900 году, когда Д. Гильберт сформулировал свои знаменитые проблемы и заложил основы языка исчисления предикатов. Далее осталось формализовать аксиомы арифметики, а это вполне понятно и доступно даже современным школьникам, ориентированным на точные науки и знающим математическую индукцию. Дети, хорошо знакомые с работой на компьютере, знакомы и с математическим понятием алгоритма. Поэтому им можно более кратко излагать то, что для

человека, незнакомого с компьютером, может вызвать существенные проблемы понимания.

Вспоминаю анекдотический случай про кванторы. Однажды при занятиях с учителями математики выяснилось, что им инспектор запрещал в преподавании школьникам использовать кванторы, потому что дети и так перегружены, и новые значки им становятся непонятными. Но школьники могут пользоваться этими знаками как стенографией. При использовании условного знака легче понять, о чём идёт речь, когда вместо разных длинных слов используется один и тот же символ.

По существу, математическая логика всё-таки начинается не там, где используется только булева алгебра, а там, где используются кванторы. Без кванторов мало что можно записать. Например, когда формулируется закон коммутативности сложения в виде х + у = у + х, то здесь неявно присутствует квантор всеобщности по х и у (для всех чисел х и у).

Есть в формализованной математике и другие совсем парадоксальные вещи. Например, университетский курс математического анализа можно сократить раза в два, используя нестандартный анализ, в основе которого лежат бесконечно малые и бесконечно большие числа. Эта идея восходит ещё к Г. Лейбницу, который создал математический анализ, не имея точного математического понятия (которое было сформулировано в 60-е годы XX века) как бесконечно малого, так и бесконечно большого числа. Если мы не выходим за пределы некоторого специального элементарного языка, то можем обращаться с бесконечно малыми так же, как с рациональными числами. Есть числа натуральные, а есть гипернатуральные — объединение натуральных с бесконечно большими натуральными числами. При этом если мы обозначим бесконечно большое число посредством № (удовлетворяющее аксиоме, что оно больше каждого натурального числа), то № — 1 < №. Это можно доказать. То есть получается другая арифметика, оперирующая как с конечными, так и с бесконечно большими натуральными числа. Имеет

смысл рассматривать не все вещественные числа, а только гиперрациональные, то есть числа, которые входят в формализованную аксиоматику рациональных чисел и их множество является нестандартным расширением множества рациональных чисел. И е, и р являются как раз такими гиперрациональными числами.

В основе современных точных описаний мира лежит формализованный логико-математический языж и, в первую очередь, конечно, алгоритмический. Но здесь есть один существенный момент. В алгоритмическом языке ограниченной сверху сложности желательно использовать кванторы только по конечным множествам, явно задаваемым списками.

3. ЖЕЛАТЕЛЬНЫЕ ИЗМЕНЕНИЯ ЧИТАЕМЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ КУРСОВ ДЛЯ СТУДЕНТОВ-ИНФОРМАТИКОВ

Должен быть больший вес у информатики, дискретной математики, математических основ информатики. Но традиционно широко распространены концепции, связанные с непрерышными объектами. Например, концепция о том, что мир непрерывен и его можно описать с помощью вещественных чисел. Однако, компьютер не может работать с произвольными вещественными числами. Желательно определять понятие конструктивного вещественного числа как алгоритмической последовательности двоично-рациональных чисел, абсолютная величина разности членов которой, начиная с п-го, меньше, чем 2-п.

Раньше говорили, что в любой науке столько науки, сколько в ней математики. Поэтому в астрономии и механике много науки. Теперь следует говорить, что в любой науке столько фундаментальных компьютерных приложений, сколько в ней математической (а не инженерной) информатики.

Приведу пример из физики. Возьмём то, что физики называют «термояд». Сколько лет обещают запустить реактор, вырабатывающий энергии больше, чем в нём тратится? Проинтегрируем сумму затраченных

усилий — сколько людей над этим работало, сколько конференций прошло, сколько грантов получено, сколько книг было выпущено, сколько учёных приобрели мировые имена, сколько кандидатов и докторов наук приобрели учёную степень — и мы почувствуем, что это направление само в себе. Такие разделы есть в любой науке — будь то физика, химия или математика. Единственный способ окончания этого — сократить финансирование таких разделов науки. Но это социальный вопрос. Кроме того, а вдруг когда-нибудь что-нибудь получится? Пусть не то, что искали, но что-то полезное.

Иногда мне хочется покритиковать какую-нибудь науку. Проще критиковать людей, которых я лучше знаю, например, тех, которые занимаются в области, близкой к прикладной математике. Но после того, как у меня возникает такое желание, я вдруг вспоминаю, что есть огромное количество политических, психологических, юридических, филологических и разных других наук и их разделов, которые, как правило, используют математику в значительно меньшей степени, потому что в принципе не могут её использовать, поскольку их наука находится на стадии, как сейчас это принято говорить, гуманитарного оформления. Ещё не выработаны математически чётко, даже не очерчены понятия в этих науках. Кроме того, разные авторы под одним и тем же словом (например, под словом «революция») понимают разные вещи. И желание критиковать своих коллег сразу пропадает, когда я понимаю, что есть много других наук, которые в ещё большей степени заслуживают существенной критики. Я не хочу сказать, что не нужно заниматься гуманитарными науками, но там удаётся получать результаты намного туманнее, противоречивее и слабее, чем в науках, тесно связанных с математикой. Очень часто в гуманитарных науках результаты оказываются такими: может быть так, а может быть и не так. Получается, что такая наука заключается только в коллекционировании. Мне кажется, что должна быть предсказательная функция в каждой науке.

В принципе, способов мышления может быть много, и, если заложить в человека

слишком много способов мышления, то у него может наступить, как раньше говорили программисты, переполнение. Дело в том, что школьнику или студенту трудно выбрать, что перспективно, а что нет в ближайшие 10-20 лет. Часто студента привлекает какое-то популярное понятие, хочется его изучить. А то, что это никакого практического или теоретического применения не находит и в ближайшем будущем не будет находить, ему не видно. Для таких студентов обучение -это своего рода игра, по ходу которой им рассказывают что-то новое. Но когда студент приходит в аспирантуру, игра кончается, поскольку ему много нового не рассказывают, но от него требуют создать что-то своё новое. А он иногда уже не может что-то это своё новое придумать.

