Как найти базис линейной оболочки векторов

Базисы линейной оболочки

1. Так как система содержит ненулевой вектор, то она обладает базисом . Докажем, что – базис линейной оболочки. Система векторов линейно независима. Следовательно, достаточно показать, что каждый вектор из подпространства разлагается по векторам . Так как вектор , то вектор разлагается по системе векторов . Отсюда и из того, что каждый из векторов разлагается по векторам , вытекает, что разлагается по системе векторов (§ 1, утверждение 5[1]).

2. Множество содержит бесконечно много различных ненулевых векторов. Действительно, если , то 2 ,3 . n – различные векторы множества . Следовательно, в этом множестве найдется такой ненулевой вектор , что , i=1,2. m. Дополняя вектор до базиса , получим базис, который не является частью и, значит, не может быть базисом системы векторов .■

Базисы подпространства решений однородной системы линейных уравнений

□ Теорема 1.7. Система векторов является базисом подпространства тогда и только тогда, когда – фундаментальный набор решений (ФНР) системы уравнений с n неизвестными.

Необходимость. Пусть система векторов базис подпространства L, а – какой-нибудь ФНР (теорема 5.7 [1]), n – число неизвестных в системе, r – ранг матрицы . Рассмотрим систему векторов

Части и являются базисами этой системы векторов. Так как различные базисы системы векторов содержат одно и то же число векторов, то (теорема 2.15 [1]). Отсюда и из линейной независимости системы вытекает, что эти векторы образуют ФНР.

Достаточность. Если ФНР системы уравнений то векторы линейно независимы и каждое решение системы уравнений разлагается по векторам (теорема 5.8 [1]). Следовательно, − базис подпространства L. ■

Пример

Доказать, что множество всех n-мерных векторов, у которых сумма четных координат равна сумме нечетных, образует подпространство; найти базис этого подпространства.

Решение. Если векторы и принадлежат множеству то

то векторы и принадлежат множеству и, значит, подпространство.

Найдем базис подпространства . Из определения подпространства следует, что вектор принадлежит тогда и только тогда, когда его координаты являются решением уравнения

если у вектора число координат четно, и решением уравнения

если у вектора число координат нечетно.

Базисом подпространства является ФНР этих уравнений. Найдем ФНР первого уравнения, которое перепишем в виде

Табличная форма записи этого уравнения имеет следующий вид:

2. Базис и размерность линейного пространства

Фундаментальным вопросом теории линейных пространств является вопрос о том, можно ли, а если можно, то как, произвольный вектор пространства представить в виде линейной комбинации фиксированного набора векторов из этого пространства. Далее мы получим ответ на этот вопрос.

Система линейно независимых векторов векторного пространстваназываетсябазисом этого пространства, если любой вектор из может быть представлен в виде линейной комбинации векторов этой системы, т.е. для каждого векторасуществуют вещественные числа такие, что имеет место равенство

.

Это равенство называется разложением вектора по базису , а числаназываютсякоординатами вектора относительно базиса (или в базисе) .

Утверждение

Базисом линейного пространства решений одно­родной системы является ее фундаментальная система реше­ний.

ТЕОРЕМА (о единственности разложения по базису). Каждый вектор пространстваможет быть разложен по базису единственным образом, т.е. координаты каждого вектора в базисе определяются однозначно.

Главное значение базиса заключается в том, что операции сложения векторов и умножения их на числа при задании базиса превращаются в соответствующие операции над числами – координатами этих векторов. А именно, справедлива следующая

ТЕОРЕМА. При сложении двух любых векторов линейного пространства их координаты (относительно любого базиса пространства) складываются; при умножении произвольного вектора на любое число все координаты этого вектора умножаются на.

Типовой пример

Исследуем вопрос о базисе пространства , введенного ранее при рассмотрении Типовой примеров векторных пространств. Покажем, чтоэлементовуказанного пространства образуют базис.

►Во-первых, эти векторы линейно независимы. Проверка линейной независимости набора состоит в определении значений, при которых возможно равенство

.

Но в силу только что доказанной теоремы

,

а последний вектор является нулевым лишь при условии . Во-вторых, всякий векторзаведомо представим в виде линейной комбинации векторов:и, значит, наборобразует базис. ◄

Векторное пространство называется -мерным, если в нем существуютлинейно независимых векторов, а любыевекторов уже являются линейно зависимыми. При этом числоназываетсяразмерностьюпространства.

Размерность векторного пространства, состоящего из одного нулевого вектора, принимается равной нулю.

Размерность пространства обычно обозначают символом.

Векторное пространство называетсябесконечномерным, если в нем существует любое число линейно независимых векторов. В этом случае пишут.

Выясним связь между понятиями базиса и размерности пространства.

ТЕОРЕМА.Если – векторное пространство размерности, то любыелинейно независимых векторов этого пространства образуют его базис.

ТЕОРЕМА.Если векторное пространство имеет базис, состоящий извекторов, то.

Утверждение

R n =n.

Типовые примеры

1. Образуют ли базис в пространстве R 3 векторы ?

