Как извлечь корень из большого числа без калькулятора?
Люди помогите плиз. В воскресенье сдаю экзамен по математике, это может пригодиться.
Лучший ответ
Смотря какое это число, если точный квадрат, то есть несколько простых советов. Во-первых, прикинь ближайший меньшия или больший квадрат такого числа. Далее, надо знать, что квадраты натуральных чисел дают в конце только такие цифры: 0,1, 4, 5, 6, 9. Например, корень из 7569, очевидно, что это число больше 80 и меньше 90, а т. к. в конце стоит 9, то это либо 83, либо 87, но т. к. это число гораздо ближе к 8100, чем к 6400, то это 87. Остается проверить. Есть алгоритм извлечения квадратного корня из любого числа, но описывать его здесь долго.
Остальные ответы
Извлечение корня из большого числа
Извлечение корня из большого числа. Дорогие друзья! В этой статье мы с вами разберём как извлекать корень из большого числа без калькулятора. Это необходимо не только для решения некоторых типов задач ЕГЭ (есть такие — на движение), но и для общего математического развития этот аналитический приём знать желательно.
Казалось бы, всё просто: разложи на множители, да извлекай. Проблемы нет. Например число 291600 при разложении даст произведение:
Есть одно НО! Способ хорош если легко определяются делители 2, 3, 4 и так далее. А что делать если число, из которого мы извлекаем корень является произведением простых чисел? Например 152881 является произведением чисел 17, 17, 23, 23. Попробуй-ка сходу найди эти делители.
Суть рассматриваемого нами метода — это чистый анализ. Корень при наработанном навыке находится быстро. Если навык не отработан, а просто понят подход, то немного медленнее, но всё же определяется.
Извлечём корень из 190969.
Сначала определим — между какими числами (кратными ста) лежит наш результат.
Очевидно, что результат корня из данного числа лежит в пределах от 400 до 500, так как
400 2 =160000 и 500 2 =250000
Далее смотрим, где «стоит» это число:
посредине, ближе к 160 000 или к 250 000?
Число 190969 находится примерно посредине, но все же ближе к 160000. Можно сделать вывод, что результат нашего корня будет меньше 450. Проверим:
Действительно, он меньше 450, так как 190 969 < 202 500.
Теперь проверим число 440:
Значит наш результат меньше 440, так как 190 969 < 193 600.
Проверяем число 430:
Мы установили, что результат данного корня лежит в пределах от 430 до 440.
Далее используются свойства произведений чисел. Известно, что:
Произведение чисел имеющих на конце 1 или 9 дают число с 1 в конце. Например, 21 на 21 равно 441.
Произведение чисел имеющих на конце 2 или 8 дают число с 4 в конце. Например, 18 на 18 равно 324.
Произведение чисел имеющих на конце 5 дают число с 5 в конце. Например, 25 на 25 равно 625.
Произведение чисел имеющих на конце 4 или 6 дают число с 6 в конце. Например 26 на 26 равно 676.
Произведение чисел имеющих на конце 3 или 7 дают число с 9 в конце. Например, 17 на 17 равно 289.
Так как число 190969 заканчивается цифрой 9, то это произведение либо числа 433, либо 437.
*Только они при возведении в квадрат могут дать 9 в конце.
Значит результат корня будет равен 437.
То есть, мы как бы «нащупали» верный ответ.
Как видите, максимум что потребуется это осуществить 5 действий столбиком. Возможно, вы сразу попадёте в точку, или сделаете всего три действия. Всё зависит о того, как точно вы сделаете начальную оценку числа.
Извлеките самостоятельно корень из 148996
Такой дискриминант получается в задаче:
Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 336 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 5 км/ч, стоянка длится 10 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 48 часов после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.
Посмотреть решение
Результат корня находится между числами 300 и 400:
300 2 =90000 400 2 =160000
Суть дальнейших рассуждений сводится к тому, чтобы определить, как число 148996 расположено (отстоит) относительно этих чисел.
Вычислим разности 148996 — 90000=58996 и 160000 — 148996=11004.
Получается, что 148996 близко (на много ближе) к 160000. Поэтому, результат корня однозначно будет больше 350 и даже 360.
Далее пробуем возводить в квадрат, например число 370. Как бы «щупаем» результат:
Можем сделать вывод, что наш результат больше 370. Далее ясно: так как 148996 оканчивается цифрой 6, то это означает, что в квадрат надо возводить число, оканчивающееся либо на 4, либо на 6. *Только эти числа при возведении в квадрат дают в конце 6.
