Как доказать что треугольник прямоугольный

1. Прямоугольные треугольники

Сумма углов треугольника равна 180 ° , а прямой угол равен 90 ° , поэтому сумма двух острых углов прямоугольного треугольника ∠ \(1\) \(+\) ∠ \(2 =\) 90 ° .

Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30 ° , равен половине гипотенузы (гипотенуза в два раза длиннее катета, лежащего против угла в \(\) 30 ° \(\)).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \(ABC\), в котором ∠ \(A\) — прямой, ∠ \(B =\) 30 ° , и значит, что ∠ \(C =\) 60 ° .

Докажем, что \(BC = 2 AC\).
Приложим к треугольнику \(ABC\) равный ему треугольник \(ABD\), как показано на рисунке.

Получим треугольник \(BCD\), в котором ∠ \(B =\) ∠ \(D =\) 60 ° , поэтому \(DC = BC\). Но \(DC = 2 AC\). Следовательно, \(BC = 2 AC\).

Справедливо и обратное суждение.

Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы (или гипотенуза в два раза длиннее катета), то угол, лежащий против этого катета, равен 30 ° .

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Основываясь на общих признаках равенства треугольников для прямоугольных треугольников можно сформулировать свои признаки равенства, потому что в прямоугольном треугольнике угол между двумя катетами — прямой, а любые два прямых угла равны.

1. Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны.

2. Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого, то такие треугольники равны.

3. Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.

4. Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны.

Как доказать, что треугольник прямоугольный

Здравствуйте! Я к Вам снова с просьбой в помощи доказательства. В данном случае — я не могу понять как доказать, что треугольник прямоугольный. Даже дана задачка на эту тему. В треугольнике FCH проведена медиана HE , HE=FE=EC.Доказать что треугольник прямоугольный.

Smartstudent Админ. ответил 7 лет назад

Здравствуйте.
Давайте сначала вспомним, какой треугольник называется прямоугольным. Так вот прямоугольным называется тот треугольник, угол которого равен .
Чтоб понять, как доказать, что треугольник прямоугольный, надо знать, каким свойствами он обладает. Ведь одного знания про угол бывает недостаточно. так как про это не всегда скажется в условии.
Так вот, прямоугольный треугольник обладает такими свойствами:

1. Сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату его гипотенузы
2. Медиана прямоугольного треугольника равна половины гипотенузы
3. сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусов
4. Сумма всех углов в треугольнике равна 180 градусов
5. прямой угол всегда равен 90 градусов
6. катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы
7. Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30 градусам

Давайте разберёмся с Вашей задачкой. Так как нам не сказано, какой это треугольник, то попробуем это доказать. Единственное, что мы знаем, так это то, что его медиана равна половине стороны. Теперь вспоминаем свойство прямоугольного треугольника, в котором проведена медиана. И мы знаем, что именно в прямоугольном треугольнике, медиана проведённая к гипотенузе равна половине гипотенузы. Так вот, это свойство у нас с вами выполняется и выходит, что сторона — гипотенуза, которую медиана делить пополам.
Так что, вот мы с Вами и доказали, что наш треугольник прямоугольный.

Свойства и признаки прямоугольного треугольника

Треугольник, у которого один из углов равен 90° , называют прямоугольным треугольником.

Сторону, лежащую против угла в 90° , называют гипотенузой, две другие стороны называют катетами.

Длины катетов прямоугольного треугольника меньше длины гипотенузы.

Равнобедренным прямоугольным треугольником называют такой прямоугольный треугольник, у которого равны катеты.

Острые углы равнобедренного прямоугольного треугольника равны 45° .

Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30° , равен половине гипотенузы.

Если в прямоугольном треугольнике один из катетов равен половине гипотенузы, то этот катет лежит против угла в 30° .

Медиана прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.

Если в треугольнике медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то такой треугольник является прямоугольным.

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной около него окружности.

Если в треугольнике центр описанной окружности лежит на одной из сторон, то этот треугольник является прямоугольным треугольником, а центр описанной окружности совпадает с серединой гипотенузы.

