Вы отправили слишком много запросов, поэтому ваш компьютер был заблокирован.
Для того, чтобы предотвратить автоматическое считывание информации с нашего сервиса, на Linguee допустимо лишь ограниченное количество запросов на каждого пользователя.
Пользователям, браузер которых поддерживает Javascript, доступно большее количество запросов, в отличие от пользователей, чей браузер не поддерживает Javascript. Попробуйте активировать Javascript в настройках вашего браузера, подождать несколько часов и снова воспользоваться нашим сервером.
Если же ваш компьютер является частью сети компьютеров, в которой большое количество пользователей одновременно пользуется Linguee,сообщитеоб этом нам.
Перевод «down arrow» на русский
Just tap the download icon (the one that looks like a down arrow) to save a webpage in Chrome for Android.
Просто нажмите значок загрузки (тот, который выглядит как стрелка вниз), чтобы сохранить веб-страницу в Chrome для Android.
Select the down arrow on the country you want to connect in and then choose the server.
Нажмите на стрелку вниз возле страны, к к серверу которой вы хотите подключиться, а затем выберите сервер.
After highlighting a group name, you can click the down arrow to view included counters.
Выделив имя группы, можно нажать стрелку вниз, чтобы отобразить счетчики, входящие в эту группу.
Press down arrow key to avoid collisions.
Нажмите клавишу со стрелкой вниз, чтобы избежать столкновения.
Use the down arrow key to scroll through the other files and directories.
Для прокрутки других файлов и каталогов используйте клавишу со стрелкой вниз.
To get more information about particular devices, click the down arrow at the end of the line.
Чтобы получить больше информации о конкретных устройствах, нажмите стрелку вниз в конце строки.
Expand the group by clicking the down arrow, highlight the counter, and click Add.
Нажмите стрелку вниз, чтобы развернуть группу, выделите необходимый счетчик и нажмите кнопку Добавить.
All you do is push the play button, and then hit the down arrow everytime a subtitle should appear.
Все, что вам нужно сделать, это нажать на кнопку play и потом нажимать на стрелку вниз каждый раз как субтитры должны появляться.
Lower down arrow to the south — there is the largest lake in the world, it is called as a sea for its size.
Опустите стрелку вниз, на юг, — там самое большое озеро в мире, за размеры его еще морем зовут.
If you’re wondering if you logged out of your friend’s PC, you can click a small down arrow in the upper right corner of the screen.
Если вам интересно, вышли вы со своего аккаунта с компьютера друга, можете нажать на маленькую стрелку вниз в правом верхнем углу экрана.
Click the down arrow and choose your post from the drop-down menu of your Facebook page posts.
Нажмите стрелку вниз и выберите свой пост в раскрывающемся меню ваших сообщений на странице Facebook.
Above using the down arrow to change the direction of flight and a hero SPACE key to fire the monster.
Над использованием стрелку вниз, чтобы изменить направление полета и ключевых героев пробел, чтобы стрелять монстра.
Click the down arrow on the Aggregation Type list, and click the value you want for this report.
Нажмите кнопку со стрелкой вниз в списке Тип объединения и выберите нужное значение для данного отчета.
Choose a command (down arrow, then Enter).
Выберите команду (стрелка ВНИЗ, затем ВВОД).
On the iPad version, you tap a down arrow at the top left of the screen to see the list of notebooks.
На iPad вы можете нажать стрелку вниз в левом верхнем углу экрана, чтобы увидеть список записных книжек.
If you see something you don’t like in your home feed, click on the down arrow to the right and choose «Hide. «.
Если вы видите что-то, что вам не нравится в вашей домашней ленте, нажмите на стрелку вниз справа и выберите «Скрыть. ».
Click the down arrow button next to Advanced search options.
Щелкните на кнопку со стрелкой вниз следом за Advanced search options.
Step 2: Click the down arrow beside the format type — in this case, MOV.
Шаг 2: Нажмите стрелку вниз рядом с типом формата — в этом случае MOV.
