Как найти координаты вектора в базисе

16. Базис. Координаты вектора в базисе

Определим понятие базиса на прямой, плоскости и в пространстве.

Базисом на прямой называется любой ненулевой вектор на этой прямой. Любой другой вектор , коллинеарный данной прямой, может быть выражен через вектор в виде .

Базисом на плоскости называются любых два линейно независимых вектора и этой плоскости, взятые в определенном порядке. Любой третий вектор , компланарный плоскости, на которой выбран базис , может быть представлен в виде .

Базисом в трехмерном пространстве называются любые три некомпланарных вектора , взятые в определенном порядке. Такой базис обозначается. Пусть ‑ произвольный вектор трехмерного пространства, в котором выбран базис . Тогда существуют числа такие, что:

Коэффициенты называются координатами вектора в базисе , а формула (4.5) есть разложение вектора по данному базису.

Координаты вектора в заданном базисе определяются однозначно. Введение координат для векторов позволяет сводить различные соотношения между векторами к числовым соотношениям между их координатами. Координаты линейной комбинации векторов равны таким же линейным комбинациям соответствующих координат этих векторов.

Главная
Заказать работу
Стоимость решения
Варианты оплаты
Ответы на вопросы (FAQ)
Отзывы о нас
Примеры решения задач
Методички по математике
Помощь по всем предметам
Заработок для студентов

Как найти координаты вектора в базисе?

Хм, у меня получилось (67, -51, -3, 11)
Кому не лень — проверьте.

(при сведении к ступенчатому виду получаю доп. матрицу (0,0,3,22))

Лучший ответ

Состаьте и решите систему линейных уравнений :
k1*a1 + k2*a2 + k3*a3 + k4*a4 = x

k1 + 2k2 + 3k3 + 4k4 = 0
2k1 + 3k2 + k3 + 2k4 = 0
k1 + k2 + k3 — k4 = 2
k1 — 2k3 -6k4 = 7

( k1,k2,k3,k4 ) — и будут координаты вектора х в этом базисе.
Надеюсь, систему линейных уравнений сможете решить сами.
Кстати, что такое вектор (0,0,2,7) — это 0*(1,0,0,0) + 0*(0,1,0,0) + 2*(0,0,1,0) + 7*(0,0,0,1)
Удачи !

Найти координаты вектора в базисе

Здравствуйте!
Помогите выполнить задание:
Даны векторы a (1; 2; 1), b (2; –2; 1), c (1; –2; 0) и d (0; 3; 1). Проверить, образуют ли векторы a, b, c базис, и если да, то найти координаты вектора d в этом базисе.
Спасибо!

Asix Админ. ответил 6 лет назад

Задание.
Даны векторы a (1; 2; 1), b (2; —2; 1), c (1; —2; 0) и d (0; 3; 1). Проверить, образуют ли векторы a, b, c базис, и если да, то найти координаты вектора d в этом базисе.

Решение.
Запишем соотношение для векторов , которое будет справедливым для каждой проекции вектора на оси. Для этого подставим соответствующие координаты заданных векторов:

$\alpha\cdot 1+\beta\cdot 2+\gamma\cdot 1=0$

$\alpha\cdot 2+\beta\cdot \left(-2\right)+\gamma\cdot 1=3$

$\alpha\cdot 1+\beta\cdot \left(-2\right)+\gamma\cdot 0=1$

В результате получили алгебраическая система из трёх уравнений с тремя неизвестными. Рассматривать возможные способы решения сейчас не будем. Лишь упомяну, что удобнее в данном случае корни вычислить с помощью нескольких методов, например, метода Крамера или же метода обратной матрицы. Мы же воспользуемся следующим методом:

$\left\{ \begin{array}{c} \alpha+2\beta+\gamma=0, \\ 2\alpha-2\beta+\gamma=3, \\ \alpha-2\beta=1 \end{array} \right.$

К первому уравнению добавим третье и запишем результат на месте первого:

$\left\{ \begin{array}{c} 2\alpha+\gamma=1, \\ 2\alpha-2\beta+\gamma=3, \\ \alpha-2\beta=1 \end{array} \right.$

От второго уравнения отнимем первое:

Выразим из второго уравнения :

Подставим это значение в третье уравнение и вычислим значение :

$\left\{ \begin{array}{c} 2\alpha+\gamma=1, \\ \beta=-1, \\ \alpha-2\cdot \left(-1\right)=1 \end{array} \right.$

Подставим последнее полученное значение в первое уравнение, чтобы вычислить значение :

$\left\{ \begin{array}{c} 2\cdot \left(-1\right)+\gamma=1, \\ \gamma=-1, \\ \gamma=-1 \end{array} \right.$

Запишем решение данной системы:

Следовательно, вектор d также будет иметь разложение в базисе векторов a, b, c:

Ответ. .

Координаты вектора на плоскости и базис

Базисом на плоскости называются два неколлинеарных вектора на этой плоскости, взятые в определённом порядке (рис. 1.29). Эти векторы называются базисными.

Пусть на плоскости задан базис . Построим прямые и , содержащие базисные векторы и соответственно. Эти прямые пересекаются, так как базисные векторы неколлинеарные. Согласно пункт 1 теоремы 1.1, вектор , где — проекция вектора вдоль ; — проекция вектора вдоль , причем проекции определяются однозначно. Вектор , принадлежащий прямой , можно разложить по базису на этой прямой (см. разд. 1.7), т.е. представить в виде , причем число определяется однозначно. Вектор , принадлежащий прямой , можно разложить по базису на этой прямой (см. разд. 1.7), т.е. представить в виде , причем число определяется однозначно. Подставляя эти разложения в равенство , получаем разложение вектора по базисным векторам на плоскости

Таким образом, справедлива следующая теорема.

Теорема 1.4 (о разложении вектора по базису на плоскости). Любой вектор на этой плоскости, т.е. представлен в виде (1.3), где числа и определяются однозначно.

Коэффициенты и в разложении (1.3) называются координатами вектора (число называют абсциссой, а — ординатой вектора ( — абсцисса, — ордината вектора ).

Базисные векторы , отложенные от одной (произвольной) точки плоскости, называются репером на плоскости.

Ориентации базисов на плоскости

Базис на плоскости называется правым (или, что то же самое, упорядоченная пара неколлинеарных векторов называется правой парой), если кратчайший поворот от первого вектора ко второму происходит против часовой стрелки (это направление поворота считается положительным). Базисные векторы (рис.1.30,а) правого базиса расположены соответственно как большой и указательный пальцы правой руки, если, смотреть на ее ладонь.

Левым базисом на плоскости (левой парой) называется такой базис, у которого кратчайший поворот от вектора к вектору происходит по часовой стрелке (такое направление вращения считается отрицательным). Базисные векторы (рис. 1.30,б) левого базиса расположены соответственно как большой и указательный пальцы левой руки, если смотреть на ее ладонь.

Отметим следующее свойство: если неколлинеарные векторы образуют правую пару, то пары, получающиеся перестановкой векторов (пара ) или заменой одного вектора противоположным (например, а ), образуют левую пару.

Пример 1.9. В параллелограмме точка — точка пересечения медиан треугольника (рис. 1.31). Разложить векторы и по векторам и .

Решение. Чтобы разложить вектор , применяем правило ломаной: вектор

Выразим все векторы этого равенства, за исключением искомого вектора , через векторы и , получаем .

Так как точка пересечения диагоналей параллелограмма делит каждую диагональ пополам, а точка делит медиану треугольника в отношении , заключаем, что

По правилу сложения векторов имеем . Отсюда находим искомое разложение