Проверяем числа 374, 376, 384, 386, 394 …
Объективно говоря, вероятность того, что вам попадёт подобная задача, очень мала. Но пусть этот приём в вашем арсенале будет. Впереди вас ждёт много полезного, не пропустите!
Есть ещё метод по извлечению корня из большого числа, называют его алгоритмом Евклида. Его достоинство состоит в том, что можно извлекать корень из любого числа с необходимой точностью до десятых, сотых и тд. То есть корни неизвлекаемые в целых числах. *В будущем статья будет обязательно дополнена.
С уважением, Александр Крутицких.
P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.
Для вас другие записи этой рубрики:
- Значения тригонометрических функций. Как запомнить!
- Кубический корень (извлечение без калькулятора)
- Радианы в градусы, градусы в радианы!
- Синус и косинус. Запомнить навсегда!
Категория: Приёмы | БЕЗ калькулятора
НЕ ОТКЛАДЫВАЙ! Заговори на английском!
ДОЛОЙ обидные ошибки на ЕГЭ!!
Подготовка к ЕГЭ, онлайн-обучение с Фоксворд!
Замучили боль и скованность в мышцах спины?
Галина Михайловна
Александр Крутицких
Пожалуйста, рад, если пригодится.
Татьяна Бурмистренко
Извлекать корень их числа нас в школе, к сожалению учат на уровне чисел первой сотни, ну в лучшем случае второй. А дальше — применяй таблицу квадратных корней, и все тут. Хорошо, если она у тебя под рукой. А в учебниках для 9-11 классов ее ни на форзаце, ни в справочных материалах нет. И вот тогда выручают такие статьи , как эта. Александр, отличное предложение нашим ученикам — преодолеть ленность мозгов и научиться практически устно (во всяком случае, без калькуляторов) извлекать корни. А бонус к статье о Сундакове — прекрасное дополнение о том, что только увлеченный КОНКРЕТНЫМ делом человек способен быть независимым и счастливым в этом мире. СПАСИБО.
Александр Крутицких
Да. Увлечение своим делом это очень важно. Каким бы смешным и незначительным со стороны не казалось увелечение, очень важно чтобы оно БЫЛО. Маленькие увлечения перерастают в большие, появляются новые идеи. И это только потому, что человек к чему-то стремился. Ведь по природе своей каждый из нас творец. Надо статью на эту тему написать.
Татьяна Бурмистренко
Поставила ссылку на эту статью вот здесь: repetitor-problem.net/kalkulyator
Владимир Владленович
Зачем так усложнять. В реальных задачах на егэ только квадраты первой сотни встречаются, а их на автомате многие так и не научились брать. Технология таже, только примеры попроще, больше пользы в применение �� Это из личной практики по подготовке к егэ.
Александр Крутицких
Не понял критики. и что именно усложнил? Есть ещё ребята, которым интересна математика и всякие «приёмчики». Эта статья для них. Показан сам принцип (не только для решения задач на ЕГЭ), кстати вот вам задачи где подобные квадраты присутствуют mathege.ru/or/ege/ShowPro. ml?protoId=26589 и сама задача 26589 — в ней многие могут дискриминант вычислить до конца, не используя формулу разности квадратов. И тут встанет вопрос как вычислять большой корень.
Владимир Владленович
Это не критика �� Статья великолепна! Только освоить такой способ для БОЛЬШИХ чисел смогут, увы единицы. А заставить �� освоить на числах в пределах сотни можно уже десятки, и примеры задач с малыми корнями встречаются на порядок чаще!
Статья суперская, но в первом разложении закралась ошибка, там семерок не нужно. Сама терпеть не могу зануд, которые ищут ошибки у других, но это же МАТЕМАТИКА .
Александр Крутицких
Ирина, это не занудство, а самая настоящая помощь. Поправил. Если ещё что заметите, пишите! ��
Вы меня приободрили, поэтому напишу еще приемчик из личной практики, может кому пригодится: Как в уме вычислять квадраты двузначных чисел, оканчивающихся на «5»: например, нам нужно возвести 35 в квадрат : 3*4 = 12 (следующая за «3» цифра =4), а в конце приписываем 25 (5*5-квадрат единиц исходного числа). Итог: 35^2 = 1225 Аналогично: 45^2 = 2025 (4*5=20); 55^2 = 3025 (5*6=30); 65^2 = 4225 (6*7=42); 75^2 = 5625 (7*8=56); и т.д. И дальше: Как быстрее возвести в квадрат , например, 125: 12*13 = 156 и приписываем 25. Итог: 125^2 = 15625. Проверим? 125^2=(120+5)^2 = 120^2 + 2*120*5 + 5^2 = 12*12*100 + 12*100 + 5*5 = 12*100*(12+1) + 25 = 12*13*100 + 25 = 15600+25 = 15625 Это правило работает ТОЛЬКО для квадратов чисел, оканчивающихся на «5»! Его можно использовать для произведения чисел с одинаковыми десятками, НО единицы должны дополнять друг друга до «10»: 33*37 = 1221 (3*4=12, 3*7=21) 56*54 = 3024 (5*6=30, 6*4=24) Если такой материал уже был на сайте, можете его не одобрять ))) Или объяснение упростить — длинно получилось.
