1. Наибольшее и наименьшее значения. Размах
Как мы уже знаем, числовой набор характеризуют медиана и среднее арифметическое . Однако этим не ограничивается набор значений, при помощи которых можно охарактеризовать числовой набор.
Наибольшее и наименьшее значения — крайние числа в упорядоченном по возрастанию или убыванию числовом наборе.
Часто при анализе числового набора крайние значения исключают — чтобы не искажать представление о явлении т. н. выбросами, с которыми мы уже сталкивались в темах о среднем арифметическом и медиане. На среднее арифметическое они влияют, а медиана относительно них устойчива.
например, в спорте на отдельный результат влияет множество факторов, поэтому, например, в прыжках в длину засчитывается самый лучший результат спортсмена.
Василий, см
В приведённом примере видно, что средний результат Петра составляет \(200\) см, а Василия — \(196\). Значит ли это, что Василий выполняет упражнение хуже? Нет, засчитан как лучший будет результат третьей попытки Василия — \(215\) см.
наоборот, бывает, что важным является самое маленькое число в наборе. Например, при измерении глубины судоходных рек и каналов в разных местах важна именно самая небольшая глубина, потому что штурману нужно точно знать, где и какое судно может безопасно пройти.
Бывает, что нужно знать не только средние, типичные значения в наборе, но и представлять, насколько числа разбросаны относительно среднего и медианы. Тогда в статистике используется понятие «Размах».
Размах числового набора — разность между наибольшим и наименьшим значением этого числового набора.
Часто слишком большой размах числового набора означает, что в результатах измерений есть ошибка — то есть с помощью этого инструмента можно научить, например, компьютер сигнализировать исследователю о том, что во введённом наборе данных в силу слишком большого размаха могут быть неточности, и тогда человек перепроверит внесённые им данные там, где они подозрительно сильно отличаются от средних и типичных.
Наибольшее и наименьшее значение функции
На практике довольно часто приходится использовать производную для того, чтобы вычислить самое большое и самое маленькое значение функции. Мы выполняем это действие тогда, когда выясняем, как минимизировать издержки, увеличить прибыль, рассчитать оптимальную нагрузку на производство и др., то есть в тех случаях, когда нужно осуществить поиск и определить оптимальное значение какого-либо параметра или количество. Чтобы решить такие задачи верно, надо хорошо понимать, что такое наибольшее и наименьшее значение функции.
Обычно нами строится выражение этих значений в рамках некоторого интервала x , который может в свою очередь соответствовать всей области определения функции или ее части. Это может быть как отрезок [ a ; b ] , так и открытый интервал ( a ; b ) , ( a ; b ] , [ a ; b ) , бесконечный интервал ( a ; b ) , ( a ; b ] , [ a ; b ) либо бесконечный промежуток — ∞ ; a , ( — ∞ ; a ] , [ a ; + ∞ ) , ( — ∞ ; + ∞ ) .
В этом материале мы расскажем, как найти наибольшее и наименьшее значение явно заданной функции с одной переменной y=f(x) y = f ( x ), чтобы вам не нужно было искать это самостоятельно онлайн .
Основные определения
Начнем, как всегда, с формулировки основных определений: какое значение называют максимальным и минимальным?.
Как найти наибольшее и наименьшее значение непрерывной функции на открытом или бесконечном интервале
Перед тем как изучить данный способ, советуем вам повторить, как правильно вычислять односторонний предел и предел на бесконечности, а также узнавать основные методы их нахождения. Чтобы найти наибольшее и/или наименьшее значение функции на открытом или бесконечном интервале, выполняем последовательно следующие действия.
- Для начала нужно проверить, будет ли заданный интервал являться подмножеством области определения данной функции.
- Определим все точки, которые содержатся в нужном интервале и в которых не существует первой производной. Обычно они бывают у функций, где аргумент заключен в знаке модуля, и у степенных функций с дробно рациональным показателем. Если же эти точки отсутствуют, то можно переходить к следующему шагу.
- Теперь определим, какие стационарные точки попадут в заданный промежуток. Сначала приравняем производную к 0 , решим уравнение и подберем подходящие корни. Если у нас нет ни одной стационарной точки или они не попадают в заданный интервал, то сразу переходим к дальнейшим действиям. Их определяет вид интервала.