Now open any message in Gmail and click on the down arrow that says «Show details».
Теперь вы можете открыть каждое сообщение в Gmail нажимая на стрелку вниз «Показать детали».
Возможно неприемлемое содержание
Примеры предназначены только для помощи в переводе искомых слов и выражений в различных контекстах. Мы не выбираем и не утверждаем примеры, и они могут содержать неприемлемые слова или идеи. Пожалуйста, сообщайте нам о примерах, которые, на Ваш взгляд, необходимо исправить или удалить. Грубые или разговорные переводы обычно отмечены красным или оранжевым цветом.
Зарегистрируйтесь, чтобы увидеть больше примеров. Это просто и бесплатно
Ничего не найдено для этого значения.
Предложить пример
Больше примеров Предложить пример
Предложения, которые содержат down arrow
Новое: Reverso для Mac
Переводите текст из любого приложения одним щелчком мыши .
Скачать бесплатно
Перевод голосом, функции оффлайн, синонимы, спряжение, обучающие игры
Результатов: 145 . Точных совпадений: 145 . Затраченное время: 97 мс
Помогаем миллионам людей и компаний общаться более эффективно на всех языках.
Как называются клавиши со стрелками на клавиатуре? вверх-вниз-вправо-влево
как они реально правильно называются
Сидим настраиваем управление в одной игрушке.
Куча всяких кнопок с клавы можно настроить ( задать)
А вот стрелок нет.
Может словами они как-то обозначаются?
подскажите пожалуйста
Лучший ответ
left right up down
Leo StrongУченик (6) 8 лет назад
Спасибо! помагло
Остальные ответы
adxadw вфвфцвфвУченик (121) 3 года назад
Ахуенный ответ бро
Маша МонэтрЗнаток (397) 2 года назад
ахуеть спасибо папаша блть
клавиши навигации.
Они также называются клавишами управления курсором, поскольку управляют перемещением курсора по экрану.
cursor control keys — клавиши управления курсором
https://ru.wikipedia.org/wiki/Компьютерная_клавиатура
W вперёд, D вправо, A влево, S назад.
Жалко, но я не успел.
Дибилы, как эти стрелки называются.
Стрелки:
1. leftarrow — Стрелка влево
2. rightarrow — Стрелка вправо
3. uparrow — Стрелка вверх
4. downarrow — Стрелка вниз
leftarrow — Стрелка влево
rightarrow — Стрелка вправо
uparrow — Стрелка вверх
downarrow — Стрелка вниз
Похожие вопросы
Ваш браузер устарел
Мы постоянно добавляем новый функционал в основной интерфейс проекта. К сожалению, старые браузеры не в состоянии качественно работать с современными программными продуктами. Для корректной работы используйте последние версии браузеров Chrome, Mozilla Firefox, Opera, Microsoft Edge или установите браузер Atom.
Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2022, T. 505, № 1, стр. 5-10
Рассматривается обобщение понятия спектра консервативности арифметической теории на язык с трансфинитно итерированными определениями истинности. Установлено естественное соответствие между спектрами консервативности и точками специальной модели Крипке, введенной Д. Фернандесом–Дуке и Й. Йоостеном. Для итерированных схем рефлексии над теориями определений истинности установлены результаты о консервативности, аналогичные хорошо известным формулам Шмерля.
Ключевые слова: схема рефлексии, предикат истинности, консервативность
1. ВВЕДЕНИЕ
Данная статья продолжает работу [1], в которой методы логики доказуемости и алгебр рефлексии применены к исследованию теорий предикативной силы. В частности, понятие спектра консервативности арифметической теории обобщается на языки, в которых определимы множества гиперарифметической иерархии и соответствующие определения истинности. Говоря неформально, спектр консервативности теории $S$ есть трансфинитная последовательность ординалов $\beta = >>>_>(S)$ , где β – максимальный ординал, для которого β-кратная итерация схемы рефлексии для формул класса $<<\Pi >_>>$ над некоторой фиксированной теорией содержится в $S$ . Таким образом, спектр консервативности теории $S$ несет информацию о силе теории $S$ в смысле доказуемости в ней формул каждого класса логической сложности $<<\Pi >_>>$ .