Вопрос о том, чему учить студентов, всегда сложный. Я сторонник такой либерализации образования, чтобы студент мог выбрать курс между двумя преподавателями, а ещё лучше — между тремя. Дело не в том, что один преподаватель лучше, а другой хуже. У каждого преподавателя и у каждого студента есть свои особенности, и надо дать студенту возможность почувствовать себя более комфортно. Однако, всё это невозможно, если экономить на обучении математических основ информатики, что часто делается в инженерных вузах.

Наконец, нужно отметить, что доценту кафедры информатики В.А. Костину удалось разработать программу обучения информатике и реализовать её на математико-меха-ническом факультете Санкт-Петербургского государственного университета. Разумеется, в этом принимали участие его коллеги, прежде всего из отделения информатики, а особенно кафедры информатики, а также математиков-преподавателей математико-меха-нического факультета СПбГУ. Эта программа обучения послужила основой программ, реализованных во многих городах Российской Федерации по специальности, а последние 2 года и по направлению «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем». Студенты, обучившиеся этой специальности, способны анализировать достаточно детально описан-

ные математические алгоритмы, выбирать наиболее эффективные из них применительно к конкретной задаче и разрабатывать на их основе эффективные программы. Это связано с тем, что студентам математически грамотно читаются основные математические дисциплины, связанные с теми или иными описаниями математических алгоритмов. Более 60 вузов Российской Федерации выпускают студентов по этой специальности несколько лет подряд, что говорит о существенной востребованности этой специальности, готовящей математиков-программистов.

Упомянутые специальность и направление были созданы и функционируют в рамках Учебно-методического объединения (УМО) при Санкт-Петербургском государственном университете.

Следует отметить, что на отделении информатики математико-механического факультета СПбГУ в настоящее время (как правило, много лет) ведётся обучение по следующим специальностям (5 лет обучения) и направлениям (4 года обучения), тесно связанным с информатикой: «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем», «Программная инженерия», «Информационные технологии», «Фундаментальная информатика и информационные технологии», «Прикладная информатика в области социологии», «Прикладная информатика в области международных отношений». На другом отделении того же факультете СПбГУ обучаются по специальности и по направлению «Прикладная математика и системное программирование». Наиболее длительным по годам выпусков (среди упомянутых специальностей) было обучение по специальности «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем», в значительной степени посвящённой обучению разнообразному программированию математически точно сформулированных задач.

Значительный опыт автора преподавания ряда современных дисциплин, связанных с затронутыми в статье вопросами, студентам-информатикам отражён в учебных пособиях [1-5].

1. Бабаев И.О., Герасимов М.А., Косовский Н.К., Соловьев И.П. Интеллектуальное программирование. Турбо-Пролог и Рефал-5 на персональных компьютерах. СПб.: Изд-во СПбГУ, 1992.

2. Косовский Н.К. Элементы математической логики и её приложения к теории субрекурсивных алгоритмов. Л.: Изд-во ЛГУ, 1981.

3. Косовский Н.К. Основы теории элементарных алгоритмов. Л.: Изд-во ЛГУ, 1987.

4. КосовскийН.К., ТишковА.В. Логики конечнозначных предикатов на основе неравенств. СПб.: Изд-во СПбГУ, 2000.

5. Яхонтов С.В., КосовскийН.К., Косовская Т.М. Эффективные по времени и памяти алгоритмические приближения чисел и функций. Учебное пособие. СПб.: Изд-во СПбГУ, 2012.

Revolutionary trends of the XXth century in mathematics formalization are mentioned. The influence of computer science upon the teaching of some formalized mathematical themes to the computer science students is specified. Desirable changes of mathematical courses for computer science students are offered. Speciality and direction «Mathematical support and administration of information systems» developed and implemented, first of all, by the professors of faculty of mathematics and mechanics of St. Petersburg State University are described. Some text-books describing the author’s experience in the teaching of some formalized mathematical themes to the computer science students are listed.

Keywords: formalization, discrete simulation, continuous simulation, algorithm complexity, FP-SPACE, mathematical support, computer science.

Косовский Николай Кириллович, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой информатики математико-механи ческого факультета СПбГУ, kosov@NK1022.spb.edu

Базовые понятия информатики в содержании обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

ОБУЧЕНИЕ ОБРАТНЫМ ЗАДАЧАМ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ / TRAINING IN THE INVERSE PROBLEMS FOR THE DIFFERENTIAL EQUATIONS / ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА / APPLIED MATHEMATICS / ИНФОРМАТИКА / INFORMATICS / МЕЖДИСЦИПЛИНАРНЫЕ СВЯЗИ / INTERDISCIPLINARY COMMUNICATIONS / ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ТЕХНОЛОГИИ / PEDAGOGICAL TECHNOLOGIES / СТУДЕНТ / STUDENT

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Корнилов В.С.

В статье обращается внимание на выявление междисциплинарных связей прикладной математики и информатики при обучении студентов высших учебных заведений физико-математических и естественно-научных направлений подготовки обратным задачам для дифференциальных уравнений. При таком обучении у студентов развиваются творческие способности, формируются не только научное мировоззрение и фундаментальные знания в области теории и практики обратных задач, но и система знаний о базовых понятиях информатики как научной дисциплины.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

BASIC CONCEPTS OF INFORMATICS IN THE CONTENT OF TRAINING INVERSE PROBLEMS FOR DIFFERENTIAL EQUATIONS

In article the attention to identification of intersubject communications of applied mathematics and informatics when training students of higher educational institutions of the physical and mathematical and natural-science directions of preparation to the return tasks for the differential equations is paid. At such training at students creative abilities develop, are formed not only scientific outlook and fundamental knowledge in the field of the theory and practice of the return tasks, but also system of knowledge of basic concepts of informatics , as scientific discipline.