- Если интервал имеет вид [ a ; b ) , то нам надо вычислить значение функции в точке x = a и односторонний предел lim x → b — 0 f ( x ) .
- Если интервал имеет вид ( a ; b ] , то нам надо вычислить значение функции в точке x = b и односторонний предел lim x → a + 0 f ( x ) .
- Если интервал имеет вид ( a ; b ) , то нам надо вычислить односторонние пределы lim x → b — 0 f ( x ) , lim x → a + 0 f ( x ) .
- Если интервал имеет вид [ a ; + ∞ ) , то надо вычислить значение в точке x = a и предел на плюс бесконечности lim x → + ∞ f ( x ) .
- Если интервал выглядит как ( — ∞ ; b ] , вычисляем значение в точке x = b и предел на минус бесконечности lim x → — ∞ f ( x ) .
- Если — ∞ ; b , то считаем односторонний предел lim x → b — 0 f ( x ) и предел на минус бесконечности lim x → — ∞ f ( x )
- Если же — ∞ ; + ∞ , то считаем пределы на минус и плюс бесконечности lim x → + ∞ f ( x ) , lim x → — ∞ f ( x ) .
- В конце нужно сделать вывод на основе полученных значений функции и пределов. Здесь возможно множество вариантов. Так, если односторонний предел равен минус бесконечности или плюс бесконечности, то сразу понятно, что о наименьшем и наибольшем значении функции сказать ничего нельзя. Ниже мы разберем один типичный пример. Подробные описания помогут вам понять, что к чему. При необходимости можно вернуться к рисункам 4 — 8 в первой части материала.
Условие: дана функция y = 3 e 1 x 2 + x — 6 — 4 . Вычислите ее наибольшее и наименьшее значение в интервалах — ∞ ; — 4 , — ∞ ; — 3 , ( — 3 ; 1 ] , ( — 3 ; 2 ) , [ 1 ; 2 ) , 2 ; + ∞ , [ 4 ; + ∞ ) .
Решение
Первым делом находим область определения функции. В знаменателе дроби стоит квадратный (квадратичный) трехчлен, который не должен обращаться в 0 :
x 2 + x — 6 = 0 D = 1 2 — 4 · 1 · ( — 6 ) = 25 x 1 = — 1 — 5 2 = — 3 x 2 = — 1 + 5 2 = 2 ⇒ D ( y ) : x ∈ ( — ∞ ; — 3 ) ∪ ( — 3 ; 2 ) ∪ ( 2 ; + ∞ )
Мы получили область определения функции, к которой принадлежат все указанные в условии интервалы.
Теперь выполним дифференцирование функции и получим:
y ‘ = 3 e 1 x 2 + x — 6 — 4 ‘ = 3 · e 1 x 2 + x — 6 ‘ = 3 · e 1 x 2 + x — 6 · 1 x 2 + x — 6 ‘ = = 3 · e 1 x 2 + x — 6 · 1 ‘ · x 2 + x — 6 — 1 · x 2 + x — 6 ‘ ( x 2 + x — 6 ) 2 = — 3 · ( 2 x + 1 ) · e 1 x 2 + x — 6 x 2 + x — 6 2
Следовательно, производные функции существуют на всей области ее определения.
Перейдем к нахождению стационарных точек. Производная функции обращается в 0 при x = — 1 2 . Это стационарная точка, которая находится в интервалах ( — 3 ; 1 ] и ( — 3 ; 2 ) .
Вычислим значение функции при x = — 4 для промежутка ( — ∞ ; — 4 ] , а также предел на минус бесконечности:
y ( — 4 ) = 3 e 1 ( — 4 ) 2 + ( — 4 ) — 6 — 4 = 3 e 1 6 — 4 ≈ — 0 . 456 lim x → — ∞ 3 e 1 x 2 + x — 6 = 3 e 0 — 4 = — 1
Поскольку 3 e 1 6 — 4 > — 1 , значит, m a x y x ∈ ( — ∞ ; — 4 ] = y ( — 4 ) = 3 e 1 6 — 4 . Это не дает нам возможности однозначно определяться с наименьшим значением функции. Мы можем только сделать вывод, что внизу есть ограничение — 1 , поскольку именно к этому значению функция приближается асимптотически на минус бесконечности.