Спектры консервативности, соответствующие уровням арифметической иерархии 1 1 , были введены Й. Йоостеном [8] под названием разложения Тьюринга–Тейлора арифметических теорий. Он установил каноническое взаимно-однозначное соответствие между $\omega $ -спектрами консервативности и точками так называемого фрейма Игнатьева. Позже было показано [4], что фрейм Игнатьева может также рассматриваться как естественная алгебраическая модель исчисления рефлексий RC, расширенного операторами консервативности. Фрейм Игнатьева (в первоначальном его варианте) был введен в работе [7] как универсальная модель Крипке для замкнутого фрагмента логики доказуемости Джапаридзе GLP.
В данной работе мы распространяем результаты [8] на определенное в работе [1] понятие $\lambda $ ‑спектра консервативности для любых конструктивных ординалов $\lambda $ , относящееся к существенно более широкому классу теорий. Д. Фернандес–Дуке и Й. Йоостен [6] ввели расширение фрейма Игнатьева для языка с трансфинитным числом модальностей. Основная теорема нашей работы показывает, что элементы этого фрейма, называемые в работе [6] $\ell $ -последовательностями, совпадают с $\lambda $ -спектрами консервативности. В силу результатов [6] $\ell $ -последовательности имеют простую характеризацию в терминах ординальных функций, связанных с иерархией Веблена. Таким образом, наш результат дает явный ответ на вопрос о том, какие последовательности ординалов реализуются как $\lambda $ -спектры консервативности, и подтверждает гипотезу из работы [1].
Данная работа опирается на большой подготовительный материал, обозначения и результаты из работы [1]. Поэтому мы предполагаем знакомство читателя с указанной работой.
2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Здесь мы коротко суммируем основные понятия и результаты, относящиеся к теориям итерированных предикатов истинности и подходу, развитому в работе [1].
2.1. Итерированные предикаты истинности
Пусть $<<\mathcal
$<<\mathcal
U1: $\forall \vec \left( <\varphi (\vec ) \leftrightarrow >>_>( \ulcorner \varphi (\underline <\vec > ) \urcorner )> \right)$ для всех $<<\mathcal
U2: $\neg >>_>(\underline n )$ , для всех n таких, что n не есть гёделев номер никакого $<<\mathcal
Здесь $\underline n $ означает нумерал для натурального числа n и $ \ulcorner \varphi (\underline > ) \urcorner $ – элементарно определимый терм, представляющий функцию, сопоставляющую набору $\vec = <_>, \ldots ,<_>$ гёделев номер предложения $\varphi (<<\underline n >_>$ , . $<<\underline n >_>)$ . Также мы положим $>>>_>>\,: = \,\bigcup\limits_ <>>>_>> $ .
2.2. Гиперарифметическая иерархия формул
Пусть $\mathcal$ – язык, расширяющий $<<\mathcal>_>$ новыми предикатными символами. $\Delta _^<\mathcal>$ означает класс всех формул, получаемых из атомарных $\mathcal$ -формул с помощью булевых связок и ограниченных кванторов. Классы $\Pi _^<\mathcal>$ и $\Sigma _^<\mathcal>$ получаются из $\Delta _^<\mathcal>$ обычным образом: $\Pi _^<\mathcal>\, = \,\Sigma _^<\mathcal>\, = \,\Delta _^<\mathcal>$ , $\Pi _>^<\mathcal>\, = \,\< \forall \vec \varphi (\vec ):\varphi \, \in \,\Sigma _^<\mathcal>\> $ , и $\Sigma _>^<\mathcal> = \< \exists \vec \varphi (\vec ):\varphi \in \Pi _^<\mathcal>\> $ .