Текст научной работы на тему «Базовые понятия информатики в содержании обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений»

БАЗОВЫЕ ПОНЯТИЯ ИНФОРМАТИКИ В СОДЕРЖАНИИ ОБУЧЕНИЯ ОБРАТНЫМ ЗАДАЧАМ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ

Кафедра информатизации образования Московский городской педагогический университет Шереметьевская ул., 29, Москва, Россия, 127521

Ключевые слова: обучение обратным задачам для дифференциальных уравнений, прикладная математика, информатика, междисциплинарные связи, педагогические технологии, студент

В настоящее время с развитием информатики как научной дисциплины завоевывает новые позиции в различных областях человеческой деятельности информационно-математическое моделирование как один из важных инструментов познания окружающего мира. Неудивительно, что сегодня проявляется большой интерес к развитию методических систем обучения информатике в вузе, в процессе которого студенты осваивают инновационные методы научного познания происходящих различных информационных процессов. Большой вклад в развитие методики обучения информатике студентов высших учебных заведений внесли исследования Е.Ы. Бидайбекова, С.Г. Григорьева, В.В. Гриншкуна, А.П. Ершова, О.Ю. Заславской, К.К. Колина, А.А. Кузнецова, М.П. Лапчика, И.В. Левченко, А.Ю. Уварова, Е.К. Хеннера, М.В. Швецкого и других авторов.

Очевидно, что будущим специалистам различных специальностей, в том числе в области прикладной математики, необходимо не только владеть концепциями и методами информационно-математического моделирования, но и иметь представление об инструментарии, применяемом при моделировании.

Одним из передовых направлений современной прикладной математики является теория и практика обратных задач для дифференциальных уравнений, которая стремительно развивается с середины 60-х годов прошлого века. Данное научное направление прикладной математики находит свое развитие в работах А.В. Баева, П.Н. Вабишевича, А.О. Ватульяна, В.В. Васина, А.М. Денисова, С.И. Кабанихина, М.М. Лаврентьева, Г.И. Марчука, Д.Г. Орловского, А.И. При-лепко, В.Г. Романова, А.Н. Тихонова, В.А. Чеверды, В.Г. Чередниченко, В.А. Юрко, А.Г. Яголы, В.Г. Яхно и других авторов. С помощью теории и методологии обратных задач для дифференциальных уравнений могут успешно исследоваться прикладные задачи физики, геофизики, сейсмологии, морских природных катастроф,

химии, обработки фотоизображений, медицины, экономики, экологии, промышленности, астрономии, астрофизики и других областей (табл. 1).

Обратные задачи широко применяются в прикладной математике в таких разделах, как алгебра, анализ, геометрия, обыкновенные дифференциальные уравнения, дифференциальные уравнения в частных производных, интегральные уравнения, операторные уравнения, оптимальное управление и в других разделах прикладной математики (табл. 2).

Стремительное развитие теории и практики обратных задач для дифференциальных уравнений во многом обусловлено возможностью эффективного исследования свойств труднодоступных или недоступных человеку объектов и процессов различной природы, определения их местоположения, формы, структуры включений и т.д., выявления их причинно-следственных связей с использованием современных информационных и телекоммуникационных технологий. По мнению В.Г. Романова, высказанному им еще в 1971 г., теория обратных задач является информационной и предполагает информационно-математическую обработку информации о решении исследуемой прикладной задачи [9]. Поэтому знание основ теории и методологии обратных задач является важным фактором формирования и развития информационного мышления у студентов вузов физико-математических и естественнонаучных направлений подготовки.

Неслучайно в настоящее время во многих высших учебных заведениях России для студентов физико-математических и естественно-научных направлений подготовки преподаются специальные учебные курсы по обратным задачам для дифференциальных уравнений, содержание которых разрабатывается на основе передовых достижений теории и практики обратных задач [2; 3; 6—12; 15—19; 22— 24].

В процессе обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений исследуются различные математические модели обратных задач при помощи аналитических и численных методов, реализуются междисциплинарные связи таких учебных дисциплин, как анализ, алгебра, геометрия, дифференциальные уравнения (обыкновенные или в частных производных), интегральные уравнения, численные методы, информатика и другие учебные дисциплины.

Современная прикладная математика характеризуется такими чертами, как анализ математических моделей, распределение идей оптимальности, повышение роли общих математических структур, алгоритмизация, усиление делового характера, гуманитаризация и другие черты [4; 12; 13]. В связи с этим реализация междисциплинарных связей в процессе обучения обратным задачам обуславливается необходимостью интеграции как естественно-научных, так и гуманитарных знаний, которая позволяет не только сформировать у студентов систему фундаментальных знаний в области обратных задач, осмыслить их познавательный и гуманитарный потенциал, осмыслить гносеологические процессы в прикладной математике, но и выявить базовые понятия информатики как научной дисциплины [1; 4—8; 11; 12; 14; 20—24]. К таким базовым понятиям информатики относятся: информация, моделирование, формализация, алгоритмизация, вычислительный эксперимент, синтаксис, семантика, компьютерная графика, информационные технологии и другие базовые понятия информатики.

Обратные задачи для дифференциальных уравнений в некоторых предметных областях

Физика Химия Биология Медицина Геофизика

Квантовая теория рассеяния Электродинамика Акустика Сорбция Молекулярная химия Исследование популяций Анализ молекул УЗИ ЯМР- томография Рентген Сейсмика Электроразведка Гравиразведка и магниторазведка

Экономика Экология Промышленность

Оптимальное управление Финансовая математика Дистанционное зондирование Радары, лазеры Диагностика состояния воздуха, воды, земной поверхности Дефектоскопия Неразруша- ющий контроль Управление технологическими процессами

Обратные задачи для дифференциальных уравнений в некоторых разделах прикладной математики

Алгебра Анализ Геометрия Операторные уранения

Несовместные системы Плохо обусловленные системы Вырожденные системы Дифференцирование Интерполяция Восстановление функций по интегралам Восстановление функций по прямым Восстановление функций по окружностям Обращение компактных операторов Нелинейные операторные уравнения

ОДУ Уравнения в частных производных Интегральные уравнения Оптимальное управление

Обратная задача рассеяния Спектральные обратные задачи Гиперболические Параболические Эллиптические Интегродиф-ференциаль-ные Уравнения Вольтерра Уравнения Фредгольма Нелинейные интегральные уравнения Задача Радона Интегральная геометрия Градиентные методы

Содержание обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений студентов вузов во многом определяется их профессиональной направленностью подготовки. В процессе такого обучения студенты исследуют различные математические модели обратных задач, использующие как обыкновенные дифференциальные уравнения, так и уравнения в частных производных.

