Как заменить деление на умножение?
Я знаю, что для этого можно просто умножить делимое на обратную дробь, созданную из самого примера на деление. Предположим, что мы хотим 25 разделить на 5. 25 * 5/25 даст нужный результ в виде простой дроби.
Но так как мне нужна десятичная дробь, то придется делить простую дробь, чтобы ее получить. Замкнутый круг. А я хочу как раз избежать операции деления. Существует ли достаточно простой и универсальный способ перевода простой дроби в десятичную без деления?
Или как вариант, какой может быть другой, достаточно простой и универсальный способ замены деления на умножение?
задан 28 Окт ’12 19:21
мы хотим 25 разделить на 5. 25 * 5/25
Эээ, тут два вопроса, что такое 5. 25 и эта звездочка?
(15 Мар ’23 2:26) mihailm
6 ответов
А зачем делить на 5/25? В данном случае это верно, но не всегда. Например, чтобы поделить 36 на 4, надо умножить 36 на 1/4 =9/36, а не на 4/36.
Чтобы поделить на 5, надо умножить на 1/5 = 0,2.
Поставьте задачу точнее: что делать, если деление не заканчивается за конечное число шагов? Взять приближенное значение (с какой точностью?) Найти период дроби?
Если Вы делите только на степени двойки и пятерки (чтобы деление закончилось), можно воспользоваться тем, что 1/2 = 0,5 и 1/5 = 0,2, т.е. заменить деление на 5 умножением на 2 с последующим передвижением десятичной запятой. Правда, последнее действие по сути тоже деление, но без него не обойтись.
отвечен 28 Окт ’12 22:15
Уточняю: найти относительно простой и универсальный способ выполнить деление без самого деления. Считайте, что деление теперь является тяжким преступлением, которое карается расстрелом.
(28 Окт ’12 22:24) german398
Вы не поняли. Что и на что делится? С какой точностью? Например, только числа в пределах от 1 до 10000. Или любые числа. Приближенно? Или точно? В последнем случае нужно найти период дроби?
Что считать результатом деления 5/3? 1,66666. или 1,7 или 1,67, или 1,667, . или 1,(6) ?
Если бы такой способ знали, его бы изучали в школе.
Если эта задача программистская, то все целые числа ограничены какой-то константой, а все дроби — какой-то точностью.
(28 Окт ’12 22:29) DocentI
Можно привести к знаменателю 10, 100, 1000. А затем написать как десятичную
отвечен 15 Июн ’15 13:41
Если деление запрещено, то ответ можно найти методом подбора: 100 / 5 = ? Какое число нужно умножить на 5, что бы получилось 100? Методом подбора получаем 20. Можно воспользоваться «словарём» — заранее иметь словарь значений от деления единицы на разные числа, которые могут потребоваться, и затем умножать второе число на значение из словаря. Например, для 1/5 имеем без деления заранее известный (может быть методом подбора) ответ: 0.2 Тогда заменяем 100/5 = 100*0.2 = 20 Ну и, наконец, можно в некоторых случаях, выйти из положения с помощью хитрых правил. Например, деление на 10 не обязательно вычислять, нужно просто передвигать «запятую», разделяющую целую и дробную часть. При этом если в пустую дробь попадает 0, то её не записываем, так, 2230/10 = 223 без выполнения операции деления. Аналогично можно поступить с другими случаями: что бы 2230 разделить на 2, нужно сначала перевести это число в двоичную систему счисления, а затем перенести запятую и вернуть обратно в десятичную. Для данного случая 2230(10) = 100010110110(2) / 2(10) = 10001011011(2) = 1115(10). Ответ получен без операции деления — только перемещением запятой в нужной системе счисления.
отвечен 1 Дек ’16 10:47
Чтобы перевести число в двоичную (десятичную, …) систему счисления, нужно поделить его на два (десять, …). Причём не однажды. Я думаю, что исходная задача всё-таки нереалистична. Что значит: за деление — расстрел? Надо дойти с жалобой до ЕСПЧ! Наверняка была какая-то осмысленная задача, которая привела к этой бессмысленной формулировке…
(1 Дек ’16 11:35) abracadabra2
Читайте мою статью «Вместо деления умножение» в интернете
отвечен 29 Янв ’19 20:24
Сам искал ответ на этот вопрос. Умножение — это последовательное сложение. Например 3*4 это 3+3+3+3. То есть технически умножение легко реализуется циклом с постоянным прибавлением одного и того же числа. Нам известно число 3 и сколько итераций мы должны выполнить — 4.