Поскольку предикат истинности соответствует ω-кратному применению операции скачка в гиперарифметической иерархии, систему ординальных обозначений $(\Lambda , < )$ необходимо расширить на несколько больший сегмент ординалов до $\omega (1 + \Lambda )$ . Например, мы можем закодировать ординалы вида $\omega \alpha + n$ парами $\left\langle \right\rangle $ . Классы формул, соответствующие уровням гиперарифметической иерархии вплоть до $\omega (1 + \Lambda )$ , определены следующим образом:
Заметим, что формулы класса $<<\Pi >_>>$ определяют $<<\Pi >_>(<<<\mathbf<0>>>^<<(\alpha )>>>)$ -множества в стандартной модели.
2.3. Схемы рефлексии
Пусть S – перечислимое расширение теории $> + >>>_>>$ вместе с фиксированной элементарной формулой, определяющей множество гёделевых номеров ее аксиом в стандартной модели арифметики. Через $_>$ обозначаем гёделевскую формулу доказуемости в теории S (как она определена, например, в работе [5]).
Пусть $\Gamma $ – некоторое множество формул языка S. Через $\Gamma >(S)$ мы обозначаем равномерную схему рефлексии для $\Gamma $ -формул, т.е. схему
$\Gamma >(S):\quad \forall x(_>( \ulcorner \varphi (\underline x ) \urcorner ) \to \varphi (x)),\quad \varphi \in \Gamma .$
Мы будем рассматривать следующие схемы рефлексии для введенных выше классов для всех $\alpha < \omega (1 + \Lambda )$ :
$>>_>>(S): = <<\Pi >_>\alpha >>>>>$
Теории, аксиоматизированные трансфинитными итерациями операторов рефлексии вдоль заданной системы ординальных обозначений $(\Omega , \prec )$ , определяются формализацией следующего уравнения на неподвижную точку в S:
(1)
$\forall \beta \in \Omega (>>_^(S) \equiv S + \cup \< >>_>(>>_^<\gamma >(S)):\gamma \prec \beta \> ).$Теории $>>_^(S)$ , удовлетворяющие (1), единственны по модулю доказуемой эквивалентности в S [4]. Аналогично можно определить теории $>>_>^(S)$ с помощью трансфинитной итерации операторов $<<>>>_>>:U \mapsto S + >>_>>(U)$ , действующих на полурешетке перечислимых расширений теории S.
3. ФОРМУЛЫ ШМЕРЛЯ
Один из основных результатов работы [1] – результат о консервативности, соотносящий смешанные схемы рефлексии с трансфинитно итерированными схемами рефлексии сложности $<<\Pi >_>>$ . Мы выведем из этого результата соотношения между иерархиями итерированных схем рефлексии известными как формулы Шмерля. Подобные соотношения впервые возникли в работах Ульфа Шмерля [9, 10] и были впоследствии обобщены в [2].
Для любых ординалов $\alpha \leqslant \beta $ обозначим через $ — \alpha \, + \,\beta $ единственный ординал γ такой, что $\alpha \, + \,\gamma $ = β. Мы будем рассматривать небольшой вариант известной функции Веблена $\varphi $ :
Обозначим через Crα класс всех значений функции $>_>$ . Нетрудно видеть, что $>>>_>>$ есть класс всех неподвижных точек функции $>_>$ и для предельных ординалов $\lambda $ $>>>_<\lambda >> = \bigcup\limits_ <>>>_>> $ . Функции $>_>$ монотонно возрастают и непрерывны, и классы Crα замкнуты и неограниченны. Эти условия однозначно определяют функции $>_>$ как только фиксирована функция $>_>$ . Отметим, что в терминах иерархии “гиперэкспоненциальных функций”, введенной в работе [6], можно выразить $>_>(\beta )$ как $^<<<<\omega >^>>>>(\beta )$ .
