Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке
Диаметром окружности называют хорду, проходящую через центр окружности.
Диаметр является самой длинной хордой окружности
Касательной к окружности называют прямую, имеющую с окружностью только одну общую точку.
Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания
Секущей окружности называют прямую, пересекающую окружность в двух точках
Свойства хорд и дуг окружности
Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
У равных дуг равны и хорды.
Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих
Произведения длин отрезков, на которые каждая из хорд делится их точкой пересечения, равны:
Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то справедливо равенство
Если к окружности из одной точки проведены касательная и секущая, то справедливо равенство
Если из одной точки вне круга проведены две секущие, то справедливо равенство:
Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
ТЕОРЕМА 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).
Тогда справедливо равенство
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство
откуда и вытекает требуемое утверждение.
ТЕОРЕМА 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).
Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство
откуда и вытекает требуемое утверждение.
ТЕОРЕМА 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).
Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).
Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства
откуда и вытекает требуемое утверждение.
Теорема о бабочке
ТЕОРЕМА О БАБОЧКЕ . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:
Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим
Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим
Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим
Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство
откуда вытекает равенство
что и завершает доказательство теоремы о бабочке.
Справочник по математике для школьников
- Арифметика
- Алгебра
- Тригонометрия
- Геометрия (планиметрия)
- Геометрия (стереометрия)
- Элементы математического анализа
- Вероятность и статистика
Геометрия (планиметрия)
- Основные фигуры планиметрии
- Фигуры, составляющие основу планиметрии
- Углы на плоскости
- Теорема Фалеса
- Углы, связанные с окружностью
- Признаки параллельности прямых
- Типы треугольников. Признаки равенства треугольников
- Свойства и признаки равнобедренного треугольника
- Свойства и признаки прямоугольного треугольника
- Свойства сторон и углов треугольника
- Подобие треугольников
- Теорема Пифагора. Теорема косинусов
- Биссектриса треугольника
- Медиана треугольника
- Высота треугольника. Задача Фаньяно
- Средние линии треугольника
- Теорема Чевы
- Теорема Менелая
- Описанная окружность. Теорема синусов
- Формулы для стороны, периметра и площади правильного треугольника
- Площадь треугольника
- Окружность, вписанная в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
- Вневписанные окружности
- Четырехугольники
- Параллелограммы
- Трапеции
- Четырехугольники, вписанные в окружность. Теорема Птолемея
- Описанные четырехугольники
- Площади четырехугольников
- Многоугольники
- Правильные многоугольники
- Углы, связанные с окружностью
- Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке
- Две окружности на плоскости. Общие касательные к двум окружностям
- Площадь круга и его частей. Длина окружности и ее дуг
- Окружность, описанная около треугольника. Теорема синусов
- Окружность, вписанная в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
- Вневписанные окружности
- Четырехугольники, вписанные в окружность. Теорема Птолемея
- Описанные четырехугольники
- Площади четырехугольников
- Площадь треугольника
- Вывод формул Герона и Брахмагупты
- Средние линии
- Геометрические места точек на плоскости
- Движения плоскости. Теорема Шаля. Аффинные преобразования плоскости
Учебные пособия для школьников
- Задачи на проценты
- Квадратный трехчлен
- Метод координат на плоскости
- Прогрессии
- Решение алгебраических уравнений
- Решение иррациональных неравенств
- Решение логарифмических неравенств
- Решение логарифмических уравнений
- Решение показательных неравенств
- Решение показательных уравнений
- Решение рациональных неравенств
- Решение тригонометрических уравнений
- Степень с рациональным показателем
- Системы уравнений
- Тригонометрия в ЕГЭ по математике
- Уравнения и неравенства с модулями
- Фигуры на координатной плоскости, заданные неравенствами
Демоверсии ЕГЭ
- Демонстрационные варианты ЕГЭ по английскому языку
- Демонстрационные варианты ЕГЭ по биологии
- Демонстрационные варианты ЕГЭ по географии
- Демонстрационные варианты ЕГЭ по информатике
- Демонстрационные варианты ЕГЭ по испанскому языку
- Демонстрационные варианты ЕГЭ по истории
- Демонстрационные варианты ЕГЭ по китайскому языку
- Демонстрационные варианты ЕГЭ по литературе
- Демонстрационные варианты ЕГЭ по математике
- Демонстрационные варианты ЕГЭ по немецкому языку
- Демонстрационные варианты ЕГЭ по обществознанию
- Демонстрационные варианты ЕГЭ по русскому языку
- Демонстрационные варианты ЕГЭ по физике
- Демонстрационные варианты ЕГЭ по французскому языку
- Демонстрационные варианты ЕГЭ по химии
- Итоговое сочинение (изложение) в 11 классе
Демоверсии ОГЭ
- Демонстрационные варианты ОГЭ по английскому языку
- Демонстрационные варианты ОГЭ по биологии
- Демонстрационные варианты ОГЭ по географии
- Демонстрационные варианты ОГЭ по информатике
- Демонстрационные варианты ОГЭ по испанскому языку
- Демонстрационные варианты ОГЭ по истории
- Демонстрационные варианты ОГЭ по литературе
- Демонстрационные варианты ОГЭ по математике
- Демонстрационные варианты ОГЭ по немецкому языку
- Демонстрационные варианты ОГЭ по обществознанию
- Демонстрационные варианты ОГЭ по русскому языку
- Демонстрационные варианты ОГЭ по физике
- Демонстрационные варианты ОГЭ по французскому языку
- Демонстрационные варианты ОГЭ по химии
- Итоговое собеседование по русскому языку в 9 классе
Как доказать что хорды равны
ОКРУЖНОСТЬ И КРУГ. ЦИЛИНДР.