Особенностью второго интервала является то, что в нем нет ни одной стационарной точки и ни одной строгой границы. Следовательно, ни наибольшего, ни наименьшего значения функции мы вычислить не сможем. Определив предел на минус бесконечности и при стремлении аргумента к — 3 с левой стороны, мы получим только интервал значений:
lim x → — 3 — 0 3 e 1 x 2 + x — 6 — 4 = lim x → — 3 — 0 3 e 1 ( x + 3 ) ( x — 3 ) — 4 = 3 e 1 ( — 3 — 0 + 3 ) ( — 3 — 0 — 2 ) — 4 = = 3 e 1 ( + 0 ) — 4 = 3 e + ∞ — 4 = + ∞ lim x → — ∞ 3 e 1 x 2 + x — 6 — 4 = 3 e 0 — 4 = — 1
Значит, значения функции будут расположены в интервале — 1 ; + ∞
Чтобы найти наибольшее значение функции в третьем промежутке, определим ее значение в стационарной точке x = — 1 2 , если x = 1 . Также нам надо будет знать односторонний предел для того случая, когда аргумент стремится к — 3 с правой стороны:
y — 1 2 = 3 e 1 — 1 2 2 + — 1 2 — 6 — 4 = 3 e 4 25 — 4 ≈ — 1 . 444 y ( 1 ) = 3 e 1 1 2 + 1 — 6 — 4 ≈ — 1 . 644 lim x → — 3 + 0 3 e 1 x 2 + x — 6 — 4 = lim x → — 3 + 0 3 e 1 ( x + 3 ) ( x — 2 ) — 4 = 3 e 1 — 3 + 0 + 3 ( — 3 + 0 — 2 ) — 4 = = 3 e 1 ( — 0 ) — 4 = 3 e — ∞ — 4 = 3 · 0 — 4 = — 4
У нас получилось, что наибольшее значение функция примет в стационарной точке m a x y x ∈ ( 3 ; 1 ] = y — 1 2 = 3 e — 4 25 — 4 . Что касается наименьшего значения, то его мы не можем определить. Все, что нам известно, – это наличие ограничения снизу до — 4 .
Для интервала ( — 3 ; 2 ) возьмем результаты предыдущего вычисления и еще раз подсчитаем, чему равен односторонний предел при стремлении к 2 с левой стороны:
y — 1 2 = 3 e 1 — 1 2 2 + — 1 2 — 6 — 4 = 3 e — 4 25 — 4 ≈ — 1 . 444 lim x → — 3 + 0 3 e 1 x 2 + x — 6 — 4 = — 4 lim x → 2 — 0 3 e 1 x 2 + x — 6 — 4 = lim x → — 3 + 0 3 e 1 ( x + 3 ) ( x — 2 ) — 4 = 3 e 1 ( 2 — 0 + 3 ) ( 2 — 0 — 2 ) — 4 = = 3 e 1 — 0 — 4 = 3 e — ∞ — 4 = 3 · 0 — 4 = — 4
Значит, m a x y x ∈ ( — 3 ; 2 ) = y — 1 2 = 3 e — 4 25 — 4 , а наименьшее значение определить невозможно, и значения функции ограничены снизу числом — 4 .
Исходя из того, что у нас получилось в двух предыдущих вычислениях, мы можем утверждать, что на интервале [ 1 ; 2 ) наибольшее значение функция примет при x = 1 , а найти наименьшее невозможно.
На промежутке ( 2 ; + ∞ ) функция не достигнет ни наибольшего, ни наименьшего значения, т.е. она будет принимать значения из промежутка — 1 ; + ∞ .
lim x → 2 + 0 3 e 1 x 2 + x — 6 — 4 = lim x → — 3 + 0 3 e 1 ( x + 3 ) ( x — 2 ) — 4 = 3 e 1 ( 2 + 0 + 3 ) ( 2 + 0 — 2 ) — 4 = = 3 e 1 ( + 0 ) — 4 = 3 e + ∞ — 4 = + ∞ lim x → + ∞ 3 e 1 x 2 + x — 6 — 4 = 3 e 0 — 4 = — 1
Вычислив, чему будет равно значение функции при x = 4 , выясним, что m a x y x ∈ [ 4 ; + ∞ ) = y ( 4 ) = 3 e 1 14 — 4 , и заданная функция на плюс бесконечности будет асимптотически приближаться к прямой y = — 1 .