Ниже мы будем использовать специальные системы ординальных обозначений $<<\mathbb>^<\Lambda >>$ (и $\mathbb_^<\Lambda >$ ), определяемые на основе исчисления рефлексий $>>>_<\Lambda >>$ (см. [1, раздел 6.2]). Эти системы дают обозначения для ординалов из начального сегмента, содержащего $\Lambda $ и замкнутого относительно ординальных функций + и $>_>$ для всех $\alpha < \Lambda $ . Ординал, соответствующий слову $A \in \mathbb_^<\Lambda >$ , обозначается $_>(A)$ .
Обозначим через $U_>V$ взаимную консервативность теорий U и V относительно $<<\Pi >_>>$ -предложений.
Доказательство. (i) Мы предполагаем $\Lambda $ настолько большим, что $\alpha + <<\omega >^> < \Lambda $ и $\gamma $ имеет обозначение в системе $\mathbb_^>>>^<\Lambda >$ . (Для любых конструктивных ординалов $\alpha ,\beta ,\gamma $ можно всегда выбрать подходящий $\Lambda $ , и мы также можем считать ординал $\Lambda $ аддитивно неразложимым.) Это означает, что существует слово $C \in \mathbb_^>>>^<\Lambda >$ такое, что $_^>>>>(C) = \gamma $ . По теореме 8 работы [1] мы имеем
$C <\kern 1pt>*_^>>>>\overline > _^>>>^<\gamma >.$
Поскольку $C \in \mathbb_^<\Lambda >$ , тот же результат дает
$C <\kern 1pt>*_>\overline > _^_>(C)>>.$
Обозначим через $\nu \uparrow A$ результат замены каждой буквы x в слове A на $\nu + x$ . Аналогично, $\nu \downarrow A$ означает результат замены каждой буквы $x$ в A на $ — \nu + x$ . В силу трансляционной симметриии $>>>_<\Lambda >>$ , которая имеет место для аддитивно неразложимых ординалов $\Lambda $ , эти отображения представляют собой изоморфизмы между системами обозначений $(\mathbb_^<\Lambda >_>)$ и $(\mathbb_^<\Lambda >_>)$ .
Положим $D\,: = \,(\alpha \, + \,<<\omega >^>) \downarrow C\, = \,<<\omega >^> \downarrow (\alpha \downarrow C)$ . Мы имеем
$o(D) = _^>>>>(C) = \gamma .$
$_>(C) = o(\alpha \downarrow C) = o(<<\omega >^> \uparrow D) = >_>(o(D)) = >_>(\gamma ),$
по [3, Lemma 17] (см. также [1, Section 6.2)].
$\overline > _^>>>^<<<<\gamma >_>>>_^>>>>C_^\quad >\quad \overline > _^<<<<\gamma >_>>>_>C_^.$
Вторая эквивалентность дает
$>>>_>(>>_^<<<<\gamma >_>>>) \equiv >>>_>(C_^).$
Поскольку Rα имеет сложность $<<\Pi >_>>$ , первая эквивалентность влечет
$>>_^>>>^<<<<\gamma >_>>> \cup <<>>>_>(>>_^<<<<\gamma >_>>>)_^>>>>(_> \wedge \alpha _>) <\kern 1pt>*.$
$_>(_>\alpha _>) = _>(_>) + 1 + <<\omega >^<<_>>(_>)>>> = <<\gamma >_> + 1 + >_>(<<\gamma >_>).$
Тогда по [1, теорема 8] мы получаем
$(_> \wedge \alpha _>) <\kern 1pt>*_>>>_^<<<<\gamma >_> + 1 + >>_>(<<\gamma >_>)>>,$
что и требовалось. $ \dashv $
Заметим, что формула (ii) может быть также выведена из формулы (i) с помощью рефлексивной индукции как в [4, лемма 7.3].