В качестве примера для простоты изложения рассмотрим одномерную обратную задачу для гиперболического уравнения, входящую в содержание обучения обратным задачам [11].

В области х > 0, , > 0 рассматривается уравнение в частных производных второго порядка гиперболического типа

и„ = а(х)ихх, а(х) > 0, х > 0, t > 0 (1)

с начальными и граничными условиями

Мкс = 0, Цх!х=0 = а ■ 5(0 (, > 0). (2)

В (1), (2) и = и(х, ,), и,, = —2и, и = —2и, а(х) — неизвестная функция, 5(0 —

дельта-функция Дирака, а — заданная константа.

От студентов требуется из соотношений (1), (2) определить неизвестную функцию а(х) (переменный коэффициент уравнения (1)) по дополнительной информации о решении прямой задачи (1), (2) вида

Необходимо отметить, что в процессе обучения студенты получают сведения о том, что математические модели обратных задач для дифференциальных уравнений и в частности математическая модель (1)—(3), являются универсальными и способны описывать процессы различной природы. И этот универсализм повышает познавательный потенциал таких математических моделей. Студентам объясняется, что математические модели обратных задач являются универсальными, когда они носят синтаксический характер, когда семантика, содержательные знания и смысл моделируемого процесса остаются вне этой математической модели. В этом случае затруднительно сделать вывод о том, какой конкретно процесс описывается этой моделью.

Действительно, если в (1) функция и(х, ,) — смещение струны от положения

равновесия, х — длина струны, , — время, а коэффициент а = —, где Т — натя-

жение струны, а р — плотность струны, то уравнение (1) может описывать малые поперечные колебания струны без воздействия внешних сил. Если же в (1) и(х, ,) — продольное смещение в момент времени , элемента стержня с координатой х от своего положения равновесия, а = Е, где Е — модуль Юнга матери-

ала стерня, р — плотность стержня, то (1) будет описывать продольные колебания стержня постоянного поперечного сечения. Теперь пусть и(х, ,) — напряжение

или сила тока в момент времени t на элементах проводов, имеющих координаТУ х ^ = ^, ГДе Х и С » распределенные индуктивность и емкость проводов на

единицу длины. Тогда (1) будет уже описывать распространение электрических возмущений в линии при отсутствии потерь.

И еще один пример. Пусть и(х, 1) — напряженность электрического или маг-с

нитного полей, а = ■—, где с — скорость света в вакууме, е и ц — диэлектрическая

и магнитная проницаемости среды соответственно. В этом случае уравнение (1) описывает плоские электромагнитные волны в непроводящих средах.

Учитывая эти замечания, студенты осознают, что методы исследования математических моделей обратных задач, их познавательный потенциал могут быть использованы при исследовании разнообразных по природе прикладных задач.

Теперь вернемся к обратной задаче (1)—(3) и для наглядности изложим вкратце схему ее исследования, которую осваивают студенты в процессе ее решения. При исследовании прямой задачи (1), (2) полагается, что а(х) известная дважды непрерывно дифференцируемая функция в области х > 0. Прежде всего студентам необходимо свести гиперболическое уравнение (1) к гиперболическому уравнению с единичными коэффициентами при старших производных. Вначале вводится переменная у по формуле

Производные от функции и = и(т-1(у), 0 по переменной х выражаются через производные по переменной у с помощью формул

В (5) т 1(у) — функция, обратная к функции т(х).

Переменная х всегда может быть выражена через переменную у, так как

и тогда у = т(х) — монотонно возрастающая функция.

Подставляя (5) в (1), получим уравнение для функции и в новых переменных

Теперь введем новую функцию

причем функция £(у) подбирается из условия, чтобы уравнение для функции У(у, ,) имело вид (8)

V„ = Vyy + g(y)V,у > 0, t е Л,

где функция g(y) определится в дальнейшем.

Выразим производные от функции и(т-1(у), ,) через производные от функции V:

Uyy = S (y)Vyy + 2S'(y)Vy + S «(y)V.

Тогда из (8) нетрудно получить следующее уравнение:

Вид функции S(y) выбирается из условий

2S(y) — a'(T-1(y)) = 0, S(+0) = 1

\ с a'(x-1(Q) d^ 4 +0л/ а(т-1(^))

i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Тогда уравнение (10) принимает вид (8), где коэффициент g(y), с учетом (11) имеет вид

Условия (2) в терминах функции К(у, 1) принимают вид

Таким образом, задача (1), (2) эквивалентна задаче (8), (14), в которой £, g определяются соотношениями (12), (13).

В дальнейшем выделив у функции V особенность

V(y, 1) = Цу)0(1 — у) + У*(у, 1), (15)

где У*(у, t) — непрерывная функция при переходе через поверхность t = у, а ^(у) находится стандартным методом выделения особенностей [8; 10; 11; 22; 23] и равна

к( у) = -а^Л/а(0) = 7, (16)

у — некоторая постоянная. Из (15) следует, что

Так как V = 0 при t < у и V = V* при t >у > 0, то, как нетрудно заметить, задача (8), (14) эквивалентна следующей задаче

V« = Ууу + g(y)V, (у, 1) е Б, (18)

У(у, у) = у, (£’00 V + ^=0 = 0, (19)

Исследование свойств функции V(y, 1), как решения прямой задачи (18), (19), может быть проведено по схеме, изложенной в [11]. В процессе реализации этой схемы исследования студентами выявляются важные свойства о функции/(1) как о дополнительной информации о решении прямой задачи (1), (2),

/ ‘(+0) — £ ‘(+0)/(+0) = 0, /(+0) = у, которые позволяют вычислить £ ‘(+0) и а(+0)

и приводят к необходимым условиям разрешимости обратной задачи

По завершении исследования прямой задачи (18), (19) студенты выписывают дополнительную информацию о решении прямой задачи (18), (19), которая с учетом равенств (5), (7), (11) принимает вид

и приступают к исследованию обратной задачи (18), (19), (22). Исследование данной обратной задачи представляет собой построение замкнутой системы соответствующих интегральных уравнений Вольтера второго рода и доказательство локальной теоремы существования и единственности и теоремы условной устойчивости обратной задачи. Для наглядности в целях краткости записи сформулируем данные теоремы без доказательств, с которыми можно ознакомиться в [11].