Получается деление — это обратный процесс, который решается через вычитание. Чем мы в школе и занимались, решая в столбик. Сколько раз можно вычесть одно число из другого? Чтобы разделить 12 на 3, надо вычесть из 12 три ровно четыре раза. То есть по сути мы ищем число итераций.
Преобразовать a/(b+c) в какой-то вариант без знаменателя не выйдет, поэтому и решить деление через умножение не получится.
отвечен 14 Мар ’23 21:16
Вопрос очень давно ставился, и сформулирован был «коряво», но суть его ясна. Я бы добавил к сказанному следующее. Разделить число b на число a означает решить уравнение ax=b. Числа a, b можно считать натуральными, хотя это не важно. Частное может находиться точно или приближённо.
Такие уравнения, как и почти любые другие типа x^2=A, x^3=A, . решаются методом половинного деления. Корень уравнения ax=b принадлежит отрезку [1,b]. Делим отрезок пополам, берём его середину, и далее выбираем одну из половинок отрезка. Это достаточно универсальный способ.
(14 Мар ’23 21:38) falcao
Будем говорить честно, в школах у нас паршиво учат: 49 / 7 = 49 * (7 ^ -1)
отвечен 24 Июл ’14 4:51
Здравствуйте
Математика — это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.
задан
28 Окт ’12 19:21
показан
27382 раза
обновлен
15 Мар ’23 2:26
Деление заменить смещением(сдвигом)
Подскажете как поделить на 10,100,1000 любого числа ‘a’ со смещением(сдвигом)? Целочисленный int (остаток от деления не важен).
Отслеживать
13.7k 12 12 золотых знаков 43 43 серебряных знака 75 75 бронзовых знаков
задан 17 июл 2016 в 23:17
Alex Bigalo Alex Bigalo
37 1 1 серебряный знак 4 4 бронзовых знака
Если это в целях оптимизации, то зря, просто напишите a/100 , компилятор сделает все наилучшем способом.
18 июл 2016 в 1:06
Компилятор иногда -тупое животное. Я для себя хочу понять есть ли способ деления по сдвигу.
18 июл 2016 в 4:53
Если вам дан исчерпывающий ответ, отметьте его как верный (галка напротив выбранного ответа).
19 июл 2016 в 7:42
1 ответ 1
Сортировка: Сброс на вариант по умолчанию
0.110 = 0.00011001100110012. То есть деление на 10 — это 1 / 16 + 1 / 32 + 1 / 256 + 1 / 512 + .
А если серьезно — возьмите книгу Уоррена «Алгоритмические трюки для программистов», там есть глава 10, «Целое деление на константы». Там много стоящего.
То же деление на 10:
unsigned divu10(unsigned n) < unsigned q, r; q = (n >> 1) + (n >> 2); q = q + (q >> 4); q = q + (q >> 8); q = q + (q >> 16); q = q >> 3; r = n - q * 10; return q + ((r + 6) >> 4); // return q + (r > 9); > Умножение и деление алгебраических дробей
В этой статье мы продолжаем изучение основных действий, которые можно выполнять с алгебраическими дробями. Здесь мы рассмотрим умножение и деление: сначала выведем нужные правила, а затем проиллюстрируем их решениями задач.
Как правильно делить и умножать алгебраические дроби
Чтобы выполнить умножение алгебраических дробей или разделить одну дробь на другую, нам нужно использовать те же правила, что и для обыкновенных дробей. Вспомним их формулировки.
Когда нам надо умножить одну обыкновенную дробь на другую, мы выполняем отдельно умножение числителей и отдельно знаменателей, после чего записываем итоговую дробь, расставив по местам соответствующие произведения. Пример такого вычисления:
2 3 · 4 7 = 2 · 4 3 · 7 = 8 21
А когда нам надо разделить обыкновенные дроби, мы делаем это с помощью умножения на дробь, обратную делителю, например:
2 3 : 7 11 = 2 3 · 11 7 = 22 7 = 1 1 21
Умножение и деление алгебраических дробей выполняется в соответствии с теми же принципами. Сформулируем правило:
Чтобы перемножить две и более алгебраические дроби, нужно перемножить отдельно числители и знаменатели. Результатом будет дробь, в числителе которой будет стоять произведение числителей, а в знаменателе – произведение знаменателей.