§ 71. ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ ХОРДАМИ И ДУГАМИ.
Докажем ряд теорем, устанавливающих зависимость между хордами и их дугами в одной и той же окружности или в равных окружностях.
При этом будем иметь в виду дуги, меньшие полуокружности.
Теорема 1. Равные дуги стя гиваются равными хордами.
Пусть дуга АВ равна дуге СК. Требуется доказать, что и хорда АВ равна хорде СК (черт. 314).
Доказательство. Соединим концы хорд с центром окружности — точкой О. Полученные треугольники АОВ и КОС равны, так как имеют по две соответственно равные стороны (радиусы одной окружности) и по равному углу, заключённому между этими сторонами (эти углы равны, как центральные, соответствующие равным дугам). Следовательно, АВ = СК.
Теорема 2 (обратная). Равные хорды стягивают равные дуги.
Пусть хорда АВ равна хорде СК. Требуется доказать, что дуга АВ равна дуге СК (черт. 314).
Доказательство. Соединим концы хорд с центром окружности— точкой О. Полученные треугольники АОВ и КОС равны по трём соответственно равным сторонам. Следовательно, равны углы АОВ и СОК; но углы эти центральные, соответствующие дугам АВ и СК; из равенства этих углов следует равенство дуг: АВ = СК.
Теорема 3. Большая дуга стягивается и большей хордой.
Пусть дуга АВ больше дуги СК (черт. 315).
Требуется доказать, что хорда АВ больше хорды СК.
Доказательство. Передвинем по окружности дугу СК так, чтобы точка К совместилась с точкой А, тогда точка С займёт положение С’ на дуге АВ между точками A и В, дуга СК примет положение дуги АС’, а хорда СК примет положение хорды АС’. Проведём радиусы в точки A, В и С’. Опустим из центра О перпендикуляры ОЕ и ОD на хорды АВ и АС’. В треугольнике ОFE отрезок ОЕ — катет , а отрезок ОF — гипотенуза, поэтому OF > ОЕ, а потому и OD > OE.
Рассмотрим теперь треугольники ОАD и ОАЕ. В этих треугольниках гипотенуза ОА общая, а катет ОЕ меньше катета ОD, тогда по следствию из теоремы Пифагора (§ 58) катет АЕ больше катета АD. Но эти катеты составляют половины хорд АВ и АС’, значит, и хорда АВ больше хорды АС’. Вследствие равенства хорд АС’ и СК получаем
АВ > СК.Теорема 4 (обратная). Большая хорда стягивает и большую дугу.
Пусть хорда А В больше хорды СК.
Требуется доказать, что дуга АВ больше дуги СК (черт. 315). Между дугами АВ и СК может существовать только одно из трёх следующих соотношений:
Но дуга AВ не может быть меньше дуги СК, так как тогда по прямой теореме хорда АВ была бы меньше хорды СК, а это противоречит условию теоремы.
Дуга АВ не может быть равна дуге СК, так как тогда хорда АВ равнялась бы хорде СК, а это тоже противоречит условию. Следовательно, АВ > СК.
Теорема о свойстве хорд пересекающихся внутри круга. Доказательство
Произведения отрезков хорд , пересекающихся внутри круга , равны. Вот наша окружность , вот хорды AB и CD. Вот отрезки, на которые они разделили друг друга: AE, BE, CE и DE. Надо доказать, что произведение AE и BE равно произведению CE и DE. Докажем: рассмотрим треугольники ▲ACE и ▲DBE. В них углы с дужкой равны, потому что они вписанные и опираются на одну и ту же дугу. Углы с двумя дужками тоже равны, потому что они вписанные и опираются на одну и ту же дугу. Значит, треугольники подобны по первому признаку. Значит, стороны треугольников пропорциональны. Запишем: BE/DE=CE/AE. А это равенство равносильно исходному, которое и требовалось доказать.