Определение. Решением обратной задачи (18), (19), (22) будем называть функцию g(y) при у > 0 такую, что решение прямой задачи (18), (19), отвечающее этой функции, удовлетворяет дополнительному условию (22).

Теорема 1. Пусть/(1) е С2(0, Т) и удовлетворяет соотношениям (20), (21). Тогда если Т > 0 и мало, то решение обратной задачи (18), (19), (22) существует, един-

ственно и принадлежит классу C

Теорема 2. Пусть г, Т — фиксированные положительные числа; для функции /(1) е С2(0, Т) выполнены соотношения (20), (21); функция g(y) принадлежит клас-

су непрерывных функций на отрезке

и является решением обратной за-

дачи (18), (19), (22) с информацией/(1), 1 е (0, Т). Тогда для достаточно малого Т> 0 существует функция а(х) е Ь = 0>, являющаяся реше-

нием обратной задачи (1)—(3), где z = т-1 — =Л/а(+0) J S2(^)dа S(y) и g(y)

определяются формулой (13).

Пусть m, M, T — фиксированные положительные числа, m < M, p = —-¡=. Обо

значим через Q (m, M, Л/а(+0) j — множество функций а из класса

Теорема 3. Пусть функции а е Q (т, м, фЩ соответствует информация /(1) е С2(0, Т) о решении прямой задачи (1), (2), а функции а е Q (т, —

информация / (1) е С2(0, Т). Тогда для каждого Т > 0 существует такая положительная постоянная С = С (т, М, Т, ^/а(+0)), что

И *)- а (x)l C[0, l]* CII f(t)- f (t C 2[0, Г ],

Последующий анализ прикладных и гуманитарных аспектов полученных результатов обратной задачи позволяет студентам сделать соответствующие логические выводы об изучаемом процессе и получить в конечном счете новую информацию, изучить ее свойства и осмыслить ее ценность.

При обучении студентов обратным задачам для дифференциальных уравнений уделяется внимание численным методам их решения, так как многие обратные задачи являются нелинейными, что не позволяет получить их точное решение. Тогда обычно строится система уравнений обратной задачи, как правило, в виде интегральных или интегро-дифференциальных уравнений, решение которой ищется при помощи итерационных процессов, которые подразумевают многократное решение соответствующих прямых задач. В этом случае численные методы, такие как конечно-разностные методы, метод Ньютона—Канторовича, оптимизационные методы, метод линеаризации и другие численные методы являются эффективными методами нахождения приближенных решений обратных задач для дифференциальных уравнений. Численные методы решения обратных задач для дифференциальных уравнений находят свое развитие в работах А.С. Алексеева, П.Н. Вабишевича, В.И. Дмитриева, С.И. Кабанихина, М.М. Лаврентьева, Г.И. Марчука, В.Г. Романова, А.А. Самарского и других авторов [3; 7—9; 22—24].

В процессе обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений студенты на семинарских и лабораторных занятиях осваивают различные вычислительные алгоритмы поиска приближенных решений таких обратных задач, в том числе с использованием компьютерных технологий. Для наглядности приведем постановку учебной обратной задачи для семейства обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, решение которой ищется при помощи конечно-разностного метода.

Требуется определить неизвестную функцию a(x) из семейства дифференциальных уравнений второго порядка

y2 + a(x)y = 0, y = y(x, a), y» = y, x e R, a e R (23)

при начальных условиях

y(a, a) = 1, y'(a, a) = 1 a e R (24)

и дополнительной информации о решении прямой задачи (23), (24)

y(x*, a) = 9(a), x* — const, a e R. (25)

В (23), (24) х — переменная, а — числовой параметр.

Вычислительный алгоритм нахождения приближенного решения обратной

задачи (23)—(25) в виде числовых последовательностей < >__, к=, студенты строят на основе ее конечно-разностного аналога

vk+1 2vk + vk-1 ,R vi _ 0

k _ 1, N, i _ 1, N, N _ ^

vi+1 = vii_1, i = 0, N — 1,

Конечно-разностные соотношения (27)—(29) позволяют студентам построить систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с трехдиагональной матрицей вида

AY-i _ B-2, i = N — 1, N — 2, . 2,

где Ai — трехдиагональная матрица

0 0 0 1 0 0 -2 1 0

0 0 0/+1 -2 1 0 0 0 0 -2

Yi-2 _(-2 vi-2 vi-2 vi-2 vi-2) Yi-1 _ \vN-1, vN-2, VN-3, . vi , vi-1 J ,

i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Т — знак транспонирования, р = N — 1 — г, г = N — 1, 2.

В дальнейшем анализ СЛАУ (30) позволяет студентам продолжить исследование разностной обратной задачи (26)—(29), которое (ввиду громоздкости изложения) мы опустим.

В дальнейшем построенный вычислительный алгоритм нахождения приближенного решения обратной задачи (23)—(25) может быть реализован студентами с использованием компьютерных технологий, например, систем компьютерной математики Mathad, Matlab и других, интерфейс которых позволяет визуализировать полученное решение, в том числе и в графической форме.

При этом следует обратить внимание на следующее обстоятельство. В процессе построения вычислительных алгоритмов решения многих обратных задач студентам приходится иметь дело с поиском решения СЛАУ. Нередко нахождение решений различных СЛАУ является некорректной задачей. Решение СЛАУ может оказаться некорректной задачей, когда ее матрица является, например, плохо обусловленной, квадратной вырожденной или прямоугольной. В связи с этим желательно включать в содержание обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений раздел, посвященный СЛАУ [9].