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

Обратная теорема Пифагора

Если в треугольнике квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон, то такой треугольник является прямоугольным

Справочник по математике для школьников

• Арифметика
• Алгебра
• Тригонометрия
• Геометрия (планиметрия)
• Геометрия (стереометрия)
• Элементы математического анализа
• Вероятность и статистика

Геометрия (планиметрия)

• Основные фигуры планиметрии
  • Фигуры, составляющие основу планиметрии
  • Углы на плоскости
  • Теорема Фалеса
  • Углы, связанные с окружностью
  • Признаки параллельности прямых
  • Типы треугольников. Признаки равенства треугольников
  • Свойства и признаки равнобедренного треугольника
  • Свойства и признаки прямоугольного треугольника
  • Свойства сторон и углов треугольника
  • Подобие треугольников
  • Теорема Пифагора. Теорема косинусов
  • Биссектриса треугольника
  • Медиана треугольника
  • Высота треугольника. Задача Фаньяно
  • Средние линии треугольника
  • Теорема Чевы
  • Теорема Менелая
  • Описанная окружность. Теорема синусов
  • Формулы для стороны, периметра и площади правильного треугольника
  • Площадь треугольника
  • Окружность, вписанная в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
  • Вневписанные окружности
  • Четырехугольники
  • Параллелограммы
  • Трапеции
  • Четырехугольники, вписанные в окружность. Теорема Птолемея
  • Описанные четырехугольники
  • Площади четырехугольников
  • Многоугольники
  • Правильные многоугольники
  • Углы, связанные с окружностью
  • Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке
  • Две окружности на плоскости. Общие касательные к двум окружностям
  • Площадь круга и его частей. Длина окружности и ее дуг
  • Окружность, описанная около треугольника. Теорема синусов
  • Окружность, вписанная в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
  • Вневписанные окружности
  • Четырехугольники, вписанные в окружность. Теорема Птолемея
  • Описанные четырехугольники
  • Площади четырехугольников
  • Площадь треугольника
  • Вывод формул Герона и Брахмагупты
  • Средние линии
  • Геометрические места точек на плоскости
  • Движения плоскости. Теорема Шаля. Аффинные преобразования плоскости

  Учебные пособия для школьников

  • Задачи на проценты
  • Квадратный трехчлен
  • Метод координат на плоскости
  • Прогрессии
  • Решение алгебраических уравнений
  • Решение иррациональных неравенств
  • Решение логарифмических неравенств
  • Решение логарифмических уравнений
  • Решение показательных неравенств
  • Решение показательных уравнений
  • Решение рациональных неравенств
  • Решение тригонометрических уравнений
  • Степень с рациональным показателем
  • Системы уравнений
  • Тригонометрия в ЕГЭ по математике
  • Уравнения и неравенства с модулями
  • Фигуры на координатной плоскости, заданные неравенствами

  Демоверсии ЕГЭ

  • Демонстрационные варианты ЕГЭ по английскому языку
  • Демонстрационные варианты ЕГЭ по биологии
  • Демонстрационные варианты ЕГЭ по географии
  • Демонстрационные варианты ЕГЭ по информатике
  • Демонстрационные варианты ЕГЭ по испанскому языку
  • Демонстрационные варианты ЕГЭ по истории
  • Демонстрационные варианты ЕГЭ по китайскому языку
  • Демонстрационные варианты ЕГЭ по литературе
  • Демонстрационные варианты ЕГЭ по математике
  • Демонстрационные варианты ЕГЭ по немецкому языку
  • Демонстрационные варианты ЕГЭ по обществознанию
  • Демонстрационные варианты ЕГЭ по русскому языку
  • Демонстрационные варианты ЕГЭ по физике
  • Демонстрационные варианты ЕГЭ по французскому языку
  • Демонстрационные варианты ЕГЭ по химии
  • Итоговое сочинение (изложение) в 11 классе

  Демоверсии ОГЭ

  • Демонстрационные варианты ОГЭ по английскому языку
  • Демонстрационные варианты ОГЭ по биологии
  • Демонстрационные варианты ОГЭ по географии
  • Демонстрационные варианты ОГЭ по информатике
  • Демонстрационные варианты ОГЭ по испанскому языку
  • Демонстрационные варианты ОГЭ по истории
  • Демонстрационные варианты ОГЭ по литературе
  • Демонстрационные варианты ОГЭ по математике
  • Демонстрационные варианты ОГЭ по немецкому языку
  • Демонстрационные варианты ОГЭ по обществознанию
  • Демонстрационные варианты ОГЭ по русскому языку
  • Демонстрационные варианты ОГЭ по физике
  • Демонстрационные варианты ОГЭ по французскому языку
  • Демонстрационные варианты ОГЭ по химии
  • Итоговое собеседование по русскому языку в 9 классе

  Как доказать что треугольник прямоугольный

  Основные метрические сооьтношения в прямоугольном треугольнике

  Пусть `ABC` прямоугольный треугольник с прямым углом `C` и острым углом при вершине `A`, равным `alpha` (рис. 1).