Окружность. Основные теоремы
Подробнее
Подробнее
Подробнее
Определения
Центральный угол – это угол, вершина которого лежит в центре окружности.
Вписанный угол – это угол, вершина которого лежит на окружности.
Градусная мера дуги окружности – это градусная мера центрального угла, который на неё опирается.
Теорема
Градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.
Доказательство
Доказательство проведём в два этапа: сначала докажем справедливость утверждения для случая, когда одна из сторон вписанного угла содержит диаметр. Пусть точка \(B\) – вершина вписанного угла \(ABC\) и \(BC\) – диаметр окружности:
Треугольник \(AOB\) – равнобедренный, \(AO = OB\) , \(\angle AOC\) – внешний, тогда \(\angle AOC = \angle OAB + \angle ABO = 2\angle ABC\) , откуда \(\angle ABC = 0,5\cdot\angle AOC = 0,5\cdot\buildrel\smile\over\) .
Теперь рассмотрим произвольный вписанный угол \(ABC\) . Проведём диаметр окружности \(BD\) из вершины вписанного угла. Возможны два случая:
1) диаметр разрезал угол на два угла \(\angle ABD, \angle CBD\) (для каждого из которых теорема верна по доказанному выше, следовательно верна и для исходного угла, который является суммой этих двух и значит равен полусумме дуг, на которые они опираются, то есть равен половине дуги, на которую он опирается). Рис. 1.
2) диаметр не разрезал угол на два угла, тогда у нас появляется ещё два новых вписанных угла \(\angle ABD, \angle CBD\) , у которых сторона содержит диаметр, следовательно, для них теорема верна, тогда верна и для исходного угла (который равен разности этих двух углов, значит, равен полуразности дуг, на которые они опираются, то есть равен половине дуги, на которую он опирается). Рис. 2.
Следствия
1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
2. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, прямой.
3. Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
Определения
Существует три типа взаимного расположения прямой и окружности:
1) прямая \(a\) пересекает окружность в двух точках. Такая прямая называется секущей. В этом случае расстояние \(d\) от центра окружности до прямой меньше радиуса \(R\) окружности (рис. 3).
2) прямая \(b\) пересекает окружность в одной точке. Такая прямая называется касательной, а их общая точка \(B\) – точкой касания. В этом случае \(d=R\) (рис. 4).
3) прямая \(c\) не имеет общих точек с окружностью (рис. 5).
Теорема
1. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
2. Если прямая проходит через конец радиуса окружности и перпендикулярна этому радиусу, то она является касательной к окружности.
Следствие
Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны.
Доказательство
Проведем к окружности из точки \(K\) две касательные \(KA\) и \(KB\) :
Значит, \(OA\perp KA, OB\perp KB\) как радиусы. Прямоугольные треугольники \(\triangle KAO\) и \(\triangle KBO\) равны по катету и гипотенузе, следовательно, \(KA=KB\) .
Следствие
Центр окружности \(O\) лежит на биссектрисе угла \(AKB\) , образованного двумя касательными, проведенными из одной точки \(K\) .
Теорема об угле между секущими
Угол между двумя секущими, проведенными из одной точки, равен полуразности градусных мер большей и меньшей высекаемых ими дуг.
Доказательство
Пусть \(M\) – точка, из которой проведены две секущие как показано на рисунке:
Покажем, что \(\angle DMB = \dfrac(\buildrel\smile\over — \buildrel\smile\over)\) .
\(\angle DAB\) – внешний угол треугольника \(MAD\) , тогда \(\angle DAB = \angle DMB + \angle MDA\) , откуда \(\angle DMB = \angle DAB — \angle MDA\) , но углы \(\angle DAB\) и \(\angle MDA\) – вписанные, тогда \(\angle DMB = \angle DAB — \angle MDA = \frac\buildrel\smile\over — \frac\buildrel\smile\over = \frac(\buildrel\smile\over — \buildrel\smile\over)\) , что и требовалось доказать.
Теорема об угле между пересекающимися хордами
Угол между двумя пересекающимися хордами равен полусумме градусных мер высекаемых ими дуг: \[\angle CMD=\dfrac12\left(\buildrel\smile\over+\buildrel\smile\over\right)\]
Доказательство
\(\angle BMA = \angle CMD\) как вертикальные.
Из треугольника \(AMD\) : \(\angle AMD = 180^\circ — \angle BDA — \angle CAD = 180^\circ — \frac12\buildrel\smile\over — \frac12\buildrel\smile\over\) .