В заключение отметим, что реализация междисциплинарных связей при обучении обратным задачам для дифференциальных уравнений позволяет студентам не только сформировать фундаментальные знания в области теории и методологии обратных задач, приобрести умения и навыки использования математических методов исследования прикладных задач и гуманитарного анализа их решений, развить научное мировоззрение и творческие способности, но и пополнить свои знания в области некоторых базовых понятий информатики как научной дисциплины, осмыслить их ценность и роль в познании окружающего мира, приобрести опыт обработки разнообразной информации математическими методами.

[1] Алонцева Е.А., Гилев А.А. Межпредметные связи естественнонаучных и общетехнических дисциплин // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Психолого-педагогические науки». 2011. № 1. С. 9—13.

[2] Бидайбеков Е.Ы., Корнилов В.С., Камалова Г.Б. Обучение будущих учителей математики и информатики обратным задачам для дифференциальных уравнений // Вестник Московского городского педагогического университета. Серия «Информатика и информатизация образования». 2014. № 3 (29). С. 57—69.

[3] Бидайбеков Е.Ы., Корнилов В.С., Камалова Г.Б., Акимжан Н.Ш. Применение компьютерных технологий при обучении студентов вузов обратным задачам для обыкновенных дифференциальных уравнений // Вестник Российского университета дружбы народов. Серия «Информатизация образования». 2015. № 2. С. 57—72.

[4] Блехман И.М., Мышкис А.Д., Пановко Я.Г. Прикладная математика: Предмет, логика, особенности подходов. М.: КомКнига, 2005. 376 с.

[5] Глухова Е.А. Межпредметные связи как средство самообразования студентов в вузе: дисс. . канд. пед. наук. Челябинск, 2010. 208 с.

[6] Денисов А.М. Введение в теорию обратных задач: учебное пособие. М.: Изд-во МГУ им. М.В. Ломоносова, 1994. 207 с.

[7] Кабанихин С.И. Проекционно-разностные методы определения коэффициентов гиперболических уравнений: монография. Новосибирск: Наука, Сибирское отделение, 1988. 166 с.

[8] Кабанихин С.И. Обратные и некорректные задачи: учебник для студентов вузов. Новосибирск: Сибирское научное издательство, 2009. 458 с.

[9] Кабанихин С.И., Бидайбеков Е.Ы., Корнилов В.С., Шолпанбаев Б.Б., Акимжан Н.Ш. Корректные и некорректные задачи для СЛАУ: анализ и методика преподавания // Сибирские электронные математические известия (http://semr.math.ns.ru. ISSN 1813-3304. УДК 519.62. MSC 65M32). 2015. Том 12. С. 255-263.

[10] Корнилов В.С. Некоторые обратные задачи для волновых уравнений: монография. Новосибирск: СибУПК, 2000. 252 с.

[11] Корнилов В.С. Некоторые обратные задачи идентификации параметров математических моделей: учебное пособие. М.: МГПУ, 2005. 359 с.

[12] Корнилов В.С. Обучение обратным задачам для дифференциальных уравнений как фактор гуманитаризации математического образования: монография. М.: МГПУ, 2006. 320 с.

[13] Корнилов В.С. Гуманитарные аспекты вузовской системы прикладной математической подготовки // Наука и школа. 2007. № 5. С. 23-28.

[14] Корнилов В.С. Лабораторные занятия как форма организации обучения студентов фрактальным множествам // Вестник Московского городского педагогического университета. Серия «Информатика и информатизация образования». 2012. № 1 (23). С. 60-63.

[15] Корнилов В.С. Обратные задачи в учебных дисциплинах прикладной математики // Вестник Московского городского педагогического университета. Серия «Информатика и информатизация образования». 2014. № 1(27). С. 60-68.

[16] Корнилов В.С. Обучение студентов обратным задачам для дифференциальных уравнений как фактор формирования компетентности в области прикладной математики // Вестник Российского университета дружбы народов. Серия «Информатизация образования». 2015. № 1. С. 63-72.

[17] Корнилов В.С. Обучение студентов обратным задачам математической физики как фактор формирования фундаментальных знаний по функциональному анализу // Вестник Казахского национального педагогического университета имени Абая. Серия «Физико-математические науки». Алматы, 2015. № 3 (51). С. 71-75.

[18] Корнилов В.С. Обучение студентов обратным задачам математической физики как фактор формирования фундаментальных знаний по интегральным уравнениям // Бюллетень лаборатории математического, естественнонаучного образования и информатизации. Рецензируемый сборник научных трудов. Самара: Самарский филиал МГПУ, 2015. Том VI. С. 251-256.

[19] Корнилов В.С., Абушкин Д.Б. Компьютерные средства в решении задач информатики и прикладной математики при подготовке студентов в педвузе: монография. Воронеж: Научная книга, 2013. 111 с.

[20] КорниловВ.С., Левченко И.В., СвиридовМ.С. Установление межпредметных связей информатики и прикладной математики при обучении будущих учителей информатики // Вестник Московского городского педагогического университета. Серия «Информатика и информатизация образования». 2015. № 2 (32). С. 52-56.

[21] Крахт Л.Н. К вопросу о проблемном обучении и реализации межпредметных связей в техническом вузе // Фундаментальные исследования. 2005. № 9. С. 62-63.

[22] Романов В.Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений: спецкурс для студентов НГУ. Новосибирск: НГУ, 1973. 252 с.

[23] Романов В.Г. Обратные задачи математической физики: монография. М.: Наука, 1984. 264 с.

[24] Самарский А.А., Вабишевич П.Н. Численные методы решения обратных задач математической физики. М.: Едиториал УРСС, 2004. 480 с.