В буквенном виде правило можно записать как a b · c d = a · c b · d . Здесь a , b , c и d будут представлять из себя определенные многочлены, причем b и d не могут быть нулевыми.
Для того чтобы разделить одну алгебраическую дробь на другую, нужно выполнить умножение первой дроби на дробь, обратную второй.
Это правило можно также записать как a b : c d = a b · d c = a · d b · c . Буквы a , b , c и d здесь означают многочлены, из которых a , b , c и d не могут быть нулевыми.
Отдельно остановимся на том, что такое обратная алгебраическая дробь. Она представляет из себя такую дробь, которая при умножении на исходную дает в итоге единицу. То есть такие дроби будут аналогичны взаимно обратным числам. Иначе можно сказать, что обратная алгебраическая дробь состоит из таких же значений, что и исходная, однако числитель и знаменатель у нее меняются местами. Так, по отношению к дроби a · b + 1 a 3 дробь a 3 a · b + 1 будет обратной.
Решение задач на умножение и деление алгебраических дробей
В этом пункте мы посмотрим, как правильно применять озвученные выше правила на практике. Начнем с простого и наглядного примера.
Условие: умножьте дробь 1 x + y на 3 · x · y x 2 + 5 , а потом разделите одну дробь на другую.
Решение
Сначала выполним умножение. Согласно правилу, нужно отдельно перемножить числители и знаменатели:
1 x + y · 3 · x · y x 2 + 5 = 1 · 3 · x · y ( x + y ) · ( x 2 + 5 )
Мы получили новый многочлен, который нужно привести к стандартному виду. Заканчиваем вычисления:
1 · 3 · x · y ( x + y ) · ( x 2 + 5 ) = 3 · x · y x 3 + 5 · x + x 2 · y + 5 · y
Теперь посмотрим, как правильно разделить одну дробь на другую. По правилу нам надо заменить это действие умножением на обратную дробь x 2 + 5 3 · x · y :
1 x + y : 3 · x · y x 2 + 5 = 1 x + y · x 2 + 5 3 · x · y
Приведем полученную дробь к стандартному виду:
1 x + y · x 2 + 5 3 · x · y = 1 · x 2 + 5 ( x + y ) · 3 · x · y = x 2 + 5 3 · x 2 · y + 3 · x · y 2
Ответ: 1 x + y · 3 · x · y x 2 + 5 = 3 · x · y x 3 + 5 · x + x 2 · y + 5 · y ; 1 x + y : 3 · x · y x 2 + 5 = x 2 + 5 3 · x 2 · y + 3 · x · y 2 .
Довольно часто в процессе деления и умножения обыкновенных дробей получаются результаты, которые можно сократить, например, 2 9 · 3 8 = 6 72 = 1 12 . Когда мы выполняем эти действия с алгебраическими дробями, мы также можем получить сократимые результаты. Для этого полезно предварительно разложить числитель и знаменатель исходного многочлена на отдельные множители. Если нужно, перечитайте статью о том, как правильно это делать. Разберем пример задачи, в которой нужно будет выполнить сокращение дробей.
Условие: перемножьте дроби x 2 + 2 · x + 1 18 · x 3 и 6 · x x 2 — 1 .
Решение
Перед тем, как вычислять произведение, разложим на отдельные множители числитель первой исходной дроби и знаменатель второй. Для этого нам потребуются формулы сокращенного умножения. Вычисляем:
x 2 + 2 · x + 1 18 · x 3 · 6 · x x 2 — 1 = x + 1 2 18 · x 3 · 6 · x ( x — 1 ) · ( x + 1 ) = x + 1 2 · 6 · x 18 · x 3 · x — 1 · x + 1
У нас получилась дробь, которую можно сократить:
x + 1 2 · 6 · x 18 · x 3 · x — 1 · x + 1 = x + 1 3 · x 2 · ( x — 1 )
О том, как это делается, мы писали в статье, посвященной сокращению алгебраических дробей.