Но \(\angle AMD = 180^\circ — \angle CMD\) , откуда заключаем, что \[\angle CMD = \frac12\cdot\buildrel\smile\over + \frac12\cdot\buildrel\smile\over = \frac12(\buildrel\smile\over + \buildrel\smile\over).\]
Теорема об угле между хордой и касательной
Угол между касательной и хордой, проходящей через точку касания, равен половине градусной меры дуги, стягиваемой хордой.
Доказательство
Пусть прямая \(a\) касается окружности в точке \(A\) , \(AB\) – хорда этой окружности, \(O\) – её центр. Пусть прямая, содержащая \(OB\) , пересекает \(a\) в точке \(M\) . Докажем, что \(\angle BAM = \frac12\cdot \buildrel\smile\over\) .
Обозначим \(\angle OAB = \alpha\) . Так как \(OA\) и \(OB\) – радиусы, то \(OA = OB\) и \(\angle OBA = \angle OAB = \alpha\) . Таким образом, \(\buildrel\smile\over = \angle AOB = 180^\circ — 2\alpha = 2(90^\circ — \alpha)\) .
Так как \(OA\) – радиус, проведённый в точку касания, то \(OA\perp a\) , то есть \(\angle OAM = 90^\circ\) , следовательно, \(\angle BAM = 90^\circ — \angle OAB = 90^\circ — \alpha = \frac12\cdot\buildrel\smile\over\) .
Теорема о дугах, стягиваемых равными хордами
Равные хорды стягивают равные дуги, меньшие полуокружности.
И наоборот: равные дуги стягиваются равными хордами.
Доказательство
1) Пусть \(AB=CD\) . Докажем, что меньшие полуокружности дуги \(\buildrel\smile\over=\buildrel\smile\over\) .
\(\triangle AOB=\triangle COD\) по трем сторонам, следовательно, \(\angle AOB=\angle COD\) . Но т.к. \(\angle AOB, \angle COD\) — центральные углы, опирающиеся на дуги \(\buildrel\smile\over, \buildrel\smile\over\) соответственно, то \(\buildrel\smile\over=\buildrel\smile\over\) .
2) Если \(\buildrel\smile\over=\buildrel\smile\over\) , то \(\triangle AOB=\triangle COD\) по двум сторонам \(AO=BO=CO=DO\) и углу между ними \(\angle AOB=\angle COD\) . Следовательно, и \(AB=CD\) .
Теорема
Если радиус делит хорду пополам, то он ей перпендикулярен.
Верно и обратное: если радиус перпендикулярен хорде, то точкой пересечения он делит ее пополам.
Доказательство
1) Пусть \(AN=NB\) . Докажем, что \(OQ\perp AB\) .
Рассмотрим \(\triangle AOB\) : он равнобедренный, т.к. \(OA=OB\) – радиусы окружности. Т.к. \(ON\) – медиана, проведенная к основанию, то она также является и высотой, следовательно, \(ON\perp AB\) .
2) Пусть \(OQ\perp AB\) . Докажем, что \(AN=NB\) .
Аналогично \(\triangle AOB\) – равнобедренный, \(ON\) – высота, следовательно, \(ON\) – медиана. Следовательно, \(AN=NB\) .
Теорема о произведении отрезков хорд
Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.
Доказательство
Пусть хорды \(AB\) и \(CD\) пересекаются в точке \(E\) .
Рассмотрим треугольники \(ADE\) и \(CBE\) . В этих треугольниках углы \(1\) и \(2\) равны, так как они вписанные и опираются на одну и ту же дугу \(BD\) , а углы \(3\) и \(4\) равны как вертикальные. Треугольники \(ADE\) и \(CBE\) подобны (по первому признаку подобия треугольников).
Тогда \(\dfrac = \dfrac\) , откуда \(AE\cdot BE = CE\cdot DE\) .
Теорема о касательной и секущей
Квадрат отрезка касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть.
Доказательство
Пусть касательная проходит через точку \(M\) и касается окружности в точке \(A\) . Пусть секущая проходит через точку \(M\) и пересекает окружность в точках \(B\) и \(C\) так что \(MB < MC\) . Покажем, что \(MB\cdot MC = MA^2\) .
Рассмотрим треугольники \(MBA\) и \(MCA\) : \(\angle M\) – общий, \(\angle BCA = 0,5\cdot\buildrel\smile\over\) . По теореме об угле между касательной и секущей, \(\angle BAM = 0,5\cdot\buildrel\smile\over = \angle BCA\) . Таким образом, треугольники \(MBA\) и \(MCA\) подобны по двум углам.
Из подобия треугольников \(MBA\) и \(MCA\) имеем: \(\dfrac = \dfrac\) , что равносильно \(MB\cdot MC = MA^2\) .
Следствие
Произведение секущей, проведённой из точки \(O\) , на её внешнюю часть не зависит от выбора секущей, проведённой из точки \(O\) :