BASIC CONCEPTS OF INFORMATICS IN THE CONTENT OF TRAINING INVERSE PROBLEMS FOR DIFFERENTIAL EQUATIONS

Chair of informatization of education Moscow city pedagogical university Sheremetyevskaya str., 29, Moscow, Russia, 127521

In article the attention to identification of intersubject communications of applied mathematics and informatics when training students ofhigher educational institutions of the physical and mathematical and natural-science directions of preparation to the return tasks for the differential equations is paid. At such training at students creative abilities develop, are formed not only scientific outlook and fundamental knowledge in the field of the theory and practice of the return tasks, but also system of knowledge of basic concepts of informatics, as scientific discipline.

Key words: training in the inverse problems for the differential equations, applied mathematics, informatics, interdisciplinary communications, pedagogical technologies, the student

[1] Alonceva E.A., Gilev A.A. Mezhpredmetnye svjazi estestvennonauchnyh i obshhetehnicheskih disciplin [Intersubject communications of natural-science and all-technical disciplines]. Vestnik Samarskogo gosudarstvennogo tehnicheskogo universiteta. Serija «Psihologo-pedagogicheskie nauki» [Bulletin of the Samara state technical university. Psychology and Pedagogical Sciences series]. 2011. No 1. pp. 9-13.

[2] Bidajbekov E.Y., Kornilov V.S., Kamalova G.B. Obuchenie budushhih uchitelej matematiki i informatiki obratnym zadacham dlja differencial’nyh uravnenij [Training of future mathematics teachers and informatics to the return tasks for the differential equations]. Vestnik Moskovskogo gorodskogo pedagogicheskogo universiteta. Serija «Informatika i informatizacija obrazovanija» [Bulletin of the Moscow city pedagogical university. «Informatics and Informatization of Education» series]. 2014. No 3 (29). pp. 57-69.

[3] Bidajbekov E.Y., Kornilov V.S., Kamalova G.B., Akimzhan N.Sh. Primenenie komp’juternyh tehnologij pri obuchenii studentov vuzov obratnym zadacham dlja obyknovennyh differencial’nyh uravnenij [Application of computer technologies when training students of higher education institutions in the return tasks for the ordinary differential equations]. Vestnik Rossijskogo universiteta druzhby narodov. Serija «Informatizacija obrazovanija» [Bulletin of the Russian university of friendship of the people. Education Informatization series]. 2015. № 2. pp. 57-72.

[4] Blehman I.M., Myshkis A.D., Panovko Ja.G. Prikladnaja matematika: Predmet, logika, osobennosti podhodov [Applied mathematics: Subject, logic, features of approaches]. M.: KomKniga, 2005. 376 p.

[5] GluhovaE.A. Mezhpredmetnye svjazi kak sredstvo samoobrazovanija studentov v vuze [Intersubject communications as means of self-education of students in higher education institution]: diss. . kand. ped. nauk. Cheljabinsk, 2010. 208 p.

[6] Denisov A.M. Vvedenie v teoriju obratnyh zadach: uchebnoe posobie [Introduction to the theory of the return tasks: manual]. M.: Izd-vo MGU im. M.V Lomonosova, 1994. 207 p.

[7] Kabanihin S.I. Proekcionno-raznostnye metody opredelenija kojefficientov giperbolicheskih uravnenij [Projective and differential methods of determination of coefficients of the hyperbolic equations: monograph]: monografija. Novosibirsk: Nauka, Sibirskoe otdelenie, 1988. 166 p.

[8] Kabanihin S.I. Obratnye i nekorrektnye zadachi [Inverse and incorrect problems]: uchebnik dlja studentov vuzov. Novosibirsk: Sibirskoe nauchnoe izdatel’stvo, 2009. 458 p.

[9] Kabanihin S.I., Bidajbekov E.Y., Kornilov V.S., Sholpanbaev B.B., Akimzhan N.Sh. Korrektnye i nekorrektnye zadachi dlja SLAU: analiz i metodika prepodavanija [Well and ILL-posed problems for systems of linear algebraic equations: analysis and methods of teaching]. Sibirskie jelektronnye matematicheskie izvestija [Siberian Electronic Mathematical Reports] (http://semr.math.ns.ru. ISSN 1813-3304. UDK 519.62. MSC 65M32). 2015. T. 12. pp. 255-263.

[10] Kornilov V.S. Nekotorye obratnye zadachi dlja volnovyh uravnenij [Some return tasks for the wave equations]: monografija. Novosibirsk: SibUPK, 2000. 252 p.

[11] Kornilov V.S. Nekotorye obratnye zadachi identifikacii parametrov matematicheskih modelej [Some return problems of identification of parameters of mathematical models]: uchebnoe posobie. M.: MGPU, 2005. 359 p.

[12] Kornilov V.S. Obuchenie obratnym zadacham dlja differencial’nyh uravnenij kak faktor gumanitarizacii matematicheskogo obrazovanija [Training in the return tasks for the differential equations as a factor of humanitarization of mathematical education]: monografija. M.: MGPU, 2006. 320 p.

[13] Kornilov V.S. Gumanitarnye aspekty vuzovskoj sistemy prikladnoj matematicheskoj podgotovki [Humanitarian aspects of high school system of applied mathematical preparation]. Nauka i shkola [Science and school]. 2007. No 5. pp. 23-28.

[14] Kornilov V.S. Laboratornye zanjatija kak forma organizacii obuchenija studentov fraktal’nym mnozhestvam [Laboratory researches as form of the organization of training of students in fractal sets]. Vestnik Moskovskogo gorodskogo pedagogicheskogo universiteta. Serija «Informatika i informatizacija obrazovanija» [Bulletin of the Moscow city pedagogical university. «Informatics and Informatization of Education»series]. 2012. No 1 (23). pp. 60-63.

[15] Kornilov V.S. Obratnye zadachi v uchebnyh disciplinah prikladnoj matematiki [The return tasks in subject matters of applied mathematics]. Vestnik Moskovskogo gorodskogo pedagogicheskogo universiteta. Serija «Informatika i informatizacija obrazovanija» [Bulletin of the Moscow city pedagogical university. «Informatics and Informatization of Education» series]. 2014. No 1(27). pp. 60-68.