Перемножив одночлен и многочлен в знаменателе, мы получим нужный нам результат:
x + 1 3 · x 2 · ( x — 1 ) = x + 1 3 · x 3 — 3 · x 2
Вот запись всего решения без пояснений:
x 2 + 2 · x + 1 18 · x 3 · 6 · x x 2 — 1 = x + 1 2 18 · x 3 · 6 · x ( x — 1 ) · ( x + 1 ) = x + 1 2 · 6 · x 18 · x 3 · x — 1 · x + 1 = = x + 1 3 · x 2 · ( x — 1 ) = x + 1 3 · x 3 — 3 · x 2
Ответ: x 2 + 2 · x + 1 18 · x 3 · 6 · x x 2 — 1 = x + 1 3 · x 3 — 3 · x 2 .
В некоторых случаях исходные дроби перед умножением или делением удобно преобразовать, чтобы дальнейшие вычисления стали быстрее и проще.
Условие: разделите 2 1 7 · x — 1 на 12 · x 7 — x .
Решение: начнем с упрощения алгебраической дроби 2 1 7 · x — 1 , чтобы избавиться от дробного коэффициента. Для этого умножим обе части дроби на семь (это действие возможно благодаря основному свойству алгебраической дроби). В итоге у нас получится следующее:
2 1 7 · x — 1 = 7 · 2 7 · 1 7 · x — 1 = 14 x — 7
Видим, что знаменатель дроби 12 · x 7 — x , на которую нам нужно разделить первую дробь, и знаменатель получившейся дроби являются противоположными друг другу выражениями. Изменив знаки числителя и знаменателя 12 · x 7 — x , получим 12 · x 7 — x = — 12 · x x — 7 .
После всех преобразований можем наконец перейти непосредственно к делению алгебраических дробей:
2 1 7 · x — 1 : 12 · x 7 — x = 14 x — 7 : — 12 · x x — 7 = 14 x — 7 · x — 7 — 12 · x = 14 · x — 7 x — 7 · — 12 · x = = 14 — 12 · x = 2 · 7 — 2 · 2 · 3 · x = 7 — 6 · x = — 7 6 · x
Ответ: 2 1 7 · x — 1 : 12 · x 7 — x = — 7 6 · x .
Как умножить или разделить алгебраическую дробь на многочлен
Чтобы выполнить такое действие, мы можем воспользоваться теми же правилами, что мы приводили выше. Предварительно нужно представить многочлен в виде алгебраической дроби с единицей в знаменателе. Это действие аналогично преобразованию натурального числа в обыкновенную дробь. Например, можно заменить многочлен x 2 + x − 4 на x 2 + x − 4 1 . Полученные выражения будут тождественно равны.
Условие: разделите алгебраическую дробь на многочлен x + 4 5 · x · y : x 2 — 16 .
Решение
Начнем с замены многочлена дробью, далее действуем согласно основному правилу.
x + 4 5 · x · y : x 2 — 16 = x + 4 5 · x · y : x 2 — 16 1 = x + 4 5 · x · y · 1 x 2 — 16 = = x + 4 5 · x · y · 1 ( x — 4 ) · x + 4 = ( x + 4 ) · 1 5 · x · y · ( x — 4 ) · ( x + 4 ) = 1 5 · x · y · x — 4 = = 1 5 · x 2 · y — 20 · x · y
Ответ: x + 4 5 · x · y : x 2 — 16 = 1 5 · x 2 · y — 20 · x · y .
Деление через умножение на обратное число
Народ, подскажите как можно делить двоичные целые числа методом умножения на обратное число!?
Буду очень признателен.
12 ответов
15 мая 2007 года
19 / / 20.04.2006
Народ, подскажите как можно делить двоичные целые числа методом умножения на обратное число!?
Буду очень признателен.
Если тебя интересует сам алгоритм, то смысл его сводится к следующему: операцию деления Z/D можно заменить на умножение Z*(1/D). Весь вопрос в том, как определить 1/D. Для этого используются два метода — разложение в ряд Тейлора и метод Ньютона-Рафсона.
Первый: D=1+X, тогда 1/D = (1-X)*(1+X^2)*(1+X^4)*(1+X^8)*(1+X^16)*.
Второй сводится к решению уравнения f(X) = 1/X — D = 0, т.е. X = 1/D, которое может быть найдено с помощью реккурентного соотношения
X(i+1) = X(i)*(2-X(i)D).