И так интересненько: 993*997 = 990021 (99*100=9900 и 3*7 = 21)
Этот метод я применяю, когда оцениваю как подкоренное число расположено (отстоит) относительно более известных квадратов: 3249 находится между 2500 и 3600. т.е. между 50 и 60 (как и у вас). Нахожу 55^2 = 3025, 3249>3025, девятку на конце может дать только произведение чисел с семёркой в данном случае это 57: После текста «Далее используются свойства произведений чисел. » я использую не устное правило (которые надо как-то запомнить))), а рисую примерно вот такую таблицу: drive.google.com/file/d/0. view?usp=sharing Наглядность всегда лучше!
Александр Крутицких
Ирина, спасибо.
Спасибо большое. К вопросу о том, какие задачи бывают на ЕГЭ, то я, например, нашла эту статью, пытаясь вычислить корень из 297025, решая задачу: B13 № 5737. Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 513 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 4 км/ч, стоянка длится 8 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 54 часа после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч. Так что статья более чем актуальна.
Александр Крутицких
Владимир Владленович
Эта задача намного проще решается без квадратов, а элементарным подбором корней уравнения. Ушло две минуты. Правда не чистый перебор, а с логикой ;). Разложив 513 на множители. ответ в кармане.
Я показываю ребятам приём извлечения квадратного корня по граням, которому сама научилась, обучаясь в школе.
Есть такое дело, приготовил дополнение к статье про этот способ уже давно. Обязательно размещу.
2 учебника перевернул — не помогло. Спасибо, тут все предельно ясно)
Александр Степанов
Мне нравиться другой вариант, может и муторный но не требующий особых познаний и запоминания специальных приёмов — берём на глазок число примерно соответствующее ответу (даже если сильно ошиблись — не страшно, результат быстро скорректируется)и делим на него исходное число. Пример — корень из 54891. 54891/200 (то самое, на глазок)=274 (округлённо), далее из делителя и частного находим среднее арифметическое (200+274)/2=237 Второе деление производим уже на более точную величину 54891/237=232 (округлённо). Повторяем про среднее арифметическое (237+232)/2=234,5 Проверяем 54891/234,5=234,08 — результат уже не плох, можно и остановиться. А можно продолжить дальше до требуемой точности.
как извлечь квадратный корень из числа 384?
Уважаемый Александр, меня ещё в советской школе научили алгоритму Евклида по извлечению квадратного корня. Зная его, нет никакой необходимости в тех (ИМХО) ужимках, по извлечению квадратного корня из большого и неудобного числа. Стоит также признать, что составители ЕГЭ, в отличие от многих персоналий этого сайта, являются профессионалами весьма высокого уровня, и в реальных ЕГЭ задачах корни извлекаются сравнительно безболезненно. А для неудобных чисел в 21 веке есть калькулятор, всё остальное, описанное в этом разделе, пардон, несерьёзная любительская самодеятельность. Да, дома культуры и клубы нужны, востребованы и пр. Но на века остаются произведения, написанные профессионалами, получившими систематические знания, изучившие то, что сделано «до того» и пр. Конечно, единичные и очень талантливые люди без систематического профильного образования, также оставляют существенный след в своей области, но их, как свидетельствует история, считанные единицы. ну, а о грамматических ошибках авторов и читателей лучше вообще не упоминать, увы. Разумеется, это моё частное оценочное суждение, на «абсолютную истину» не претендую.
Михаил, согласен. Хорош алгоритм и он мне нравится. Но представленное здесь это не ужимки, а дополнительный подход, который вполне понятен ребятам и имеет право быть. При понимании и наработанном навыке ещё вопрос — каким способом можно вычислить быстрее. Например, я сам пробовал описанным способом вычислять корни. Обхожусь двумя действиями и ответ готов через минуту. Составители ЕГЭ профессионалы и на ЕГЭ таких задачек не подкидывают, в типах же заданий банка задач они имеются и данный вопрос ребят интересует. Профессионалы тоже ошибаются. Три года на серьёзных ресурсах, в том числе РЕШУЕГЭ висела группа из 23 задач по планиметрии некорректно составленных (с ошибкой). После того как я обнаружил и написал письмо им, эти задания исключили. Это не повод для гордости, просто был факт такой. Ну самодеятельничаю немного ))) Такой я, люблю это дело. Профессионалы откуда вырастают? Не поливают же их из лейки в секретных местах . Они вырастают из клубов, домов культуры, кружков, объединений, конечно же, и благодаря обучению у родителей. Именно так они получают основы, так им передаётся опыт. Далее способные и ищущие из них пишут произведения, которые остаются на века.
