4. Сложение и вычитание смешанных чисел (разные знаменатели)
Числитель и знаменатель дробной части второго числа умножили на \(2\). Сложили целые части и отдельно сложили дробные части.
Пример 2.
9 3 2 5 + 2 7 10 = 9 6 10 + 2 7 10 = 11 6 + 7 10 = 11 13 10 = 12 3 10 .
В результате получили дробную часть 13 10 — это неправильная дробь, поэтому из неё выделили целую часть 13 10 = 1 + 3 10 = 1 3 10 и полученное число прибавили к целой части:
11 13 10 = 11 + 13 10 = 11 + 1 3 10 = 12 3 10 .
Для вычитания смешанных чисел , надо:
- привести дробные части к общему знаменателю;
- при необходимости «занять» единицу из целой части;
- вычесть отдельно целые части и дробные части;
- если можно, сократить дробную часть.
Пример 3.
7 2 4 3 − 2 7 12 = 7 8 12 − 2 7 12 = 5 8 − 7 12 = 5 1 12 .
Числитель и знаменатель дробной части второго числа умножили на \( \)\(4\). Вычли целые части, затем вычли дробные части.
Пример 4.
14 3 3 7 − 5 2 7 3 = 14 9 21 − 5 14 21 = 13 30 21 − 5 14 21 = 8 30 − 14 21 = 8 16 21 .
После приведения к общему знаменателю дробная часть первого числа 9 21 меньше дробной части второго числа 14 21 . Поэтому целую часть уменьшили на \(1\), а эту единицу внесли в дробную часть: 14 9 21 − 5 14 21 = 13 21 + 9 21 − 5 14 21 = 13 30 21 − 5 14 21 .
Как находить общий знаменатель у больших чисел
Кроме понятия «общий знаменатель«, есть еще такое понятие как — «Наименьший общий знаменатель (НОЗ)» — это. тоже самое, что и «НОК». Поэтому, мы не будем это разбирать здесь второй раз.
Но что такое общий знаменатель простыми словами ?
Общий знаменатель — это любое целое число, которое делится без остатка на первый и второй знаменатель.
Количество чисел, которые могут быть общим знаменателем стремится к бесконечности, но обычно общим знаменателем принимают НОЗ
Пример общего знаменателя :
Для того, чтобы понять, «что такое общий знаменатель» нам нужен пример двух дробей и какое-то действие(иначе смысла в этом нет), пусть это будут две дроби 1/2 и 1/3 и действие сложение — «+».
Для таких маленьких чисел, как 2 и 3 — «нок» будет равен 6. Для этого нам никакие инструменты не понадобятся, наверняка вы это тоже смогли посчитать в уме.
Т.е. 6 делится на 2 без остатка 6 : 2 = 3, и 6 делится на 3 без остатка 6 : 3 = 2.
Мы получили два числа, первую дробь 1/2 надо умножить на 3, чтобы привести её к общему знаменателю 6 — 1*3/2*3 = 3/6.
А вторую дробь нужно умножить на 2, чтобы привести и её к общему знаменатель 6, 1*2/3*2 = 2/6.
После того, как мы нашли общий знаменатель, мы можем произвести действие, в нашем случае — «+» — 3/6 + 2/6 = (3 + 2)/6 = 5/6.
Когда мы нашли «общий знаменатель» мы смогли выполнить необходимое действие с дробями.
1 2 + 1 3 =
1*3 2*3 + 1*2 3*2 =
3 6 + 2 6 =
3 + 2 6 =
5 6
В каком случае ноз двух дробей будет являться произведением знаменателей?
Отличный поисковый запрос — «в каком случае ноз двух дробей будет являться произведением знаменателей?«, что выше не было озвучено.
Когда ноз двух дробей равен произведению знаменателей?
Как минимум, когда знаменатели будут простыми числами, т.е. в качестве примера, это выше приведенные дроби со знаменателями 2 и 3. Эти числа являются простыми, т.е. делятся на себя и на 1.
И общий знаменатель двух чисел 2 и 3 будет равен произведению 2 * 3 = 6.
Формула общего знаменателя
Как вы знаете. что если умножить и числитель и знаменатель на одно число, то результат дроби не изменится! Поэтому мы можем вывести формулу общего знаменателя буквами :
Первую дробь умножаем на знаменатель второй дроби.
А вторую дробь умножаем на знаменатель первой дроби
A B + C D =
A*D B*D + C*B D*B =
A*D + C*B DB
Нахождение общего знаменателя с помощью нок.
Для того чтобы найти общий знаменатель, можно воспользоваться правилом «НОК» для двух чисел, которые здесь — знаменатели.
Если вы не сходили по ссылке, то давайте вкратце попробуем разобраться в формуле подбора общего знаменателя.
Пример нахождения общего знаменателя методом разложения на множители
Это тоже самое. что и выше приведенный «НОК» — только может называться по другому. смайлы
Этот способ может называться как «нахождение общего знаменателя методом разложения на множители»
Либо «метод нахождения наименьшего общего знаменателя» или просто «НОЗ»
Рассмотрим два знаменателя 8 и 6, к примеру это могут быть две дроби 1/8 и 1/6 и нам нужно найти их общий знаменатель.