►По определению базис составляют линейно независимые векторы. Линейная зависимость (или независимость) определяется исходя из анализа равенства нулю линейной комбинации этих векторов: . Последнее векторное уравнение после записи его по компонентам представляет собой систему трёх однородных уравнений относительно . Согласно схеме исследования линейной зависимости векторов вычислим определитель матрицы, составленной из координат векторов Определитель системы равен нулю, следовательно, она имеет нетривиальное решение и это означает, что исходная группа векторов линейно зависима и не образует базис в R 3 . ◄ 2.Найти размерность и один из базисов линейного пространства решений однородной системы: ►Представленная система состоит из трёх уравнений и содержит 5 неизвестных. Выпишем матрицу системы и упростим её с помощью элементарных преобразований, сначала поменяв местами строки 1 и 2, а затем вычитая новую первую строку, умноженную на 3 и 4, соответственно из второй и третьей строк : Видно, что ранг матрицы равен 2. Следовательно, две неизвестные являются главными, а три — свободными. Значит ФСР системы содержит 5-2=3 линейно независимых решения. Выберем в качестве главных. Это можно сделать, т.к. минор 2-го порядка, составленный из коэффициентов при этих неизвестных, отличен от нуля. Система, соответствующая преобразованной матрице, имеет вид Отсюда, выражая главные неизвестные через свободные, получим общее решение Или иначе: . Фундаментальная совокупность решений является базисом линейного пространства решений исходной системы и в данном случае имеет вид Размерность искомого пространства равна 3.◄ Матрицей переходаот базисак базисуназывается матрица вида где для каждого в -ом столбце стоят координатывекторав базисе. УтверждениеКоординаты векторав базисеи координатыэтого же вектора в базисесвязаны равенствомгде — матрица перехода от базисак базису. Утверждение. Матрица перехода от базисак бази­суи матрица обратного переходаот базисак базисусвязаны равенством=.Типовые примеры1.Найти координаты векторав базисе, если известно ►В соответствии с определением матрица перехода от базиса к базисуесть . Обозначим координаты вектора в базисечерез, а в базисечерез. Искомые координатысвязаны с известными координатамиследующим соотношением: . Видно, что для получения координат необходимо вычислить матрицу, обратную. Используя стандартную процедуру, имеем . Вычислим теперь координаты : . ◄

1. Найти матрицу перехода от базиса к базисупо данным разложениям этих векторов в базисе:

. ►Чтобы построить матрицу перехода от базисак базису, необходимо найти разложение векторовпо базису. Сделаем это, представивв виде разложения пос неизвестными координатами, которые требуется определить: , или с учётом вида этих векторов в базисе . Откуда для координат имеем Теперь, зная разложение по, выпишем матрицу: .◄ 5. Линейные оболочки и подпространстваПодпространствомлинейного пространстваназывается множество векторов изтакое, что для любых двух векторовиизи любых двух вещественных чиселилинейная комбинациятакже принадлежит. Утверждение. Подпространство само является линейным про­странством.Линейной оболочкойсистемы векторовназывается множество всех линейных комбинаций векторов. Обозначается. Утверждение. Линейная оболочка системы векторов является подпространством. Пересечениемдвух подпространстви на­зывается множество всех векторов, принадлежащих одновре­менно и, и . Обозначается . Суммой двух подпространстви называется множество всех векторов, представимых в виде, где, . Обозначается . Утверждение. Сумма и пересечение подпространств иявляются линейными пространствами, и их размерности связаны равенством+=+. Сумма двух подпространств называется прямой суммой, если пересечение этих подпространств состо­ит только из нулевого вектора. Типовой пример Найти размерность и какой-нибудь базис суммы и пересечения подпространств, порождённых векторами . ►Вычислим вначале размерность подпространств. С этой целью установим, являются ли линейно независимыми векторы, порождающие данные подпространства. Для подпространства , порождённого векторами, равенство нулю линейной комбинации, эквивалентное системе уравнений, достигается лишь при условии. Следовательно, векторылинейно независимы и размерность подпространстваравна 2:. Для подпространства, порождённого векторами, проводя аналогичный анализ, получим. Вычислим теперь размерность пересечения подпространств и. По определению векторы, составляющие пересечение, принадлежат одновременно обоим подпространствам. Произвольный векторподпространстваявляется линейной комбинацией базисных векторов:. Аналогично для подпространстваимеем, тогда условие принадлежности пересечению естьили. Это условие представляет собой систему уравнений относительно коэффициентов . Составим матрицу системы и упростим её с помощью элементарных преобразований: Как видно ранг системы равен 3. Значит ФСР состоит из одного линейно независимого вектора. Найдём его, решив систему уравнений, соответствующих последней матрице, получим , откуда . Полагая свободное неизвестное , для остальных имеем . Итак, пересечение подпространствимеет один базисный вектор . Размерность пересечения . Следовательно, в соответствии с равенством размерность суммы подпространств . В качестве базиса суммы подпространств можно взять, например, векторы, дополненные вектором. В линейной независимости векторовубедиться нетрудно.◄