Извлечение квадратного корня в столбик на бумаге
Сегодня калькуляторы доступны повсеместно, и операцию извлечения корня так и подмывает выполнить на каком-нибудь устройстве. Но вычисляя корень на бумаге ученики используют и повторяют весь устный и письменный счёт, квадраты чисел, таблицу умножения. Рекомендуем учителю или родителю возводить в квадрат трёхзначные числа, и ученику раз в неделю или месяц вычислять корни. В конце каждого примера ученика ждёт автоматическая подсказка: если выше допущена хоть одна ошибка, то корень не будет извлекаться нацело. А если в остатке получился ноль, значит строгая дисциплина при вычислении корня была соблюдена полностью. Чтобы вы могли запомнить не только пример, а сам метод, который иллюстрируется примерами — мы разобрали целых три примера.
Извлечение квадратного корня из целых чисел. Пример 1.
Чтобы извлечь квадратный корень из целого числа мы будем циклично предпринимать одну и ту же последовательность действий: Подбери, Занеси, Вычти, Снеси, Удвой, Припиши. Сокращённо ПЗВ СУП — для запоминания: ПоЗоВи СУП.
Пример 1: 763876. Число разделяем на грани (по два разряда) от запятой: 76 38 76. В числе три грани — значит в корне будет три разряда. Сначала старшая грань 76.
Подбираем наибольшее число от 1 до 9 такое, чтоб его квадрат был меньше, чем 76. Это число 8 (т.к. 8 × 8 = 64, а 9 × 9 = уже 81, то есть > 76). Заносим 8 в ответ — это старший разряд ответа (сотни). Вычитаем 64 из 76 — остаётся 12. Сносим к 12-ти следующую грань — 38. Получается 1238. Удваиваем то что в ответе — восьмёрку. Получается 16 — запишем 16 слева от 1238. Приписываем к 16 справа коробочку для ещё одного разряда.
Подбираем наибольшее число от 1 до 9 такое, чтоб 16# × # было не больше, чем 1238. Это число 7 (т.к. 166 × 6 = 996 < 1238, 167 × 7 = 1169 < 1238, а 168 × 8 = 1344, то есть уже >1238). Заносим 7 в ответ — это следующий разряд ответа (десятки). Вычитаем 167 × 7 из 1238 — остаётся 69. Сносим к 69-ти следующую грань — 76. Получается 6976. Удваиваем то, что в ответе — 87. Получается 174 — запишем 174 слева от 6976. Приписываем к 174 справа коробочку для ещё одного разряда.
Подбираем наибольшее число от 1 до 9 такое, чтоб 174# × # было не больше, чем 6976. Это число 4 (т.к. 1743 × 3 = 5229, 1744 × 4 = 6976, а 1745 × 5 = 8725, то есть уже > 6976). Заносим четвёрку в ответ — это будет разряд единиц. Вычитаем 1744 × 4 из 6976 — остаётся ноль.
Значит, квадратный корень из данного числа 763876 — число 874.
Пример 2: 79524.
Число разделяем на грани (по два разряда) от запятой: 07 95 24. В числе три грани — значит, в корне будет три разряда. Старшую грань дополнили ноликом (и стало 07). Вот сначала направляем внимание на старшую грань 07.
Подбираем наибольшее число от 1 до 9 такое, чтоб его квадрат был меньше, чем 7. Это число 2 (т.к. 1 × 1 = 1 < 7, 2 × 2 = 4 < 7, а 3 × 3 = 9, а это уже >7). Заносим 2 в ответ — это старший разряд ответа (сотни). Вычитаем 4 из 07 — остаётся 3. Сносим к 3 следующую грань — 95. Получается 395. Удваиваем то, что в ответе — двойку. Получается 4. Запишем 4 слева от 395. Припишем к 4 справа коробочку для ещё одного разряда.