Надо расположить в первую строчку наибольший знаменатель — это 8 и разложить его на множители:
Ниже раскладываем меньший знаменатель :
Далее нам нужно исключить все множители, которые повторяются в меньшем знаменателе. это 2 и у нас остается 3. далее эту тройку надо умножить на больший знаменатель :
Итого получаем общий знаменатель = 24.
Пример номер 2 подбора общего знаменателя
Чтобы у вас не возникало сомнений, давайте разберем второй пример подбора общего знаменателя, пусть это будут 4 и 10.
Берем больший знаменатель раскладываем его на множители :
Раскладываем меньший знаменатель :
Виртуально исключаем повторяющиеся множители из второго знаменателя — это 2. И во втором знаменателе остается вторая 2. Умножаем больший знаменатель на 2 :
Итого получаем общий знаменатель 20, двух чисел 4 и 10.
Как найти общий знаменатель дробей онлайн
У нас есть калькулятор, который в том числе умеет находить общий знаменатель дробей онлайн!
Прежде чем приступать к поиску общего знаменателя, давайте найдем общий знаменатель для двух знаменателей, а потом проверим данное решение на калькуляторе.
Пусть это будут два знаменателя 20 и 6.
Раскладываем больший знаменатель на множители :
Раскладываем на множители второй знаменатель :
Исключаем повторяющиеся множители во втором знаменателе и у нас остается одна двойка.
Умножаем больший знаменатель на 2 :
Итого получаем их общий знаменатель 40.
Переходим к нахождению общего знаменателя онлайн
Открываем наш калькулятор.
Вводим первый знаменатель 20.
Нажимаем кнопку «НОК»
Набираем второй знаменатель 8.
Нажимаем равно — » https://dwweb.ru/__img/calc/a/0073_kak_nayti_obschiy_znamenatel_2020_09_17_09_41.png» alt=»Переходим к нахождению общего знаменателя онлайн» title=»Переходим к нахождению общего знаменателя онлайн» >
Получаем результат нахождения общего знаменателя онлайн :
Общий знаменатель дробей
Это правило позволяет легко и быстро устно найти наименьший общий знаменатель дробей.
Правило нахождения наименьшего общего знаменателя для двух или нескольких дробей:
1) Выбираем из всех знаменателей наибольшее число и проверяем, делится ли оно на остальные. Если делится, то это число и есть наименьший общий знаменатель (НОЗ) этих дробей.
2) Если наибольший знаменатель не делится на все остальные, умножаем его на 2 и проверяем, делится ли полученное число на все остальные. Если делится, то это новое число и есть НОЗ.
3) Если после умножения на два новое число не делится на все остальные, наибольший из знаменателей умножаем на 3,4,5 и так далее до тех пор, пока новое число не будет делиться на все остальные. Это новое число и есть наименьший общий знаменатель.
Найти общий знаменатель дробей:
Выбираем бОльший знаменатель и проверяем, делится ли он на меньший. 12 на 4 делится. Значит, наименьший общий знаменатель этих дробей равен 12.
Выбираем больший знаменатель и проверяем, делится ли он на меньший. 15 на 10 не делится. Умножаем бОльший знаменатель на 2 и проверяем, делится ли новое число на меньший знаменатель. 15∙2=30, 30 на 10 делится. Значит, наименьший общий знаменатель этих дробей равен 30.
Выбираем большее число и проверяем, делится ли оно на остальные. 20 на 15 и 12 не делится. Большее число умножаем на 2 и проверяем, делится ли новое число на остальные. 20∙2=40. 40 на 15 и 12 не делится. Значит, большее число 20 надо умножить на 3 и проверить, будет ли делиться результат на остальные. 20∙3=60. 60 делится и на 15, и на 12. Поэтому 60 — наименьший общий знаменатель этих дробей.
Большее — 18. Оно не делится на меньшее — 15. Умножаем большее на 2: 18∙2=36. 36 на 15 не делится. Умножаем большее на 3: 18 ∙3=54. 54 на 15 не делится. Умножаем большее на 4: 18∙4=72. 72 на 15 не делится. Умножаем большее на 5: 18∙5=90. 90 на 15 делится. Значит, наименьший общий знаменатель этих дробей равен 90.
В следующий раз мы посмотрим, как это правило применять при сложении и вычитании дробей с разными знаменателями.
Пожалуйста, помогите найти мне по ШАГОВО . КАК МОЖНО НАЙТИ КОРОТКО И БЫСТРО НАИМЕНЬШИЙ ОБЩИЙ ЗНАМЕНАТЕЛЬ НАПРИМЕР 11/30 И 8/45 ; КАК НАЙТИ ОЧЕНЬ КОРОТКО И БЫСТРО ЧТОБ НА КОНТРОЛЬНОЙ НЕ ТЕРЯТЬ ВРЕМЯ
1) В этом способе нужно сначала разложить на множители знаменатели 30 и 45. Должен быть общий множитель. Один из множителей должен быть максимально большим, чтобы потом не было больших чисел.
Допустим, если взять за общий множитель 5, разложить на множители, получаются слишком большие числа.
Если взять за общий множитель 3, разложить на множители, получаются слишком большие числа.
Из всего этого видно, что лучше, чтобы один из множителей был максимально большим. Но при этих случаях, дроби также приведены к общему знаменателю.
2) Есть ещё один способ. Он действует, когда общих множителей просто нет. Тогда надо умножить знаменатели на числители крест на крест. Но в нашем случае, общие множители есть, я просто показываю на этих дробях, как это будет наглядно выглядеть.