Пример решенной контрольной по линейной алгебре

Дана матрица . Найти:

1) Базис линейной оболочки строк матрицы

2) Базис пространства решений системы

Элементарными преобразованиями над строками матрицы приведем ее к ступенчатому виду:

Поменяем местами первую и вторую строки:

Умножим первую строку на 2 и сложим со второй, умножим первую строку на 3 и сложим с третьей, умножим первую строку на (-3) и сложим с четвертой, умножим первую строку на 3 и сложим с пятой

Умножим вторую строку на 4 и сложим с третьей, умножим вторую строку на (-1) и сложим с четвертой, умножим вторую строку на 3 и сложим с пятой

Разделим третью строку на (-6), разделим четвертую строку на 2, разделим пятую строку на (-5)

Умножим третью строку на (-1) и сложим с четвертой, умножим третью строку на (-1) и сложим с пятой

Строки матрицы 1, 2, 3 линейно независимы. Ранг матрицы равен 3, переменных 5, значит, базис пространства решений состоит из двух векторов. Примем переменные за базисные, а переменные за свободные. Выразим базисные переменные через свободные :

Сложим третью и вторую строки, умножим третью строку на 2 и сложим с первой

Умножим вторую строку на (-1)

Умножим вторую строку на (-3) и сложим с первой

Положим получим первый базисный вектор пространства решений:

Положим получим второй базисный вектор пространства решений:

Найти координаты столбца в ортогональном базисе:

.

Представим вектор в виде линейной комбинации векторов

Последнему равенству соответствует система уравнений:

Решим систему уравнений по формулам Крамера:

Так как базис ортогональный, то координаты вектора в базисе можно найти по формулам:

Даны столбцы и . Найти столбец , ортогональный так, чтобы линейные оболочки и совпадали.

Найдем вектор , применяя процесс ортогонализации:

Учитывая, что вектор есть линейная комбинация векторов и , то

Аналогично, вектор есть линейная комбинация векторов и , поэтому

Откуда получаем, что

Запишите матрицу линейного оператора в базисе , если известно, что ,

-ый столбец матрицы оператора в базисе равен столбцу координат элемента в этом базисе:

В стандартном базисе пространства найти матрицу оператора , если

, где

Найдем образы базисных векторов

-ый столбец матрицы оператора в стандартном базисе равен столбцу координат элемента в этом базисе:

Научный форум dxdy

Всем доброго времени суток.
Сейчас читаю Матричный анализ и линейная алгебра Тыртышникова и встретил там следующее определение базиса линейной оболочки векторов:

Линейно независимая система векторов называется базисом линейной оболочки , если

Последнее равенство — — сбивает меня с толку, ведь из него следует, что

Как понимать равенство линейных оболочек?

Re: Определение базиса линейной оболочки
12.05.2017, 19:54

Заслуженный участник

Последний раз редактировалось Mikhail_K 12.05.2017, 19:55, всего редактировалось 1 раз.

sasa-zmei в сообщении #1216051 писал(а):
Как понимать равенство линейных оболочек?

Как равенство, совпадение двух множеств.
Почему бы и не совпадать линейным оболочкам двух разных систем множеств.
Ключевой момент здесь в том, что система Заслуженный участник

sasa-zmei в сообщении #1216051 писал(а):

Линейно независимая система векторов называется базисом линейной оболочки , если

Вообще-то довольно извращённое определение. Вообще-то любой набор векторов, принадлежащих некоторой линейной оболочке, является базисом в ней, если он является базисом. Ибо понятие базиса — первичнее понятия оболочки.

Re: Определение базиса линейной оболочки
12.05.2017, 20:18

Заслуженный участник

sasa-zmei
Подумайте вот над чем. Возьмем привычную евклилову плоскость . Элемент линейного пространства — вектор, отложенный из начала координат. — орты.
Ответьте, что является линейной оболочкой:
1) системы
2) системы
3) системы всех векторов линейного пространства?

Re: Определение базиса линейной оболочки
13.05.2017, 16:07

Кажется я понял: равенство надо понимать в том смысле, что линейная оболочка может быть выражена через линейную комбинацию векторов .

Re: Определение базиса линейной оболочки
13.05.2017, 16:11

Заслуженный участник

Последний раз редактировалось Mikhail_K 13.05.2017, 16:11, всего редактировалось 1 раз.

Приведите всё-таки определение линейной оболочки и ответьте на вопросы Anton_Peplov .
Re: Определение базиса линейной оболочки
13.05.2017, 19:27

Линейная оболочка — множество всех линейных комбинаций векторов

Ответы на вопросы Anton_Peplov :

Anton_Peplov в сообщении #1216059 писал(а):

Ответьте, что является линейной оболочкой:
1) системы
2) системы
3) системы всех векторов линейного пространства?

1.) множество всех линейных комбинаций векторов
2.) множество всех линейных комбинаций векторов
3.) множество всех линейных комбинаций векторов