Сопоставим то, что у нас получилось в каждом вычислении, с графиком заданной функции. На рисунке асимптоты показаны пунктиром.
Это все, что мы хотели рассказать о нахождении наибольшего и наименьшего значения функции. Те последовательности действий, которые мы привели, помогут сделать необходимые вычисления максимально быстро и просто. Но помните, что зачастую бывает полезно сначала выяснить, на каких промежутках функция будет убывать, а на каких возрастать, после чего можно делать дальнейшие выводы. Так можно более точно определить наибольшее и наименьшее значение функции и обосновать полученные результаты.
Упр.881 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)
*Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания.
*размещая тексты в комментариях ниже, вы автоматически соглашаетесь с пользовательским соглашением
Популярные решебники 7 класс Все решебники
Габриелян, Остроумов, Сладков
Шмелёв, Флоренская
Happy English
Александрова
Александрова, Загоровская, Богданов
Львов, Львова
Атанасян, Бутузов
©Reshak.ru — сборник решебников для учеников старших и средних классов. Здесь можно найти решебники, ГДЗ, переводы текстов по школьной программе. Практически весь материал, собранный на сайте — авторский с подробными пояснениями профильными специалистами. Вы сможете скачать гдз, решебники, улучшить школьные оценки, повысить знания, получить намного больше свободного времени.
Главная задача сайта: помогать школьникам и родителям в решении домашнего задания. Кроме того, весь материал совершенствуется, добавляются новые сборники решений.
Найдите наибольшее значение выражения , если x и y связаны соотношением
Найдите наибольшее значение выражения (x^3-y)/(x^2+1)-(x^2 y-x)/(x^2+1), если x и y связаны соотношением y=x^2+x-4
В полученное выражение подставим соотношение между x и y.
Ответ: 4
Смотрите видеоурок с подробным решением задачи.
Если вам понравился материал, не поленитесь нажать на кнопочки любимой социальной сети и поделиться с друзьями.
Интересная статья? Поделитесь ею пожалуйста с другими:
Хотите обучаться математике индивидуально? Запишитесь на консультацию.
Согласие на обработку персональных данных
Настоящим я даю согласие на обработку моих персональных данных Владельцем сайта, в том числе на совершение Владельцем сайта действий, предусмотренных п. 3 ст. 3 Федерального закона от 27.07.2006 года № 152-ФЗ «О персональных данных», любыми способами, для целей заключения и исполнения договоров между мной и Владельцем сайта.
Похожие записи:
Оставьте свой комментарий:
Отменить ответ
Согласие на обработку персональных данных
Настоящим я даю согласие на обработку моих персональных данных Владельцем сайта, в том числе на совершение Владельцем сайта действий, предусмотренных п. 3 ст. 3 Федерального закона от 27.07.2006 года № 152-ФЗ «О персональных данных», любыми способами, для целей заключения и исполнения договоров между мной и Владельцем сайта.
Добро пожаловать!
Ирина Гайкова — онлайн репетитор по математике.
- Алгебра 7 класс (3)
- Алгебра 8 класс (3)
- Алгебра 9 класс (16)
- Без рубрики (8)
- Видеошпаргалки алгебра (15)
- Видеошпаргалки геометрия (10)
- Видеошпаргалки математика (5)
- Видеошпаргалки физика (2)
- Вычислительные фишки (9)
- геометрия (5)
- ЕГЭ 11 класс (20)
- Задание 13 ЕГЭ. Уравнения (15)
- задачи на проценты (2)
- Справочник по началам анализа (1)
- Движение по кругу (4)
- Задание 1 ЕГЭ математика (15)
- Задачи на арифметическую прогрессию (10)
- Задачи на среднюю скорость (4)
- Задание 14 ОГЭ. Арифметическая прогрессия (5)
- Задание 20 ОГЭ. Выражения и уравнения (26)
- Задание 22 ОГЭ. Функции и графики (34)
- Задание 23 ОГЭ. Геометрическая задача на вычисление (5)
- Задания 1-5 (2)
- Задачи на вклады (3)