4. СПЕКТРЫ КОНСЕРВАТИВНОСТИ
Как и ранее, мы рассматриваем ординалы, представимые в системе обозначений $<<\mathbb
$>>>_>(S): = \sup \< \gamma \in <<\mathbb
Очевидно, последовательность $>>>_>(S)$ является невозрастающей по $\alpha $ . Следующая теорема дает более сильное необходимое условие того, чтобы данная $\lambda $ -последовательность ординалов представляла спектр консервативности некоторой теории S. Нам понадобится известная функция ординального логарифма $\ell $ , определяемая условиями: $\ell (0) = 0$ и $\ell (\alpha + <<\omega >^>) = \beta $ для любых ординалов $\alpha $ и $\beta $ . Заметим, что в силу теоремы о канторовской нормальной форме эти условия однозначно определяют значение $\ell (\alpha )$ для любого $\alpha $ .
Теорема 4.1. Пусть f – спектр консервативности теории S длины $\lambda $ . Тогда для любых α, β таких, что $\alpha + <<\omega >^> < \lambda $ ,
(i) $\ell (f(\alpha )) \geqslant f(\alpha + 1)$ ;
Доказательство. (i) Обозначим γ := := $f(\alpha + 1)$ и допустим, от противного, что $\gamma > \ell f(\alpha )$ . В этом случае $f(\alpha ) \geqslant f(\alpha + 1) = \gamma > 0$ и мы можем представить $f(\alpha )$ в виде $_> + <<\omega >^>>$ для некоторого α0.
По определению спектра
$S \vdash >>_>^ <\gamma >\cup >>_^<<<_> + 1>>.$
По определению спектра
$S \vdash >>_^>>>^ <\gamma >\cup >>_^<<<_> + 1>>.$
Д. Фернандес-Дуке и Й. Йоостен [6, предложение 5.2] определяют понятие $\ell $ -последовательности как ординальной последовательности длины $\lambda $ такой, что для всех $\xi < \zeta < \lambda $
$\ell f(\xi ) \geqslant \ell ^<<<<\omega >^>>>>>f(\zeta ).$
Напомним, что функция e такова, что $^<<<<\omega >^>>>>(\beta )$ = = $>_>(\beta )$ . Поэтому их условие эквивалентно требованию $\ell f(\xi ) \geqslant f(\zeta )$ , если $\zeta = \xi + 1$ , и
$\ell f(\xi ) \geqslant >_>(f(\zeta )),$
если $\zeta = \xi + <<\omega >^>$ для некоторого $\beta > 0$ . (Если $\beta > 0$ , то $>_>(f(\zeta ))$ есть неподвижная точка $\ell $ , поэтому применение $\ell $ перед $\bar $ может быть опущено.) Отсюда следует, что необходимое условие в теореме 4.1 эквивалентно тому, что f является $\ell $ -последовательностью.
Следствие 4.2. $\lambda $ -спектр консервативности любой теории S является $\ell $ -последовательностью.
Для доказательства того, что всякая $\ell $ -последовательность является спектром консервативности некоторой теории, отметим несколько свойств $\ell $ -последовательностей.
Доказательство. Если $\alpha = _> + 1$ для некоторого α0, то $<<\gamma >_> = f(_>)$ , $l(<<\gamma >_>) \geqslant <<\gamma >_>$ и требуется показать
$\overline > __> + 1>>^<<<<\gamma >_>>> \cup \overline > __>>>^<<<<\gamma >_>>>__>>>>\overline > __>>>^<<<<\gamma >_>>>.$
Мы также можем считать $<<\gamma >_>\, > \,0$ (в противном случае утверждение тривиально), отсюда $<<\gamma >_>\, \in \,>$ .