[16] Kornilov V.S. Obuchenie studentov obratnym zadacham dlja differencial’nyh uravnenij kak faktor formirovanija kompetentnosti v oblasti prikladnoj matematiki [Training of students in the return tasks for the differential equations as a factor of formation of competence of area of applied mathematics]. Vestnik Rossijskogo universiteta druzhby narodov. Serija «Informatizacija obrazovanija» [Bulletin of the Russian university offriendship of the people. Education Informatization series]. 2015. No 1. pp. 63-72.

[17] Kornilov V.S. Obuchenie studentov obratnym zadacham matematicheskoj fiziki kak faktor formirovanija fundamental’nyh znanij po funkcional’nomu analizu [Training of students in the return problems of mathematical physics as factor of formation of fundamental knowledge of the functional analysis]. VestnikKazahskogo nacional’nogopedagogicheskogo universiteta imeniAbaja. Serija «Fiziko-matematicheskie nauki» [Bulletin of the Kazakh national pedagogical university of a name of Abay. Physical and Mathematical Sciences series]. Almaty, 2015. No 3 (51). pp. 71-75.

[18] Kornilov V.S. Obuchenie studentov obratnym zadacham matematicheskoj fiziki kak faktor formirovanija fundamental’nyh znanij po integral’nym uravnenijam [Training of students in the return problems of mathematical physics as factor of formation of fundamental knowledge of the integrated equations]. Bjulleten’laboratoriimatematicheskogo, estestvennonauchnogoobrazovanija i informatizacii. Recenziruemyj sbornik nauchnyh trudov [Bulletin of laboratory of mathematical, natural-science education and informatization. The reviewed collection of scientific work]. Samara: Samarskij filial MGPU, 2015. T. VI. pp. 251-256.

[19] Kornilov V.S., Abushkin D.B. Komp’juternye sredstva v reshenii zadach informatiki i prikladnoj matematiki pri podgotovke studentov v pedvuze [Computer means in the solution of problems of informatics and applied mathematics when training students in teacher training University]: monografija. Voronezh: Nauchnaja kniga, 2013. 111 p.

[20] Kornilov V.S., Levchenko I.V., SviridovM.S. Ustanovlenie mezhpredmetnyh svjazej informatiki i prikladnoj matematiki pri obuchenii budushhih uchitelej informatiki [Establishment of intersubject communications ofinformatics and applied mathematics when training future teachers

of informatics], Vestnik Moskovskogo gorodskogo pedagogicheskogo universiteta. Serija «Informatika i informatizacija obrazovanija» [Bulletin of the Moscow city pedagogical university. «Informatics and Informatization of Education» series], 2015. No 2 (32). pp. 52—56.

[21] KrahtL.N. K voprosu o problemnom obuchenii i realizacii mezhpredmetnyh svjazej v tehnicheskom vuze [To a question of problem training and realization of intersubject communications in technical college]. Fundamental’nye issledovanija [Basic researches]. 2005. No 9. pp. 62—63.

[22] Romanov V.G. Obratnye zadachi dlja differencial’nyh uravnenij [Inverse problems for the differential equations: a special course for students of NSU]: speckurs dlja studentov NGU. Novosibirsk: NGU, 1973. 252 p.

[23] Romanov V.G. Obratnye zadachi matematicheskoj fiziki [Inverse problems of mathematical physics]: monografija. M.: Nauka, 1984. 264 p.

[24] SamarskijA.A., Vabishevich P.N. Chislennye metody reshenija obratnyh zadach matematicheskoj fiziki [Numerical methods of the solution of the inverse problems of mathematical physics]. M.: Editorial URSS, 2004. 480 p.

Что такое v в информатике

Кафедра организована в 2016-ом году путем объединения двух одноименных кафедр – кафедры прикладной математики и информатики Вятского государственного университета и кафедры прикладной математики и информатики Вятского государственного гуманитарного университета.

На кафедре реализуются следующие образовательные программы:

бакалавриат:

01.03.02 «Прикладная математика и информатика», направленность программы (профили):
01.03.02.01 «Математическое моделирование и вычислительная математика»
01.03.02.02 «Системное программирование и компьютерные технологии»

02.03.02 «Фундаментальная информатика и информационные технологии»

магистратура:

01.04.02 «Прикладная математика и информатика», направленность программы:
«Технологии параллельного программирования и высокопроизводительные вычисления»

аспирантура

02.06.01 «Компьютерные и информационные науки»
специальность 05.03.17 «Теоретические основы информатики»;
09.06.01 «Информатика и вычислительная техника»
специальность 05.13.17 «Теоретические основы информатики»
10.06.01 «Информационная безопасность»
специальность 05.13.19 «Методы и системы защиты информации, информационная безопасность»

В состав кафедры входят две научно-исследовательские лаборатории

лаборатория интеллектуальных систем;
лаборатория математического моделирования.

Тематика научных исследований, проводимых на кафедре:

интеллектуальный анализ текстовой информации;
интеллектуально-ориентированный процесс обучения информатике и прикладной математике;
преобразования Донахью;
математическое моделирование воздействия на конструкционные материалы концентрированных источников энергии;
высокопроизводительные высокоточные вычисления;
разработка свободного программного обеспечения;
надежность сложных технических систем, контроль качества и оценка рисков.

Что такое v в информатике

1. Скорость передачи информации и пропускная способность канала связи

Формализованная дискретность в математике как основа обучения информатике Текст научной статьи по специальности «Философия, этика, религиоведение»

Аннотация научной статьи по философии, этике, религиоведению, автор научной работы — Косовский Николай Кириллович

Похожие темы научных работ по философии, этике, религиоведению , автор научной работы — Косовский Николай Кириллович

Текст научной работы на тему «Формализованная дискретность в математике как основа обучения информатике»

Базовые понятия информатики в содержании обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Корнилов В.С.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Корнилов В.С.

BASIC CONCEPTS OF INFORMATICS IN THE CONTENT OF TRAINING INVERSE PROBLEMS FOR DIFFERENTIAL EQUATIONS

Текст научной работы на тему «Базовые понятия информатики в содержании обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений»

Что такое v в информатике

Добавить комментарий Отменить ответ