Подбираем наибольшее число от 1 до 9 такое, чтоб 4# × # было не больше, чем 395. Это число 8 (т.к. 47 × 7 = 329 < 395, 48 × 8 = 384 < 395, а 49 × 9 = 441, то есть уже >395) Заносим 8 в ответ — это будет разряд десятков. Вычитаем (48 × 8 = ) 384 из 395 — остаётся 11. Сносим к 11 следующую грань — 24. Получается 1124. Удваиваем то, что в ответе — 28. Получается 56. Запишем 56 слева от 1124. Приписываем к 56 справа коробочку для ещё одного разряда.
Подбираем наибольшее число от 1 до 9 такое, чтоб 56# × # было не больше, чем 1124. Это число 2 (т.к. 561 × 1 = 561 < 1124, 562 × 2 = 1124, 563 × 3 = 1689 >1124). Заносим 2 в ответ — это будут единицы ответа. Вычитаем 562 × 2 из 1124 — остаётся 0. Значит квадратный корень из данного числа 79524 — это число 282.
Пример 3: 487204.
Число разделяем на грани (по два разряда) от запятой: 48’72’04. В числе три грани, значит в корне будет три разряда. Сначала старшая грань 48.
Подбираем наибольшее число от 1 до 9 такое, чтоб его квадрат был не больше 48. Это число 6 (т.к. 6 × 6 = 36, а 7 × 7 = 49). Заносим 6 в ответ. Это разряд сотен. Вычитаем 36 из 48 — остаётся 12. Сносим к 12 следующую грань — 72. Получается 1272. Удваиваем то, что в ответе — 6. Получается 12. Припишем 12 слева от 1272. Приписываем к 12 коробочку для ещё одного разряда.
Подбираем наибольшее число от 1 до 9 такое, чтоб 138# × # было не больше, чем 11104. Это число 8 (т.к. 1388 × 8=11104, а 1389 × 9 = 12501 > 11104) Заносим 8 в ответ — это разряд единиц. Вычитаем 1388 × 8 = 11104 из 11104 — остаётся 0. Значит квадратный корень из данного числа 487204 — это число 698.
Извлечение корня из большого числа
А у вас есть зависимость от калькулятора? Или вы считаете, что кроме как с калькулятором или при помощи таблицы квадратов очень сложно вычислить, например, $\sqrt$.
Случается, школьники привязаны к калькулятору и даже $0,7$ на $0,5$ умножают, нажимая на заветные кнопочки. Говорят, ну я все равно знаю как посчитать, а сейчас сэкономлю время… Вот будет экзамен… тогда и напрягусь…
Так дело в том, что на экзамене и так будет предостаточно «напряжных моментов»… Как говорится, вода камень точит. Вот и на экзамене мелочи, если их много, способны подкосить…
Давайте минимизируем количество возможных неприятностей.
Извлекаем квадратный корень из большого числа
Мы будем говорить сейчас только о случае, когда результат извлечения корня квадратного – целое число.
Случай 1 + показать
Итак, пусть нам во что-бы то ни стало (например, при вычислении дискриминанта) нужно вычислить корень квадратный из $86436.$
Мы будем раскладывать число $86436$ на простые множители. Делим на $2,$ – получаем $43218;$ снова делим на $2,$ – получаем $21609.$ На $2$ больше нацело число не делится. Но так как сумма цифр делится на $3,$ то и само число делится на $3$ (вообще говоря, видно, что оно и на $9$ делится). $21609:3=7203$. Еще раз делим на $3,$ – получаем $2401.$ $2401$ на $3$ нацело не делится. На пять не делится (не оканчивается цифрой $0$ или $5).$
Подозреваем делимость на $7.$ Действительно, $2401:7=343,$ а $343:7=49$, $49=7\cdot 7.$
Итак, $86436=2^2\cdot 3^2\cdot 7^4.$ Полный порядок!
Случай 2 + показать
Пусть нам нужно вычислить $\sqrt$. Действовать так же, как описано выше, неудобно. Пытаемся разложить на простые множители…
На $2$ число $1849$ нацело не делится (не является четным)…
На $3$ нацело не делится (сумма цифр не кратна $3$)…
На $5$ нацело не делится (последняя цифра – не $5$ и не $0$)…
На $7$ нацело не делится, на $11$ не делится, на $13$ не делится… Ну и долго нам так перебирать все простые числа?
Будем рассуждать несколько иначе.
Мы понимаем, что
Мы сузили круг поиска. Теперь перебираем числа от $41$ до $49.$ Причем ясно, что раз последняя цифра числа – $9,$ то останавливаться стоит на вариантах $43$ или $47,$ – только эти числа при возведении в квадрат дадут последнюю цифру $9.$
Ну и тут уже, конечно, мы останавливаемся на $43.$ Действительно, $43^2=1849.$