  

  Используем обычные обозначения:

  `c` — гипотенуза `AB`;

  `a` и `b` – катеты `BC` и `AC` (по-гречески «kathetos — катет» означает отвес, поэтому такое изображение прямоугольного треугольника нам представляется естественным);

  `a_c` и `b_c` – проекции `BD` и `AD` катетов на гипотенузу;

  `h` – высота `CD`, опущенная на гипотенузу;

  `m_c` – медиана `CM`, проведённая к гипотенузе;

  `R` – радиус описанной окружности;

  `r` – радиус вписанной окружности.

  Напомним, что если `alpha` — величина острого угла `A` прямоугольного треугольника `ABC` (см. рис. 1), то

  `sin alpha = a/c`, `cos alpha = b/c` и `»tg»alpha = a/b`.

  Утверждение

  Значения синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника зависят только от меры угла и не зависят от размеров и расположения треугольника.

  Теорема Пифагора

  В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

  `c^2 = a^2 + b^2`

  Доказательство теоремы повторите по учебнику.

  Выведем ряд соотношений между элементами прямоугольного треугольника.

  свойство 1

  Квадрат катета равен произведению гипотенузы и его проекции на гипотенузу

  Доказательство

  Если `/_ A = alpha` (см. рис. 1), то `/_ CBD = 90^@ — alpha` и `/_ BCD = alpha`. Из треугольника `ABC` `sin alpha = (BC)/(AB)`, а из треугольника `BCD` `sin alpha = (BD)/(BC)`.

  Значит, `(BC)/(AB) = (BD)/(BC)`, откуда `BC^2 = AB * BD`, т. е. `a^2 = c * a_c` . Аналогично доказывается второе равенство.

  свойство 2

  Квадрат высоты, опущенной на гипотенузу, равен произведению проекции катетов на гипотенузу

  Доказательство

  Из треугольника `ACD` (рис. 1) имеем `»tg»alpha = (CD)/(AD)`, а из треугольника `BCD` `»tg»alpha = (BD)/(CD)`.

  Значит `(BD)/(CD) = (CD)/(AD)`, откуда `CD^2 = AD * BD`, т. е. `h^2 = a_c * b_c`.

  свойство 3

  Произведение катетов равно произведению гипотенузы и высоты, опущенной на гипотенузу

  Доказательство

  Из треугольника `ABC` имеем `sin alpha = (BC)/(AB)`, а из треуольника `ACD` `sin alpha = (CD)/(AC)`.

  Таким образом, `(BC)/(AB) = (CD)/(AC)`, откуда `BC * AC = AB * CD`, т. е. `a * b = c * h`.

  свойство 4

  Медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы, т. е.

  Доказательство

  Пусть `AM = BM`. Проведём $$ MK\Vert BC$$ (рис. 2), тогда по теореме Фалеса `AK = CK`

  

  .

  Кроме того, из того, что `BC _|_ AC` и $$ MK\Vert BC$$ следует `MK _|_ AC`. В прямоугольных треугольниках `CMK` и `AMK` катет `MK` общий, катеты `CK` и `AK` равны. Эти треугольники равны и `CM = AM`, т. е. `CM = 1/2 AB`.

  Полезно также запомнить, что медиана к гипотенузе разбивает треугольник на два равнобедренных треугольника.

  свойство 5

  Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине гипотенузы

  Доказательство

  Это следует из Свойства 4, действительно, `MA = MB = MC`, следовательно, окружность с центром в точке `M` и радиуса `c/2` проходит через три вершины.

  свойство 6

  Сумма катетов равна удвоенной сумме радиусов описанной и вписанной окружностей

  `a + b = 2(R + r)` или `a + b = c + 2r`

  Доказательство

  Пусть `O` — центр вписанной окружности и `F`, `N` и `S` — точки касания сторон треугольника `ABC` (рис. 3), тогда `OF_|_ BC`, `ON _|_ AC`, `OS _|_ AB` и `OF = ON = OS = r`. Далее, `OFCN` — квадрат со стороной `r`, поэтому `BF = BC — FC`, `AN = AC — CN`, т. е. `BF = a — r` и `AN = b — r`.

  

  Прямоугольные треугольники `AON` и `AOS` равны (гипотенуза `AO` — общая, катеты `ON` и `OS` равны), следовательно, `AS = AN`, т. е. `AS = b — r`.

  Аналогично доказывается, что `BS = a — r`, поэтому из `AB = AS + BS` следует `c = (b — r) + (a — r)`, т. е. `a + b = c + 2r`. Зная, что `c = 2R`, окончательно получаем `a + b = 2(R + r)`.

  Равенства, доказанные в Свойствах 1 и 2, записываются также как:

  Похожие публикации:

  1. Proxmox machine i440fx q35 что это
  2. Как объединить детали в компасе
  3. Как проверить есть ли элемент в массиве с
  4. Как промыть стекло в духовке внутри hansa