16 мая 2007 года
35 / / 13.05.2007
Если тебя интересует сам алгоритм, то смысл его сводится к следующему: операцию деления Z/D можно заменить на умножение Z*(1/D). Весь вопрос в том, как определить 1/D. Для этого используются два метода — разложение в ряд Тейлора и метод Ньютона-Рафсона.
Первый: D=1+X, тогда 1/D = (1-X)*(1+X^2)*(1+X^4)*(1+X^8)*(1+X^16)*.
Второй сводится к решению уравнения f(X) = 1/X — D = 0, т.е. X = 1/D, которое может быть найдено с помощью реккурентного соотношения
X(i+1) = X(i)*(2-X(i)D).
все проще мне нужно просто разделить двоичную «1» на делитель, и потом сдвинуть дробную часть — в сектор целой, и полученное двоичное целое умножить на делимое ))
16 мая 2007 года
19 / / 20.04.2006
все проще мне нужно просто разделить двоичную «1» на делитель, и потом сдвинуть дробную часть — в сектор целой, и полученное двоичное целое умножить на делимое ))
Так действительно проще. Только как ты будешь делить 1 на делимое?
18 мая 2007 года
35 / / 13.05.2007
Так действительно проще. Только как ты будешь делить 1 на делимое?
так — как еслибы это было число с плавающей точкой: например 1/2 будет выглядеть 0000.1000 — теперь сдвину дробную часть в область целой, и умножу делимое на 1000 ))
19 мая 2007 года
19 / / 20.04.2006
так — как еслибы это было число с плавающей точкой: например 1/2 будет выглядеть 0000.1000 — теперь сдвину дробную часть в область целой, и умножу делимое на 1000 ))
Если тебя это устраивает, то замечательно. Просто это совсем не замена деления умножением.
19 мая 2007 года
35 / / 13.05.2007
почему? умножаем на обратное число, просто сдвинутое. чтоже это тогда?
19 мая 2007 года
19 / / 20.04.2006
А как ты собираешься находить обратные числа? Например, 1/23?
20 мая 2007 года
35 / / 13.05.2007
как обычно — двоичным делением. если тебя смущает целочисленность, то уменя в задаче — все обратные числа сохраняются заранее и извлекаются из таблицы
20 мая 2007 года
19 / / 20.04.2006
как обычно — двоичным делением. если тебя смущает целочисленность, то уменя в задаче — все обратные числа сохраняются заранее и извлекаются из таблицы
Меня ничего не смущает — это твоя задача, и тебе реализовывать ее так, как тебе удобнее. Только я повторюсь — тот метод, что ты предложил, не есть метод замены деления умножением, потому что такой метод замены предполагает НЕ использование операции деления вообще, а у ты собираешься использовать «обычное двоичное деление». Т.е. ты просто заменяешь одну операцию деления — двумя, одна из которых тоже деление. Может, с сумме они и дадут выигрыш по времени/производительности, ни это уже зависит от реализации.
20 мая 2007 года
35 / / 13.05.2007
фишка реализации в том, что обратные числа уже постчитаны и просто достаются из таблицы при умножении:)
23 мая 2007 года
365 / / 19.12.2005
13 декабря 2018 года
1 / / 13.12.2018
Есть метод деления любого числа на любое умножением на определённое для каждого делителя число. Этот метод я обнаружил в 80-х годах и только 10 лет назад его обнародовал. Он называется **»Вместо деления умножение»** Найдите в интернете мою статью под этим названием, которую я представил на международной конференции в 2006 году как открытие. Я пишу книгу на эту тему, материал потрясающий. Книга будет по плану состоять из 11 глав. На подступах к этому открытию я в в 1989 г написал статью *»удивительные приключения десятичных дробей»* («Квант», 1989 № 8, с.23-30). В 100 школах Москвы в 1985-1990-х годах я читал лекции на эту тему для старшеклассников. См. также мою статью «А фокусы ли это» в журнале «Математика в школе», 1989 № 5, с.110-113. Ещё в древних индийских ведах 4000 лет назад кое-что об этом методе знали. Тот, кто найдёт меня, позвоните мне. я познакомлю его с книгой американца, который был рядом с этим открытием, но не увидел его.