Рассмотрим любой ординал-последователь δ < $<<\gamma >_>$ . По формуле Шмерля
$\overline > __> + 1>>^<<<<\gamma >_>>> \cup \overline > __>>>^__>>>>\overline > __>>>^^<<<<\gamma >_>>>>>>.$
Рассмотрим любой ординал-последователь $\delta < <<\gamma >_>$ . По формуле Шмерля
$\overline > _^<<<<\gamma >_>>> \cup \overline > _ ‘>>^_ ‘>>>\overline > _ ‘>>^>>_>(<<\gamma >_>)>>.$
Поскольку $\ell <<\gamma >_> \geqslant >_>(<<\gamma >_>)$ , имеем $\delta + >_>(<<\gamma >_>) \leqslant <<\gamma >_>$ . Так как это верно для всех достаточно больших ординалов $\alpha <\kern 1pt>‘ < \alpha $ и $\delta < <<\gamma >_>$ , получаем требуемое утверждение.
Теорема 4.4. Любая $\ell $ -последовательность длины $\lambda $ есть спектр консервативности некоторой теории S.
Доказательство. Заметим, что любая $\ell $ -последовательнрость f не возрастает и поэтому принимает не более конечного числа различных значений, скажем $<<\gamma >_>,<<\gamma >_>, \ldots ,<<\gamma >_>$ в порядке убывания. Положим
$_> = \min \< \alpha :f(\alpha ) = <<\gamma >_>>\> .$
Тогда значение f есть константа $<<\gamma >_>>$ на каждом интервале $[_>,_>>)$ , где $_> = 0$ и $_>: = \lambda $ . Положим
$_>: = >>__>>>^<<<<\gamma >_>>> \cup >>__>>>>^<<<<\gamma >_>>>> \cup \cdots \cup >>__>>>^<<<<\gamma >_>>>.$
Мы утверждаем, что спектр консервативности теории Sn совпадает с f. Для доказательства нам понадобятся две дополнительные леммы.
Доказательство. Мы можем представить $_>$ в виде $_>\,: = \,\alpha \, + \,<<\omega >^_>>>>\, + \, \cdots \, + \,<<\omega >^_>>>>$ . Положим $>_>$ := := $\alpha + <<\omega >^_>>>> + \cdots + <<\omega >^_>>>>$ , где $>_>: = \alpha $ . Поскольку f есть $\ell $ -последовательность и $f(>_>) = <<\gamma >_>$ , мы имеем $<<\gamma >_> \geqslant \ell (<<\gamma >_>) \geqslant >__>>>>(<<\gamma >_>)$ . Следовательно, $<<\gamma >_>$ есть неподвижная точка функции $__>>>>$ для каждого j. Тогда индукцией по $j = k, \ldots ,0$ из теоремы 3.1 (i) мы получаем
$>>__>>>^<<<<\gamma >_>>>_>>_>>>>>>_>>_>>>^<<<<\gamma >_>>>.$
Утверждение леммы получается для $j = 0$ . $ \dashv $
Доказательство. Во-первых, по лемме 4.5,
$>>__>>>>^<<<<\gamma >_>>>>__>>>>>>>__>>>>^<<<<\gamma >_>>>>__>>>>>>__>>>^<<<<\gamma >_>>>>.$
Поскольку Si есть множество формул сложности $<<\Pi >__>>>>$ , отсюда следует, что
Поскольку $_>>$ имеет сложность $<<\Pi >__>>>>>$ , по лемме 4.3 получаем
$_>> \cup >>__>>>^<<<<\gamma >_>>> \cup >>__>>>^<<<<\gamma >_>>>>__>>>>_>> \cup >>__>>>^<<<<\gamma >_>>> \equiv _>.$
Теперь индукцией по $i = 0, \ldots ,n$ мы покажем, что $_>$ -спектр консервативности теории $_>$ совпадает с $>f|_>$ . Теорема 4.4 получается отсюда при $i = n$ . Для $i = 0$ утверждение тривиально.
Допустим, что утверждение имеет место для i и докажем его для i + 1. По лемме 4.6 $>>>_>(_>>)$ = ordα(Si) для всех $\alpha < <_>$ . Поэтому мы можем считать, что $<_> \leqslant \alpha < <_>>$ . В этом случае, поскольку сложность теории $_>$ есть $<<\Pi >_<< < <_>>>>$ и $_>$ корректна,